2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版三十六 數(shù)列的概念含答案

8版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版三十六數(shù)列的概念三十六數(shù)列的概念(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)數(shù)列{an}為12,3,112,8,212,…,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是 A.an=5n-42 BC.an=6n-52 D【解析】選A.方法一:數(shù)列{an}為12,62,112,162,212,…,其分母為2,分子是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列,故其通項(xiàng)公式為方法二:當(dāng)n=2時(shí),a2=3,而選項(xiàng)B,C,D,都不符合題意.2.(5分)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=nn+1,則1a5等于A.56 B.65 C.130 【解析】選D.因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=3.(5分)在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則a3a5的值是 A.1516 B.158 C.34 【解析】選C.由已知得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=12所以12a4=12+(-1)4,a所以3a5=3+(-1)5,所以a5=23所以a3a5=12×4.(5分)觀察數(shù)列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9,…,則該數(shù)列的第11項(xiàng)是 ()A.1111 B.11 C.ln11 D.sin11【解析】選C.由數(shù)列得出規(guī)律,按照1,ln2,sin3,…,是按正整數(shù)的順序排列,且以3為循環(huán),由11÷3=3……2,所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為ln11.【加練備選】數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2),那么a2022= ()A.-1 B.1 C.3 D.-3【解析】選A.因?yàn)閍n=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2,所以an+3=-an,所以an+6=-an+3=an,所以{an}是以6為周期的周期數(shù)列.因?yàn)?022=337×6,所以a2022=a6=-a3=-(a2-a1)=-(3-2)=-1.5.(5分)(2023·廣州模擬)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=2n-2023n,則當(dāng)an最小時(shí),n= (A.8 B.9 C.10 D.11【解析】選D.數(shù)列{an}中,an=2n-2023n,則an+1-an=2n-2023,210<2023<211,于是當(dāng)n≤10時(shí),an+1-an<0,則an+1<an,當(dāng)n≥11時(shí),an+1-an>0,即an+1>an,因此當(dāng)n∈N*,n≤11時(shí),數(shù)列{an}單調(diào)遞減,當(dāng)n≥11時(shí),數(shù)列{an}單調(diào)遞增,所以當(dāng)且僅當(dāng)n=11時(shí),an最小.6.(5分)(多選題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則下列結(jié)論正確的是 ()A.an=1B.an=-C.Sn=-1D.數(shù)列1S【解析】選BCD.因?yàn)閍n+1=SnSn+1,an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn-所以1Sn是首項(xiàng)為1S1=所以1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-即Sn=-1n又當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-1n+1n-1=1故an=-綜上可知,BCD正確.7.(5分)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=23n2-13n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=43當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=23n2-13n-[23(n-1)2-13=4n3又a1=43則an=43答案:48.(5分)大衍數(shù)列,來(lái)源于我國(guó)的《乾坤譜》,主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.其前11項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,則大衍數(shù)列的第41項(xiàng)為_(kāi)_______.

【解析】由題意得,大衍數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為12-12,32-12答案:8409.(10分)已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿(mǎn)足Sn=12an2+12an(n(1)求a1,a2,a3,a4的值;【解析】(1)由Sn=12an2+12an(n∈N*)可得,a1=1解得a1=1,a1=0(舍).S2=a1+a2=12a22+解得a2=2(負(fù)值舍去);同理可得a3=3,a4=4.9.(10分)已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿(mǎn)足Sn=12an2+12an(n(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(2)因?yàn)镾n=12an2所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=12an-①-②得an=12(an-an-1)+12(an所以(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n.【能力提升練】10.(5分)如果數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么數(shù)列{an+bn}的第37項(xiàng)為 ()A.0 B.37 C.100 D.-37【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以數(shù)列{an+bn}仍然是等差數(shù)列,公差為d1+d2.又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0,所以數(shù)列{an+bn}為常數(shù)列,所以a37+b37=a1+b1=100.11.(5分)(2024·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=(1-3a)·n+10a,n≤6,an-7,n>6A.(13,1) B.(13C.(13,12] D.(1【解析】選D.由題意,知1解得13<a<512.(5分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2,那么當(dāng)n≥2時(shí),an=________.

【解析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則Tn=n2,當(dāng)n≥2時(shí),an=TnTn答案:n13.(5分)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-10n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________,數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng).

【解析】因?yàn)镾n=n2-10n,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-11;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-9也適合上式.所以an=2n-11(n∈N*).記f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線n=114,但n∈N*所以當(dāng)n=3時(shí),f(n)取最小值.所以數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng).答案:2n-11314.(10分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,因?yàn)閍1=2滿(mǎn)足該式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.14.(10分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:an=b13+1+b232+1+b333【解析】(2)因?yàn)閍n=b13+1+b232+1+b33所以an+1=b13+1+b232+1+b33②-①,得bn+13n+1+1=abn+1=2(3n+1+1).故bn=2(3n+1)(n∈N*).15.(10分)已知數(shù)列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;【解析】(1)因?yàn)閍n=1+1a+2(n-1)(n∈N*又a=-7,所以an=1+12結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.15.(10分)已知數(shù)列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,(2)若對(duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.【解析】(2)an=1+1a+2(因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立,結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12知5<2-a2<6,所以-10<故a的取值范圍為(-10,-8).【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且?n∈N*,an+1>an,Sn≥S3.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________.

【解析】由?n∈N*,an+1>an可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又Sn≥S3,故a4≥0,且a3≤0(等號(hào)不同時(shí)成立),因此滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為an=n-3.答案:n-3(答案不唯一)三十七等差數(shù)列(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,則a3+a4+a5= ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】選D.由2an=an-1+an+1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.2.(5分)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,則λ的值為 ()A.15 B.21 C.23 D.25【解析】選D.由題意得a1+5d=3(a1+3d),所以a1=-2d.所以λ=S10a4=10a3.(5分)(一題多法)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊【解析】選C.方法一:設(shè)每層環(huán)數(shù)為n(n∈N*),則上層由內(nèi)向外每環(huán)的扇面形石板的塊數(shù)依次為a1,a2,…,an,中層由內(nèi)向外每環(huán)的扇面形石板的塊數(shù)依次為an+1,an+2,…,a2n,下層由內(nèi)向外每環(huán)的扇面形石板的塊數(shù)依次為a2n+1,a2n+2,…,a3n.由題意知(a2n+1+a2n+2+…+a3n)-(an+1+an+2+…+a2n)=729,由等差數(shù)列的性質(zhì)知a2n+1-an+1=a2n+2-an+2=…=a3n-a2n=9n,所以9n2=729,得n=9.則數(shù)列{an}共有9×3=27項(xiàng),故三層共有扇面形石板(不含天心石)的塊數(shù)即為數(shù)列{an}的前27項(xiàng)和,即27×9+27×262×9=3402方法二:設(shè)每層環(huán)數(shù)為n(n∈N*),設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=9n2,則9n2=729,解得n=9.則數(shù)列{an}共有9×3=27項(xiàng),故三層共有扇面形石板(不含天心石)的塊數(shù)即為數(shù)列{an}的前27項(xiàng)和,即27×9+27×262×9=34024.(5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若SnTn=2025n-A.528 B.529 C.530 D.531【解析】選D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì):anbn=S2n-1T5.(5分)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()A.99 B.131 C.139 D.141【解析】選D.根據(jù)所給定義,用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列,得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列,即得到了一個(gè)等差數(shù)列,如圖:由圖可得y-34=12x6.(5分)(多選題)設(shè){an}是等差數(shù)列,d是其公差,Sn是其前n項(xiàng)和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的是 ()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.當(dāng)n=6或n=7時(shí)Sn取得最大值【解析】選ABD.由S5<S6,得a1+a2+a3+a4+a5<a1+a2+a3+a4+a5+a6,即a6>0.同理由S7>S8,得a8<0.又S6=S7,所以a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,所以a7=0,所以B正確;因?yàn)閐=a7-a6<0,所以A正確;而C選項(xiàng),S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由結(jié)論a7=0,a8<0,知C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)镾5<S6,S6=S7>S8,所以結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性可知D正確.7.(5分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為Sn,若S4=3,S5=4,則a9=________.

【解析】由題知:S4解得a1=35,d=1所以a9=a1+8d=35+8×110=答案:78.(5分)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則(解得a所以S8=8a1+8×72d=8×(-5)+56=16答案:169.(10分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足2Sn=an2+n-4(n∈N*(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),有2a1=a1即a12-2a所以a1=3(a1=-1舍去).當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an-1又2Sn=an2+所以?xún)墒较鄿p得2an=an2-即an2-2an+1=an-12,即(a因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,則an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列.9.(10分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足2Sn=an2+n-4(n∈N*(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(2)由(1)知a1=3,數(shù)列{an}的公差d=1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)×1=n+2.【能力提升練】10.(5分)若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是 ()A.公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列【解析】選C.令bn=a2n-1+2a2n,則bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1-bn=a2n+1+2a2n+2-(a2n-1+2a2n)=(a2n+1-a2n-1)+2(a2n+2-a2n)=2d+4d=6d=6×1=6.即{a2n-1+2a2n}是公差為6的等差數(shù)列.11.(5分)(多選題)《張丘建算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作,該書(shū)中有首古民謠記載了一數(shù)列問(wèn)題:“南山一棵竹,竹尾風(fēng)割斷,剩下三十節(jié),一節(jié)一個(gè)圈.頭節(jié)高五寸①,頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③,逐圈少分三④.一蟻往上爬,遇圈則繞圈.爬到竹子頂,行程是多遠(yuǎn)?”(注釋:①第一節(jié)(最下面一節(jié))的高度為0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周長(zhǎng)為1.3尺;③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺;④每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺)下列說(shuō)法正確的是 ()A.螞蟻爬到第10節(jié)底部時(shí)的高度是5.58尺B.螞蟻爬到第10節(jié)底部時(shí)的高度是6.35尺C.螞蟻爬到竹子頂?shù)男谐淌?3.995尺D.螞蟻爬到竹子頂?shù)男谐淌?1.395尺【解析】選AD.設(shè)從地面往上,每節(jié)竹長(zhǎng)依次為a1尺,a2尺,a3尺,…,a30尺,所以{an}是以a1=0.5為首項(xiàng),0.03為公差的等差數(shù)列,an=0.5+0.03(n-1)=0.03n+0.47,前n項(xiàng)和Sn=0.5n+0.015n(n-1)=0.015n2+0.485n,S9=5.58,A正確,B錯(cuò)誤.由題意知竹節(jié)圈長(zhǎng),上面一圈比下面一圈少0.013尺,設(shè)從地面往上,每節(jié)圈長(zhǎng)依次為b1尺,b2尺,b3尺,…,b30尺,所以{bn}是以b1=1.3為首項(xiàng),-0.013為公差的等差數(shù)列,所以一螞蟻往上爬,遇圈則繞圈,爬到竹子頂,行程為(0.015×302+0.485×30)+[30×1.3+30×292×(-0.013)]=61.395(尺),C錯(cuò)誤,D正確12.(5分)已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為3,平方和為359,則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a-d,a,a+d,由已知條件得(解得a所以這三個(gè)數(shù)分別為13,1,53或53故它們的積為59答案:513.(5分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=anan+1,n∈N*,則a4=________;若a1=2,則S20=________.

