微專(zhuān)題57 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中周期性運(yùn)動(dòng)和多解問(wèn)題-2025版高中物理微專(zhuān)題

微專(zhuān)題57帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中周期性運(yùn)動(dòng)和多解問(wèn)題【核心考點(diǎn)提示】1．帶電粒子電性不確定形成多解：受洛倫茲力作用的帶電粒子，由于電性不同，當(dāng)速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解．如圖6甲所示，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b.2．磁場(chǎng)方向不確定形成多解：有些題目只已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而不知其方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解．如圖乙所示，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b.3．臨界狀態(tài)不唯一形成多解：帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過(guò)去，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射界面這邊反向飛出，從而形成多解，如圖丙所示．4．運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解：帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解，如圖丁所示．【經(jīng)典例題選講】【例題】(多選)如圖所示，左、右邊界分別為PP′、QQ′的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的微觀粒子，沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場(chǎng)．欲使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是()A.eq\f(Bqd,m) B.eq\f((2＋\r(2))Bqd,m)C.eq\f((2－\r(2))Bqd,m) D.eq\f(\r(2)Bqd,2m)【解析】粒子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由R＝eq\f(mv0,qB)知，粒子的入射速度v0越大，R越大，當(dāng)粒子的徑跡和邊界QQ′相切時(shí)，粒子剛好不從QQ′射出，此時(shí)其入射速度v0應(yīng)為最大．若粒子帶正電，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示(此時(shí)圓心為O點(diǎn))，容易看出R1sin45°＋d＝R1，將R1＝eq\f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq\f(2＋\r(2)Bqd,m)，選項(xiàng)B正確．若粒子帶負(fù)電，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示(此時(shí)圓心為O′點(diǎn))，容易看出R2＋R2cos45°＝d，將R2＝eq\f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq\f(2－\r(2)Bqd,m)，選項(xiàng)C正確．【答案】BC【變式】(2014·江蘇·14)某裝置用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理如圖11所示．裝置的長(zhǎng)為L(zhǎng)，上、下兩個(gè)相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場(chǎng)的間距為d.裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的三點(diǎn)，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下方磁場(chǎng)的上、下邊界上．在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點(diǎn)射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過(guò)上方的磁場(chǎng)區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn)．改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達(dá)收集板上的位置．不計(jì)粒子的重力．(1)求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h；(2)欲使粒子到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N點(diǎn)，求粒子入射速度的最小變化量Δv；(3)欲使粒子到達(dá)M點(diǎn)，求粒子入射速度大小的可能值．【解析】(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．根據(jù)題意知L＝3rsin30°＋3dcos30°，且磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h＝r(1－cos30°)解得：h＝(eq\f(2,3)L－eq\r(3)d)(1－eq\f(\r(3),2))(2)設(shè)改變?nèi)肷渌俣群罅Ｗ釉诖艌?chǎng)中的軌跡半徑為r′，洛倫茲力提供向心力，則有meq\f(v2,r)＝qvB，meq\f(v′2,r′)＝qv′B，由題意知3rsin30°＝4r′sin30°，解得粒子速度的最小變化量Δv＝v－v′＝eq\f(qB,m)(eq\f(L,6)－eq\f(\r(3),4)d)(3)設(shè)粒子經(jīng)過(guò)上方磁場(chǎng)n次由題意知L＝(2n＋2)dcos30°＋(2n＋2)rnsin30°且meq\f(v\o\al(2,n),rn)＝qvnB，解得vn＝eq\f(qB,m)(eq\f(L,n＋1)－eq\r(3)d)(1≤n<eq\f(\r(3)L,3d)－1，n取整數(shù))【答案】(1)(eq\f(2,3)L－eq\r(3)d)(1－eq\f(\r(3),2))(2)eq\f(qB,m)(eq\f(L,6)－eq\f(\r(3),4)d)(3)eq\f(qB,m)(eq\f(L,n＋1)－eq\r(3)d)(1≤n<eq\f(\r(3)L,3d)－1，n取整數(shù))【例題】(2016·浙江深化課程改革協(xié)作校聯(lián)考)如圖所示，在空間中有一坐標(biāo)系Oxy，其第一象限內(nèi)充滿(mǎn)著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界。區(qū)域Ⅰ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向里。邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為(4L，3L)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，粒子恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。忽略粒子重力，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則下列說(shuō)法中正確的是()A．該粒子一定沿y軸正方向從O點(diǎn)射出B．該粒子射出時(shí)與y軸正方向夾角可能是74°C．該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t＝eq\f(53πm,30qB)D．該粒子運(yùn)動(dòng)的可能速度為v＝eq\f(25qBL,12nm)(n＝1，2，3…)【解析】粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于直線邊界，考慮軌跡圓的對(duì)稱(chēng)性，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)與離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，故粒子不可能從Ⅰ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)，故一定是從Ⅱ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)；畫(huà)出可能的軌跡如圖所示，有tanα＝eq\f(3L,4L)＝0.75，得α＝37°，α＋β＝90°，故該粒子一定沿y軸負(fù)方向從O點(diǎn)射出，故A、B錯(cuò)誤；設(shè)粒子的入射速度為v，用R1、R2、T1、T2分別表示粒子在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，則：qvB＝meq\f(v2,R1)，qv(2B)＝meq\f(v2,R2)，得R1＝2R2，周期分別為：T1＝eq\f(2πR1,v)＝eq\f(2πm,qB)，T2＝eq\f(2πR2,v)＝eq\f(πm,qB)，粒子先在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短，粒子在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1＝eq\f(2β,2π)·T1，t2＝eq\f(2β,2π)T2，粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間至少為：t＝t1＋t2，由以上各式解得：t＝eq\f(53πm,60qB)，故C錯(cuò)誤；粒子的速度大小滿(mǎn)足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，這樣粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過(guò)O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為s＝eq\f(OP,n)＝eq\f(5L,n)(n＝1、2、3，…)，粒子每次在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的位移為：s1＝eq\f(R1,R1＋R2)s＝eq\f(2,3)s，由圖中幾何關(guān)系可知：eq\f(\f(s1,2),R1)＝cosα＝0.8，而R1＝eq\f(mv,qB)，由以上各式解得粒子的速度大小為：v＝eq\f(25qBL,12nm)(n＝1、2、3，…)故D正確。【答案】D【變式】(2017·湖北八校高三二次聯(lián)考)真空中存在一中空的柱形圓筒，如圖是它的一個(gè)截面，a、b、c為此截面上的三個(gè)小孔，三小孔在圓形截面上均勻分布，圓筒半徑為R。在圓筒的外部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，其方向與圓筒的軸線平行，在圖中垂直于紙面向內(nèi)。現(xiàn)在a處向圓筒內(nèi)發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子，其質(zhì)量為m，帶電荷量為q，使粒子在圖所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子只受磁場(chǎng)力的作用，粒子碰到圓筒即會(huì)被吸收。