高中數(shù)學(xué)必修5之解三角形

高中數(shù)學(xué)必修5第一單元解三角形

【第一部分】基礎(chǔ)知識(shí)提要

1.1正弦定理和余弦定理

i.i.i正弦定理

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即/一="_='一

sinAsinBsinC

ahc

正弦定理推論：①_J=_L=」一=2H（R為三角形外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

@a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2RsinC

-asinAbsinBasinA

@-=-----,-,-=-----

hsin3csinCcsinC

④a:b:c=sinA:sin3:sinC

abca+b+c

⑤=---------=-----=-------------------

sinAsin3sinCsinA+sin8+sinC

2、解三角形的概念：一般地，我們把三角形的各個(gè)角即他們所對(duì)的邊叫做三角形的元素。任何一個(gè)三角形

都有六個(gè)元素：三條邊c）和三個(gè)內(nèi)角（A,氏C）.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)

程叫做解三角形。

3、正弦定理確定三角形解的情況

圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

cC

A

A/I@a=bsinA

,為一解

銳/」②。2b

A/VB-B

bsinA<a<b兩解

,4B.B

a<hsinA無(wú)解

AB

AC

為ba>b一解

.4/AB

鈍

角

或c

區(qū)a<b無(wú)解

直wB

角

4、任意三角形面積公式為：

SAHC=—Z?csinA='acsinB=—a/?sinC=

c2224/?

1.1.2余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩

倍，即

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2cacosB,c2-a2+b2-2abcosC.

人所王鈿姓人At>2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

余弦定理推論：cosA=--------------,cosB----------------,cosC----------------

2bc2ac2ab

6、不常用的三角函數(shù)值

15°75°105°165°

V6-V2V6+V2V6+V2V6-V2

sina

4444

A/6

cosa屈+尬—V2-V6+V2V6+V2

4444

tana2-V32+V3-2-V3-2+V3

1.2應(yīng)用舉例（瀏覽即可）

1、方位角：如圖1,從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。

2、方向角：如圖2,從指定線到目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角。（指定方向線是指正北或正南或正

西或正東）

3、仰角和俯角：如圖3,與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線

上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角。

水平面/

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）視角（5）坡角與坡比

4、視角：如圖4,觀察物體的兩端，視線張開的角度稱為視角。

5、鉛直平行：與海平面垂直的平面。

6、坡角與坡比：如圖5,坡面與水平面所成的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫坡比

【小結(jié)及補(bǔ)充】

1、三角形三角關(guān)系:A+B三=180°；0180°-（A+B）；

2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c

3、三角形中的基本關(guān)系：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=—cosC,tan(4+B)=-tanC,

A+BCA+BCA+BC

sin=cos一,cos=sin一tan=cot—

222222

4、正弦定理:在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則

..abc--

有-----=-----=-----=2R.

sinAsinBsinC

5、正弦定理的變形公式:

①化角為邊：。=2HsinA,Z?=27?sinB,c=27?sinC；

nhc

②化邊為角：sinA=一-，sinB=——，sinC=——；

2R2R2R

....c.-a+6+ccihc

（3）a:p:c=sinA:sinB:sinC；④-------------------=-----=-----=-----.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

6、兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

②已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一

解、兩解、三解））

7、余弦定理：在AABC中,a2*456=b2+c2-2Z?ccosA,b2=a1+c2-2accosB,

c2=a2+b2-labcosC.

人廿、EA…、/.b+c-a-ca-+c--b~「a+lr-c-

8、余弦定理的推論：cosA=----------,cosB=----------,cosC=---------

2bc2ac2ab

（余弦定理主要解決的問(wèn)題：1.已知兩邊和夾角，求其余的量。2.己知三邊求角）

9、余弦定理主要解決的問(wèn)題：①已知兩邊和夾角，求其余的量。②已知三邊求角）

10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角

的形式設(shè)。、b、c是AABC的角A、B、C的對(duì)邊，則：

①若/+層=。2,則C=90°；②若"+〃>02,則c<90。；③若"+。2<‘2,則c>90°.