【解析】由2Sn=anan+1可得2Sn+1=an+1an+2,兩式相減得2an+1=an+1(an+2-an),由數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),可得到an+2-an=2,令n=1,則有2S1=2a1=a1a2,解得a2=2,所以a4=4;若a1=2,則a3=4,即奇數(shù)列與偶數(shù)列均為首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,可求得S20=2(10×2+10×92×2)=220答案:422014.(10分)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;【解析】(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因?yàn)閐>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).14.(10分)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.【解析】(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2解得m即m的值為5,k的值為4.15.(10分)(2023·青島模擬)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a3=S5,a2a4=S4(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:S5=5a3,則a3=5a3,所以a3=0,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有:a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,從而-d2=-2d,由于公差不為零,故d=2,數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an=a3+(n-3)d=2n-6.15.(10分)(2023·青島模擬)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a3=S5,a2a4=S4(2)求使Sn>an成立的n的最小值.【解析】(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:a1=2-6=-4,則Sn=n×(-4)+n(n-1)2則不等式Sn>an即:n2-5n>2n-6,整理可得:(n-1)(n-6)>0,解得:n<1或n>6,又n為正整數(shù),故n的最小值為7.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(2023·杭州模擬)定義“等方差數(shù)列”:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差.設(shè)an是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列,且方公差為2,a9=32,則數(shù)列2anA.42 B.4 C.32 D.6【解析】選A.根據(jù)題意,得an+12-an2=2(n≥1,n∈所以an2=a92+2(n-9)=2n,即a所以2an=2=2n+2-故數(shù)列2an+an+1的前24項(xiàng)和為:(4-2)+(6-4)+…+(50-48)=17.(5分)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+12n+5-an2n+3=1,且aA.90 B.80 C.60 D.40【解析】選B.數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+12即an+12又a1所以數(shù)列an所以an2n所以an=2n2+3n,列表如下:項(xiàng)12345678910an的個(gè)位數(shù)5474509290所以每10項(xiàng)中有4項(xiàng)能被5整除,所以數(shù)列{an}的前200項(xiàng)中,能被5整除的項(xiàng)數(shù)為80.三十三余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例(時(shí)間:45分鐘分值:70分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(多選題)一貨輪在A處,測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向,之后它以每小時(shí)24nmile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,40分鐘后到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得貨輪與燈塔S相距82nmile,則燈塔S可能在B處的 ()A.北偏東15°方向 B.南偏東15°方向C.北偏東75°方向 D.南偏東75°方向【解析】選BC.如圖所示,由題意得AB=24×23=16(nmile),BS=82nmile,∠BAS則BSsin∠BAS=ABsin∠ASB,解得sin∠ASB=ABsin∠BASBS=所以∠ASB=45°或∠ASB=135°.當(dāng)貨輪在B處時(shí),∠ASB=45°,所以∠B'BS=75°;當(dāng)貨輪在B'處時(shí),∠ASB'=135°,所以∠AB'S=15°;綜上所述,燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°方向.2.(5分)如圖,在山腳下P處經(jīng)過(guò)山腰N到山頂M拉一條電纜,其中,PN的長(zhǎng)為am,MN的長(zhǎng)為2am,在P處測(cè)得N的仰角為30°,在N處測(cè)得M的仰角為30°,則此山的高度為 ()A.a2m B.3C.33a2m 【解析】選B.如圖,設(shè)A,B分別為M,N在地平面的投影,MA⊥NC,則由題意,NB=NPsin30°=a2,MC=MNsin30°=a,故此山高度MA=MC+CA=32a3.(5分)(2023·鐵嶺模擬)如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車(chē),需要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠AEC=150°,則兩山頂A,C間的距離為 ()A.27km B.33kmC.42km D.25km【解析】選A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=CDsin60°=332=2AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×23×(-32)所以AC=27,即兩山頂A,C間的距離為27km.4.(5分)(多選題)八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶,江西省最大的城市中心廣場(chǎng),八一南昌起義紀(jì)念塔為八一廣場(chǎng)標(biāo)志性建筑,現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測(cè)量,并繪制出測(cè)量方案示意圖,A為紀(jì)念塔最頂端,B為紀(jì)念塔的基座(即B在A的正下方),在廣場(chǎng)內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測(cè)得CD的長(zhǎng)為m.興趣小組成員利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù),能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB的是 ()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC【解析】選ACD.對(duì)于A:由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,可求BC,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高AB;對(duì)于B:在△BCD中,由CD=m,∠BCD無(wú)法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD無(wú)法解三角形,在△BCA中,已知兩角∠ACB,∠ABC無(wú)法解三角形,所以無(wú)法解出任意三角形,故不能求塔高AB;對(duì)于C:由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,可求塔高AB;對(duì)于D:過(guò)B作BE⊥CD于E,連接AE(圖略),由cos∠ACB=BCAC,cos∠BCD=ECBC,cos∠ACE=ECAC知,cos∠ACE=cos∠ACB故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,可求AC.又AB=ACsin∠ACB,可求塔高AB.【加練備選】在某次巡航中,軍艦B在海港A的正南方向,軍艦C在軍艦B的正西方向,軍艦D在軍艦B,C之間,且CD=100海里,若在軍艦C處測(cè)得海港A在東偏北45°的位置,在軍艦D處測(cè)得海港A在東偏北75°的位置,則軍艦B到海港A的距離為()A.503海里B.(506+502)海里C.(503+50)海里D.(253+25)海里【解析】選C.由題意知,CD=100,∠B=90°,∠ACD=45°,∠ADB=75°,所以∠ADC=105°,∠CAD=30°.在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=所以AC=CD·sin∠ADCcos60°sin45°=32×22+12×22=2+64,所以AC則軍艦B到海港A的距離為506+50225.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列為“世界文化遺產(chǎn)”.如圖所示,為了估算泰姬陵的高度,現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB,高約為50m,在它們之間的地面上的點(diǎn)Q(B,Q,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°,在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,則估算泰姬陵的高度CD為 ()A.75m B.502mC.256m D.80m【解析】選A.因?yàn)椤螦QB=45°,∠CQD=60°且AB=50,在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,所以∠CAQ=60°,∠ACQ=45°,AQ=502,則CQsin60°=所以CQ=50222×32=503,故CD6.(5分)(2023·無(wú)錫模擬)某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量某塔的高度,現(xiàn)選取與塔底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與B,現(xiàn)測(cè)得∠DAB=75°,∠ABD=60°,AB=48米,在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則塔高CD為_(kāi)_________米.

【解析】根據(jù)題意可知,在△ABD中,由∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°,可得∠ADB=45°.利用正弦定理可得ABsin∠ADB=即AD=sin∠ABDsin∠ADB·AB=sin60°sin即∠CAD=30°,所以CD=AD·tan30°=246×33=242即塔高CD為242米.答案:2427.(5分)(2023·青島模擬)公路北側(cè)有一幢樓,高為60米,公路與樓底在同一平面上.某人在點(diǎn)A處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?5°,他在公路上自西向東行走,行走60米到點(diǎn)B處,測(cè)得仰角為45°,沿該方向再行走60米到點(diǎn)C處,測(cè)得仰角為θ,則sinθ=__________.

