《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第1節(jié)　空間幾何體及其表面積、體積

第七章

第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相

且多邊形互相

且側(cè)棱相交于

，但不一定相等延長線交于側(cè)面形狀平行全等平行且相等平行相似一點一點平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，

于底面延長線交于軸截面?zhèn)让嬲归_圖垂直相交于一點一點矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)空間幾何體的直觀圖常用

畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸、y′軸所在平面

.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別

坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度

，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?/p>

.2.直觀圖斜二測45°(或135°)垂直平行于不變一半多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.3.多面體的表(側(cè))面積4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝S圓錐側(cè)＝S圓臺側(cè)＝2πrlπrlπ(r1＋r2)l5.空間幾何體的表面積與體積公式S底h

4πR21.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱. (

) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐. (

)

解析

(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱. (2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.××(3)菱形的直觀圖仍是菱形. (

)(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方. (

)解析(3)用斜二測畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形，但鄰邊不一定相等，(3)錯誤.(4)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.××2.如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是 (

) A.棱臺 B.四棱柱

C.五棱柱 D.六棱柱 解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.C解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.BCC6.(2021·新高考8省聯(lián)考)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________.61π解析

截面圖如圖所示，下底面半徑為5，圓周直徑為10.考點分層突破題型剖析考點聚焦21.給出下列命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線； ②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； ③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是 (

) A.0 B.1 C.2 D.3

解析①不一定，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不 一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面 所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的 幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形， 各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征///////自主演練A2.以下四個命題中，真命題為 (

) A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐

B.底面是矩形的平行六面體是長方體

C.直四棱柱是直平行六面體

D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點 解析

A中等腰三角形的腰不一定是側(cè)棱，A是假命題，B中，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，B是假命題，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，C不正確，根據(jù)棱臺的定義，選項D是真命題.D3.(多選題)(2021·濰坊調(diào)研)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是(

) A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長方體是直平行六面體

D.存在每個面都是直角三角形的四面體 解析

A當(dāng)頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；

B當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；

C正確；

D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐

C1－ABC，四個面都是直角三角形.CD1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.感悟升華解析

如圖(1)和(2)的實際圖形和直觀圖所示.考點二空間幾何體的直觀圖///////多維探究感悟升華解析由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示.由于O′D′＝2，D′C′＝2，∴OD＝4，DC＝2，D解析

如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，感悟升華C解析

如圖所示，過點P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長，交BC于點D.考點三空間幾何體的表面積與側(cè)面積///////師生共研C空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.感悟升華AB考點四空間幾何體的體積///////多維探究C∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS為三棱錐S－ABC的高，解析

由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對角線的一半.所以底面正方形對角線長為2，所以圓柱的高為1.求規(guī)則幾何體的體積，主要是先找準(zhǔn)關(guān)鍵的已知量，求必需的未知量，再利用“直接法”代入體積公式計算.感悟升華【訓(xùn)練4】(1)(2019·江蘇卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E－BCD的體積是_______.

解析

設(shè)長方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，10【訓(xùn)練4】(2)《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，四面體P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，∠ABC為直角，且PA＝AB＝

BC＝2，則P－ABC的體積為________.角度2不規(guī)則幾何體的體積【例5】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1

的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2， 則該多面體的體積為________.

解析

如圖，分別過點A，B作EF的垂線， 垂足分別為G，H，連接DG，CH.

則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC1.求不規(guī)則幾何體的體積：當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.2.本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺體補(bǔ)成錐體，把三棱錐補(bǔ)成四棱錐，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，補(bǔ)一個同樣的幾何體等.感悟升華解析

∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.B考點五多面體與球的切、接問題///////典例遷移A又AP∩AD＝A，AP?平面PAB，AD?平面PAB，所以AC⊥平面PAB.【遷移】本例改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？ 解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.感悟升華【訓(xùn)練6】(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半 徑最大的球的體積為________.

解析

當(dāng)球為圓錐的內(nèi)切球時，球的半徑最大.

如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.

其中球心為O，設(shè)其半徑為r，AC＝3，O1C＝1， 又∵△AMO∽△AO1C，

“空間彎曲性”——“曲率”的應(yīng)用“強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”也是高考卷命題的指導(dǎo)思想，體現(xiàn)了新課標(biāo)的“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的嶄新理念，既有利于培養(yǎng)考生的探究意識和創(chuàng)新精神，又能夠很好地提升考生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，因而成為高考試卷中的一道亮麗的風(fēng)景線.如2021年新高考8省聯(lián)考的第20題，此題以大興國際機(jī)場的建設(shè)成就、大學(xué)微分幾何中的曲率為背景，結(jié)合立體幾何的相關(guān)知識命制試題，旨在考查學(xué)生獲取新知識，探究新問題的能力.(1)求四棱錐的總曲率；解

總曲率＝2π×頂點數(shù)－所有內(nèi)角和，對于四棱錐底面的內(nèi)角和為2π，四個側(cè)面的內(nèi)角和為4π，從而總曲率為10π－2π－4π＝4π.(2)若多面體滿足：頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).證明

對于多面體有頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，總曲率＝頂點數(shù)×2π－各面內(nèi)角之和，從而總曲率＝2π×頂點數(shù)－棱數(shù)×2π＋面數(shù)×2π＝2π(頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù))＝2π×2＝4π.1.題目以大興國際機(jī)場為背景考查數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)建模、直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.試題反映了大融合的理念、新課改的精神，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用意識起到了積極引導(dǎo)作用.素養(yǎng)升華【訓(xùn)練】(2019·全國Ⅲ卷)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印 技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去 四棱錐OEFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，

E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，

AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印 損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為______________g.

又長方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2＝4×6×6＝144(cm3)， 所以該模型的體積V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)， 因此模型所需原材料的質(zhì)量為0.9×132＝118.8(g).118.8課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1.下列說法中，正確的是 (

) A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.若棱柱有兩個側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形

C.正方體的所有棱長都相等

D.棱柱的所有棱長都相等 解析

棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選項A錯誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，選項B錯誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長并不一定相等，選項D錯誤；易知選項C正確.CB解析設(shè)底面圓的半徑為R，圓柱的高為h，依題意2R＝h＝2，∴R＝1.D4.(多選題)(2021·煙臺調(diào)研)在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀可能是 (

) A.圓面 B.矩形面

C.梯形面 D.橢圓面或部分橢圓面 解析將圓柱桶豎放，水面為圓面； 將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面； 將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，但圓柱桶內(nèi)的水平面不可以呈現(xiàn)出梯形面.ABD解析將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴體對角線BC1的長為球O的直徑.C解析

由題意可知，AD⊥平面B1DC1，C解析

∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2，∴PB⊥PC，又PA⊥平面PBC，∴PA⊥PB，PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，以PA，PB，PC為從同一頂點出發(fā)的三條棱補(bǔ)成長方體，C解析

長方體的表面積為2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A錯誤.長方體的體積為3×2×1＝6，B正確.如圖1所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開，如圖2所示.BC二、填空題9.如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點

B的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖

中，頂點B′到x′軸的距離為________.

解析利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖， 在坐標(biāo)系x′O′y′中，|B′C′|＝1，∠x′C′B′＝45°.

過點B′作x′軸的垂線，垂足為點D′.解析

設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，11.(2020·江蘇卷)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個 圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm， 內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____________cm3.又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則由軸截面的面積為8，得rh＝8；13.(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π