滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊特訓(xùn)04期中解答題匯編(原卷版+解析)

特訓(xùn)04期中解答題匯編基礎(chǔ)特訓(xùn)基礎(chǔ)特訓(xùn)練特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練一、解答題1．（2020·上海市市北初級中學(xué)七年級期中）設(shè)甲數(shù)為m，乙數(shù)為n，（1）用代數(shù)式表示：甲數(shù)的5倍加上甲、乙兩數(shù)和的平方；（2）當m＝2，n＝3時，求（1）代數(shù)式的值．2．（2022·上海·七年級專題練習）已知多項式（1）把這個多項式按x的降幕重新排列；（2）請指出該多項式的次數(shù)，并寫出它的二次項和常數(shù)項．3．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W(xué)七年級期末）邊長分別為a和2a的兩個正方形按如圖的樣式擺放，求圖中陰影部分的面積．4．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖所示，已知正方形的邊長為2a．（1）用含有a的代數(shù)式表示陰影部分的面積；（2）當時，求陰影部分的面積．（保留）5．（2022·上海·七年級專題練習）若一個多項式與的和是，求這個多項式．6．（2021·上海·七年級期中）一位同學(xué)做一道題：“已知兩個多項式A、B，計算2A+B”．他誤將“2A+B”看成“A+2B”求得的結(jié)果為9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x﹣2，求正確答案．7．（2021·上海中學(xué)東校期末）已知：，，計算，并將結(jié)果按x的降冪排列．8．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級階段練習）已知：=，=求：(1)(2)若，求．9．（2022·上海·七年級專題練習）先化簡，再求值：，其中，．10．（2021·上海市傅雷中學(xué)七年級期中）已知，代數(shù)式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值與字母x的取值無關(guān)，求a、b的值．11．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）若多項式的值與字母x無關(guān)，試求多項式的值．12．（2022·上?！て吣昙夒A段練習）先化簡再求值：，其中x＝﹣1，y＝213．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）計算：(1)；(2)．14．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的長方形空地，計劃在這塊空地上劃分出部分區(qū)域種花，小明同學(xué)設(shè)計方案如圖，設(shè)花帶的寬度為x米．(1)請用含x的式子表示空白部分長方形的面積；（要化簡）(2)當花帶寬2米時，空白部分長方形面積能超過400m2嗎？請說明理由．15．（2022·上海·七年級專題練習）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘錯抄成除以，結(jié)果得到，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？16．（2022·上海·七年級專題練習）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，試求x與y的值．17．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）因式分解：(1)．(2)．(3)(4)．18．（2019·上海同濟大學(xué)實驗學(xué)校八年級階段練習）分解因式：（1）；（2）；（3）．19．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：20．（2022·上海·七年級專題練習）因式分解：21．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：22．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習）已知，，求代數(shù)式的值．23．（2021·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知，(1)求的值；(2)求的值．24．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習）當時，多項式的值為0，求的值，并將該多項式進行因式分解．25．（2022·上海·七年級專題練習）先化簡，再求值：(1)，其中x=3；(2)，其中x=1，y=-2．26．（2022·上海·七年級單元測試）要求：利用乘法公式計算(1)(2)27．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：(1)a2+b2的值；(2)ab的值．28．（2018·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學(xué)七年級階段練習）計算：（1）；（2）29．（2021·上海同濟大學(xué)實驗學(xué)校期末）求值：(1)已知，求的值．(2)已知，則的值？30．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）動手操作：如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形，然后按照圖②所示拼成一個正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：_________；__________；（2）請寫出三個代數(shù)式、、之間的一個等量關(guān)系：_______；問題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問題：已知，求的值．31．（2021·上海市民辦揚波中學(xué)期末）若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，∴．（1）若滿足，求的值；（2）若滿足，求的值；（3）如圖，正方形的邊長為，，．長方形的面積是500，四邊形和都是正方形，是長方形，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）32．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知正方形的邊長為a，正方形的邊長為，點G在邊上，點E在邊的延長線上，交邊于點H．連接、．（1）用a，b表示的面積，并化簡；（2）如果點M是線段的中點，聯(lián)結(jié)、、，①用a，b表示的面積，并化簡；②比較的面積和的面積的大?。?3．（2021·上海·七年級期中）甲商店9月份的銷售額是m萬元，由于十一黃金周的假日效應(yīng)，預(yù)計10月份的銷售額增加的百分數(shù)是x，各種原因?qū)е?1月份銷售額與10月份相比減少的百分數(shù)是x．(1)10月份的銷售額是多少萬元?(2)11月份的銷售額比9月份的銷售額減少了多少萬元?34．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數(shù)．(1)例如，當n＝2時，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝，a6＝；(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）(3)假設(shè)堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設(shè)每個儀器箱重54牛頓，每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？35．（2018·上海市西南模范中學(xué)七年級階段練習）觀察下列各式：，…根據(jù)上述規(guī)律，計算：122223……262263的值及這個值的個位數(shù)字36．