11、三角形面積公式：

(1)S=-ah=-bh=-ch(力八h>>分別表示a、b、c上的高)；

2a2b2cb

(2)S=-absinC=-bcsinA=-acsinB：

222

(3)S=a2sinBsinC_h2sinCsinA_c2sinAsinB

2sin(5+C)2sin(C+A)2sin(J+B)'

(4)S=2/?2sia4sin8sinCo(R為外接圓半徑)

(5)S=—；

4R

(6)S=V/Xp-s')(p-b)(p-c)；(0=g(a+6+c))

12、三角形的四心:

垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)

重心一一三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對(duì)邊距離之比為2:1）

外心一一三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）

內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）

13、三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式及輔助角公式（和差角、倍角等）。

特殊角的三角函數(shù)值

角度a0:30。45°60。90°120°135°1500180°270。360’

K7次萬(wàn)2斤3T5M3萬(wàn)

a的弧度0JT2尸

64326

在

sina￡2

0三1正三0-10

222222

￡1

COSa1在叵0一叵-101

222y2

縣

tana0141-100

33

【第二部分】典型例題及常考題型精講

考察點(diǎn)1:利用正弦定理解三角形

例1

在△ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.

【點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形

式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。

?.?A:B:C=1:2:3,而A+B+C=〃.

■,A=-,B=-,C=-,

632

a:b:=sinA:sin8:sinC=sin—:sin—:sin—=—::1=1:石：2.

解：63222

【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。

例2在ABC中，已知c=6+瓜,C=30°,求a+b的取值范圍。

【點(diǎn)撥】此題可先運(yùn)用正弦定理將a+b表示為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再求解。

a_b_c_^2+>/6

解：..十二?。。，。=血+而，.?.由正弦定理得：sinAsin8sinCsin30°

a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin(150°-A).

；.a+b=2(丑+#)[sinA+sin(150°-A)]=2(/+遍)?2sin75°?cos(75°-A)=

cos(75°-A)

①當(dāng)75°-A=0°,即A=75°時(shí)，a+b取得最大值("+")=8+40；

②VA=180°-(C+B)=150°-B,...AVISO。，.t.00<A<150°,

.,.-75°<75°-A<75°,Z.COS750<cos(75°-A)W1,

/f—/—\2>/6-V2

4e+㈣x-一=8+娓

cos75°

綜合①②可得a+b的取值范圍為(也+指,8+4G>

考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀

例3

在△ABC中，a??tanB=b2-tanA,判斷三角形ABC的形狀。

【點(diǎn)撥】通過(guò)正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷aABC的形狀。

解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：

(2RsinA)??洶O=(2Rsin町?組工

cosBcosA

/.sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B,2A=28或24+2B=TI,

、7t

:.A=B^A+B^—

2.

AABC為等腰三角形或直角三角形。

【解題策略】“在AABC中，由5畝24=$皿25得/人=/13”是常犯的錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)上述解答過(guò)程中“/

71

A=/B或NA+NB=2”的導(dǎo)出過(guò)程。

例4

在aABC中，如果lga-lgc=lgsin8=—lg夜，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。

【點(diǎn)撥】通過(guò)正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來(lái)判斷AABC的形狀。

1gsinB=-lgV2,sinB=

解：2.

又；B為銳角，，B=45°.

lga-lgc=-lgV2,=—.

由。2

sinA_V2

由正弦定理，得sinC2,

...4=180。-45°-C,代入上式得：

V2sinC=2sin(135°-C)

=2(sin135°cosC-cos135°sinC)

=>/2cosC+5/2sinC,

/.cosC=0,C=90°,A=45°.

.?.△ABC為等腰直角三角形。

考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式

例5

222222

a-bh-cc-an

在aABC中，求證cosA+cos3cosB+cosCcosC+cosA

【點(diǎn)撥】觀察等式的特點(diǎn)，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將"，O''轉(zhuǎn)化為

sin*2A,sin2B.sin2C

證明：由正弦定理的變式2=2/^^4。=2/?5皿8得：

a2-b2_4/?2sin2A-4R2sin2B

cosA+cosBcosA+cosB

_4R2[(1-COS2A)-(1-KB)]

cosA+cosB

/co"?#*.'2—*)

cosA+cosB

力22

-------:=42(COSC-cos

cosB+cosC

2---2

——-——---=4R2(COSA-cosC).

同理cosC+cosA

/.左邊=4/?2(cosB-cosA+cosC-cosB+cosA-cosC)

=0=右邊

等式成立。

【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識(shí)

去解決，要注意體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。

例6

在aABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，C=2B,求證c2一

【點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.

證明.，?,^+5+C=180°,.-.fi+C=180°-A

^-.C=2B,:.C-B=B.

,/sin(B+C)=sin(l80°-A)=sinA,

/.c2-h2=47?2(sin2C-sin2B)

=47?2(sinC+sinB)(sinC-sinB)

+CC-BB+C.C-B

=4/??2sin-----?cos-----<2cos-----?sin-----

2222

=4R2sin(C+B)sin(C-B)=4R2sinAsinB="=右邊.

「?等式成立.

【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。

(1)A+B+C=7r,A+B=7r-C,^-^-=--—,2A+

222

2B=2TT-2C.

(2)sin(4+B)=sinC,cos(A+B)=—cosC,tan(A+B)

=-tanC.

A+BCA+B.CA+8

(3)sin=cos—,cossin—Jan

22222

C

cot——.

2

(4)sin(2A+2B)=-sin2C,cos(2A+2B)=cos2C,

tan(2A+2B)=-tan2C.

考察點(diǎn)4：求三角形的面積

例7

.一萬(wàn)B_2出

在aABC中，a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若425，求AABC的面積S.

【點(diǎn)撥】先利用三角公式求出sinB,sinA及邊c,再求面積。

B2亞R.2B13

cos—=-----cosB=2cos----1,

解：由題意25,得25

4772

sin3=—,sinA=sin(乃-B-C)=sin(-----B)------,

...B為銳角，5410

10

c=—

由正弦定理得7

S——ncsinB=—?2?—?———.

22757

【解題策略】在aABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用,

A+B

A+B+C=%,sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=-cosC;sin-------=

CA+B

cos—,cos=sin—.

222

例8

c=-

已知aABC中a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，AABC的外接圓半徑為12,且3,求aABC的面

積S的最大值。

【點(diǎn)撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。

S=—absinC=—?2RsinA*27?sinB*sinC

解：22

=y/3R2sinAsinB=——R21cos(A-B)—cos(A+B)]

2

=-/?2[COS(A-B)+-].

22

當(dāng)cos(A—8)=1,即A=寸，

(LBCL=乎用=苧.]44=108后

【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過(guò)討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值。

考察點(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問(wèn)題

例9

已知aABC的內(nèi)角A,B極其對(duì)邊a,b滿足。。="cotA+"cot民求內(nèi)角，

【點(diǎn)撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)

化能力。

解法1：

ab

a+b=acotA+bcot氏且-----=-----=2R

sinAsin8(R為aABC的外接圓半徑)，

/.sinA-cosA=cosB-sinB,1-sin2A=1-cos2B.

cos2A-cos23=0

又,/sin2A-sin23=2cos(A+B)sin(A-B).

/.cos(A+B)sin(A-B)=0,

/.cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.

：.A+B=-^A=B,

又YA,B為三角形的內(nèi)角，2

當(dāng)A+6=2時(shí)，C=上;

22

7171

cotA=1,A+1B=—,C=—.

當(dāng)A=B時(shí)，由已知得42

C=-

綜上可知，內(nèi)角2.

解法2：

由a+0=acotA+"cotB及正弦定理得，

sinA+sinB=cosA+cosB,

sinA-cosA=cosZ?-sinZ?,

-sinBcos—,

4

sin(A----)=sin(----B).

即44

又：0<A+BVit,44

【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。

例10

cosAb4

在AABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c=10,cosBa§,求a,b及4ABC的內(nèi)切圓半徑。

【點(diǎn)撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。

變形為sinAcosA=sinBcosB,/.sin2A=sin2B

71

cib,2A——7i—25,A+5=—,

又2

.?.△ABC是直角三角形。

a2+b-=102

<方_4

a3,解得a=6,8=8

ABCS勺內(nèi)切圓半徑為r="+"-c=6+8T°=2

【解題策略】解此類問(wèn)題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用.

【易錯(cuò)疑難辨析】

易錯(cuò)點(diǎn)利用正弦定理解題時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解

【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】本節(jié)知識(shí)在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：(1)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定

理求另一邊的對(duì)角時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解；(2)在判斷三角形的形狀時(shí)，出現(xiàn)漏解的情況。

例1

(1)在aABC中，0=2"匕=6,4=30°,求8;

(2)在aABC中，"=6=2,A=60°,求8;

【錯(cuò)解】

.,sinA/sin30°G

smDB-bx------=6x——廠=——，，3=60°

(1)由正弦定理得a2132

sinB=bx把△=2x出?=_L,.⑶=30。或150°

(2)由正弦定理得a2A/32

sinB=—_p.

【點(diǎn)撥】(1)漏解，由2(0。<B<180°)可得3=60°或120°因?yàn)閎>a,所以兩解都存在。(2)

si,n5c=一1

增解。由2(0。<B<180°)可得8=30°或150°,因?yàn)閎<a,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知B<

A,所以3=150。不符合條件，應(yīng)舍去。

【正解】

.八,sinA/sin30°g

sinB=bx=6x=——.

(1)由正弦定理得a2j32

又。。<B<180°

??-8=6()°或120°(經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意)

.n.sinA.sin6001

sinB=bx------=2x------=-=—.

(2)由正弦定理得a2j32

又：0°VBV180°,8=30°或150°

Vb<a,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BVA,

,6=150。不符合條件，應(yīng)舍去，..?8=30。。

易錯(cuò)點(diǎn)忽略三角形本身的隱含條件致錯(cuò)

【易錯(cuò)點(diǎn)解析】解題過(guò)程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180°等造成的錯(cuò)誤。

例2

C

在AABC中，若C=38，求］的取值范圍。

【錯(cuò)解】

由正弦定理得

c_sinC_sin33_sin(8+2B)

bsinBsinBsinB

_sinBcos2B+cosBsin2B

sin8

=cos2B+2cos2B=4cos2B-l.

0<cos2B<1.\-l<4cos2-1<3,/.0<—<3

b

—=4cos?B—\

【點(diǎn)撥】在上述解題過(guò)程中，得到了b后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含的A，*8，。均為

正角這一條件。

【正解】

由正弦定理可知

c_sinC_sin3B_sin（6+2B）

石-sin]sin/?-sin8

_sin2?cos22?+cosJBsin22?

sin8

=cos28+2cos2B=4cos2B-\.

?.?A+6+C=180。,C=3B.

受

AO°<B<45°,2<COSB<1

c

2

.,.l<4cosB-\<3j故iv劣<3.

【高考真題評(píng)析】

例1

（2010?廣東高考）己知a,b,c分別是aABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若"=L"=6,A+C=23,

則sinC=----------

【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值。

nntzsinB1

人n廠_B=—sinA=------二—,

【點(diǎn)撥】在aABC中，A+*+C=鞏又A+C=28,故3,由正弦定理知b2又a

.B廠兀

<b,因此6從而可知2,即sinC=l。故填i.

