中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬題 專題九 二次函數(shù)與特殊三角形的問題（解析版）

專題九二次函數(shù)與特殊三角形的問題一、填空題1．（2022春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3，0)，與y軸交于點B，點P是該拋物線對稱軸上的一動點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，則點P的坐標(biāo)為______．【答案】（2，）或【分析】根據(jù)題意得到拋物線的對稱軸為直線x==2，設(shè)點P的坐標(biāo)為：（2，m），分兩種情況討論，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線x==2，設(shè)點P的坐標(biāo)為：（2，m），當(dāng)，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，0），∴B（0，-9），∴OA=3，OB=9，∴=3，∴，∴，∴（2，），當(dāng)時，過B點作BD垂直于對稱軸與D，∴，∴，∴，∴（2，-），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，）或（2，）．故答案為：（2，）或（2，）．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于點、、，點在直線下方的拋物線上運動，當(dāng)時，點的坐標(biāo)為____．【答案】【分析】將點、、的坐標(biāo)求出，，設(shè)交x軸于點N，求出點的坐標(biāo)，從而得直線的解析式，聯(lián)立方程組即可求解．【詳解】解：拋物線與坐標(biāo)軸交于點、、，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，解方程得，，，∴，，，則，，，∴在中，，如圖所示，點點在直線下方的拋物線上運動，設(shè)交x軸于點N∵，∴，設(shè)，則，在中，，解得：∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴，∴，解方程組得，（舍去），，當(dāng)時，，即．故答案為：．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A、B都在原點右側(cè)，拋物線的頂點為點P，當(dāng)為直角三角形時，m的值為________．【答案】2【分析】設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=｜x2-x1｜，求出點P（m，-（m-1）2），由拋物線的對稱性知△ABP為等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求得m值．【詳解】解：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=｜x2-x1｜，令y=0得，∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，則｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，由拋物線=（x-m）2－（m-1）2得頂點坐標(biāo)為P（m，-（m-1）2），拋物線的對稱性知△ABP為等腰直角三角形，∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，即4（m-1）2=4（m-1）4，解得：m=2或m=0或m=1，∵拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A、B都在原點右側(cè)，∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，∴m=2，故答案為：2．二、解答題4．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線過點，且與直線只有一個交點．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線與拋物線相交于兩點A、B，則在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形?若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在滿足題意的點．或或或或【分析】（1）把點代入得，聯(lián)立，得，由拋物線與直線只有一個交點求得b的值，即可得到拋物線的解析式；（2）先求出點A和點B的坐標(biāo)，設(shè)點Q的坐標(biāo)是，求出，，，分三種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：把點代入中，得，解得，聯(lián)立，得，∵拋物線與直線只有一個交點，∴，解得或2，∵，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）存在滿足題意的點．聯(lián)立，解得或，∴，，由拋物線，可知拋物線對稱軸為，設(shè)點Q的坐標(biāo)是，則，，由勾股定理，得，當(dāng)點為頂角時，，即，解得或，∴或；當(dāng)為腰，為頂角時，，即，解得或，∴或；當(dāng)為底時，，即，解得，∴．故滿足題意的點坐標(biāo)為：或或或或．5．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)，，函數(shù)稱為、的組合函數(shù)(1)求、的圖象的交點坐標(biāo)；(2)、的圖象的交點為、，拋物線頂點為，若是等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的、的值【答案】(1)或(2)或【分析】（1）聯(lián)立、的解析式，即可求解；（2）分三種情況討論：若，時；若，時；若，時，即可求解．【詳解】（1）解：聯(lián)立得：，解得：或，∴、的圖象的交點坐標(biāo)為或；（2）解：由（1）得：、的圖象的交點坐標(biāo)為或，，∴拋物線頂點，如圖：由（1）得：、的圖象的交點坐標(biāo)為或，∵是等腰直角三角形，若，時，此時點，∴，或，解得：（不合題意，舍去）或無解；若，時，此時點和分別為和的中點，∴點和，∴，或，解得：或，符合題意；若，時，此時點和分別為和的中點，∴點，，∴，或，無解；綜上所述，符合條件的、的值為或．