(1)若要粒子發(fā)射后在以后的運(yùn)動(dòng)中始終不會(huì)碰到圓筒，則粒子的初速度的大小和方向有何要求？(2)若在圓筒內(nèi)的區(qū)域中還存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，則為使粒子以后都不會(huì)碰到圓筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？【解析】(1)如圖，粒子離開(kāi)a后先在筒內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)，再由b點(diǎn)出筒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，則只能從c點(diǎn)再次進(jìn)入圓筒，沿直線ca運(yùn)動(dòng)從a點(diǎn)出筒。因?yàn)閍c、ab為軌跡圓的切線，所以軌跡圓的半徑O1c、O1b分別與ac、ab垂直。由幾何關(guān)系不難得出：∠O1ac＝∠O1ab＝30°，因此：∠aO1c＝∠aO1b＝60°。軌跡圓半徑O1a、O1b的長(zhǎng)度r＝R，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力得Bqv＝meq\f(v2,r)，①可得初速度大小v＝eq\f(Bqr,m)＝eq\f(BqR,m)。因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)行a→b→c→a的循環(huán)，所以從a點(diǎn)出發(fā)時(shí)的速度方向應(yīng)由a指向b方向。(2)如圖所示描繪了粒子由a出發(fā)在筒內(nèi)在圓O1上做圓周運(yùn)動(dòng)，從b出筒再在圓O2上做圓周運(yùn)動(dòng)從c進(jìn)筒的路徑。因?yàn)榱Ｗ铀俣炔蛔?，筒?nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，所以由①可知圓O1和圓O2的半徑大小相等。粒子速度始終與軌跡相切，所以圓O1和圓O2應(yīng)在b點(diǎn)相外切，由a、c兩點(diǎn)關(guān)于Ob對(duì)稱(chēng)，可知圓O1與圓O2應(yīng)該關(guān)于Ob對(duì)稱(chēng)，Ob即為此二圓的公切線。由幾何關(guān)系不難得出：∠O2Ob＝60°。圓O1及圓O2的半徑r＝eq\r(3)R。又由①式可得粒子的速度大小v＝eq\f(Bqr,m)＝eq\f(\r(3)BqR,m)。其在a點(diǎn)的方向只能指向O點(diǎn)。【答案】(1)eq\f(BqR,m)，方向由a指向b(2)eq\f(\r(3)BqR,m)，方向從a指向圓心O【鞏固習(xí)題】1.(2018·湖南省懷化市高三聯(lián)考)一絕緣圓筒上有一小孔，筒內(nèi)有方向沿圓筒軸線的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，整個(gè)裝置的橫截面如圖所示．一質(zhì)量為m、帶電量為q的小球(重力不計(jì))沿孔半徑方向射入筒內(nèi)，小球與筒壁碰撞n次后恰好又從小孔穿出．小球每次與筒壁碰撞后均以原速率彈回，且碰撞過(guò)程中小球的電荷量不變．已知小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t＝eq\f(πm,qB)，則n可能等()A．2 B．3C．4 D．5AC[粒子在磁場(chǎng)中的周期為T(mén)＝eq\f(2πm,Bq)，而小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t＝eq\f(πm,Bq)＝eq\f(1,2)T，可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的總圓弧所對(duì)的圓心角為180°；若n＝2，即粒子與圓筒碰撞2次，分別對(duì)應(yīng)三段圓弧，每段圓弧所對(duì)的圓心角為60°，則總圓心角為180°，則選項(xiàng)A正確；若n＝3，即粒子與圓筒碰撞3次，分別對(duì)應(yīng)四段圓弧，每段圓弧所對(duì)的圓心角為90°，則總圓心角為360°，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若n＝4，即粒子與圓筒碰撞4次，則可能每次碰撞對(duì)應(yīng)的圓弧所對(duì)的圓心角為36°(對(duì)應(yīng)著圓筒上的圓心角為144°)，則總圓心角為5×36°＝180°，則選項(xiàng)C正確；若n＝5，即粒子與圓筒碰撞5次，分別對(duì)應(yīng)6段圓弧，每段圓弧所對(duì)的圓心角為120°，則總圓心角為72°，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選A、C.]2.(2017·湖北宜昌三模)如圖，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，設(shè)兩電極之間的電壓大小為U，則()A．U＝eq\f(qB2r2,2m) B．U＝eq\f(qB2r2,m)C．U＝eq\f(qBr,m) D．U＝eq\f(\r(2)qB2r2,2m)【解析】粒子在兩電極間加速，由動(dòng)能定理得：qU＝eq\f(1,2)mv2－0，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB＝meq\f(v2,R)，粒子從S點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再回到S點(diǎn)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)可知，粒子從a到d必經(jīng)過(guò)eq\f(3,4)圓周，粒子軌道半徑：R＝r，解得：U＝eq\f(qB2r2,2m)，故A正確?！敬鸢浮緼3.