高中數(shù)學(xué)《一元線性回歸模型及其應(yīng)用》教案

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

第一課時(shí)一元線性回歸模型及其參數(shù)的最小二乘估計(jì)

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模

通過(guò)學(xué)習(xí)一元線性回歸模型的

型的含義.

含義，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分

2.了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小

析素養(yǎng).

二乘原理.

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

恩格爾系數(shù)(Engel'sCoefficient)是根據(jù)恩格爾定律得出的比例數(shù)，指居民

家庭中食物支出占消費(fèi)總支出的比重，是表示生活水平高低的一個(gè)指標(biāo).其計(jì)

算公式：恩格爾系數(shù)=食物支出金額?總支出金額.

一個(gè)家庭收入越少，家庭收入中或者家庭總支出中用來(lái)購(gòu)買(mǎi)食物的支出所占的

比例就越大，隨著家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用來(lái)購(gòu)買(mǎi)食物

的支出所占比例將會(huì)下降.

問(wèn)題恩格爾系數(shù)是預(yù)測(cè)生活水平高低的一個(gè)模型，那么當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)

時(shí)，我們?nèi)绾螌?duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立一個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)？

提示為了對(duì)兩個(gè)變量線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們通常建立一元線性回歸模

型進(jìn)行預(yù)測(cè).

??知識(shí)梳理

1.一元線性回歸模型

我們稱

Y=bx+a+e,

、E(e)=0,D(e)=o2

為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型,其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變

量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);

e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.

2.線性回歸方程與最小二乘法

回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心(；，；)，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征

我們將；=bx+a稱為Y關(guān)于x的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸

公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘

法，求得的b,a叫做b,a的最小二乘估計(jì)(leastsquaresestimate),

其中

f"It?l

a=工

拓展深化

［微判斷］

1.兩個(gè)變量之間產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因僅僅是因?yàn)闇y(cè)量工具產(chǎn)生的誤差.(X)

提示產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因有多種，測(cè)量工具和測(cè)量精度僅僅是其中的一個(gè)方

面.

2.線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x,y之間的線性關(guān)系，且回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)

的中心(x,y).(V)

［微訓(xùn)練］

1.(多選題)下列有關(guān)回歸直線方程y=bx+a敘述正確的是()

A.反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系

B.反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系

C.表示y與x之間不確定關(guān)系

D.表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線

解析y=bx+a表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系，但

它反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系，.?.選AD.

答案AD

2.某地區(qū)近十年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y=0.8x+

0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計(jì)是

_________億元.

解析Vy=0.8x+0.1,

y=0.8X15+0.1=12.1(億元).

答案12.1

［微思考］

1.任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？

提示用最小二乘法求回歸直線方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)

系(可利用散點(diǎn)圖來(lái)判斷)，否則求出的回歸直線方程無(wú)意義.

2.根據(jù)a=y—bx及回歸直線方程;=bx+a,判斷點(diǎn)(x,y)與回歸直線的關(guān)系是

什么？

提示由@=丫-bx得y=bx+a,因此點(diǎn)(x,y)在回歸直線上.

【課堂互動(dòng)】

題型一求回歸直線方程

［例1］某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下

表數(shù)據(jù)：

X681012

y2356

⑴請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx

+a；

(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.

相關(guān)公式J)=^4-----------，a—~y~bx

、、__；,2

解(1)如圖:

樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

4

(2)與xy=6X2+8X3+10X5+12X6=158,

1—1ii

-6+8+10+12

x=4=9，

2+3+5+6

y=4=%

4

(2)Xxy=6X2+8X3+10X5+12X6=158,

i=1ii

X?=62+82+102+122=344,

-158-4X9X414

b=344-4X92=20=0-7,

a=y—bx=4—0.7X9=—2.3,

故線性回歸方程為y=0.7x-2.3.

(3)由⑵中線性回歸方程可知，當(dāng)x=9時(shí)，y=0.7X9-2.3=4,故預(yù)測(cè)記憶

力為9的同學(xué)的判斷力約為4.

規(guī)律方法求線性回歸方程的一般步驟

(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(X：,yj(i=l,2,…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出).

⑵作出散點(diǎn)圖，確定x,y具有線性相關(guān)關(guān)系.

(3)把數(shù)據(jù)制成表格X”y”X-,x,y,.

「一nn

(4)計(jì)算x,y,EX-,EXiYi.

i=li=l

n

ZXiYi-nxy

（5）代入公式計(jì)算b,a,公式為＜￡x；—nx2

i=l

<a=y-bx.

（6）寫(xiě)出線性回歸方程y=bx+a.

【訓(xùn)練1】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：百萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：百萬(wàn)

元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

⑴畫(huà)出散點(diǎn)圖；

⑵求回歸直線方程.

解（1）散點(diǎn)圖如圖所示.

百萬(wàn)元

8()

70

60

50

40

3()

2()

1()

(>

1238%/百萬(wàn)元

樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

⑵列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

i12345

Xi24568

Yi3040605070

XiYi60160300300560

2

Xi416253664

--55

x=5,y=50,Ex-=145,EXiyi=1380

i=li=l

5——

.EXiYi_5Xy

1=11380-5X5X50

于是可得，b=145-5X52—=6.5,a=y—bx=50—

Zx?—5x2

i=l

6.5X5=17.5.

于是所求的回歸直線方程是y=6.5x+17.5.

題型二利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)

【例2】一臺(tái)機(jī)器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每

小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速度的變化而變化，下表為抽樣試驗(yàn)

的結(jié)果:

轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒）1614128

每小時(shí)生產(chǎn)有缺

11985

點(diǎn)的零件數(shù)y（件）

⑴畫(huà)出散點(diǎn)圖；

（2）如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)畫(huà)出一條直線近似地表示這種線性關(guān)系;

516

⑶在實(shí)際生產(chǎn)中，若它們的近似方程為y=^x—,,允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中

有缺點(diǎn)的零件最多為10件，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

解（1）散點(diǎn)圖如圖所示:

.”件

12

10

8

（）

I

2

0

810121416183（轉(zhuǎn)/秒）

⑵近似直線如圖所示:

81012141618點(diǎn)（轉(zhuǎn)/秒）

516

(3)由yW10得力x—7WlO,解得xW14.9,所以機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在14

轉(zhuǎn)/秒內(nèi).

【遷移1】(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))本例中近似方程不變，若每增加一個(gè)單位的轉(zhuǎn)

速，生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)近似增加多少？

51651

解因?yàn)閥=^x—5所以當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y大約增加誣，即每增加一個(gè)

單位的轉(zhuǎn)速，生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)近似增加1個(gè).

【遷移2】(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))本例中近似方程不變，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零

件件數(shù)是7,估計(jì)機(jī)器的轉(zhuǎn)速.

516516

解因?yàn)閥=^x—,,所以當(dāng)y=7時(shí)，7=—X—y,解得即估計(jì)機(jī)器的

轉(zhuǎn)速約為11轉(zhuǎn)/秒.

規(guī)律方法本題已知y與x是線性相關(guān)關(guān)系，所以可求出回歸方程進(jìn)行估計(jì)和

預(yù)測(cè).否則，若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系或它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使

求出回歸方程也毫無(wú)意義.

【訓(xùn)練2】某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為

此做了四次實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345

加工的時(shí)間y(h)2.5344.5

(1)已知零件個(gè)數(shù)與加工時(shí)間線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(2)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？

乙不乂一〃xy

參考公式辦=二^----------

2—2

ZJX：—nx

r?I

4

解⑴由表中數(shù)據(jù)，得￡Xiyi=2X2.5+3X3+4X4+5X4.5=52.5,

i=l

4

￡X-=22+32+42+52=54,

i=l

2+3+4+5八.

x==3?5,

2.5+3+44-4.5

y-1=3?5.

c52.5-4義3.5X3.5

54-4X3.52=0,°，

.,.a=y—bx=3.5—0.7X3.5=1.05.

Ay關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+l.05.

⑵加工10個(gè)零件時(shí),大約需要0.7X10+1.05=8.05（小時(shí)）.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.求線性回歸方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

（1）知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性

檢驗(yàn).如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間的相關(guān)關(guān)系不

顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是

不可信的.

（2）用公式計(jì)算a,b的值時(shí)，要先計(jì)算b,然后才能算出a.