6．（2021春·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸正半軸于點，交拋物線于點（在的左側(cè)），交拋物線的對稱軸于點為拋物線的頂點，其中；(1)用的代數(shù)式表示點坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求拋物線解析式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意得，由，根據(jù)平行線分線段成比例可知，通過設(shè)交點式可表示出的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）表示出的坐標(biāo)，從而有，分三種情況分別列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵直線軸于點，∴當(dāng)時，解得，即，∵，如圖所示：根據(jù)平行線分線段成比例可知：，∴拋物線與軸另一個交點為，∴設(shè)拋物線，當(dāng)時，，即；（2）解：將代入直線得：，即，∴直線，∴，∵，∴，∵△ABP為直角三角形，分三種情況討論如下：①時，，∴，解得（由確定舍去）；②當(dāng)時，，∴，解得（由確定舍去）；③當(dāng)時，，∴，方程無解，故此情況不存在；由（1）知拋物線為，則或，∴拋物線的解析式為：或．7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）已知：如圖，拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸為直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒個單位的速度向下運動，設(shè)動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．(1)求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)三點，，構(gòu)成以為為斜邊的直角三角形時，求的值；(3)將沿直線折疊后，那么點的對稱點能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請直接寫出所有滿足條件的的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)；(2)秒(3)能，秒或秒或秒【分析】（1）根據(jù)拋物線過原點，對稱軸為直線，待定系數(shù)求解析式即可求解；（2）設(shè)．三點，，構(gòu)成以為為斜邊的直角三角形，勾股定理得出，．繼而得出直線的解析式為，當(dāng)時，，得出，進(jìn)而即可求解；（3）分三種情況討論，①點在軸正半軸上；②點在y軸負(fù)半軸上，③點在軸負(fù)半軸上，分別畫出圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得，拋物線的解析式為；，頂點的坐標(biāo)為；（2）如圖1，設(shè)．三點，，構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，，即，整理，得，解得，舍去，．設(shè)直線的解析式為，則，解得，．當(dāng)時，，，秒；（3）分三種情況：①若點在軸正半軸上，如圖2，可得，即，解得；②若點在y軸負(fù)半軸上，如圖3，連接交OB于E．可得，，，，，，．在與中，，，，；③若點在軸負(fù)半軸上，如圖可得，即，解得；綜上所述，所有滿足條件的的值為秒或秒或秒．8．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，直線l過x軸上一點，且與拋物線相交于B，C兩點，B點坐標(biāo)為．(1)求直線的表達(dá)式及拋物線的表達(dá)式．(2)求點C的坐標(biāo)．(3)點在直線上，點在拋物線上．若，直接寫出m的取值范圍．(4)若拋物線上有一點D（在第一象限內(nèi)）使得，求D點坐標(biāo)．(5)在x軸上是否存在一點P，使為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)；(3)；(4)；(5)，，，【分析】（1）先把B點坐標(biāo)代入中求出a得到拋物線解析式為，再利用待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）通過解方程組，得C點坐標(biāo)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線在拋物線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；（4）先計算出，則，設(shè)，利用三角形面積公式得到，然后解方程求出t，從而得到D點坐標(biāo)；（5）先得出,然后分三種情況①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，求出點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）把代入得，∴拋物線解析式為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（2）解方程組，得：或，∴C點坐標(biāo)為；（3）若，m的取值范圍為；（4）．設(shè)，∵，∴，解得：或（舍去），∴；（5）由（2）可知：、，∴,①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，點P是線段的垂直平分線與x軸的交點．∵，∴中點D的坐標(biāo)是，∴直線的解析式為：，則易得：；③當(dāng)時，．綜上，點P的坐標(biāo)為：，，，．9．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）拋物線與軸相交于點，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，若是等腰直角三角形，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）與軸相交于點，得到，再根據(jù)拋物線的對稱軸為，可求得的值，進(jìn)而可得解析式；（2）直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，可知、兩點關(guān)于對稱軸對稱，是等腰直角三角形可得，設(shè)，分軸上方和下方兩種情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出式子，即可求得的值．【詳解】（1）解：由拋物線與軸相交于點，可得，又拋物線的對稱軸為，即，解得，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，當(dāng)直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，且直線位于軸上方時：作軸交軸于點，是等腰直角三角形，，又軸，為等腰直角三角形，，點坐標(biāo)為，設(shè)，則，，又，，即，解得（舍負(fù)），；如圖，當(dāng)直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，且直線位于軸下方時：作軸交軸于點，是等腰直角三角形，，又軸，為等腰直角三角形，，點坐標(biāo)為，設(shè)，則，，又，，即，解得（舍負(fù)），，綜上：或10．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖,在坐標(biāo)系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),拋物線的圖象過點（2，-1）及點C.(1)求該拋物線的解析式；(2)求點C的坐標(biāo)(3)點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使以P，A，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)（3，1）(3)滿足條件的P點只有一個，為(-2，1)【分析】（1）把點（2，-1）代入計算即可；（2）過點C作CD垂直軸于點D，利用全等即可求出C點坐標(biāo)；（3）分別過A,B,C三點作對邊的平行線，分類討論.【詳解】（1）把點（2，-1）代入得=∴該拋物線的解析式為（2）過點C作CD垂直軸于點D∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

∴△BOA≌△ADC∴OA=DC，BO=AD∵A(1,0),B(0,2),∴OA=DC=1，BO=AD=2∴點C的坐標(biāo)為（3,1）（3）分別過A,B,C三點作對邊的平行線，交于P1、P2、P3①當(dāng)AP//BC,且AP=BC時，如圖:將點C向下平移1個單位向左平移2個單位與點A重合，點B也向下平移1個單位向左平移2個單位與點P1重合，則P1(-2,1)，經(jīng)檢驗:點P1在拋物線上，故P1滿足條件，②當(dāng)BP//AC,且BP=AC時:由平移可得則P2(2,3)，經(jīng)檢驗，P2不在拋物線上；③當(dāng)CP//AB,且CP=AB時，由平移可得則P3(4,-1)，經(jīng)分析，點P3不在拋物線上，不合題意.綜上所述，滿足條件的P點只有一個，為(-2,1).11．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點，且拋物線與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3(2)P（1，﹣2）【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得拋物線解析式．（2）當(dāng)x＝0時可求C點坐標(biāo)，求出直線AB解析式，當(dāng)x＝0可求D點坐標(biāo),由題意可知P點縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可求P點橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得：，解得，∴y＝2x2﹣x﹣3；（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1）．∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點P是CD垂直平分線與拋物線y＝2x2﹣x﹣3的交點,由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，﹣2），∴P點縱坐標(biāo)為﹣2，∴，解得：x＝1或-，∵點P在第四象限，即x＞0，∴x＝1．∴P（1，﹣2）．12．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2＋bx﹣1經(jīng)過點A(﹣1,﹣2)和點B(﹣2,1)，拋物線C2：y＝3x2＋3x＋1，動直線x＝t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．(1)求拋物線C1的表達(dá)式；(2)求線段MN的長（用含t的代數(shù)式表達(dá)）；(3)當(dāng)△BMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值．【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1(2)t2+2(3)t＝0【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）把x=t分別代入兩函數(shù)解析式，則可求得M、N的坐標(biāo)，即可由MN=yM-yN求解；（3）①當(dāng)∠ＢNM＝90°，BN＝NM時；②當(dāng)∠BMN＝90°，BN＝NM時；分別求解即可．【詳解】（1）解：將點A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入拋物線C1表達(dá)式得：，解得：，故拋物線C1的表達(dá)式為：y＝2x2+3x﹣1；（2）解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1，∴點N的坐標(biāo)為（t，2t2+3t﹣1），把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1∴點M的坐標(biāo)為：（t，3t2+3t+1），則MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；（3）解：①當(dāng)∠ＢNM＝90°時，如圖1，則BNx軸,∵B（-2，1），∴2t2+3t﹣1=1，解得：t=-2或，當(dāng)BN＝NM時：∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，∴t＋2＝t2+2，解得：t＝0或t=1，∴同時滿足兩個條件時t無解②當(dāng)∠BMN＝90°時，如圖2，∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1，當(dāng)BM＝MN時，∵BM＝t+2，NM＝t2+2，∴t+2＝t2+2，解得：t＝0或t＝1，∴同時滿足兩個條件時t=0所以當(dāng)△BMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時t＝013．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=2x2?(1+2c)x+c（c>，c是常數(shù)）的圖像與x軸分別交于點A，點B（點B在點A右側(cè)），與y軸交于點C，連接BC．(1)證明：△BOC是等腰直角三角形；(2)拋物線頂點為D，BC與拋物線對稱軸交于點E，當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值為．【分析】（1）求得點C(0，c)，再解方程2x2?(1+2c)x+c=0，求得點B(c，0)，即可判斷△BOC是等腰直角三角形；（2）求得點D(，-)，當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：令x=0，則y=c，∴點C(0，c)，令y=0，則2x2?(1+2c)x+c=0，∴(2x-1)(x-c)=0，∴x1=，x2=c，∵點B在點A右側(cè)，∴點B(c，0)，點A(，0)，∴OB=OC=c，∵∠COB=90°，∴△BOC是等腰直角三角形；（2）解：y=2x2?(1+2c)x+c=2(x-)2-，∴點D(，-)，設(shè)DM交x軸于點M，∵△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∵點A，B關(guān)于DE對稱，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵EM⊥AB，∴EM=AB，當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，∵DM⊥AB，∴AB=2DM，∵點B(c，0)，點A(，0)，∴AB=c-，∵點D(，-)，∴DM=，∴c-=，整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，∴c1=，c2=，∵c>，∴c=，∴當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值為．14．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，半徑為1的經(jīng)過直角坐標(biāo)系的原點O，且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B，，過點B的切線交x軸負(fù)半軸于點C，拋物線過點A、B、C．(1)求點A、B的坐標(biāo)；(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)若點D為拋物線對稱軸上的一個動點，問是否存在這樣的點D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A(1，0)，B(0，)；(2)y=x2x+；(3)符合條件的點D為：(?1，)，(?1，?)，(?1，)，(?1，?)，(?1，0)．【分析】（1）由題意可直接得出點A、B的坐標(biāo)為A(1，0)，B(0，)；（2）根據(jù)BC是切線，可求出BC的長，即得出點C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）先假設(shè)存在，看能否求出符合條件的點D即可．【詳解】（1）解：∵M(jìn)O=MA=1，∠OMA=60°，∴OA=1，又∠AOB=90°，∴AB經(jīng)過點M，∴∠ABO=30°，∴OB=，∴A(1，0)，B(0，)；（2）∵BC是切線，∴∠ABC=90°，由（1）知∠OAM=60°，∴∠ACB=30°，又由（1）可得AB=2，∴AC=4，∴C(?3，0)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將點A、B、C代入得，，解得∴拋物線的解析式為y=x2x+；（3）解：設(shè)在對稱軸上存在點D，使△BCD是等腰三角形，由（2）可得對稱軸為直線x=?1，所以可設(shè)點D(?1，m)，分3種情況討論：①BC=BD，則，解得m=±；②BC=CD，則，解得m=±；③BD=CD，=，解得：m=0，∴符合條件的點D的坐標(biāo)為：(?1，)，(?1，?)，(?1，)，(?1，?)，(?1，0)．15．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．(3)拋物線上存在一點，使，請直接寫出點的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)存在，，(3)或【分析】（1）把三點坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的兩個三角形的面積相等，可求點的坐標(biāo)．（3）分兩種情況討論，由銳角三角函數(shù)可求的長，可求點坐標(biāo)，可得解析式，聯(lián)立方程組可求點坐標(biāo)；【詳解】（1）把，，三點代入拋物線解析式，解得：，該拋物線的解析式為；（2）存在，由，則頂點，對稱軸為直線，∴，∴，，∵，，∴直線解析式為，∴點，∵，，∴直線解析式為，如圖，過點作，交拋物線于，此時與的面積相等，∵，點坐標(biāo)，直線解析式為，∴解析式為:，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，∴點的坐標(biāo)為，，（3）存在，由，則頂點，對稱軸為直線，，，，，，直線解析式為，點，，，，，若點在直線的上方時，，，，，，，，，，點，直線解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，點的坐標(biāo)為，；若點在直線的下方時，由對稱性可得：點，直線解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，解得：或，點的坐標(biāo)為，，綜上所述：點的坐標(biāo)為，或，；16．