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）工廠接到訂單，需要邊長為（a＋3）和3的兩種正方形卡紙．(1)倉庫只有邊長為（a＋3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a＋3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一組相鄰的邊長分別為多少？（用含a代數(shù)式來表示）；(2)若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，測得盒子底部長方形長比寬多4，則的值為．（直接寫出答案）培優(yōu)特訓(xùn)培優(yōu)特訓(xùn)練特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．（2021·福建寧德·七年級期中）某原裝廠生產(chǎn)一種夾克和T恤，夾克每件定價200元，T恤每件定價40元，廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：①買一件夾克送一件T恤；②夾克和T恤都按定價的8折付款.現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買夾克20件，T恤x件(1)若該客戶按方案①購買，需付款___________元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買，需付款___________元（用含x的式子表示）；(2)若，通過計算說明按哪種方案購買較為合算？2．（2022·浙江·浦江縣實驗中學(xué)七年級階段練習）閱讀材料，根據(jù)材料回答：例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]===﹣216．例如2：=8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）==1．(1)仿照上面材料的計算方法計算：．(2)由上面的計算可總結(jié)出一個規(guī)律：=___________（用字母表示）；(3)用（2）的規(guī)律計算：．3．（2023·廣東·豐順縣龍山中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知有理數(shù)，，滿足，試求的值．4．（2020·河南·南陽市實驗學(xué)校八年級階段練習）若的積中不含項與項．(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．5．（2022·河北石家莊·七年級期中）閱讀：已知正整數(shù)，，，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和，當時，則有；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當時，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程](1)比較大?。篲_____，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大??；(3)比較與的大?。?．（2021·江蘇·無錫市華莊中學(xué)七年級期中）將7張相同的小長方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為，已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且a>b．(1)當a=9，b=2，AD=30時，請求：①長方形ABCD的面積；②的值；(2)當AD=30時，請用含a，b的式子表示的值．(3)若AB長度不變，AD變長，將這7張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，而的值總保持不變，則a，b滿足的關(guān)系是___________．7．（2022·浙江·樂清市英華學(xué)校七年級期中）觀察下列各式：；；；……根據(jù)這一規(guī)律計算：(1)___，____；(2)；(3)．8．（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級期中）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可得到、、xy三者之間的等量關(guān)系式：__________；如圖2所示的大正方體是若干個小正方體和長方體拼成的，用兩種不同的方法計算大正方體的體積，我們也可以得到一個等式：__________．利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；（2）已知，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．9．（2022·廣東·普寧市普師高級中學(xué)七年級期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手，先分別計算下列各式的值．①②③…(1)由此我們可以得到：．(2)請你利用上面的結(jié)論，再完成下面兩題的計算：①②若求x2020的值．10．（2022·安徽·定遠縣第六中學(xué)七年級階段練習）（1）①如圖1，已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，長方形和為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長方形和剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形的面積是______（寫成多項式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計算：11．（2022·河北·石家莊外國語教育集團七年級期中）如圖，認真觀察下面這些算式，并結(jié)合你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下列問題：①，②，③，④．(1)請寫出：算式⑤______；算式⑥______；(2)上述算式的規(guī)律可以用文字概括為：“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”，如果設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n-1和2n+1（n為整數(shù)），請說明這個規(guī)律是成立的；(3)你認為“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”這個說法是否也成立呢？請說明理由．12．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）正方形中，點是邊上一點（不與點，重合），以為邊在正方形外作正方形，且，，三點在同一條直線上，設(shè)正方形和正方形的邊長分別為和（）．(1)求圖1中陰影部分的面積（用含，的代數(shù)式表示）；(2)當，時，求圖1中陰影部分的面積的值；(3)當，時，請直接寫出圖2中陰影部分的面積的值．13．（2022·江蘇·鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)七年級期中）閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則，．(2)已知，求的值．(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．14．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)七年級期中）數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關(guān)系”，這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．計算如圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是；如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到．