3.利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè).若回歸方程為；=bx+a,則在x

=x。處的估計(jì)值為y0=bxo+a.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.工人工資y（元）與勞動(dòng)生產(chǎn)率x（千元）的線性回歸方程為y=50+80x,下列

判斷正確的是（）

A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元

B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元

C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元

D.當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元

解析因?yàn)榛貧w直線的斜率為80,所以x每增加1,y平均增加80,即勞動(dòng)生

產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元.

答案B

2.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，

根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（X-y）（i=l,2,…，n）,用最小二乘法建立的回歸方程為

y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心（x,y）

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

解析當(dāng)x=170時(shí)，y=0.85X170-85.71=58.79,體重的估計(jì)值為58.79

kg.

答案D

3.設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=-1.5x+2,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）

A.y平均增加1.5個(gè)單位

B.y平均增加2個(gè)單位

C.y平均減少1.5個(gè)單位

D.y平均減少2個(gè)單位

解析???兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān)，.?.變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單

位.

答案C

4.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23,且過(guò)定點(diǎn)（4,5）,則線性回歸方程

是.

解析回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,即b=l.23,

又回歸直線過(guò)定點(diǎn)（4,5）,?,=5—1.23X4=0.08,

/.y=l.23x+0.08.

答案y=1.23x+0.08

5.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下

解析由題意得*=上千匚?=4.5,

25+30+40+45

y=4=第.

?.?回歸直線方程y=bx+a中b=7,.,.35=7X4.5+a,解得a=3.5,

/.y=7x+3.5.

.,.當(dāng)x=10時(shí),y=7X10+3.5=73.5（萬(wàn)元）.

答案73.5

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.某商品銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其線性回歸方程可能是

（）

A.y=-10x+200B.y=10x+200

C.y=—10x—200D.y=10x—200

解析x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，表示負(fù)相關(guān)，排除B,D；由實(shí)際意義可知x>0,y>

0,顯然C不滿足，故選A.

答案A

2.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為;=bx+a,則（）

X345678

y4.02.5—0.50.5—2.0—3.0

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

解析畫(huà)出散點(diǎn)圖，知a>0,b<0.

-K

4

3

2

q

1234i67B

-21

-31

-41

案

答B(yǎng)

3.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):

X0123

y1357

若y與x線性相關(guān),則y與x的回歸直線y=bx+a必過(guò)（

A.點(diǎn)(2,2)B.點(diǎn)(1.5,0)

C.點(diǎn)(1,2)D.點(diǎn)(1.5,4)

..0+1+2+3-1+3+5+7,

解析?x=4=L5，丫=4=4

，回歸直線必過(guò)點(diǎn)（1.5,4）.故選D.

答案D

4.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：

X0123

ym35.57

已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程為y=2.2x+0.7,則m的值為（）

A.1B.0.85

C.0.7D.0.5

0+1+2+3._口+3+5?5+7m+15.5...

解析x=\=1?5,-----:-----=—:—，將其代z入y=2.2x+

4

0.7,可得m=0.5,故選D.

答案D

5.已知表中y與x之間的線性回歸方程是丫=^*+5.25,則b等于()

X1234

y4.5432.5

A.-0.5B.-0.6C.-0.7D.-0.8

.,,.匹用/曰-1+2+3+4-4.5+4+3+2.5,,

解析r由表中數(shù)據(jù)，得*=---------=2.5,y=---------------------=3.5,故回

歸直線y=bx+5.25經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(2.5,3.5),得3.5=2.5b+5.25,解得

b=-0.7,故選C.

答案C

二、填空題

6.在一次試驗(yàn)中測(cè)得(x,y)的四組數(shù)據(jù)如下：

X16171819

y50344131

根據(jù)上表可得線性回歸方程y=-5x+a,據(jù)此模型預(yù)報(bào)當(dāng)x=20時(shí)，y的值為

16+17+18+19

解析x—■\-17.5,

4

50+34+41+31

=39,

回歸直線過(guò)點(diǎn)(17.5,39),

.?.39=—5X17.5+a,

.*.a=126.5,

.?.當(dāng)x=20時(shí)，y=-5X20+126.5=26.5.

答案26.5

7.某工廠對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù):

產(chǎn)量x(千件)2356

成本y(萬(wàn)元)78912

由表中數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程y=bx+a中b=L1,則預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量為9千件

時(shí)，成本約為萬(wàn)元.