(2018·安徽六安一中一模)如圖，xOy平面的一、二、三象限內(nèi)存在垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ON為處于y軸負(fù)方向的彈性絕緣薄擋板，長(zhǎng)度為9m，M點(diǎn)為x軸正方向上一點(diǎn)，OM＝3m，現(xiàn)有一個(gè)比荷大小為eq\f(q,m)＝1.0C/kg，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球(重力不計(jì))，從擋板下端N處小孔以不同的速度向x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，若與擋板相碰后以原速率彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電荷量不變，小球最后都能經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，則小球射入的速度大小可能是()A．3m/s B．3.75m/sC．4m/s D．5m/sABD[由題意，小球運(yùn)動(dòng)的圓心的位置一定在y軸上，所以小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r一定要大于等于3m，而ON＝9m<3r，所以小球最多與擋板ON碰撞一次，碰撞后，第二個(gè)圓心的位置在O點(diǎn)的上方，也可能小球與擋板ON沒(méi)有碰撞，直接過(guò)M點(diǎn)．由于洛倫茲力提供向心力，所以：qvB＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\f(q,m)Br①；若小球與擋板ON碰撞一次，則軌跡可能如圖1，設(shè)OO′＝s，由幾何關(guān)系得：r2＝eq\x\to(OM2)＋s2＝9＋s2②，3r－9＝s③，聯(lián)立②③得：r1＝3m；r2＝3.75m，分別代入①得：v1＝eq\f(q,m)·Br1＝1×1×3m/s＝3m/s，v2＝eq\f(q,m)Br2＝1×1×3.75m/s＝3.75m/s，若小球沒(méi)有與擋板ON碰撞，則軌跡如圖2，設(shè)OO′＝x，由幾何關(guān)系得：req\o\al(2,3)＝eq\x\to(OM2)＋x2＝9＋x2④，x＝9－r3⑤，聯(lián)立④⑤得：r3＝5m，代入①得：v3＝eq\f(q,m)Br3＝1×1×5m/s＝5m/s，A、B、D正確．]4.一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O.筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷.質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中.粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出.設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：(1)M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；(2)圓筒的半徑R.【解析】(1)設(shè)兩板間的電壓為U，由動(dòng)能定理得：qU＝eq\f(1,2)mv2①由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得U＝Ed②聯(lián)立上式可得E＝eq\f(mv2,2qd)③(2)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何關(guān)系作出圓心為O′，圓半徑為r.設(shè)第一次碰撞點(diǎn)為A，由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，因此，SA弧所對(duì)的圓心角∠AO′S等于eq\f(π,3).，由幾何關(guān)系得r＝Rtaneq\f(π,3)④粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律，得qvB＝meq\f(v2,r)⑤聯(lián)立④⑤式得R＝eq\f(\r(3)mv,3qB)⑥(3)保持M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變，M板向上平移eq\f(2,3)d后，設(shè)板間電壓為U′，則U′＝eq\f(Ed,3)＝eq\f(U,3)⑦設(shè)粒子進(jìn)入S孔時(shí)的速度為v′，由①式看出eq\f(U′,U)＝eq\f(v′2,v2)綜合⑦式可得v′＝eq\f(\r(3),3)v⑧設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′，則r′＝eq\f(\r(3)mv,3qB)⑨設(shè)粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌跡所對(duì)圓心角為θ，比較⑥⑨兩式得到r′＝R，可見(jiàn)θ＝eq\f(π,2)⑩粒子需經(jīng)過(guò)四個(gè)這樣的圓弧才能從S孔射出，故n＝3.【答案】(1)eq\f(mv2,2qd)(2)eq\f(\r(3)mv,3qB)5.(2016·諸暨市期末)如圖所示，兩個(gè)共軸的圓柱形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的三條狹縫a、b、c，外筒的半徑為R。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電粒子從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的s點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)s。不計(jì)粒子重力，整個(gè)裝置在真空中，假設(shè)粒子碰到外電極就會(huì)被吸收。(1)判斷從a出來(lái)的粒子是向左還是向右偏轉(zhuǎn)；(2)求兩電極之間的電壓U0；(3)若將圖中的狹縫變?yōu)閚(n≥3)個(gè)均勻分布的狹縫，從s由靜止出發(fā)的粒子可以經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)動(dòng)后返回s點(diǎn)，求出兩電極之間的最小電壓U與n的函數(shù)關(guān)系?！窘馕觥?1)粒子向右偏轉(zhuǎn)。(2)由題意可以畫(huà)出粒子的軌跡示意圖，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：∠OaO1＝90°，∠aOO1＝60°粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑：r＝Rtan60°＝eq\r(3)R粒子受到的洛倫茲力提供向心力，即qvB＝meq\f(v2,r)得v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(\r(3)qBR,m)粒子在電場(chǎng)做加速運(yùn)動(dòng)：qU0＝eq\f(1,2)mv2得U0＝eq\f(mv2,2q)＝eq\f(3qB2R2,2m)(3)由分析可知：狹縫變?yōu)閚(n≥3)個(gè)均勻分布的狹縫，當(dāng)電壓取最小值時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心連線構(gòu)成的圖線為正n邊形，其內(nèi)切圓恰為外筒圓，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：∠aOO1＝eq\f(2π,n)×eq\f(1,2)＝eq\f(π,n)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)半徑：r＝Rtan∠aOO1＝Rtaneq\f(π,n)由qvB＝meq\f(v2,r)，qU＝eq\f(1,2)mv2可求得：U＝eq\f(qB2R2tan2\f(π,n),2m)【答案】(1)粒子向右偏轉(zhuǎn)(2)eq\f(3qB2R2,2m)(3)eq\f(qB2R2tan2\f(π,n),2m)6.如圖所示的xOy坐標(biāo)系在豎直平面內(nèi)，x軸沿水平方向．在第三、四象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在第四象限有垂直于坐標(biāo)系平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝Eeq\r(\f(5π,6gl)).光滑絕緣桿與x軸成θ＝30°角，分別交x、y軸于M、N兩點(diǎn)，且N點(diǎn)為桿的一個(gè)端點(diǎn)．穿在桿上的帶電小球a從桿上某點(diǎn)P由靜止開(kāi)始下滑，在M、N間做勻速運(yùn)動(dòng)，從N點(diǎn)進(jìn)入第四象限后恰好能從x軸上的Q點(diǎn)垂直通過(guò)x軸，已知OQ＝eq\f(3,2)l，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.(1)求帶電小球a的比荷；(2)求P、M間的距離L；(3)在帶電小球a從N點(diǎn)通過(guò)y軸的同時(shí)，從y軸上坐標(biāo)為(0,0.2m)的J點(diǎn)沿水平方向以初速度v0拋出一小球b，當(dāng)小球b到達(dá)x軸時(shí)恰好與向上運(yùn)動(dòng)的小球a相碰．取π＝3，l＝0.01m，g＝10m/s2，求小球b初速度v0的大?。窘馕觥?1)帶電小球在M、N間做勻速運(yùn)動(dòng)，則小球所受電場(chǎng)力與小球重力平衡，mg＝qE解得eq\f(q,m)＝eq\f(g,E).(2)由于小球所受電場(chǎng)力與小球重力平衡，小球離開(kāi)N點(diǎn)在第四象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有Bqv＝meq\f(v2,R)小球垂直穿過(guò)x軸，由幾何關(guān)系可得R＋Rsinθ＝eq\f(3,2)l聯(lián)立解得R＝l，v＝eq\r(\f(5πg(shù)l,6))從P到M，由機(jī)械能守恒定律得mgLsinθ＝eq\f(1,2)mv2解得L＝eq\f(5π,6)l.(3)小球b從拋出至到達(dá)x軸的時(shí)間為tb＝eq\r(\f(2y0,g))＝0.2s水平位移x＝v0tb小球a在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πR,v)＝0.12s小球a在第一象限運(yùn)動(dòng)一次的時(shí)間t0＝eq\f(2v,g)＝eq\r(\f(10πl(wèi),3g))＝0.1s小球a從離開(kāi)N點(diǎn)到與小球b相碰所經(jīng)歷的時(shí)間ta＝eq\f(T,3)＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋\f(T,2)))(n＝0,1,2…)ta＝tb聯(lián)立解得n＝1小球b的水平位移x＝R＋Rsinθ＋2R＝eq\f(7,2)l＝0.035m解得v0＝0.175m/s.【答案】見(jiàn)解析7.如圖7所示，在半徑分別為r和2r的同心圓(圓心在O點(diǎn))所形成的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在大圓邊界上A點(diǎn)有一粒子源，垂直AO向左發(fā)射一質(zhì)量為m，電荷量為＋q，速度大小為eq\f(qBr,m)的粒子．求：(1)若粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，則該粒子第一次到達(dá)磁場(chǎng)小圓邊界時(shí)，粒子速度相對(duì)于初始方向偏轉(zhuǎn)的角度；(2)若粒子每次到達(dá)磁場(chǎng)大圓邊界時(shí)都未從磁場(chǎng)中射出，那么至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間該粒子能夠回到出發(fā)點(diǎn)A.【解析】(1)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v0，軌跡半徑為R＝eq\f(mv0,qB)＝r如圖甲所示，粒子將沿著AB弧(圓心在O1)運(yùn)動(dòng)，交內(nèi)邊界于B點(diǎn)．甲△OO1B為等邊三角形，則∠BO1O＝60°粒子的軌跡AB弧對(duì)應(yīng)的圓心角為∠BO1A＝120°.則速度偏轉(zhuǎn)角為120°.(2)粒子從B點(diǎn)進(jìn)入中間小圓區(qū)域沿直線BC運(yùn)動(dòng)，又進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)偏轉(zhuǎn)與外邊界相切于D點(diǎn)．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙所示，乙粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝3×eq\f(\f(4,3)π,2π)·T＝2TT＝eq\f(2πm,Bq)每通過(guò)一次無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域，粒子在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)的距離l＝2rcos30°＝eq\r(3)r粒子在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t2＝eq\f(3l,v0)代入v0＝eq\f(qBr,m)，得t2＝eq\f(3\r(3)m,qB)則粒子回到A點(diǎn)所用的總時(shí)間：t＝t1＋t2＝eq\f(4π＋3\r(3)m,Bq).【答案】(1)120°(2)eq\f(4π＋3\r(3)m,Bq)8.(2018·安徽省合肥高三上學(xué)期期末)如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里。P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣L,0)，M1、M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，L)、(0，﹣L)。質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電粒子A1，靠近極板經(jīng)過(guò)加速電壓為U的電場(chǎng)靜止加速后，沿PM1方向運(yùn)動(dòng)．有一質(zhì)量也為m、不帶電的粒子A2靜止在M1點(diǎn)，粒子A1經(jīng)過(guò)M1點(diǎn)時(shí)與A2發(fā)生碰撞，碰后粘在一起成為一個(gè)新粒子A3進(jìn)入磁場(chǎng)(碰撞前后質(zhì)量守恒、電荷量守恒)，通過(guò)磁場(chǎng)后直接到達(dá)M2，在坐標(biāo)為(－eq\f(1,3)L,0)處的C點(diǎn)固定一平行于y軸放置絕緣彈性擋板，C為擋板中點(diǎn)．假設(shè)帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿x方向分速度大小不變、方向相反．不計(jì)所有粒子的重力及粒子間的相互作用力。(1)粒子A1與A2碰后瞬間的速度大小。(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。(3)若粒子A2帶負(fù)電，且電荷量為q′，發(fā)現(xiàn)粒子A3與擋板碰撞兩次，能返回到P點(diǎn)，求粒子A2的電荷量q′。答案：(1)eq\r(\f(Uq,2m))(2)eq\f(1,L)eq\r(\f(Um,q))(3)eq\f(4,5)q[解析](1)粒子A1經(jīng)電壓U加速：Uq＝eq\f(1,2)mv2與靜止的A2發(fā)生碰撞，由動(dòng)量守恒定律：mv＝2mv3聯(lián)立可得：v3＝eq\r(\f(Uq,2m))(2)粒子A3在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何關(guān)系可知粒子A3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r3＝O3M1＝eq\f(L,cos45°)＝eq\r(2)L對(duì)粒子A3，洛侖茲力提供向心力：qv3B＝2meq\f(v\o\al(2,3),r3)從而求得：B＝eq\f(1,L)eq\r(\f(Um,q))(3)若讓A2帶上負(fù)電q′，由于總的電荷量變大，則A3粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減小，設(shè)為r4，由題設(shè)畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，進(jìn)入磁場(chǎng)的方向與PM1平行，每次在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)一次，沿y軸的負(fù)方向下移距離：Δy1＝2r4cos45°＝eq\r(2)r4離開(kāi)磁場(chǎng)的方向與M2P平行．從磁場(chǎng)出來(lái)與C板碰撞再進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子沿y軸正方向上移的距離：Δy2＝2eq\x\to(OC)tan45°＝eq\f(2,3)L由題意經(jīng)過(guò)兩次與C板碰撞后回到P點(diǎn)，則有：3Δy1－2Δy2＝2L聯(lián)立以上兩式可得：r4＝eq\f(5\r(2),9)L而對(duì)粒子A3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：(q＋q′)Bv3＝2meq\f(v\o\al(2,3),r4)聯(lián)立以上可得：q′＝eq\f(4,5)q9.(2018·湖南省鄂南高中等八校聯(lián)考)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中有