2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)第11章11.7.2離散型隨機(jī)變量與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題含解析新人教B版

PAGE10-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)六十九離散型隨機(jī)變量與其他學(xué)問(wèn)的綜合問(wèn)題(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)X為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù),D(X)=2.4,PQUOTE<PQUOTE,則p= ()A.0.7 B.0.6 C.0.4 【解析】選B.由題意可知X～B(10,p),故D(X)=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,當(dāng)p=0.6時(shí),P(X=4)=QUOTE×0.64×0.46=QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE×22,P(X=6)=QUOTE×0.66×0.44=QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE×32,滿意P(X=4)<P(X=6),所以p=0.6;同理可驗(yàn)證p=0.4時(shí)不滿意P(X=4)<P(X=6).【快解】選B.由題意可知X～B(10,p),故D(X)=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,由P(X=4)<P(X=6),即QUOTEp4(1-p)6<QUOTEp6(1-p)4,解得p>QUOTE.2.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為 ()A.4.56% B.13.55%C.27.18% D.31.74%【解析】選B.用ξ表示零件的長(zhǎng)度誤差，ξ聽從正態(tài)分布N(0，32)，依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，得P(3<ξ≤6)=QUOTE[P(-6<ξ≤6)-P(-3<ξ≤3)]=QUOTE=0.1355.3.(多選)已知隨機(jī)變量ξi滿意P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<QUOTE,則 ()A.E(ξ1)<E(ξ2)B.D(ξ1)>D(ξ2)C.D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2)【解析】選AC.依據(jù)已知得ξi(i=1,2)聽從兩點(diǎn)分布,由兩點(diǎn)分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1-pi),因?yàn)?<p1<p2<QUOTE,所以E(ξ1)=p1<p2=E(ξ2),D(ξ1)-D(ξ2)=p1-QUOTE-(p2-QUOTE)=(p1-p2)1-QUOTE,已知p1<p2,p1+p2<1,所以D(ξ1)-D(ξ2)<0,即D(ξ1)<D(ξ2).4.某班有14名學(xué)生數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀,假如從該班隨機(jī)找出5名學(xué)生,其中數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)X～BQUOTE,則E(2X+1)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閄～BQUOTE,所以E(X)=QUOTE,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×QUOTE+1=QUOTE.5.設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量聽從均值為800，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布，則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為 ()(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997)A.0.977 B.0.683C.0.997 D.0.954【解析】選A.因?yàn)閄～N(800，502)，所以P(700≤X≤900)=0.9545，所以P(X>900)=QUOTE≈0.022，所以P(X≤900)=1-0.022=0.977.6.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ1～BQUOTE,ξ2～BQUOTE,0<p1<p2<1,它們的方差分別為D(ξ1),D(ξ2),則下列推斷正確的是 ()A.D(ξ1)>D(ξ2)B.D(ξ1)<D(ξ2)C.D(ξ1)=D(ξ2)D.當(dāng)QUOTE<QUOTE時(shí),D(ξ1)>D(ξ2),當(dāng)QUOTE>QUOTE時(shí),D(ξ1)<D(ξ2),當(dāng)QUOTE=QUOTE時(shí),D(ξ1)=D(ξ2)【解析】選D.因?yàn)槎?xiàng)分布的方差為D(ξ)=20pQUOTE,所以函數(shù)pQUOTE是二次函數(shù),對(duì)稱軸是p=QUOTE,開口向下,所以離對(duì)稱軸近的自變量的函數(shù)值大,所以D正確,A,B,C都不對(duì).7.2024年4月,習(xí)近平總書記專程前往重慶石柱考察了“精準(zhǔn)脫貧”工作.為了進(jìn)一步解決“兩不愁,三保障”的突出問(wèn)題,當(dāng)?shù)刂浒住⒁以趦?nèi)的5名專家對(duì)石柱縣的3個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研,要求每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少支配一名專家,則甲、乙兩名專家支配在不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.記甲、乙兩名專家被安排在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的事務(wù)為A,5名專家分到3個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn),共有2種狀況,1種狀況為1,1,3人,另1種狀況為1,2,2人.那么P(A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以甲、乙兩名專家不在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為:P(QUOTE)=1-P(A)=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,…,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,3≤X<5為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,假定甲廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如表所示:X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)=6,則a,b的值分別為________,________.

【解析】因?yàn)镋(X1)=6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2.又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.由QUOTE解得QUOTE答案:0.3 0.29.已知隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=________.

【解析】依題可得E(X)=np=30且D(X)=np(1-p)=20,解得p=QUOTE.答案:QUOTE10.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123Pp若Y=QUOTEX+1,則Y的均值為__________,方差為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)镼UOTE+QUOTE+QUOTE+p=1,所以p=QUOTE,所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以E(Y)=QUOTEE(X)+1=QUOTE,D(Y)=QUOTED(X)=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE(15分鐘35分)1.(5分)(2024·浙江高考)設(shè)0<a<1,隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí) ()A.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大【解析】選D.由表可以求得E(X)=0×QUOTE+a×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE+QUOTEa,E(X2)=0×QUOTE+a2×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE+QUOTEa2,所以由D(X)=E(X2)-QUOTE=QUOTE+QUOTEa2-QUOTE=QUOTEa2-QUOTEa+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)先減小后增大.2.(5分)已知離散型隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布,即X～B(1,p)(0<p<1),則方差D(X)最大時(shí),p= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閄～BQUOTE,所以D(X)=pQUOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p,即p=QUOTE時(shí)取等號(hào).3.(5分)已知隨機(jī)變量X～B(2,p),Y～N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0<Y<2)=p,則P(Y>4)=________.