解析由表中數(shù)據(jù)得；=4,；=9,代入線性回歸方程解得a=4.6,.?.當(dāng)x=9

時(shí)，y=l.1X9+4.6=14.5.

答案14.5

8.期中考試后，某校高三(9)班對(duì)全班65名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成

績(jī)y對(duì)總成績(jī)x的回歸方程為y=6+0.4x.由此可以估計(jì)：若兩個(gè)同學(xué)的總成績(jī)

相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績(jī)大約相差_________分.

解析令兩人的總成績(jī)分別為x“X”

則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)成績(jī)估計(jì)為

yi=6+0.4x”y2=6+0.4x2,

所以M—y?|=|0.4(xi—x2)|=0.4X50=20.

答案20

三、解答題

9.某單位為了了解用電量y度與氣溫xC之間的關(guān)系隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用

電量與當(dāng)天氣溫如下表：

氣溫(℃)141286

用電量22263438

(1)求用電量y與氣溫x的線性回歸方程；

(2)由(1)的方程預(yù)測(cè)氣溫為5c時(shí)，用電量的度數(shù).

解(1)由題意知樣本值n=4,x=10,y=30,則

n--

￡(xi-x)(yLy)

-i=l

n

Z：(Xi-x)

i=1

4X(-8)+2X(-4)+(-2)X4+(-4)X8-80

16+4+4+1640

=-2,

a=y—bx=30—(—2)X10=50,

所以線性回歸方程為y=-2x+50.

⑵令(1)中的回歸方程中x=5,代入方程得;=40,所以預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫是5℃

時(shí)，用電量是40度.

10.有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值(即人均

GDP)x(單位：萬(wàn)元)和這一年這6個(gè)城市患白血病的兒童數(shù)量y(單位：人)，如

下表：

人均GDPx/萬(wàn)元1086431

患白血病的兒童數(shù)y/人351312207175132180

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；

(2)通過(guò)計(jì)算可知這兩個(gè)變量的回歸直線方程為;=23.25x+102.15,假如一個(gè)

城市的人均GDP為12萬(wàn)元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)

380人，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷言是否正確？

解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖，如圖所示.

)7人

360?

270..

180?.?

9()

01234567891()切萬(wàn)元

從圖中可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)

大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)上述斷言是錯(cuò)誤的.將x=12代入y=23.25x+102.15得y=23.25X12+

102.15=381.15>380,但381,15是對(duì)該城市人均GDP為12萬(wàn)元的情況下所

作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過(guò)380人，也可能低于380人.

能力提升

11.在2020年5月1日，某市物價(jià)部門(mén)對(duì)本市的5家商場(chǎng)某商品的一天銷(xiāo)售量

及其價(jià)格進(jìn)行了調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷(xiāo)售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下

表所示：

價(jià)格x（元）99.51010.511

銷(xiāo)售量y（件）1110865

由散點(diǎn)圖可知，銷(xiāo)售量y與價(jià)格X之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直

線方程是：y=-3.2x+a,則a=()

A.-24B.35.6

C.40.5D.40

-q+g5+|O+in5+1I

解析價(jià)格的平均數(shù)是x=-5=1°,銷(xiāo)售量的平均數(shù)是y=

11+10+8+6+5

=8,將（10,8）代入回歸方程y=-3.2x+a,得8=一

5

3.2X10+a,/.a=8+3.2X10=40,故選D.

答案D

12.某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)

格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）88.28.48.68.89

銷(xiāo)量y（件）908483807568

（1）求回歸直線方程丫=6乂+2,其中b=-20；

（2）預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，若該產(chǎn)品的成本

是4元/件，則為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=

銷(xiāo)售收入一成本）

一1

解(1)由于x=\(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,

b

~1

y=-(90+84+83+80+75+68)=80,

所以a=y—bx=80+20X8.5=250,

從而回歸直線方程為y=-20x+250.

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得

L=x（-20x4-250）—4（—20x+250）

=-20X2+330X-1000

=-20（x-8.25）2+361.25.