【解析】如圖,O為樓底,OP為樓高,則OP=60,∠OAP=45°,所以O(shè)A=60,又因?yàn)锳B=60,∠OBP=45°,所以O(shè)B=60,所以O(shè)A=AB=OB=60,所以∠OBA=60°,所以∠OBC=120°,又因?yàn)锽C=60,所以在△OBC中,OC2=BC2+OB2-2BC·OBcos∠OBC=602+602-2×60×60×(-12)所以O(shè)C=603,故tanθ=POOC=60603=33,所以θ=π6答案:18.(5分)(2023·吉安模擬)某同學(xué)為了測(cè)量學(xué)校天文臺(tái)CD的高度,選擇學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)A,A到地面的距離AB為30(2-3)m,在地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)A,天文臺(tái)頂C的仰角分別是15°和30°,在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為15°,假設(shè)AB,CD和點(diǎn)M在同一平面內(nèi),則學(xué)校天文臺(tái)CD的高度為_(kāi)_________m.

【解析】在Rt△ABM中,AM=ABsin15°,在△ACM∠AMC=180°-15°-30°=135°,∠ACM=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得AMsin∠ACM=MCsin∠CAM,故MC=sin∠CAMsin∠=12ABsin215°=12AB1-cos30°答案:30【能力提升練】9.(5分)(2023·葫蘆島模擬)滕王閣,江南三大名樓之一,位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸,滕王閣分為上部主體建筑和下部象征古城墻的高臺(tái)座,始建于唐朝永徽四年.如圖,為了測(cè)量滕王閣的高度,選取了與該閣底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2m,在C點(diǎn)測(cè)得滕王閣頂端A的仰角為45°,則滕王閣的高AB= ()(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8)A.69.5m B.68.8mC.70.2m D.71.5m【解析】選A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,則∠CBD=180°-23°-30°=127°,由正弦定理得BCsin∠CDB=CDsin∠CBD,即BC=CDsin∠CDBsin∠由在C點(diǎn)測(cè)得滕王閣頂端A的仰角為45°,得AB=BC=69.5m,所以滕王閣的高為69.5m.10.(5分)(多選題)(2023·臺(tái)州模擬)龍卷風(fēng)是一種少見(jiàn)的局地性、小尺度、突發(fā)性的強(qiáng)對(duì)流天氣,是在強(qiáng)烈的不穩(wěn)定的天氣狀況下由空氣對(duì)流運(yùn)動(dòng)造成的強(qiáng)烈的、小范圍的空氣渦旋,一般發(fā)生在春季和夏季.在操場(chǎng)旗桿A的東偏南θ(cosθ=210)方向30米P處生成一個(gè)半徑為6米的龍卷風(fēng),龍卷風(fēng)以2米/秒的速度向北偏西45°方向移動(dòng),龍卷風(fēng)侵襲半徑以1米/秒的速度不斷增大,則 (A.12秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿B.102秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿C.旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)16秒D.旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)12秒【解析】選AD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以正東方向?yàn)閤軸正方向,以正北方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,因?yàn)閏osθ=210,所以sinθ=-7210,由AP=30,可得點(diǎn)P(32,-21當(dāng)t秒后,臺(tái)風(fēng)襲擊的范圍可視為以(32-2t,-212+2t)為圓心,以6+t為半徑的圓,若旗桿A(0,0)受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則[(32-整理得3t2-108t+864≤0,即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24,所以12秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿,且受臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為12秒.11.(5分)為測(cè)出湖面上小船的速度(假設(shè)小船保持勻速航行),現(xiàn)采用如下方法:在岸邊設(shè)置相距30米的兩個(gè)觀察點(diǎn)A,B,當(dāng)小船在C處時(shí),測(cè)得∠ABC=120°,∠BAC=30°,經(jīng)過(guò)5秒后,小船直線航行到D處,測(cè)得∠ABD=45°,∠BAD=75°,則該小船的航行速度為_(kāi)_________米/秒.

【解析】如圖,在△ABC中,∠ABC=120°,∠BAC=30°,則∠ACB=30°,所以AB=BC=30.由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,即ACsin120°=在△ABD中,∠ABD=45°,∠BAD=75°,則∠ADB=60°,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,即30sin60°=在△ACD中,AC=303,AD=106,∠CAD=∠BAD-∠BAC=75°-30°=45°,所以由余弦定理得CD=A=600+2700-2×106所以該小船的