【解析】方法一:隨機(jī)變量X～B(2,p)表示兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)事務(wù)A發(fā)生的概率為p,P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=QUOTEp(1-p)+QUOTEp2=0.64,所以,p2-2p+0.64=0,(p-0.4)(p-1.6)=0,所以p=0.4(p=1.6舍).因?yàn)閅～N(2,σ2),P(0<Y<2)=p,所以P(2<Y<4)=p,P(Y>4)=QUOTE[1-P(0≤Y≤4)]=QUOTE(1-2p)=0.5-p=0.5-0.4=0.1.方法二:隨機(jī)變量X～B(2,p)表示兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)事務(wù)A發(fā)生的概率為p,P(X≥1)=1-P(X=0),所以P(X=0)=0.36.所以,P(X=0)=QUOTE(1-p)2=0.36,所以p=0.4.因?yàn)閅～N(2,σ2),P(0<Y<2)=p,所以P(2<Y<4)=p,P(Y>4)=QUOTE[1-P(0≤Y≤4)]=QUOTE(1-2p)=0.5-p=0.5-0.4=0.1.答案:0.14.(10分)某種類型的題目有A,B,C,D,E共5個(gè)選項(xiàng),其中有3個(gè)正確選項(xiàng),滿分5分.賦分標(biāo)準(zhǔn)為“選對(duì)1個(gè)得2分,選對(duì)2個(gè)得4分,選對(duì)3個(gè)得5分,每選錯(cuò)1個(gè)扣3分,最低得分為0分”.在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題目,已知此題的正確答案為ACD,假定考生作答的答案中的選項(xiàng)個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè).(1)若甲同學(xué)無(wú)法推斷全部選項(xiàng),他確定在這5個(gè)選項(xiàng)中任選3個(gè)作為答案,求甲同學(xué)獲得0分的概率.(2)若乙同學(xué)只能推斷選項(xiàng)AD是正確的,現(xiàn)在他有兩種選擇:一種是將AD作為答案,另一種是在B,C,E這3個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)與AD組成一個(gè)含有3個(gè)選項(xiàng)的答案,則乙同學(xué)的最佳選擇是哪一種,請(qǐng)說(shuō)明理由. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)甲同學(xué)在這5個(gè)選項(xiàng)中任選3個(gè)作為答案得分為0分,只有一種狀況,那就是選了1個(gè)正確答案2個(gè)錯(cuò)誤答案.所以,所求概率P=QUOTE=QUOTE.(2)乙同學(xué)的最佳選擇是選擇AD.理由如下:設(shè)乙同學(xué)此題得分為X分,①若乙同學(xué)僅選擇AD,則X=4,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4;②若乙同學(xué)選擇3個(gè)選項(xiàng),則他可能的答案為ABD,ACD,ADE,共3種.其中選擇ABD,ADE,得分均為1分,其概率為QUOTE;選擇ACD,得分為5分,其概率為QUOTE.所以數(shù)學(xué)期望E(X)=QUOTE×1+QUOTE×5=QUOTE.由于4>QUOTE,所以乙同學(xué)的最佳選擇是選擇AD.5.(10分)世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來(lái)了肯定的增長(zhǎng),某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計(jì)世界杯足球賽期間商品的銷售狀況,隨機(jī)抽查了該商店某天200名顧客的消費(fèi)金額狀況,得到如下頻數(shù)分布表:消費(fèi)金額/萬(wàn)盧布顧客人數(shù)[0,1]9(1,2]31(2,3]36(3,4]44(4,5]62(5,6]18合計(jì)200將消費(fèi)金額超過(guò)4萬(wàn)盧布的顧客定義為”足球迷”,消費(fèi)金額不超過(guò)4萬(wàn)盧布的顧客定義為“非足球迷”.(1)求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)(同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表).(2)該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜愛(ài)紀(jì)念品的類型,采納分層抽樣的方法從“非足球迷”“足球迷”中選取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)設(shè)這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)為t,則有QUOTE+(t-3)×QUOTE=0.5,解得t=QUOTE,所以這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)為QUOTE.這200名顧客消費(fèi)金額的平均數(shù)為QUOTE,QUOTE=QUOTE×0.5+QUOTE×1.5+QUOTE×2.5+QUOTE×3.5+QUOTE×4.5+QUOTE×5.5=3.365,所以這200名顧客的消費(fèi)金額的平均數(shù)為3.365萬(wàn)盧布.(2)由頻率分布表可知,“足球迷”與“非足球迷”的人數(shù)比為QUOTE=QUOTE,采納分層抽樣的方法,從“足球迷”“非足球迷”中選取5人,其中“足球迷”有5×QUOTE=2人,“非足球迷”有5×QUOTE=3人.設(shè)ξ為選取的3人中非足球迷的人數(shù),取值為1,2,3.則P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE.分布列為:ξ123P0.30.60.1E(ξ)=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.1.一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新的,3個(gè)舊的,從盒中任取3個(gè)球來(lái)用,用完后裝回盒中,此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE