高中數(shù)學(xué)-幾何概型

高中數(shù)學(xué)——幾何概型

目錄

1.教學(xué)目標(biāo)....................................................................1

2.學(xué)情分析....................................................................1

3.重點難點....................................................................1

4.教學(xué)過程....................................................................2

5.高中數(shù)學(xué)考點之一一幾何概型.................................................6

1.教學(xué)目標(biāo)

知識與能力目標(biāo)：

(1)體會幾何概型的意義；

(2)了解幾何概型的概率計算公式。

過程與方法目標(biāo)：通過古典概型的例子，稍加變化后成為幾何概型，從有

限個等可能結(jié)果推廣到無限個等可能結(jié)果，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過程，

感受數(shù)學(xué)的拓廣過程。通過實際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問

題的能力，感知用圖形解決概率問題的方法。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：體會概率在生活中的重要作用，感知生活中的數(shù)

學(xué)，培養(yǎng)其積極探索的精神。

2.學(xué)情分析

學(xué)生前面學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概率和古典概型，初步學(xué)會了用古典概型公式

解決概率問題，很容易把本節(jié)內(nèi)容與古典概型的特點、計算方法等方面進(jìn)行類

比，因此兩者有聯(lián)系這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)；但是幾何概型的計算方法與

古典概型有本質(zhì)的區(qū)別，在古典概型向幾何概型的過渡和實際背景如何轉(zhuǎn)化為

相應(yīng)區(qū)域的長度、面積、體積是會有一些困難，為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，加

深對知識的理解和應(yīng)用，問題情境和例題，習(xí)題的選擇都與日常生活息息相關(guān)。

3.重點難點

重點：幾何概型的概念及應(yīng)用

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難點：幾何概型應(yīng)用中幾何度量的確定及運算

4.教學(xué)過程

4.1第一學(xué)時

4.1.1教學(xué)活動

活動1【導(dǎo)入】幾何概型

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

引例1：

(1)我釣魚島研究團(tuán)隊近期要到釣魚島及其附屬島嶼進(jìn)行登島科學(xué)考察，要

在釣魚島(主島)、黃尾嶼、赤尾嶼、南小島、北小島這些小島中任選一個進(jìn)行登

島，恰好選取釣魚島(主島)的概率是多少？

學(xué)生給出答案后，我引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進(jìn)行分析、總結(jié)：

①基本事件的總數(shù)是多少？

②滿足條件的基本事件個數(shù)是多少？

③本題屬于什么概率類型？

④古典概型的特點是什么？

通過練習(xí)讓學(xué)生們及時重復(fù)古典概型的特點：

(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；

(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

活動2【導(dǎo)入】幾何概型

(2)我研究團(tuán)隊出發(fā)后，有可能在2015年9月18日的凌晨2點到上午的

10點之間的任意時刻登島(在任何一個時刻登島是等可能的)，隊員們想在釣魚

島上欣賞美麗的海上日出，那么研究團(tuán)隊在凌晨3點到4點之間登上釣魚島的

概率是多少？

我讓學(xué)生類比引例1.1思考以下幾個問題：

①基本事件的總數(shù)是多少？

②滿足條件的基本事件個數(shù)是多少？

③此題還是古典概型嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與古典概型的區(qū)別：無限性；聯(lián)系：等可能性。

(1)無限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果基本事件有無限多個；

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（2）等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

活動3【講授】幾何概型

引例2：如圖所示：圓心位置為釣魚島，圓形區(qū)域表示我釣魚島所屬海域,

據(jù)報有一艘日本軍用船只駛?cè)胛裔烎~島所屬海域，我海監(jiān)船奉命要找到并驅(qū)離

日本船只。那么在圖中所示的紅色區(qū)域內(nèi)找到的概率各是多少？

⑴所屬區(qū)域五等分；

⑵所屬區(qū)域的三塊區(qū)域圓心角之比為1：2：3；

⑶所屬區(qū)域兩圓的半徑之比為1：2

⑴⑵⑶

首先是將所屬區(qū)域五等分，概率的求解十分容易，學(xué)生可能將在五個相同

的扇形區(qū)域作為五個等可能基本事件，從而概率的求解仍然停留在古典概型上。

第二種所屬區(qū)域的三塊區(qū)域圓心角之比為1：2：3o讓同學(xué)們類比第一種情況，

求出第二種情況的概率，區(qū)域（2）的求解雖然可以由等分的觀點得到答案，但圖

形淡化了等分。再利用類比推理求出第三種情況的概率，第三種所屬區(qū)域兩圓

的半徑之比為1：2,實現(xiàn)了完全的面積化，得出概率。此時古典概型已經(jīng)完全

淡出了學(xué)生的思考范圍。順勢我引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)幾何概型的計算方法：

