2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學（文）試題（解析版）

2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學（文）試題一、單選題1．設復數(shù)的實部與虛部分別為a，b，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用復數(shù)的運算法則，直接計算求解【詳解】，所以，；故選：A2．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元一次不等式求集合M，求一次函數(shù)值域求集合N，再應用集合的交運算求.【詳解】由題設，，，所以.故選：D3．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量線性運算的坐標表示得、的坐標，再根據(jù)向量平行的坐標表示列方程求值.【詳解】由題設，，，又，則，可得.故選：A4．2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，下面兩圖分別顯示的是2017~2021全國居民人均可支配收入及其增長速度和2021年全國居民人均消費支出及其構成，則下列說法正確的是（

）A．2021年全國居民人均可支配收入為35128元，比上年實際增長B．2017年~2021年五年時間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實際增長先減小后增大C．2021年全國居民人均消費支出，食品煙酒和居住占比不足D．2021年全國居民人均消費支出，教育文化娛樂占比最小【答案】B【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖及其數(shù)據(jù)逐個分析判斷即可【詳解】對于A，2021年全國居民人均可支配收入為35128元，2020年全國居民人均可支配收入為32189元，所以2021年比2020年增長，所以A錯誤，對于B，由統(tǒng)計圖可知2018全國居民人均可支配收入比2017增長，2019全國居民人均可支配收入比2018增長，2020全國居民人均可支配收入比2019增長，2021全國居民人均可支配收入比2020增長，所以2017年~2021年五年時間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實際增長先減小后增大，所以B正確，對于C，2021年全國居民人均消費支出，食品煙酒和居住占比為，所以C錯誤，對于D，由右圖可知，2021年全國居民人均消費支出，其他用品及服務占比最小，為，所以D錯誤，故選：B5．已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．的圖象的一個對稱中心為B．的圖象的一條對稱軸為C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象【答案】C【分析】代入法驗證A、B的正誤，應用整體法求的遞增區(qū)間判斷C，根據(jù)圖象平移及正弦函數(shù)的性質判斷D.【詳解】A：由，故是的一個對稱中心，正確；B：由，故是的一個對稱軸，正確；C：令且，則且，故當時在上單調(diào)遞增，當時在上單調(diào)遞增，錯誤；D：，顯然為奇函數(shù)，正確.故選：C6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三視圖知幾何體為長方體中去掉一個圓錐體，結合棱柱、圓錐的表面積求法求幾何體的表面積即可.【詳解】由三視圖知：幾何體為長方體中去掉一個圓錐體，如下圖示，所以圓錐底面半徑為3，母線長為，側面積為，底面積為，則幾何體的表面積為.故選：A7．已知，，對于命題；，下列為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，求出，，判斷出p，q命題真假，即可得解.【詳解】解：∵，，∴,∵，∴，即，故p為真命題，假命題；∴，故q為假命題，為真命題.∴為真命題，故選：B8．斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準晶體結構?化學等領域都有著廣泛的應用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．2695【答案】C【分析】根據(jù),遞推得到數(shù)列,然后再得到數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】因為所以數(shù)列為此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成的數(shù)列為:是以6為周期的周期數(shù)列,所以.故選：C.9．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質求出對應區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問題轉化為與交點橫坐標對應值的個數(shù)，結合數(shù)形結合法求零點個數(shù)即可.【詳解】令，當時，且遞增，此時，當時，且遞減，此時，當時，且遞增，此時，當時，且遞增，此時，所以，的零點等價于與交點橫坐標對應的值，如下圖示：由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.綜上，的零點共有4個.故選：B10．已知，是雙曲線的左?右焦點，點P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義及，可得，再由即可建立的方程，即得.【詳解】由題意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故選：C.11．若關于x的方程有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令且，將問題轉化為有兩個不同實根，利用導數(shù)研究的單調(diào)性及區(qū)間值域，進而求a的范圍.【詳解】由題設，有兩個實數(shù)根，令且，則，而，當時，遞增且值域為；當時，遞減且值域為.所以，要使有兩個不同實根，即，可得.故選：B12．已知正方體的表面積為96，點P為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得的截面周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點M，的中點N，可得平面為平面，由題可知正方體的棱長為4，即求；【詳解】取的中點M，的中點N，連結則∴平面PCD，，又平面，可得，又∴面，，,面，即平面為面，由題可知，故，，截面的周長為，故選：D.二、填空題13．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【分析】由題設畫出可行域，結合的最小值的幾何意義，與可行域有交點情況下對應直線截距最大即求得的最小值.【詳解】由題設畫出可行域入如下圖，由可得：，作直線沿可行域的方向平移，可知過點時，最大，最小.由得.所以的最小值為：.故答案為：.14．已知，則___________.【答案】【分析】利用誘導公式和余弦倍角公式代入即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以所以，解得，.故答案為：.15．