2025高考數(shù)學一輪復習-5.3-平面向量的數(shù)量積及其應用【課件】

第五章平面向量、復數(shù)第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量___________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝__________.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.1.平面向量數(shù)量積的有關概念|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示3.平面向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b＝b·a(交換律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.1.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.×解析(1)兩個向量夾角的范圍是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.√√×BBDa·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正確；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正確；3.(多選)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，設a，b的夾角為θ，則(

) A.|a|＝|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ＝135°解析由a·b＝a·c，可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，因為|a|≠0，所以c在a上的投影向量的長度為B解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，若a·b＞0，則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.5.(易錯題)已知a，b為非零向量，則“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的(

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B解析法一

a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，6.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________.法二由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2解析如圖，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.＝15－10－12＋6＝－1.－1∴P為BC的中點.以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，－1解析如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，＝2x∈(－2，6).A解析建立如圖所示的平面直角坐標系，13解析∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，D角度1夾角與垂直A解析由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，角度2平面向量的模B解析設a與b的夾角為α，則(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cosα，因為α∈[0，π]，所以0≤8－8cosα≤16，所以0≤|2a－b|≤4.(2)若向量a，b滿足a＝(cosθ，sinθ)(θ∈R)，|b|＝2，則|2a－b|的取值范圍為________.[0，4]解析法一由a·b＝0，得a⊥b.(3)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________.所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以點C在以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上.法二由a·b＝0，得a⊥b.因為a，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a與b垂直，故B正確；訓練2

(1)(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則(

)BC解析∵M為BC的中點，所以△ABC的中線和底邊垂直，所以△ABC是等腰三角形.A在四邊形ABCD中，作AO⊥BC于點O，以O為坐標原點，以BC和AO所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系.如圖，設M(a，0)，不妨設點N在點M右側，解

①m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π，所以sin(A＋B)＝sinC，所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，②由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.解析因為|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ為c與a＋b的夾角，訓練3(1)已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(

)C解析以BC中點為坐標原點，建立如圖平面直角坐標系，B解析由題意，不妨設b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)，則a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ).令y＝|a＋b|＋|a－b|(3)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.4極化恒等式解析設A，B，C三點所在圓的圓心為O，取AB中點D，因為A，B，C三點在圓上，所以CD長度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，BFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3解析因為2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝(

)C解析由題意知a，b是相互垂直的單位向量，不妨設a＝(1，0)，b＝(0，1)，設c＝(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y(tǒng)＝2，即c＝(2，2)，2.已知a，b是相互垂直的單位向量，與a，b共面的向量c滿足a·c＝b·c＝2，則c的模為(

)D解析根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不正確；根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正確；|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正確.3.(多選)下列關于向量a，b，c的運算，一定成立的是(

) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD解析設|b|＝1，則|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，4.若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(

)D設向量a＋b與a的夾角為θ，A.與圓C的半徑有關B.與圓C的半徑無關C.與弦AB的長度有關D.與點A，B的位置有關解析如圖，連接AB，過C作CD⊥AB交AB于D，BCB解析由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，7.若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝________.解析由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，8.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________.解析依題意，以C為坐標原點，分別以AC，BC所在的直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0