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值，

故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）某公司過(guò)去五個(gè)月的廣告費(fèi)支出x（單元：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單

位：萬(wàn)元）之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y▲40605070

工作人員不慎將表格中y的第一個(gè)數(shù)據(jù)丟失.已知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，且

回歸方程為y=6.5x+17.5,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.銷(xiāo)售額y與廣告費(fèi)支出x正相關(guān)；

B.丟失的數(shù)據(jù)（表中▲處）為30；

C.該公司廣告費(fèi)支出每增加1萬(wàn)元，銷(xiāo)售額一定增加6.5萬(wàn)元；

D.若該公司下月廣告費(fèi)支出為8萬(wàn)元，則銷(xiāo)售額約為75萬(wàn)元.

解析由回歸直線方程為y=6.5x+17.5,可知b=6.5,則銷(xiāo)售額y與廣告費(fèi)支

出x正相關(guān)，所以A正確；設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為m,由表中的數(shù)據(jù)可得x=5,y=

220+m田，220+m）小、=??工口―/口220+m,

―—，把點(diǎn)［5,—［代入回歸方程，可得一--=6.5X5+17.5,解得m

=30,所以B正確；該公司廣告費(fèi)支出每增加1萬(wàn)元，銷(xiāo)售額不一定增加6.5

萬(wàn)元，所以C不正確；若該公司下月廣告費(fèi)支出為8萬(wàn)元，則銷(xiāo)售額約為；=

6.5X8+17.5=69.5（萬(wàn)元），所以D不正確.故選AB.

答案AB

14.（多空題）為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，

下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：h）與當(dāng)天投籃命中率

y之間的關(guān)系：

時(shí)間X12345

命中率y0.40.50.60.60.4

小李這5天的平均投籃命中率為；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小

李該月6號(hào)打6h籃球的投籃命中率為.

…一-0.4+0.5+0.6+0.6+0.42.5

解析y=----------------5----------------=可二0.5,

1+2+3+4+5

x==3.由公式，得b=0.01,

5

從而a=y—bx=0.5—0.01X3=0.47.

所以回歸方程為y=0.47+0.Olx.

所以當(dāng)x=6時(shí)，y=0.47+0.01X6=0.53.

答案0.50.53

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

第二課時(shí)非線性回歸模型及其應(yīng)用

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)

計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.

通過(guò)學(xué)習(xí)回歸模型的應(yīng)用，提升數(shù)

2.了解非線性回歸模型.

學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

3.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用V判斷回歸模型

的擬合效果.

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

＞情境引入

在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運(yùn)用散點(diǎn)

圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程.

問(wèn)題具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程為y=bx+a.預(yù)測(cè)值y與真實(shí)值

y一樣嗎？預(yù)測(cè)值y與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？

提示不一定；越小越好.

/口識(shí)梳理

1.殘差的概念

對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的;

稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)

殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑

數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

2.刻畫(huà)回歸效果的方式

⑴殘差圖法

作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào),或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值

等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域

內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說(shuō)明擬合效果越好.

(2)殘差平方和法

殘差平方和￡(y-)S殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越

i=lyi

大，模型擬合效果越差.

(3)利用N刻畫(huà)回歸效果

決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量

客戶預(yù)報(bào)變量的能力.

n-

￡（y.—Yi）'

R2=l—9------：—,R?越大，即擬合效果越好，爐越小，模型擬合效果越

￡（y「y）~

i=l

差.

拓展深化

［微判斷］

1.殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.（J）

2.在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上.（X）

提示在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上.

3.★越小，線性回歸模型的擬合效果越好.（X）

提示田越大，線性回歸模型的擬合效果越好.

［微訓(xùn)練］

1.在殘差分析中，殘差圖的縱坐標(biāo)為.

答案殘差

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種

不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)W分別如下表：

甲乙丙T

R20.980.780.500.85

哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？

解R?越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效

果最好.

［微思考］

在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問(wèn)題？

提示（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；（2）所建立的經(jīng)驗(yàn)回歸

方程一般都有時(shí)效性；（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn).一般解

釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果好，超出這個(gè)范圍

越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差；（4）不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量

的精確值.

【課堂互動(dòng)】

題型一線性回歸分析

【例1】己知某種商品的價(jià)格x（單位：元/件）與需求量y（單位：件）之間的

關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：

X1416182022

y1210753

求y對(duì)x的回歸直線方程，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.

一1

解X飛(14+16+18+20+22)=18,

-1

y=-(12+10+7+5+3)=7.4,

D

5

Ex-=142+162+182+202+222=1660,

i=l

5

Sxi%=14X12+16X10+18X7+20X5+22X3=620,

i=l

5——

八.匚XiYi_5xy

620-5X18X7.4

所以---------1.15,

51660-5X182

￡Xi—5x2

i=l

a=7.4+1.15X18=28.1,

所以所求回歸直線方程是;=一1.15x+28.1.

列出殘差表：

Yi-Yi00.3-0.4-0.10.2

yi-y4.62.6-0.4-2.4-4.4

5-

2

所以Z,(y-yi)=0.3,

1=1

5-

E(y：—y)2=53.2,

1=1

5~,

￡(yi-Yi)

,i=l

R2=1——;-----------y0.994，

W,，2

E(yj—y)

i=l

所以回歸模型的擬合效果較好.

規(guī)律方法(1)解答線性回歸問(wèn)題，應(yīng)通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線

性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指

數(shù)N來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行

分析.

(2)刻畫(huà)回歸效果的三種方法

①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合

適.

②殘差平方和法：殘差平方和上(力一；尸越小，模型的擬合效果越好.

1=1

..(yi-Yi)

i—1

③決定系數(shù)法：R2=l---------------越接近1,表明回歸的效果越好.

n

t(yi-y)~

i=l

【訓(xùn)練1】某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)

的數(shù)據(jù)如下表：

年份2011201220132014201520162017

年份代號(hào)t1234567

人均純收入

2.93.33.64.44.85.25.9

y

(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；

⑵利用⑴中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純

收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

一（—一5）

---------,￡=歹一/".

X（t-7）2

31

解(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得

一1/

t=yX(1+2+3+4+5+6+7)=4,

一1

y=yX(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

￡(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=1

.￡(tj—t)(yi-y)=(-3)X(—1.4)+(—2)X(—1)+(—1)X(—0.7)+

1=1

0X0.1+1X0.5+2X0.9+3X1.6=14,

1--

t.(tj—t)(y「y)

；i=l

a=y—bt=4.3—0.5X4=2.3,

所以所求回歸方程為y=0.5t+2.3.

⑵由(1)知b=0.5>0,故2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐

年增加，平均每年增加0.5千元.將2020年的年份代號(hào)t=10代入(1)中的回

歸方程，得y=0.5X10+2.3=7.3.故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純

收入為7.3千元.

題型二殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用

【例2]假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5

組數(shù)據(jù)如下：

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；

⑵求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗;

(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；

(4)求R2,并說(shuō)明⑵中求出的回歸模型的擬合程度.

解(D散點(diǎn)圖如下.

＞有效穗數(shù)

50

48

46

44

42

40

38

15253545

基本苗數(shù)

(2)由⑴中散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，有比較好的線性

相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系.

設(shè)回歸方程為y=bx+a,又x=30.36,y=43.5,

5

Sxi=5101.56,

i=1

Xy=1320.66,x=921.7296,

5

Sxy=6746.76.

i=lii

5——

、XXiy-5Xy._?_

貝此=---二---------~0.29,a=y—bx=34.70.

5-

￡x?—5x2

i=l

故所求的回歸直線方程為y=0.29x+34.70.

當(dāng)x=56.7時(shí)，y=0.29X56.7+34.70=51.143.

故估計(jì)成熟期有效穗為51.143.

(3)由yi=bxi+a,可以算得e：=yi—yi分別為ei=0.35,e2=0.718,e3=—

0.5,e4=-2.214,e5=1.624,殘差平方和：ie?^8.43.

i=l

5Q43

(4)I,(y-y)2=50.18,故1^^1一卷記心0.832.所以(2)中求出的回歸模型

1=1OU.Io

的效果較好.

規(guī)律方法(1)利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判

斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)，然后通過(guò)殘差e

“ez，…，當(dāng)來(lái)判斷模型擬合的效果.

⑵若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合

度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高.

【訓(xùn)練2】為研究質(zhì)量x（單位：g）對(duì)彈簧長(zhǎng)度y（單位：cm）的影響，對(duì)不同

質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

⑴作出散點(diǎn)圖并求回歸直線方程；

⑵求出R?并說(shuō)明回歸模型擬合的程度;

⑶進(jìn)行殘差分析.

