七年級數(shù)學(xué)下冊高分突破專題02平行線模型-“鉛筆”模型(原卷版+解析)

專題02平行線模型-“鉛筆”模型專題說明專題說明上節(jié)課利用平行線的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)了平行線模型-“豬蹄”模型（M型），相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線模型-“鉛筆”模型?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ投骸般U筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2020春?上虞區(qū)期末）問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD＝．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一條折線段．依據(jù)此圖信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為．【變式1-1】（2020春?太原期中）問題情境（1）如圖①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，試探究直線AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．小明給出下面正確的解法：直線AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB（如圖②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依據(jù)1），因?yàn)椤螧+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依據(jù)2），因?yàn)镋F∥AB，所以AB∥CD（依據(jù)3）．交流反思上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？“依據(jù)1”：，“依據(jù)2”：，“依據(jù)3”：，類比探究（2）如圖，當(dāng)∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時(shí)，有AB∥CD．拓展延伸（3）如圖，當(dāng)∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時(shí)，有AB∥CD．【變式1-2】（2022春?普蘭店區(qū)期中）直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB和CD之間任一點(diǎn)，射線EF經(jīng)過點(diǎn)B．（1）如圖1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度數(shù)（用含α式子表示）．（3）如圖3，若∠ABE的角平分線與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)Q，試找出∠E和∠Q的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式1-3】（2022春?隨州期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M在射線AB，CD之間．（1）如圖1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聰同學(xué)過點(diǎn)M作MH∥AB，利用平行線的性質(zhì)，求得∠MCD＝度；（2）如圖2，請寫出你發(fā)現(xiàn)的∠BAM，∠AMC，∠MCD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，MN平分∠AMC交AB于點(diǎn)N，CE平分∠MCD交AB于點(diǎn)E，MF∥CE交AB于點(diǎn)F，試猜想∠FMN與∠BAM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°2．（2021春?肇州縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，則∠BEC＝（）A．110° B．120° C．130° D．150°3．（2020?廣元）如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°4．（2022春?交口縣期末）某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如右圖所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點(diǎn)B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該運(yùn)動過程中∠ABC+∠BCD的度數(shù)始終等于（）度A．360 B．180 C．250 D．2705．（2022?恩施州）已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°（2022春?崇川區(qū)校級月考）如圖，直線a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，則∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝度．7．（2021秋?遂川縣期末）如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠2＝36°，則∠1的度數(shù)是．8．（2022春?蓬萊市期末）如圖，直線l1∥l2，∠1＝34°，則∠2與∠3的度數(shù)和為．9．（2022春?平遙縣期中）如圖，直線a∥b，∠1＝30°，則∠2+∠3＝．10．（2022?蘇州模擬）如圖所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4＝．11．（2021春?泰山區(qū)期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度數(shù)是．12．（2022春?江源區(qū)期中）（1）如圖，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度數(shù)嗎？（2）在AB∥DE的條件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．【能力提升】13．（2022春?揭西縣月考）觀察圖形：已知a∥b，在第一個(gè)圖中，可得，則按照以上規(guī)律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝度．14．（2022春?青秀區(qū)校級期中）已知AB∥CD，點(diǎn)E在BD連線的右側(cè)，∠ABE與∠CDE的角平分線相交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，則∠BFD＝140°；③如圖（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，則6∠BMD+∠E＝360°；④如圖（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，則∠M＝（）°．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④15．（2022春?佛山月考）問題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．（提示：如圖2，過P作PE∥AB）問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）16．（2022春?甘井子區(qū)期末）已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，若射線GH恰好是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是（直接寫答案）．15．（2022春?寧陽縣期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．專題02平行線模型-“鉛筆”模型專題說明專題說明上節(jié)課利用平行線的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)了平行線模型-“豬蹄”模型（M型），相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線模型-“鉛筆”模型?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ投骸般U筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2020春?上虞區(qū)期末）問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD＝．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一條折線段．依據(jù)此圖信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為．【解答】解：如圖2，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠APC＝108°，∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；故答案為：252°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖3﹣1，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖3﹣2，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．問題拓展：分別過A2，A3…，An﹣1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn﹣1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．【變式1-1】（2020春?太原期中）問題情境（1）如圖①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，試探究直線AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．小明給出下面正確的解法：直線AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB（如圖②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依據(jù)1），因?yàn)椤螧+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依據(jù)2），因?yàn)镋F∥AB，所以AB∥CD（依據(jù)3）．交流反思上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？“依據(jù)1”：，“依據(jù)2”：，“依據(jù)3”：，類比探究（2）如圖，當(dāng)∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時(shí)，有AB∥CD．拓展延伸（3）如圖，當(dāng)∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時(shí)，有AB∥CD．【解答】解：（1）“依據(jù)1”：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，“依據(jù)2”：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，“依據(jù)3”：平行于同一條直線的兩直線平行，故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一條直線的兩直線平行，（2）如圖，當(dāng)∠B、∠BEF、∠EFD、∠D滿足條件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°時(shí)，有AB∥CD．理由：過點(diǎn)E、F分別作GE∥HF∥CD．則∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案為：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；（3）如圖，當(dāng)∠B、∠BEF、∠EFD、∠D滿足條件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD時(shí)，有AB∥CD．理由：過點(diǎn)E、F分別作GE∥FH∥CD．則∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD，故答案為：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．【變式1-2】（2022春?普蘭店區(qū)期中）直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB和CD之間任一點(diǎn)，射線EF經(jīng)過點(diǎn)B．（1）如圖1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度數(shù)（用含α式子表示）．（3）如圖3，若∠ABE的角平分線與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)Q，試找出∠E和∠Q的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，∴∠ABF＝∠BEH＝80°，∵AB∥CD，∠CAB＝130°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠EDG＝50°，∵EH∥CD，∴∠EDG＝∠HED＝50°，∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，∴∠DEB的度數(shù)為130°；（2）過點(diǎn)E作EP∥AB，∴∠ABE+∠BEP＝180°，∵AB∥CD，∴∠CDE+∠DEP＝180°，∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，∵∠CDE＝2∠ACD，∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∵∠BED＝140°，∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，∴∠ABE的度數(shù)為2α﹣140°；（3）∠BED+2∠BQD＝360°，理由：延長BQ交直線CD于點(diǎn)K，設(shè)∠ABQ＝x，∠CDQ＝y(tǒng)，∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，∵AB∥CD，∴∠BKD＝∠ABQ＝x，∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，∴∠BED+2∠BQD＝360°．【變式1-3】（2022春?隨州期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M在射線AB，CD之間．（1）如圖1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聰同學(xué)過點(diǎn)M作MH∥AB，利用平行線的性質(zhì)，求得∠MCD＝度；（2）如圖2，請寫出你發(fā)現(xiàn)的∠BAM，∠AMC，∠MCD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，MN平分∠AMC交AB于點(diǎn)N，CE平分∠MCD交AB于點(diǎn)E，MF∥CE交AB于點(diǎn)F，試猜想∠FMN與∠BAM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）∵M(jìn)H∥AB，∴∠A+∠AMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠C+∠CMH＝180°，∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，故答案為：120；（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，證明：過點(diǎn)M作MH∥AB，MH∥AB，∴∠A+∠AMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠C+∠CMH＝180°，∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；（3）∠FMN＝∠BAM，理由：∵M(jìn)N平分∠AMC，CE平分∠MCD，∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，∵M(jìn)F∥CE，∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，由（2）得：∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）＝180°﹣（360°﹣∠A）＝180°﹣180°+∠A，＝∠A，∴∠FMN＝∠BAM．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．2．（2021春?肇州縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，則∠BEC＝（）A．110° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：∵過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∠B＝120°，∴∠1＝60°，∠2＝70°，∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．故選：C．3．（2020?廣元）如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°【答案】B【解答】解：過點(diǎn)P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故選：B．4．（2022春?交口縣期末）某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如右圖所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點(diǎn)B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該運(yùn)動過程中∠ABC+∠BCD的度數(shù)始終等于（）度A．360 B．180 C．250 D．270【答案】D【解答】解：過點(diǎn)B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故選：D．5．（2022?恩施州）已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D【解答】解：過含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)B作BF∥l1，交AC于點(diǎn)F，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．∵∠1＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝60°．∵BF∥l1，∴∠ABF＝∠ADE＝60°，∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠BGH+∠FBG＝180°，∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，∴∠2＝∠BGH＝150°．故選：D．6．（2022春?崇川區(qū)校級月考）如圖，直線a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，則∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝度．【答案】78,360【解答】解：如圖所示：過∠3的頂點(diǎn)作c∥a，∵a∥b，∴a∥b∥c，∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，又∠3＝∠6+∠7，∴∠3＝∠1+∠2＝78°；又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180°∴∠3+∠4+∠5＝360°．7．（2021秋?遂川縣期末）如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠2＝36°，則∠1的度數(shù)是．【答案】54°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠D＝∠2＝36°，∵FE⊥DB，∴∠FED＝90°，∴∠1＝180°﹣∠FED﹣∠D＝54°，故答案為：54°．8．（2022春?蓬萊市期末）如圖，直線l1∥l2，∠1＝34°，則∠2與∠3的度數(shù)和為．【答案】214°【解答】解：如圖：過點(diǎn)B作BD∥l1，∴∠4+∠ABD＝180°，∵l1∥l2，∴BD∥l2，∴∠3+∠CBD＝180°，∴∠4+∠ABD+∠CBD+∠3＝360°，∴∠4+∠2+∠3＝360°，∵∠1＝34°，∴∠4＝180°﹣∠1＝146°，∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝214°，故答案為：214°．9．（2022春?平遙縣期中）如圖，直線a∥b，∠1＝30°，則∠2+∠3＝．【答案】210°【解答】解：如圖，∵∠1+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣∠1＝150°，∵∠2+∠3+∠4＝360°，∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝360°﹣150°＝210°．故答案為：210°．10．（2022?蘇州模擬）如圖所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4＝．【答案】540°【解答】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．故答案為：540°．11．（2021春?泰山區(qū)期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度數(shù)是．【答案】155°【解答】解：過點(diǎn)B作BE∥AD，∵AD∥CF∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，∴∠2的度數(shù)為155°．故答案為：155°．12．（2022春?江源區(qū)期中）（1）如圖，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度數(shù)嗎？（2）在AB∥DE的條件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．【解答】解：（1）如圖，作CF∥AB，則CF∥DE，∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，∵∠B＝135°，∠D＝145°，∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°，∴∠BCD＝80°；（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，如上圖，∵CF∥AB，則CF∥DE，∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°．【能力提升】13．（2022春?揭西縣月考）觀察圖形：已知a∥b，在第一個(gè)圖中，可得，則按照以上規(guī)律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝度．【答案】∠1+∠2＝180°，180（n+1）．【解答】解：如圖1：∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°，如圖2：過點(diǎn)P1作PC∥a，∴∠1+∠3＝180°，∵a∥b，∴PC∥b，∴∠4+∠2＝180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2＝2×180°＝360°，∴∠1+∠AP1B+∠B＝360°＝2×180；如圖3：過點(diǎn)P1作P1C∥a，過點(diǎn)P2作P2D∥b，∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠DP2B＝180°，∵a∥b，∴P1C∥P2D，∴∠4+∠5＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠DP2B＝540°，∴∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2＝540°＝3×180°；..．則按照以上規(guī)律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝180°（n+1），故答案為：180（n+1）．14．（2022春?青秀區(qū)校級期中）已知AB∥CD，點(diǎn)E在BD連線的右側(cè)，∠ABE與∠CDE的角平分線相交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，則∠BFD＝140°；③如圖（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，則6∠BMD+∠E＝360°；④如圖（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，則∠M＝（）°．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正確，∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正確，與上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，∴6∠BMD+∠E＝360°，③正確，由題意，④不一定正確，∴①②③正確，故選：C．15．（2022春?佛山月考）問題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．（提示：如圖2，過P作PE∥AB）問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①當(dāng)P在OA延長線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，①當(dāng)P在OA延長線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．16．