(1)如圖2，正方形ABCD是由四個邊長為a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______(用a，b表示)．(2)應(yīng)用探索結(jié)果解決問題：已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=7，xy=6，求x-y的值．(3)如圖3，四個三角形都是全等三角形，用不同的代數(shù)式表示正方形的面積，由此得到的等式為______(用a，b，c表示)．(4)請你用圖1提供的若干塊長方形和正方形硬紙片圖形，用拼長方形的方法，把下列二次三項式進行因式分解：．要求：在圖4的框中畫出圖形，寫出分解的因式．15．（2021·浙江·浦江縣月泉中學(xué)七年級期中）教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數(shù)式的最小值，．當時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當x為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．16．（2021·浙江·七年級期中）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：_________________；（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式（利用陰影部分）：________________；（3）已知實數(shù)滿足．求：①的值；②的值．特訓(xùn)04期中解答題匯編基礎(chǔ)特訓(xùn)基礎(chǔ)特訓(xùn)練特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練一、解答題1．（2020·上海市市北初級中學(xué)七年級期中）設(shè)甲數(shù)為m，乙數(shù)為n，（1）用代數(shù)式表示：甲數(shù)的5倍加上甲、乙兩數(shù)和的平方；（2）當m＝2，n＝3時，求（1）代數(shù)式的值．【答案】（1）5m+（m+n）2；（2）35【分析】（1）根據(jù)題意得出代數(shù)式解答即可；（2）把m＝2，n＝3代入代數(shù)式解答即可．【解析】解：（1）甲數(shù)的5倍加上甲、乙兩數(shù)和的平方，用代數(shù)式表示為：5m+（m+n）2；（2）把m＝2，n＝3代入5m+（m+n）2中，原式＝5×2+（2+3）2＝35．【點睛】本題考查列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，掌握列代數(shù)式的規(guī)則與技巧，和代數(shù)式求值計算法則是解題關(guān)鍵．2．（2022·上海·七年級專題練習）已知多項式（1）把這個多項式按x的降幕重新排列；（2）請指出該多項式的次數(shù)，并寫出它的二次項和常數(shù)項．【答案】（1）；（2）5，xy，【分析】（1）按的降冪排列：即按照的指數(shù)由高到低進行排列即可得到答案；（2）由多項式中的最高次項的次數(shù)是多項式的次數(shù)，結(jié)合二次項及常數(shù)項的概念可得答案．【解析】解：（1）按x的降冪排列是：（2）由最高次項為：，所以多項式的次數(shù)是5，它的二次項是xy，常數(shù)項是.【點睛】本題考查的是多項式的降冪排列，多項式的二次項，常數(shù)項，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海·新中初級中學(xué)七年級期末）邊長分別為a和2a的兩個正方形按如圖的樣式擺放，求圖中陰影部分的面積．【答案】2a2．【分析】直接利用兩個正方形面積和減去空白三角形面積，進而可得出答案．【解析】解：由題意可得，陰影部分面積：＝＝．【點睛】此題主要考查了列代數(shù)式，正確表示出各部分面積是解題關(guān)鍵．4．（2022·上海·七年級專題練習）如圖所示，已知正方形的邊長為2a．（1）用含有a的代數(shù)式表示陰影部分的面積；（2）當時，求陰影部分的面積．（保留）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意得，半圓的半徑為a，三角形的底邊為2a，高為a，則陰影部分的面積=正方形的面積-半圓的面積-三角形的面積，即可得；（2）當a=2時，代入（1）中含有a的代數(shù)式的陰影部分的面積中即可得．【解析】解：（1）根據(jù)題意得，半圓的半徑為a，三角形的底邊為2a，高為a，則陰影部分的面積為：；（2）當a=2時，陰影部分的面積為：．【點睛】本題考查了代數(shù)式，不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的面積，半圓的面積，三角形的面積．5．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）若一個多項式與的和是，求這個多項式．【答案】x2﹣3xy+1【分析】用和減去已知的多項式進行求解即可．【解析】解：根據(jù)題意，這個多項式為：＝＝x2﹣3xy+1．【點睛】本題考查整式加法的應(yīng)用，已知兩個多項式的和和其中一個多項式求另一個多項式，用它們的和減去已知的多項式即可求解．6．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮晃煌瑢W(xué)做一道題：“已知兩個多項式A、B，計算2A+B”．他誤將“2A+B”看成“A+2B”求得的結(jié)果為9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x﹣2，求正確答案．【答案】【分析】由去括號，合并同類項，先求解再求解即可．【解析】解：由題意得：，B＝x2＋2x﹣3，【點睛】本題考查的是整式的加減運算，掌握去括號，合并同類項的法則，是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海中學(xué)東校期末）已知：，，計算，并將結(jié)果按x的降冪排列．【答案】【分析】列出式子，去括號合并同類項，按x的指數(shù)從大到小排列即可．【解析】解：∵，，∴．【點睛】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號法則、合并同類項法則．8．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級階段練習）已知：=，=求：(1)(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）將A與B整體代入，根據(jù)整式的加減運算法則計算即可；（2）將A與B整體代入，然后再仿照解方程的方法，將A、B看作常數(shù)進行計算即可．（1）解：；（2）解：因為，所以.【點睛】本題考查了整式的加減運算，熟練掌握整式的加減運算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（2022·上海·七年級專題練習）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，1【分析】先去括號，再合并同類項，注意括號前面負號的作用．【解析】當，時，原式【點睛】本題考查整式的化簡求值，其中涉及去括號，合并同類項等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2021·上海市傅雷中學(xué)七年級期中）已知，代數(shù)式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值與字母x的取值無關(guān)，求a、b的值．【答案】【分析】先合并同類項，再根據(jù)題意列式計算即可；【解析】原式=，∵代數(shù)式的值與字母x的取值無關(guān)，∴，解得，所以；【點睛】本題主要考查了整式加減運算中無關(guān)型問題，準確計算是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）若多項式的值與字母x無關(guān)，試求多項式的值．【答案】【分析】先根據(jù)題意，化簡多項式，令的系數(shù)為0，求得的值，代入所求多項式化簡后的結(jié)果進行計算即可求解．【解析】解：＝，∵多項式的值與字母x無關(guān)，∴2+b＝0，2﹣a＝0，解得：b＝﹣2，a＝2，＝＝．