【名師點(diǎn)評(píng)】解三角形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。

例2

b=\,c=6,C=,

（2010?北京高考）如圖1-9所示，在AABC中，若3

則a=--------------

【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問(wèn)題，同時(shí)要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。

=—sinB=-.

sin紅.82

【點(diǎn)撥】由正弦定理得，3

：C為鈍角，，B必為銳角，

B=—A—a-b—\.

66

故填1

【名師點(diǎn)評(píng)】

2_

在（0萬(wàn)）范圍內(nèi)，正弦值等于5的角有兩個(gè)，因?yàn)榻荂為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而

出現(xiàn)增解

圖1-9

例3

（2010?湖北高考）在aABC中，”=15,Z?=10,A=60°,則cosB等于（）

420?272「水V6

A.-----B.----C.----D.——n

3333

【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍。

1U

1510.n10.sin60°2G

------=-----sinB=-----------=-----=——.

【點(diǎn)撥】由正弦定理得sin60°sinB15153?:a>b,A=60°,AB

76

/.cosB=vl-sin2B

3

為銳角。,故選D

【名師點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對(duì)大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。

例4

AC_cosB

（2010?天津高考）在aABC中，cosC

（1）求證B=C；

cosA=--sin48+g

（2）若3,求I3J的值。

【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦

與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察基本運(yùn)算能力。

sinB_cosB

證明：（1）在aABC中，由正弦定理及已知，得sinCcosCo

于是sin5cosC-cosBsinC=0,即sin（3—C）=0.

因?yàn)橐荒耍糂-C＜兀,從而B-C=0,所以B=C.

cos2B=-cos（zr-2B）=-cosA=—

解：（2）由A+8+C=乃和（i）得A=%_28,故3

sin2B=V1-COS22B=sin48=2sin28cos28=拽^

又0<2BV萬(wàn)，于是3從而9

7.()幾4夜-

cos4B=cos22B-sin22B=——sin4B+—=sin4Bcos—

9。所以I3j318

【名師點(diǎn)評(píng)】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在

求2B的正弦值時(shí)要先判斷2B的取值范圍。

【第三部分】習(xí)題精煉

1.1.1正弦定理

第1課時(shí)正弦定理(1)

,匕?對(duì)點(diǎn)練

知識(shí)點(diǎn)一已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形

1.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=g,則sinB=()

A.gB.1C.當(dāng)D.1

答案B

解析由急=右，知在熹，即故選B-

3

2.在AABC中，若A=120。，AB=5,BC=7,則sinB=.

答案主&

口來(lái)14

初44P今之加zABBC.eABsinA5sinl20°5^3

解析由正弦定理，得B菽=R，即6msmC=R==^^=Uj-

由題意可知C為銳角，,cosC=yj1—sin2C=1^.

二sinB=sin(180°-120°-Q=sin(60°-Q

=sin60°cosC—cos60°sinC=^j^.

知識(shí)點(diǎn)二已知兩角及一邊解三角形

3.一個(gè)三角形的兩內(nèi)角分別為45。與60。，如果45。角所對(duì)的邊的長(zhǎng)是6,那么60。角所對(duì)

的邊的長(zhǎng)是()

A.3加B.372C.3#D.276

答案A

解析設(shè)60。角所對(duì)的邊的長(zhǎng)為x,由甘玄=扁不，

olll?J5II1UU

6義圣

6sin600°2r-

x一高市一15一一3?6,故選A-

2

4.在aABC中，a,h,c分別是角A,B,。的對(duì)邊，若A=105。，8=45。，Z?=2啦，則

邊c=.

答案2

解析由A+3+C=180。，知C=30。，

由_￡____0加inC2也義.