已知拋物線，點A在y軸正半軸上，點B，C為拋物線E上兩個不同的點，其中點B在第四象限，且四邊形為菱形（為坐標原點，），則菱形的面積為___________.【答案】【分析】設點，，，根據(jù)拋物線的方程和菱形的性質建立方程組，求解即可.【詳解】解：設點，，，因為點B，C為拋物線E上兩個不同的點，且四邊形為菱形，所以，解得，所以菱形的面積為，故答案為：.16．已知首項為1的數(shù)列的前n項和為，正項等比數(shù)列滿足，，若，且在數(shù)列中，僅有5項不小于實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義和通項公式求出，從而求出，根據(jù)前n項和定義結合累加法求出，作差分析的單調(diào)性，從而結合題意求解即可.【詳解】設，則根據(jù)，得，兩式相除得，結合正項等比數(shù)列知，所以，所以，因為，所以,即，所以，累加得；n=1成立，，所以當時，所以數(shù)列在時單調(diào)遞減，根據(jù)題意需要，所以，則實數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.三、解答題17．第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕.某同學為了解本校學生對“2022年北京冬奧會”的關注度，隨機抽取了100名學生了解其收看“冬奧會”節(jié)目的情況，有1天收看記為1次，有2天收看記為2次，…，有17天收看記為17次（當天多次收看只記1次），并將這100人按次數(shù)分組：第1組，第2組，第3組，第4組，得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值，并估計本校學生的平均收看次數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替）；(2)若第4組中有7名女生，其中高一年級3名，高二年級3名，高三年級1名，現(xiàn)從7名女生中隨機抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會”節(jié)日，求所抽取的2人中沒有高三年級女生的概率.【答案】(1)；本校學生的平均收看次數(shù)為次.(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1，求出a的值，再利用頻率分布直方圖求平均值的方法計算平均值即可.（2）先計算出從7名女生中隨機抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會”節(jié)日的方法種數(shù)，再求所抽取的2人中沒有高三年級女生的方法種數(shù)，由古典概型公式代入即可.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：，得：.由頻率分布直方圖得組組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，本校學生的平均收看次數(shù)為次.(2)第4組中有7名女生，其中高一年級3名，高二年級3名，高三年級1名，現(xiàn)從7名女生中隨機抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會”節(jié)日，共有種，所抽取的2人中沒有高三年級女生，共有：種，設所抽取的2人中沒有高三年級女生的概率為事件，則.18．已知△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)若，求△周長的取值范圍.【答案】(1)；’(2).【分析】（1）利用正弦定理邊角關系、三角形內(nèi)角的性質及和角正弦公式可得，即可求B的大?。唬?）由余弦定理及基本不等式可得，注意等號成立條件，結合三角形三邊關系確定b的范圍，進而可得△周長的取值范圍.【詳解】(1)由題設，，而，所以，即，又，故且，則.(2)由，故，當且僅當時等號成立，而，所以△周長的取值范圍為，即.19．如圖，在中，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，是由繞直線旋轉得到，連接，，.(1)求證：平面；(2)若，求點E到平面的距離.【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）由題可知，再由結合線面垂直判定證明即可；（2）利用等積法即求.【詳解】(1)因為，，，，又，平面，平面；(2)因為平面，，∴平面，由題可知，∵，，∴，∵，∴，設點E到平面的距離為，由，得，解得.20．已知橢圓的左?右焦點分別為，，離心率為，P為橢圓C上一點，且△面積的最大值為4.(1)求橢圓C的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線和，A，B，D，E都在橢圓C上，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)離心率、焦點三角形的性質及橢圓參數(shù)關系列方程求a、b，即可得橢圓方程.（2）討論直線和的斜率，設直線方程并聯(lián)立橢圓，應用韋達定理及弦長公式求、，結合直線斜率范圍求比值的范圍.【詳解】(1)由題設，，解得，故橢圓C的方程為.(2)由（1）知：，若直線和的斜率存在，令，則，且，聯(lián)立與橢圓并整理得：，則，所以，，故，同理，，所以；若直線和，其中一條直線的斜率不存在，當斜率不存在，則斜率為0，此時，，則；當斜率不存在，則斜率為0，此時，，則；綜上，的范圍為.21．已知函數(shù)有兩個零點，，且.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得有兩個解，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，數(shù)形結合即得；（2）由題可得，進而可轉化為證，利用換元即證，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值即得.【詳解】(1)令，則，令，則，所以當時，，當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當時，，又，∴當時，當時，，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍為；(2)由題可得，兩式相減可得，，要證，即證，即證，也即證，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，∴，所以，故原命題成立.【點睛】利用導數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)硏究.22．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)求直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程；(2)若過極點O的直線交l于點M，交C于點N，求的最小值.【答案】(1)；；(2)2.【分析】(1)通過消去t求出直線的普通方程，結合即可求出直線的極坐標方程；利用計算即可得出曲線的直角坐標方程；(2)設直線的極角為()，根據(jù)題意可得、，由三角恒等變換可得，結合正弦函數(shù)的性質即可求得結果.【詳解】(1)由(t為參數(shù))，得，又，所以直線的極坐標方程為，即；由，得，又，所以曲線C的直角坐標方程為，即；(2)由(1)知