當b＝﹣2，a＝2時，原式＝．【點睛】本題考查了整式加減中無關(guān)類型，化簡求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上海·七年級階段練習）先化簡再求值：，其中x＝﹣1，y＝2【答案】，304【分析】直接利用整式的混合運算法則，運用單項式乘以多項式化簡后，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案即可．【解析】解：，當x＝﹣1，y＝2時，原式＝＝＝．【點睛】本題考查整式的混合運算，涉及到單項式乘以多項式運算法則、同底數(shù)冪的乘法運算等知識，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．13．（2022·上海·七年級專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算單項式的乘方，再計算乘法，最后合并同類項即可得；（2）先計算單項式的乘方，再計算乘法，最后合并同類項即可得．（1）解：原式=（2）原式=【點睛】本題主要考查單項式乘多項式以及單項式的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘方和單項式乘多項式的運算法則．14．（2022·上海·七年級專題練習）某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的長方形空地，計劃在這塊空地上劃分出部分區(qū)域種花，小明同學(xué)設(shè)計方案如圖，設(shè)花帶的寬度為x米．(1)請用含x的式子表示空白部分長方形的面積；（要化簡）(2)當花帶寬2米時，空白部分長方形面積能超過400m2嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)超過，理由見解析【分析】（1）空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分長方形的面積；（2）通過有理數(shù)的混合運算得結(jié)果與400進行比較．（1）空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分長方形的面積：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600)m2．（2）超過．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分長方形面積能超過400m2．【點睛】本題考查有代數(shù)式表示實際問題，掌握用代數(shù)式表示長方形的邊長，讀懂題意列出代數(shù)式是解決此題關(guān)鍵．15．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘錯抄成除以，結(jié)果得到，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？【答案】3x3-12x2y+12xy2【分析】根據(jù)被除式=商×除式，所求多項式是3x（x-2y），根據(jù)多項式乘多項式的法則計算即可．【解析】解：第一個多項式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，正確的結(jié)果應(yīng)該是：（3x2-6xy）（x-2y）=3x3-6x2y-6x2y+12xy2=3x3-12x2y+12xy2．【點睛】題考查了多項式乘多項式法則，根據(jù)被除式、除式、商三者之間的關(guān)系列出等式是解題的關(guān)鍵，熟練掌握運算法則也很重要．16．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，試求x與y的值．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方的意義得到二元一次方程組，再進行計算即可．【解析】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，∴∴整理得，①+②得，把代入①得，∴∴方程組的解為【點睛】本題主要考查了冪的乘方和解二元一次方程組，熟練掌握解題步驟是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·上海·七年級單元測試）因式分解：(1)．(2)．(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用完全平方公式進行分解；（2）利用平方差公式分解因式；（3）前3項分成一組利用完全平方公式分解，然后再與第四項利用平方差公式分解因式；（4）把1+x看作一個整體，利用提公因式法分解因式即可．（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．18．（2019·上海同濟大學(xué)實驗學(xué)校八年級階段練習）分解因式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先提取公因式y(tǒng)，再用平方差公式分解；（2）整理后用完全平方公式分解；（3）用十字相乘法分解；【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．19．（2022·上海·七年級專題練習）因式分解：【答案】．【分析】前三項利用十字相乘法分解，再設(shè)多項式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，展開后利用等式的性質(zhì)求得a=-5z，b=2z，即可分解．【解析】解：，設(shè)多項式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，則(x-y+a)(x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴．【點睛】本題考查了因式分解－十字相乘法，多項式乘多項式，等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．20．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：【答案】【分析】運用平方差公式分解后再提取公因式．【解析】解：原式．【點睛】本題考查提公因式法與公式法的綜合運用，，熟記分解方法是解題的關(guān)鍵，注意分解因式要分解到每個因式都不能再分解為止．21．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：【答案】【分析】三項式想到完全平方公式，觀察各項發(fā)現(xiàn)，首末兩項為完全平方式，而中間項恰好是兩數(shù)積的二倍，變成兩數(shù)差的完全平方，括號內(nèi)兩項符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用積的乘方的逆運用即可．【解析】，=，=，=．【點睛】本題考查因式分解的內(nèi)容，掌握因式分解的方法，能靈活運用因式分解的方法進行因式分解，掌握因式分解的順序，會根據(jù)多項式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄒ蚴椒纸猓?2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】150【分析】根據(jù)題意得出，將化簡為，然后求出xy，即可得出答案．【解析】解：∵，，∴=25，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式的變形，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．23．（2021·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)3(2)-4【分析】（1）利用完全平方公式變形計算；（2）利用立方差公式變形計算．(1)解：∵，∴==1+2=3；(2)∵，∴===-4．【點睛】此題考查了整式的計算，立方差公式及完全平方公式，正確掌握立方差公式及完全平方公式的計算法則是解題的關(guān)鍵．24．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習）當時，多項式的值為0，求的值，并將該多項式進行因式分解．【答案】，．