2025高考數(shù)學一輪復習-5.1-平面向量的概念及線性運算【課件】

第五章平面向量、復數(shù)第1節(jié)平面向量的概念及線性運算ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.向量的有關概念(4)平行向量(共線向量)：方向______或______的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量______.(5)相等向量：長度______且方向______的向量.(6)相反向量：長度______且方向______的向量.相同相反平行相等相同相等相反2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________.(2)結合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝________；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使__________.b＝λa√解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上.××√ABC解析根據(jù)向量的有關概念可知ABC正確，對于D，當λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，故D錯誤.2.(多選)下列說法正確的是(

)A又O為△ABC的外接圓的圓心，根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.解析A中，a∥b，則a＝λb，故A不正確；B、C中，由于向量a，b的大小相等，但其方向不確定，故B、C都不正確；D顯然正確.4.(易錯題)下列四個命題中，正確的是(

) A.若a∥b，則a＝b B.若|a|＝|b|，則a＝b C.若|a|＝|b|，則a∥b D.若a＝b，則|a|＝|b|DA解析由已知2a－b≠0，依題意知向量a＋λb與2a－b共線，設a＋λb＝k(2a－b)，則有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因為a，b是兩個不共線向量，故a與b均不為零向量，6.設a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線，則λ＝________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2解析由平行向量和共線向量可知，A正確；因為相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，所以B是錯誤的；1.(多選)下列命題中正確的有(

) A.平行向量就是共線向量 B.相反向量就是方向相反的向量 C.a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件AD因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C是錯誤的；因為兩個向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等，則這兩個向量平行，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D是正確.所以向量a與向量b方向相同，故可排除A，B，D.C解析方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共線，故A正確；單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯誤；3.(多選)下列命題正確的有(

) A.方向相反的兩個非零向量一定共線 B.單位向量都相等 C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同AD兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，故C錯誤；解析由已知a，b不共線，例1(1)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結論正確的是(

) A.a∥b

B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－bB角度1平面向量的加、減運算的幾何意義從而?ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.所以△ABC是邊長為2的正三角形，角度2向量的線性運算ADA.1 B.2 C.3 D.4解析法一由題圖可得C則2r＋3s＝1＋2＝3.以下同法一.得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，法三

如圖，建立平面直角坐標系xAy，依題意可設點B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.所以2r＋3s＝1＋2＝3.D解析如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，B∴A，B，D三點共線.(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解

∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.A所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1與e2不共線，＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，因為M，O，N三點共線，2FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3解析因為a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a與b共線同向，故D正確.1.已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是(

) A.a＋b＝0 B.a＝b C.a與b共線反向

D.存在正實數(shù)λ，使a＝λbDA.A，B，D三點共線

B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線

D.A，C，D三點共線所以A，B，D三點共線.A解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，DAC6.(多選)設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是(

)ACD解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，7.設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____________.解析由題設可得3②③④即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因為a，b不共線，(2)證明：B，E，F(xiàn)三點共線.且有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線.12.(多選)瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一