（2023春·江蘇宿遷·九年級泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，二次函數(shù)與x軸交于點，與y軸交于點C．(1)求函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；(2)連接，點P為線段上方拋物線上一點，過點P作軸于點Q，交于點H，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)是否存在點M在拋物線上，點N在拋物線對稱軸上，使得是以為斜邊的等腰直角三角形，若存在，直接寫出點M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在；或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，并轉(zhuǎn)化為頂點式，即可求出頂點坐標(biāo)；（2）先求出直線的解析式，設(shè)點，則，則，，根據(jù)，列出關(guān)于m的方程，解方程即可；（3）過點M作軸，交對稱軸于點F，過點B作于點E，證明，得出，設(shè)點，則，，得出，求出s的值即可．【詳解】（1）解：把點、代入得：，解得：∴，∴頂點坐標(biāo)為：；（2）解：把代入得：，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴，設(shè)點，則，∴，，∵，∴，解得（舍去），∴；（3）解：過點M作軸，交對稱軸于點F，過點B作于點E，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)點，則，，∴，當(dāng)時，解得：或；當(dāng)時，解得：或；綜上分析可知，點M的橫坐標(biāo)為：或或或．17．（2023春·江蘇蘇州·九年級昆山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)的圖像與x軸分別交于點A、B（A在左側(cè)），與y軸交于點C，若將它的圖像向上平移4個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線的頂點坐標(biāo)為．(1)原拋物線的函數(shù)解析式是．(2)如圖①，點P是線段下方的拋物線上的點，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖②，點Q是線段上一動點，連接，在線段上是否存在這樣的點M，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）由題意求出二次函數(shù)頂點左邊，然后寫出頂點式，變形即可；（2）如圖，過P作交于M，結(jié)合（1）求出直線解析式為：，設(shè)則，根據(jù)帶入計算，化為頂點式即可求出面積最大值是的值，從而求解；（3）①如圖，為等腰直角三角形，為直角三角形，可得，即是中的可求解；②如圖，為等腰三角形，為直角三角形，設(shè)根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為：二次函數(shù)解析式為：即，故答案為：；（2）如圖，過P作交于M，二次函數(shù)的圖像與x軸分別交于點A、B（A在左側(cè)），與y軸交于點C，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，，，直線解析式為：設(shè)，則當(dāng)時面積的最大值為，；（3）存在，理由如下：由（2）可知，，①如圖，為等腰直角三角形，為直角三角形，即，，是的中點，②如圖，為等腰三角形，為直角三角形，即，，設(shè)解得：或（不合題意，舍去）綜上所述：或18．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接，，點A關(guān)于所在的直線的對稱點，連接、．(1)點A的坐標(biāo)為______，點B的坐標(biāo)為______．(2)若點落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．(3)設(shè)拋物線頂點為Q，若是銳角三角形，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）將表達(dá)式化為交點式，可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，從而求出n點，得到的坐標(biāo)，求出的中點，從而得到點C坐標(biāo)，代入函數(shù)表達(dá)式，可得結(jié)果；（3）求出頂點Q的坐標(biāo)，得到，，，根據(jù)勾股定理的逆定理，分，時的m值，結(jié)合圖像得出m的范圍即可．【詳解】（1）解：拋物線的表達(dá)式為：，故點、的坐標(biāo)分別為：、，故答案為：、；（2）∵，∴對稱軸為直線，設(shè)的坐標(biāo)為，∵A和關(guān)于直線對稱，∴，∴，解得：或（舍），∴，又，∴的中點坐標(biāo)為，即，∴，代入中，解得：，∴；（3）在中，令，則，∴，，∴拋物線頂點Q的坐標(biāo)為，∵是銳角三角形，∴，，，如圖，當(dāng)時，，解得：，如圖，當(dāng)時，，解得：，綜上：m的取值范圍是或．19．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D1，二次函數(shù)的圖像交軸于點、，交軸于點，連接、，點為射線上的動點．(1)求點、的坐標(biāo)；(2)若點在線段上，過點作軸的垂線交拋物線于點，交于點，當(dāng)最大時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點為射線上的一點，且：①連接、，當(dāng)為直角三角形時，求點的坐標(biāo)；②如圖3，連接、，直接寫出的最大值．【答案】(1)，(2)(3)①或；②2【分析】（1）根據(jù)拋物線和軸交于、，列出方程，解方程，再根據(jù)、的左右關(guān)系，即可對應(yīng)相應(yīng)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，可得的范圍：根據(jù)的坐標(biāo)得出，根據(jù)為拋物線和軸的交點，得出，根據(jù)，得出直線，于是，至此得出，取最大值時，根據(jù)此橫坐標(biāo)即可得出的坐標(biāo)；（3）①本題共有三種情況：情況一：當(dāng)時，由（1）（2）得出，，求得直線的解析式為：