【分析】先將x的值代入，解關(guān)于k的一元一次方程求出k的值，再綜合利用分組分解法、提公因式法、公式法進行因式分解即可得．【解析】當時，多項式的值為0，即，解得；則原多項式為，因式分解得：原式，，，．【點睛】本題考查了綜合利用分組分解法、提公因式法、公式法進行因式分解，解一元一次方程，熟練掌握因式分解的各方法是解題關(guān)鍵．25．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）先化簡，再求值：(1)，其中x=3；(2)，其中x=1，y=-2．【答案】(1)，9；(2)x-2y，5．【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方和單項式乘多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可；（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項，算除法，最后代入求出答案即可．（1）解：=，當x=3時，原式==9；（2）解：=x-2y，當x=1，y=-2時，原式=1-2×（-2）=1+4=5．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．26．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）要求：利用乘法公式計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）原式變形后，利用完全平方公式計算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式計算即可求出值．（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222=20222-1-20222=-1．（2）解：原式=（2x-y）2-9=4x2-4xy+y2-9．【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．27．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：(1)a2+b2的值；(2)ab的值．【答案】(1)15(2)1【分析】（1）將兩等式根據(jù)完全平方公式展開，等號兩邊分別相加消去ab項，即可求出a2+b2的值；（2）將（1）中展開的等式兩邊分別相減，消去a2+b2，即可求出ab的值．（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，∴①+②得：2（a2+b2）＝30，解得：a2+b2＝15；（2）（1）問中①﹣②得：4ab＝17-13，解得ab＝1．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練運用完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．28．（2018·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學(xué)七年級階段練習）計算：（1）；（2）【答案】（1）2018；（2）.【分析】（1）將2018提出來，然后括號內(nèi)用平方差公式變形，即可得出答案；（2）根據(jù)冪的乘方的逆用以及同底數(shù)冪的乘法的逆用對原式進行化簡求解即可.【解析】解：（1）原式；（2）原式.【點睛】本題考查了冪的相關(guān)運算以及平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握運算法則和乘法公式是解題關(guān)鍵.29．（2021·上海同濟大學(xué)實驗學(xué)校期末）求值：(1)已知，求的值．(2)已知，則的值？【答案】(1)－1(2)125【分析】（1）原式可化為，從而可表示為兩個非負數(shù)的和為零，因此可分別求得a與b的值，從而可求得結(jié)果的值；（2）由已知得，再代入所求整式中化簡即可求得結(jié)果．(1)∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴．(2)∵，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式、整式的乘法，熟練掌握乘法公式并能正確進行整式的乘法運算是關(guān)鍵．30．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）動手操作：如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形，然后按照圖②所示拼成一個正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：_________；__________；（2）請寫出三個代數(shù)式、、之間的一個等量關(guān)系：_______；問題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問題：已知，求的值．【答案】（1）（a+b）2-4ab，（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；問題解決：【分析】（1）第一種方法為：大正方形面積-4個小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分正方形的面積；（2）可得等量關(guān)系為：（a+b）2-4ab=（a-b）2；問題解決：利用（a+b）2-4ab=（a-b）2可求解．【解析】解：（1）（a+b）2-4ab或（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2問題解決：（x-y）2=（x+y）2-4xy∵x+y=7，xy=6．∴（x-y）2=49-24=25．∴x-y=．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題．31．（2021·上海市民辦揚波中學(xué)期末）若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，∴．（1）若滿足，求的值；（2）若滿足，求的值；（3）如圖，正方形的邊長為，，．長方形的面積是500，四邊形和都是正方形，是長方形，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）【答案】（1）120；（2）2014；（3）2100【分析】（1）根據(jù)舉例進行解答即可；（2）設(shè)（2015-x）=c，（2013-x）=d，則（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，所以2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，可得cd=2014，即可解答；（3）根據(jù)正方形ABCD的邊長為x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，設(shè)（x-10）=a，（x-20）=b，從而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根據(jù)舉例求出a2+b2，即可求出陰影部分的面積．【解析】解：（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，則（30-x）（x-20）=mn=-10，m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2=m2+n2=（m+n）2-2mn=（-10）2-2×（-10）=120；（2）設(shè)（2015-x）=c，（2013-x）=d，則（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，∴cd=2014，∴（2015-x）（2013-x）=cd=2014．（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=10，CG=20，∴DE=（x-10），DG=x-20，∴（x-10）（x-20）=500，設(shè)（x-10）=a，（x-20）=b，∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，∴陰影部分的面積為：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．