通過以上環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，引出了幾何概型的定義及計算公式。

定義：

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,

則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型

在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：

構(gòu)成事件力的區(qū)域長度（面積或體積）

□）一試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

得出幾何概型的特點:

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(1)無限性：在一次試驗中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；

(2)等可能性：每個結(jié)果(基本事件)發(fā)生具有等可能性。

總結(jié)出幾何概型與古典概型的區(qū)別。

給出引例(2)的答案(學(xué)生回答)

我研究團(tuán)隊出發(fā)后，有可能在2015年9月18日的凌晨2點到上午的10

點之間的任意時刻登島(在任何一個時刻登島是等可能的)，隊員們想在釣魚島上

欣賞美麗的海上日出，那么研究團(tuán)隊在凌晨3點到4點之間登上釣魚島的概率

是多少？

活動4【練習(xí)】幾何概型

靈活應(yīng)用，強化訓(xùn)練

為了更好地理解其運算，準(zhǔn)確把握公式中的“幾何度量"，我設(shè)置了以下兩個

環(huán)節(jié)：

例1：

(1)：在區(qū)間［0,9］上任取一個整數(shù)，恰好取在區(qū)間［0,3］上的概率為多少?

(2)：在區(qū)間［0,9］上任取一個實數(shù)，恰好取在區(qū)間［0,3］上的概率為多少?

例2：在棱長為2的正方體的面上任取一點P,則點P到點A的距離小于等

于1的概率為多少？

引導(dǎo)學(xué)生思考：

(1)這個概率問題的特點是什么，符合哪一個概率類型?(2)怎樣計算?學(xué)生(或

教師引導(dǎo)出)能得出是幾何概型及特點，

類比引例知，概率為面積之比：扇形面積與正方形面積的比。

變式1：在棱長為2的正方體的棱AB上任取一點P,則點P到點A的距離

小于等于1的概率為多少？

和上題一樣，還是同樣的思路，變化的是由面積比變成了線段的長度比。

變式2：在棱長為2的正方體中任取一點P,則點P到點A的距離小于等于

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1的概率為多少?

這個概率變成了體積比：以點A為球心，1為半徑的八分之一球的體積與

此正方體的體積比。

例題3：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺整點報時，

求他等待的時間不多于10分鐘的概率.

設(shè)人=｛等待的時間不多于10分鐘｝,事件A恰好是打開收音機(jī)的時刻位于［50,

60］時間段內(nèi)事件A發(fā)生。

法一：利用［50,60］時間段所占的弧長：

法二：利用［50,60］時間段所占的圓心角：

法三：利用［50,60］時間段所占的扇形面積：

法四：將時間轉(zhuǎn)化成長60的線段，研究事件A位于［50,60］之間的線段的

概率：

師生活動：學(xué)生思考、討論再加上老師的指導(dǎo)分析本題的兩個要點：一是

基本事件的確定，二是幾何度量的優(yōu)化選擇。針對難點一，讓學(xué)生們利用實物，

通過實驗得出結(jié)論，突破難點。確定了構(gòu)成事件的區(qū)域后，由于鐘表外觀具有

明顯的幾何特征，學(xué)生們思考、討論后可能會選擇扇形面積、弧長、甚至圓心

角作為測度，當(dāng)然都可以得到問題的解決，而當(dāng)以角度作為變量時，弧長和面

積均與角度成正比，故這三種測度的選擇在本質(zhì)上是相同的。

為了讓學(xué)生對這一實際問題的本質(zhì)有進(jìn)一步的認(rèn)識，優(yōu)化測度選擇，我將

圓盤形鐘表換成了電子鐘，突破課本的設(shè)計理念，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到弧長、角度、

面積這些測度本質(zhì)上就是時間區(qū)域的長度，從形到數(shù)的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)了測度的優(yōu)

化選擇，揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破了難點。

歸納小結(jié)，布置作業(yè)讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲，自己歸納總結(jié)，教師點撥，目的是使

學(xué)生自己梳理本節(jié)所學(xué)知識，以便對概率知識有一個系統(tǒng)的理解與認(rèn)識。

小結(jié)：①幾何概型的定義、基本特點；

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②幾何度量的尋求及概率求法。

活動5【作業(yè)】幾何概型

作業(yè)：

課本習(xí)題3.3A組1、2

課外思考：已知函數(shù)/（》）=-/+5-人若a、b都是從區(qū)間［0,4］內(nèi)任取的一個數(shù)，求/（1）＞0

成立的概率?！?/p>

5.高中數(shù)學(xué)考點之——幾何概型

一、幾何概型的定義

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,

則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

典型例題1：

如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以Q4,08為直徑&一、.

作兩個半圓.在扇形。針內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分飛乃

的概率是（）

解：（1）法一：設(shè)分別以CU,。3為直徑的兩個半圓交于點C,B

04的中點為。，如圖，連接。G0c不妨令。4=03=2,則

OZ）=ZU=QC=L在以。4為直徑的半圓中，空白部分面積團(tuán)裝

一…村信

=-4--XIXI-（42J=l,所以整體圖形中空白部分面°1

42

積$2=2一又因為5仙043=1乂兀、22=兀，所以陰影部分面積為S3=JI-2.

4

所以P=-_-=1-

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法二：連接㈤3,設(shè)分別以04,05為直徑的兩個半圓交于點C,令。4=2.

由題意知C^AB且S弓將AC=S弓藥BC=SH’oc,

所以SC=SLCUB=；X2X2=2.

又因為S^a^=-XnX22=7i,所以Sg=冗—2.

A4

所以p=s,^-=^l=1-1

Sa"OAB兀兀

幾何概型的特點：

幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結(jié)果不是有限個，它

的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件

所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).

二、幾何概型的概率公式

在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：

p（構(gòu)成事件a的區(qū)域長度湎積或體積）

,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）.

典型例題2：

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已知集合4=[-2,2],設(shè)”={(x,y)|x€a在集合M內(nèi)隨

機(jī)取出一個元素(x,y).

(1)求以(x,y)為坐標(biāo)的點落在圓好+產(chǎn)=1內(nèi)的概率；

(2)求以(x,y)為坐標(biāo)的點到直線x+y=O的距離不大于￡的概率.

解：(1)集合M內(nèi)的點形成的區(qū)域面積S=8.因x2+v-!=l的面積SI=JT,故所求械.

率為Pi=—=-

(2)由題意■即一14X+J<1,形成的區(qū)域如圖中陰

影部分，面積Sz=4,所求概率為尸=&=1.

S2

幾何概型中，線段的端點、圖形的邊界是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)

求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型

轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解.確定點的邊界位置是解題的關(guān)鍵.

求解與面積有關(guān)的幾何概型首先要確定試驗的全部結(jié)果和構(gòu)成事件的全部

結(jié)果形成的平面圖形，然后再利用面積的比值來計算事件發(fā)生的概率.這類問

題常與線性規(guī)劃[(理)定積分]知識聯(lián)系在一起.

典型例題3：

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已知向量a=(-2J),b=(x,y).

(D若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為12345,6)

先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab=-1的概率；

⑵若x,丁在連續(xù)區(qū)間26］上取值，求滿足a心<0的概率.

解：(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后抱擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為

6X6=36個；

由a?b=-1有-2x+y=-1,

所以滿足〃6=一1的基本事件為(1」)，(23),(3,5)共3個.

故滿足/5=-1的級率為&=」-.

3612

⑵若x,j在連續(xù)區(qū)間口,6］上取值，則全部基本事件的結(jié)果為。={(x,

y)|14Y6:l<v<6};

滿足a-b<0的基本事件的結(jié)果為

.4={(x,j)|l<x<6:l<v<6,且一2x+yV0};

畫出圖形，

矩形的面積為S*,；=25,陰影部分的面積為S年=25—;X2X4=21,

故滿足a-b<Q的概率為首.

與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾

何概型轉(zhuǎn)化為立體模式，至此，我們可以總結(jié)如下：

對于一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何

化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在

此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點，使得全體結(jié)

果構(gòu)成一個可度量區(qū)域.

典型例題4：