解（1）散點(diǎn)圖如圖所示.

彈簧長(zhǎng)度/cm

14

12

10

：：

6

I

2

5101520253()35、質(zhì)量/g

樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

一1

由表中數(shù)據(jù)，得x=R(5+10+15+20+25+3。)

=17.5,

一1

y=7x(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)Q9.487,

b

66

Lx!=2275,ZxiYi=l076.2.

i=li=l

計(jì)算得b%0.183,a^6.285.

故所求回歸直線方程為y=6.285+0.183x.

⑵列表如下：

0.050.005-0.08-0.0450.040.025

Yi-Yi

y-y-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313

66-

可得Z,(y-)2^0.01318,S(y-y)2^14.6783.

1=1yi1=I

AQ1Q1Q

所以R2=l—“皿，產(chǎn)09991,回歸模型的擬合效果較好.

14.6783

（3）由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這

個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正錯(cuò)誤，重新建立回歸

模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過(guò)0.15的狹窄的水

平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧

長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系.

題型三非線性回歸分析

【例3】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)

x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響.對(duì)近8

年的年宣傳費(fèi)X,和年銷(xiāo)售量y,（i=l,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面

的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

年銷(xiāo)售量”

620-

600-

580-

560-

540-

520-

500-

48。1

343638404244464850525456年宣傳費(fèi)/千元

8—8—

XLX石(w-w)?(y-

8一8-I()?(y-

Z(Xj—x)2X(Wj—w)2

Xyw1=1i=l

y)y)

6.

46.6563289.81.61469108.8

8

表中Wi=y[xi,w=-Swi，

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d偵哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于

年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.

根據(jù)⑵的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

①年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(U1,v,),(U2,V2),…，(u?,v),其回歸直線v=a+Bu

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

n一一

E(uj-u)(Vi-v)

；i=l-"2-

P=----------------------，a=v—Pu.

n

S(Uj—u)”

i=l

解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d6適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的

回歸方程類(lèi)型.

(2)令w=，L先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.

8--

￡(Wj—w)(yj—y)

?十八i=l108.8

由于d-~=~j~z-=68,

8一、?1.6

X(Wi—w)~

i=1

c=y—dw=563—68X6.8=100.6,

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,

因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68^/x.

⑶①由(2)知，當(dāng)x=49時(shí)，

年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值y=100.6+68^49=576.6(t),

年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.6X0.2-49=66.32(千元).

②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值

z=0.2(100.6+68也)-x=-x+13.66+20.12.

所以當(dāng)-~=6.8,

即x=46.24時(shí)，z取得最大值.

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟

(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖.

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).

(3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線

性回歸方程.

(4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算決定系數(shù)或畫(huà)殘差圖來(lái)判斷擬合效果.

(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫(xiě)出非線性回歸方程.

(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x=40時(shí)y的值.

解(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根

據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=c,ec2x的周?chē)?，其?/p>

C”C2為待定的參數(shù).

y

350

300?

250

200

150

10().

50.?°

()L?,1.*._.__I_._.__._._I_A

20222426283032343638a

(2)對(duì)y=se喈兩邊取對(duì)數(shù)，得Iny=lnc,4-c2x,令z=lny,則有變換后的

樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z=bx+a(a=lnJ,b=c?)的周?chē)?，這樣就可以利用線性

回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為

X21232527293235

Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

求得回歸直線方程為z=0.272x-3.849,

?0.272X-3.849

??y=e

殘差

Yi711212466115325

Yi6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325

ei0.557-0.1011.875-8.9509.2334.675

13.381

(3)當(dāng)x=40時(shí),y=e"272X4°TM^i131.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.當(dāng)根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖并不是分布在一條直線附近時(shí)，就不能

直接求其回歸直線方程了，這時(shí)可根據(jù)得到的散點(diǎn)圖，選擇一種擬合得最好的

函數(shù)，常見(jiàn)的函數(shù)有募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，然后進(jìn)行變量置換，將

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()

A.角度和它的余弦值

B.正方形的邊長(zhǎng)和面積

C.正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和

D.人的年齡和身高

解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系.A,B,C三項(xiàng)中的兩個(gè)變量

之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f(?)=cos0,

g(a)=a2,h(n)=(n—2)Ji.D選項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡

確