【點睛】本題考查了完全平分公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平分公式，進行轉(zhuǎn)化運用．32．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知正方形的邊長為a，正方形的邊長為，點G在邊上，點E在邊的延長線上，交邊于點H．連接、．（1）用a，b表示的面積，并化簡；（2）如果點M是線段的中點，聯(lián)結(jié)、、，①用a，b表示的面積，并化簡；②比較的面積和的面積的大?。敬鸢浮浚?）；（2）①，②．【分析】（1）延長DC和EF交于點N，根據(jù)圖可知，求出和即可．（2）①同理延長DC和EF交于點N，根據(jù)圖可知，求出、和即可．②用即可得到完全平方式，即可知，從而判斷的面積大于的面積．【解析】（1）延長DC和EF交于點N，如圖，∴，∵，．∴．（2）①如圖，同樣延長DC和EF交于點N．∴．根據(jù)題意可知NF=a-b．∵M為AE中點，AE=a+b，∴，∴，即，整理得：．②，即，∵，∴，即．故的面積大于的面積．．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，整式的混合運算以及完全平方式的運用．作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．33．（2021·上?！て吣昙壠谥校┘咨痰?月份的銷售額是m萬元，由于十一黃金周的假日效應(yīng)，預(yù)計10月份的銷售額增加的百分數(shù)是x，各種原因?qū)е?1月份銷售額與10月份相比減少的百分數(shù)是x．(1)10月份的銷售額是多少萬元?(2)11月份的銷售額比9月份的銷售額減少了多少萬元?【答案】（1）萬元；（2）減少了萬元．【分析】（1）根據(jù)“10月份的銷售額9月份的銷售額（1增加的百分數(shù)）”即可得；（2）先根據(jù)“11月份的銷售額10月份的銷售額（1減少的百分數(shù)）”求出11月份的銷售額，再利用9月份的銷售額減去11月份的銷售額即可得．【解析】（1）由題意得：10月份的銷售額為萬元；（2）11月份的銷售額為萬元，則，，，（萬元），答：11月份的銷售額比9月份的銷售額減少了萬元．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、整式的乘法與加減法的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．34．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數(shù)．(1)例如，當n＝2時，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝，a6＝；(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）(3)假設(shè)堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設(shè)每個儀器箱重54牛頓，每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？【答案】(1)112，91；(2)（31－2n）個(3)①46.75N；②5層，理由見解析【分析】（1）把n＝5，n＝6分別代入n2?32n＋247中進行計算；（2）分別表示出n＋1和n時的代數(shù)式，然后進行減法計算；（3）①根據(jù)公式分別求得第二層和第一層的個數(shù)，再根據(jù)第二層的總重量除以第一層的個數(shù)進行計算；②根據(jù)①中的方法進行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)．（1）解：當n＝5時，a5＝52?32×5＋247＝112，當n＝6時，a6＝62?32×6＋247＝91；（2）解：由題意可得，答：第n層比第（n＋1）層多堆放（31－2n）個儀器箱．（3）解：①由題意得，＝＝46.75（牛）答：第1層中每個儀器箱承受的平均壓力是46.75牛．②該儀器箱最多可以堆放5層，理由如下．當n＝1時，a1＝216，當n＝2時，a2＝187，當n＝3時，a3＝160，當n＝4時，a4＝135，當n＝5時，a5＝112，當n＝6時，a6＝91，當n＝5時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：＝148.5＜160（牛）當n＝6時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：＝171.25＞160（牛）所以，該儀器箱最多可以堆放5層．【點睛】本題考查了圖形變化規(guī)律探究問題，要能夠根據(jù)所給的公式進行分析計算，同時體現(xiàn)了“估算”思想，體現(xiàn)了“優(yōu)選”思想，對這類問題能從“中點”處、“黃金分割點”處思考是解答此題的重要思想．35．（2018·上海市西南模范中學(xué)七年級階段練習）觀察下列各式：，…根據(jù)上述規(guī)律，計算：122223……262263的值及這個值的個位數(shù)字【答案】

，

5.【分析】根據(jù)題中的式子找到規(guī)律，再代入x=2，n=64即可求解，根據(jù)21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…得到個位數(shù)上的循環(huán)即可求出.【解析】根據(jù)題中的式子找到規(guī)律∴(122223……262263)(2-1)=即122223……262263=∵21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…個位數(shù)學(xué)分別為2,4,6,8，且4個為一循環(huán)，64÷4=16，∴的個位數(shù)字為6，故個位上數(shù)字為5.【點睛】此題主要考查平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到規(guī)律進行求解.36．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）工廠接到訂單，需要邊長為（a＋3）和3的兩種正方形卡紙．(1)倉庫只有邊長為（a＋3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a＋3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一組相鄰的邊長分別為多少？（用含a代數(shù)式來表示）；(2)若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，測得盒子底部長方形長比寬多4，則的值為．（直接寫出答案）【答案】(1)①；②a和a＋6(2)12【分析】（1）①根據(jù)面積差可得結(jié)論；②根據(jù)圖形可以直接得結(jié)論；（2）分別計算S2和S1的值，相減可得結(jié)論．（1）解：①根據(jù)題意，得：答：裁剪正方形后剩余部分的面積為；②拼成的長方形的寬是：a＋3－3＝a，長為a＋6，答：拼成的長方形的邊長分別為a和a＋6；（2）解：設(shè)盒子底部長方形的長BC＝x＋4，則寬AB＝x，則，，所以．故答案為12．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，此類題目根據(jù)圖形的面積列出等式是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)特訓(xùn)培優(yōu)特訓(xùn)練特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．（2021·福建寧德·七年級期中）某原裝廠生產(chǎn)一種夾克和T恤，夾克每件定價200元，T恤每件定價40元，廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：①買一件夾克送一件T恤；②夾克和T恤都按定價的8折付款.現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買夾克20件，T恤x件(1)若該客戶按方案①購買，需付款___________元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買，需付款___________元（用含x的式子表示）；(2)若，通過計算說明按哪種方案購買較為合算？【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案，即可找出按方案①購買及按方案②購買所需錢數(shù)；（2）將代入（1）結(jié)果中，求出按方案①購買及按方案②購買所需錢數(shù)，比較后即可得出結(jié)論．（1）解：該客戶按方案①購買，需付款200×20+40（x?20）=（40x+3200）元；該客戶按方案②購買，需付款0.8×（200×20+40x）=（32x+3200）元．故答案為：；．（2）解：當x=40時，元，元，∵4480＜4800，∴按方案②購買較為合算．【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案，列出代數(shù)式；（2）代入x=40求出代數(shù)式的值．2．（2022·浙江·浦江縣實驗中學(xué)七年級階段練習）閱讀材料，根據(jù)材料回答：例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]===﹣216．例如2：=8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）==1．(1)仿照上面材料的計算方法計算：．(2)由上面的計算可總結(jié)出一個規(guī)律：=___________（用字母表示）；(3)用（2）的規(guī)律計算：．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案．（2）根據(jù)第一問的計算可知指數(shù)相同的冪相乘時，可先將底數(shù)相乘，指數(shù)不變．（3）根據(jù)第二問的結(jié)論計算即可．（1）解：=1；（2）解：原式=，故答案為：；（3）解：．【點睛】本題考查了積的乘方的逆運算，運算過程中符號是易錯點，可先定符號再計算．3．（2023·廣東·豐順縣龍山中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知有理數(shù)，，滿足，試求的值．【答案】【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，然后代入計算即可．【解析】解：由題得：，解得：，所以．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程，積的乘方法則的逆用等知識，利用代入法或加減法把解三元一次方程組的問題轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組的問題是解題的關(guān)鍵．4．（2020·河南·南陽市實驗學(xué)校八年級階段練習）若的積中不含項與項．(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)，(2)【分析】(1)首先去括號，合并同類項，再根據(jù)積中不含項與項，可得關(guān)于p、q的二元一次方程組，解方程組即可求得；(2)把及p、q的值分別代入代數(shù)式，計算即可求得．（1）解：的積中不含項與項，解得，；（2）解：，，，．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，代數(shù)式求值問題，解題的關(guān)鍵是正確求出p，q的值．5．（2022·河北石家莊·七年級期中）閱讀：已知正整數(shù)，，，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和，當時，則有；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當時，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程](1)比較大?。篲_____，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大??；(3)比較與的大小．【答案】(1)>，<(2)<(3)<【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當時，則有>，”即可比較和的大??；根據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和，當時，則有，即可比較和的大??；（2）據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和，當時，則有”，即可比較與的大??；（3）利用作商法，即可比較和的大?。?）解：，∴>，∵，，122<123，∴<，故答案為：，；（2）解：∵，，8<9，∴<．（3）解：∵，∴<．【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·無錫市華莊中學(xué)七年級期中）將7張相同的小長方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為，已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且a>b．(1)當a=9，b=2，AD=30時，請求：①長方形ABCD的面積；②的值；(2)當AD=30時，請用含a，b的式子表示的值．(3)若AB長度不變，AD變長，將這7張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，而的值總保持不變，則a，b滿足的關(guān)系是___________．【答案】(1)①510，②(2)(3)【分析】（1）①根據(jù)長方形的面積公式，直接計算即可；②求出的面積，相減即可；（2）用含a、b的式子表示出的面積，即可求得結(jié)論；（3）用含a、b、AD的式子表示出，根據(jù)的值總保持不變，即與AD的值無關(guān)，整理后，讓AD的系數(shù)為0即可．（1）解：①長方形ABCD的面積為30×（4×2+9）=510；②；（2）解：由題意得，∴；（3）解：由題意得，∴，∵若AB長度不變，AD變長，而的值總保持不變，∴，∴，故答案為：．【點評】本題主要考查了整式的混合計算的應(yīng)用，有理數(shù)四則混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江·樂清市英華學(xué)校七年級期中）觀察下列各式：；；；……根據(jù)這一規(guī)律計算：(1)___，____；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給代數(shù)式總結(jié)規(guī)律可得答案；（2）根據(jù)規(guī)律，把x=2，n=2022代入計算即可；（3）根據(jù)規(guī)律，把x=-3，n=2022代入計算即可．（1）解：，；故答案為：，；（2）解：由題意得，，將x=2，n=2022代入可得：，∴；（3）解：，將x=-3，n=2022代入可得：,∴．【點睛】本題考查平方差公式的拓展和應(yīng)用，根據(jù)已知算式找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級期中）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可得到、、xy三者之間的等量關(guān)系式：__________；如圖2所示的大正方體是若干個小正方體和長方體拼成的，用兩種不同的方法計算大正方體的體積，我們也可以得到一個等式：__________．利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；（2）已知，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．【答案】（1）2；（2）40【分析】根據(jù)正方形的面積兩種計算方法，一種是邊長的平方，一種是大正方形減去四個長方形的面積，即可得到等式；根據(jù)正方體的體積的兩種算法得到等式，一種是棱長的立方，一種是小正方體和長方體的和計算；（1）將條件代入等式計算即可；（2）中先從條件中得到a+b＝4，ab＝2，然后將其代入等式計算即可．【解析】解：如圖1，方法一：已知邊長直接求面積為，方法二：陰影部分面積是大正方形的面積減去四個長方形的面積，所以面積為，∴等量關(guān)系式為：；故答案為：．如圖2，方法一：已知棱長直接求體積為，方法二：正方體的體積是長方體和小正方體的體積和，即，∴等量關(guān)系式為：．故答案為：．（1）將x+y＝3，xy代入，得，∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵，∴a+b＝4，ab＝2，將其代入，即，∴64﹣6（a+b）＝64﹣24＝40．【點睛】本題主要利用圖象探究式的等量關(guān)系，要結(jié)合圖象分析，后面是等量關(guān)系的應(yīng)用，先分析適用于等量關(guān)系的條件然后代入計算即可．9．（2022·廣東·普寧市普師高級中學(xué)七年級期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手，先分別計算下列各式的值．①②③…(1)由此我們可以得到：．(2)請你利用上面的結(jié)論，再完成下面兩題的計算：①②若求x2020的值．【答案】(1)(2)①；②1【分析】（1）根據(jù)題干信息的提示，總結(jié)出規(guī)律即可得到答案；（2）①把原式變形為，再按照規(guī)律進行計算即可；②由可得再利用冪的乘方的逆運算可得答案．（1）解：∵①②③∴．故答案為：（2）解：①②∵，∴∴【點睛】本題考查的是多項式的乘法的規(guī)律探究，涉及平方差公式，總結(jié)歸納出一般規(guī)律，再運用規(guī)律解決問題是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽·定遠縣第六中學(xué)七年級階段練習）（1）①如圖1，已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，長方形和為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長方形和剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形的面積是______（寫成多項式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計算：【答案】（1）①；②；（2）；（3）4【分析】（1）①根據(jù)圖1確定出陰影部分面積即可；②根據(jù)圖2確定出長方形面積即可；（2）根據(jù)兩圖形面積相等得到乘法公式；（3）利用得出的平方差公式計算即可得到結(jié)果．【解析】解：（1）①∵正方形的面積是，正方形的面積是，∴陰影部分的面積是．②由圖2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，∴長方形的面積是，故答案為：①；②；（2）由（1）可得到，故答案為：；（3）原式==，，=4．【點睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·河北·石家莊外國語教育集團七年級期中）如圖，認真觀察下面這些算式，并結(jié)合你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下列問題：①，②，③，④．(1)請寫出：算式⑤______；算式⑥______；(2)上述算式的規(guī)律可以用文字概括為：“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”，如果設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n-1和2n+1（n為整數(shù)），請說明這個規(guī)律是成立的；(3)你認為“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”這個說法是否也成立呢？請說明理由．【答案】(1)；；(2)見解析(3)不成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出⑤；⑥；（2）理由平方差公式得出，即可得出兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除；（3）舉反例，如，即可判斷“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”這個說法錯誤．（1）解：；；（2）解：，為整數(shù)，∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除；（3）解：不成立，理由如下：舉反例，如，∵12不是8的倍數(shù)，∴這個說法不成立．【點睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，將數(shù)進行合理的分解是解決整除問題的關(guān)鍵，對不成立的原因，舉反例是行之有效的辦法．12．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）正方形中，點是邊上一點（不與點，重合），以為邊在正方形外作正方形，且，，三點在同一條直線上，設(shè)正方形和正方形的邊長分別為和（）．(1)求圖1中陰影部分的面積（用含，的代數(shù)式表示）；(2)當，時，求圖1中陰影部分的面積的值；(3)當，時，請直接寫出圖2中陰影部分的面積的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用，根據(jù)正方形和直角三角形的面積公式將a，b代入即可；（2）將a，b的值代入（1）中的式子計算即可得出結(jié)論；（3）延長AD交EF的延長線于點H，利用，根據(jù)正方形和直角三角形的面積公式將a，b代入，最后將a＝5，b＝3代入運算即可．（1）解：∵，∴；（2）當a＝5，b＝3時，；（3），理由：延長AD交EF的延長線于點H，如圖，則四邊形CEHD為矩形，∴DH＝CE＝b，HE＝CD＝a，∴HF＝HE?EF＝a?b．∵，∴，當a＝5，b＝3時，．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，正方形，矩形的面積，三角形的面積，利用圖形的面積的和差表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇·鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)七年級期中）閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則，．(2)已知，求的值．(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通過完全平方公式進行變式得，然后由非負數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由得，然后由非負數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（3）把兩個方程通過變式得，然后由非負數(shù)性質(zhì)求得a、c，進而得b，便可求得三角形的周長．（1）解：由，得，∵≥0，，∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．故答案為：3；0．（2）由得，∴x-y=0，y-4=0，∴x=y=4，∴=16；（3）∵a+b=8，∴b=8-a，∵，∴，∴，∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，∴b=4，∴△ABC的周長為a+b+c=4+4+5=13．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．14．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)七年級期中）數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關(guān)系”，這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．計算如圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是；如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到．(1)如圖2，正方形ABCD是由四