由sinC-sin"作c—sin^一巫-2-

2

知識(shí)點(diǎn)三判斷三角形解的個(gè)數(shù)

5.△ABC中，。=30,c=15,C=26°,則此三角形解的情況是（）

A.一解B.兩解C.無(wú)解D.無(wú)法確定

答案B

解析?"=30,c=15,C=26°,.,.c=Ain30°>加inC,又c<b,如圖，

此三角形有兩解.

6.在△A3C中，a=80,Z?=100,A=45。，則此三角形解的情況是（）

A.一解B.兩解

C.一解或兩解D.無(wú)解

答案B

解析,“sinA<a。，，此三角形有兩解，故選B.

7.已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,h,c,A=60°,b=4后若此三

角形有且只有一個(gè)，則。的取值范圍是（）

A.0<a<4"\/3B.a=6

C.心44或a=6D.0<a<4小

答案C

解析當(dāng)a=bsirt4=4小X?=6時(shí)，

△ABC為直角三角形，有且只有一解；

當(dāng)a》b=4小時(shí)，此三角形只有一解，

此時(shí)8WA=60。.綜上，a24小或a=6時(shí)，此三角形有且只有一解.故選C.

易錯(cuò)點(diǎn)一忽視三角形中的邊角關(guān)系

8.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=15,b=TO,A=60°,則cosB

=()

西空逅

/\?一3>3?3L-/?3

易錯(cuò)分析本題在求出sinB=坐后，對(duì)cosB的符號(hào)判斷不清，誤選A或C.

答案D

解析根據(jù)正弦定理癮=心，得如止="警=噂，又a>b,所以角8為銳角，所以

S111/1b111JDH

cosB=坐.故選D.

9.在△ABC中，已知a=25，b=2,A=60°,則8=.

易錯(cuò)分析⑴由sin”/得8=30?；?50。，而忽視人=2<a=2小，從而易出錯(cuò).

(2)在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對(duì)大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍.

答案30°

解析由正弦定理，得sin8=0X受A=2X受

a2V3z

,?0°<B<180°,，8=30。或8=150。.

'：b<a,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知B<A,，B=150。不符合條件,應(yīng)舍去，,5=30。.

易錯(cuò)點(diǎn)二解三角形時(shí)忽略對(duì)角的討論

10.已知在△ABC中，a=事,b=y[2,B=45。，求角A,。和邊c.

易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)求出角A的正弦值后默認(rèn)A為銳角，從而漏解4=120。的情況.

解由正弦定理號(hào)=七，俱

SIIL4sinBSIIL4sin45

，sinA=與，=60?；駻=120。.

當(dāng)A=60°時(shí)，C=180°-45°-60°=75°.

,,也+加/?sinC啦

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°~~-----,".c==----2~

當(dāng)A=120。時(shí)，C=180。-45°—120°=15°.

\[6—\l2/?sinCy[6—y[2

00vvvv

Vsin150=sin(45°-30°)=sin45cos30°-cos45sin30°=4,?.c=-^y=2

AA=60°,C=75°,c=丫2或A=120°,C=15°,

c=2,

4期o綜合練

一'選擇題

1.在鈍角三角形ABC中，AB=小,AC=1,8=30。，則角A的大小為（）

A.120°B.45°C.30°D.15°

答案C

解析由于將AC—1J8=30。代入，求得sinC=^^~.又由△ABC

oillx^乙

是鈍角三角形，知。=120。，所以A=30。.故選C.

2.在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=30。，a=小,則△ABC的

外接圓的半徑為（）

A.1B.2C.小D.2小

答案c

解析由正弦定理，得2R=Ux=W=2小，則/?=#.故選C.

2

3.在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asir\B=bsinAD.acosB=bcosA

答案c

nhc

JE5^^^sinA-sinB-sinC*asinB-hsinA.

4.在△ABC中，已知人=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是（）

A.有一解

B.有兩解

C.無(wú)解

D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

答案C

,...「40X日

解析由正弦定理扁=磊，得=小>1.不存在.即滿足條

o1ILLJSUllx*C乙

件的三角形不存在.

5.在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若C=120。，c=45a,則（）

A.a>b

B.a<b

C.a=b

D.。與人的大小關(guān)系不能確定

答案C

解析由正弦定理可得急=^=魯2/

2

所以sinA=g,又顯然A為銳角，可得A=30。.

所以8=180。-A-C=30。，所以a=4故選C.

二'填空題

6-在△MO中，已知a"：c=4：3：5,則

答案1

、r?一八一f2sinA-sinB2X4k-3k

解析設(shè)a=4匕b=3k,c=5k(k>Q),由正弦正理，得/t3---而e----=-----點(diǎn)---=1.

7.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=75。，6=45。，c=36,

則邊b的值為.

答案24

...R3^X坐_

解析因?yàn)锳=75。，B=45。，所以C=60。，由正弦定理可得—近一=2小.

2

8.銳角三角形的內(nèi)角分別是A,B,C,并且A〉B.下面三個(gè)不等式成立的是.

①sinA〉sin&

②cosA〈cos&

③sinA+sinB>cosA+cosB.

答案①②③

解析?.??！匆砸缕c且函數(shù)y=sinx在(0,號(hào)上是增函數(shù)，.飛由人與出故①成立.

函數(shù)y=cosx在區(qū)間［0,兀］上是減函數(shù)，

VA>B,/.cosA<cosB,故②成立.

7T77

在銳角三角形中，\'A+B>y：.A>^-B,

則有sinA>sin住一5),即sinA>cosB,

同理sinB>cosA,故③成立.

三'解答題

9.在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,解這個(gè)三角形.

解VA=45°,C=30°,.,.B=180°-(A+C)=105°.

,accsirtA10Xsin45°八

由而=菽'zna=l^C=sin30°=1(Nr2.

,bc,csinB10Xsinl05°.

由~~~=z付0=

sinBD~sin~e~b~si?~ne~si~n3.c0o-20sin75.

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=丫4丫，Z.b=20X丫J=5也

10.在△ABC中，a=3,b=2*,N8=2NA.

(1)求cosA的值；

(2)求c的值.

解(1)因?yàn)閍=3,b=2~\[^>,N3=2NA,

所以在△ABC中，由正弦定理，得熹=親身，

o1iLzlSill^>71

,2sinAcosA2#,,,A/6

所n以s。f故cosA=V?

(2)由(1),知cosA=乎，

_______h

所以sinA=yj1—cos2A=3.

又因?yàn)閆B=2ZA,所以cosB=2cos2A—1=1.

所以sinB=yj1-cos2B=,

在△ABC中，sinC=sin(A+B)

?人pi5s

=smAcosB十cosA4sinBD=-.

asinC

所以csinA=5?

第2課時(shí)正弦定理⑵

,匕?對(duì)點(diǎn)練

知識(shí)點(diǎn)一正弦定理的變形及應(yīng)用

1.在△A3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若acosA=〃sinB,則sirt4cosA+

COS28=()

A.一；B.；C.-1D.1

答案D

解析*/acosA=AsinB,

sinAcosA=sin2B=1—cos2B,

/.sinAcosA+cos2B=1.

3

2.在△A3C中，sinA=767=10,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是()

A.-y,+°°B.(10,+00)

40

C.(0,10)D.0,y

答案D

解析?岑'-'-c=ysinC.VCG(0,7i),.\0<c<y.

3.在單位圓上有三點(diǎn)A,B,C,設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則熹+4正+券

sinAZsmnsmC

答案7

解析?:△ABC的外接圓的直徑為2R=2,

?=q=2/?=2,

**sinAsinBsinC乙'

sinA十2sinB'sinC=2+l+4=7.

知識(shí)點(diǎn)二判斷三角形的形狀

4.在△A3C中，若a=2/?cosC,則這個(gè)三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角