考點08 直線和平面的平行、垂直問題9種常見考法歸類-【考點通關】2022-2023學年高一數(shù)學期中期末復習備考講義（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

考點08直線和平面的平行、垂直問題9種常見考法歸類

M二解題策略

1、證明方法“一找二作三證明”

“一找二作三證明”是筆者在教學實踐中總結的一種證明線面平行或線面垂直方法，此證明方法分為三步,

具體的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：(1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個平面內“找”

出一條直線與已知直線平行即可.(2)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，要證明線面垂直，就要在此平面內“找”

出兩條相交的直線分別與此直線垂直.其次是“一找”的原則：一是要“找”的都是線線平行或線線垂直，二是

要在一個平面圖形中“我,,

第二步，就是“二作”:在分析題意之后，若不能直接"找''到所需要證明的線線平行或線線垂直的關系，

則進入“二作”的程序.從三個方面去理解“二作”,第一方面，“作”就是作輔助線或輔助平面，有簡單的“作”或

復雜的“作”；第二方面，每一次“作”的時候都要圍繞證明所需去“作”,要證平行關系就去“作''線線平行，要證

垂直關系就去“作”線線垂直；第三方面，要把線線平行或線線垂直的關系“作”在一個平面圖形中。

第三步，就是“三證明”:經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明

命題的整體過程.在“三證明”中要注意三點，

第一，數(shù)學符號要標準，幾何語言表述要規(guī)范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結果時

要嚴格遵守判定定理的條件.

2、“一找”依據(jù)

線線平行的常見找法依據(jù)：

(1)構造三角形的中位線證明線面平行，通常需運用線面平行的判定定理：若

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直

線與此平面平行.那么在證明線面平行時，需找到一

組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線

在平面內.若已知一條線段的中點，且平面內或外的

一條直線為三角形的底邊，則可過三角形的中點作三

角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性

質：中位線平行且等于底邊的一半，來證明線面平行.

在構造三角形的中位線時，要注意關注中點、線段的

垂直平分線、三角形的重心等信息，結合圖形的特征

尋找中位線。

（2）構造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等.在證

明線面平行時，可根據(jù)圖形的特點，找到一組對邊平

行且相等的線段，分別將這四點連接，便可構造出平

行四邊形，使另一組對邊分別為平面內外的一條直

線，即可根據(jù)平行四邊形的性質和線面平行的判定定

理證明線面平行.通過直觀觀察，若平面內的一條直

線與平面外的一條直線長度相等，一般猜想構造平行

四邊形，這時利用平行四邊形對邊平行得出線線平

行，進而得到線面平行。

（3）利用相似比尋找線平行如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長

線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三

角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工

具?題目中出現(xiàn)比值關系時，可考慮利用比值關系，

尋找線線平行，進而得到線面平行。

（4）利用直線與平面平行的性質定理尋找線線平行利用直線與平面平行的性質定理得到直線與直

線平行，進而得到直線與平面平行。先證明線面平行

（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質定

理，得到線線平行，進而得到線面平行。

（5）構造平行平面面面平行的性質有很多，常見的有：（1）若兩

個平面平行，則在一個平面內的任意一條直線平行于

另一個平面；（2）若兩個平行平面同時和第三個平

面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時，只

要證明直線/所在的平面a和平面夕平行，那么就可

以根據(jù)面面平行的性質，證明直線/和平面夕平行.

當構造三角形和平行四邊形困難時，可以考慮構造平

行平面.若要證明///平面a,只需構造一個平面夕〃

平面a,且/e/7,那么根據(jù)平行平面的性質，即可

證明///平面a.在構造平行平面夕時，可在平面夕

內作一條直線〃，使其平行于/.也可直接根據(jù)正方

體、長方體、直棱柱的性質構造平行平面.

(6)利用線面垂直的性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行

(7)平行線的傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.

線線垂直的常見找法依據(jù):

(1)相交直線①等腰三角形(等邊三角形)的如圖：AB=AC,D為BC中點，則AOL3C

“三線合一”二

②勾股定理的逆定理

如圖：如果/+〃=c，2,則

B

K

b

③正方形、菱形的對角線互相垂如圖：四邊形ABCD是菱形，所以ACL3。

直

C

④直徑所對的圓周角是90。如圖：AB是圓的直徑，NAC8=90°

B

<A0

(2)異面直線①通過證線面垂直證線線垂直

/

<

/1a

}01-Lm

mua

注：若題目3更證1La,已知fnua且是異面

直線，要證1一般是證所在的平面。

注：直棱柱的側棱垂直于底面，圓柱的母線垂直

于底面

②平移法通過三角形的中位線或者構造平行四邊形進行

平移

3、“二作”小結

在，，二作，，中，恰當?shù)亍白?，，出滿足題意的輔助線或輔助面對解題帶來很大的便捷.對于一些復雜的題型，

常常需要找到準確的切入點，運用“二作”構造輔助線或輔助面，快速地把立體幾何問題轉化為平面幾何問題,

從而打開證明思路."二作''中常用的"作'’法：中位線、對角線、中線、垂線、過特定點“作”平行線或垂線、構

造輔助平面等.前面“一找”小結中所有的“找”法依據(jù)都可以運用.

4、“三證明”

在“三證明''中，要注意規(guī)范書寫證明過程，做到層次分明.

5、垂直、平行關系的相互轉化

第二次

害高頻考點

考點一線面平行、垂直基本概念的判斷

考點二線面平行關系的證明

考點三面面平行關系的證明

考點四線面平行、面面平行關系的應用

考點五線面垂直關系的證明

考點六線面垂直關系的應用（證線線垂直）

考點七面面垂直關系的證明

考點八面面垂直性質的應用

考點九線面平行與垂直關系的探索性問題

第三看

考點精析

考點一線面平行、垂直基本概念的判斷

1.（2023春?福建?高一校聯(lián)考期中）?,B是兩個平面，m,n是兩條直線，下列四個命題中正確的是（）

A.若加//〃，nila,則B.若m//a,aH0,則初/月

C.若a//￡,mua,nu[3,則加〃/D.若a〃￡,m^a,則〃?//戶

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中，直線與平面、平面與平面的位置關系，對選項逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】對于A：若m/ln,nila,則m//a或故A不正確；

對于B：若m//a,allp,則m〃萬或相u4,故B不正確；

對于C：若a〃力，mua,則加〃"或m與"異面，故c錯誤；

對于D：若a〃6，機u”，根據(jù)面面平行的性質定理可得〃?〃戶，故D正確.

故選：D.

2.【多選】（2023春?吉林?高一長春吉大附中實驗學校校考期中）設有兩條不同的直線機、〃和兩個不同的

平面a、P,下列命題中錯誤的命題是（）

A.若m//a,nl/a,貝!|巾//〃

B.若，"ua,〃ua,mlIp,nllp,則a〃/

C.若血/〃，機ua,則〃//a

D.若a〃4，〃zua,則m//￡

【答案】ABC

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面的位置關系判

斷C；根據(jù)面面平行的性質定理判斷D.

【詳解】對于A,若m//a,ntla,則加,“可能平行、異面或相交，A錯誤；

對于B,若〃?ua,〃ua,ml1/3,“〃夕，也〃不一定為相交直線，

只有當八〃為相交直線時，才可得到￡///，故B錯誤；

對于C,當成/〃，“ua時，可能是“ua,推不出一定是〃〃ar,C錯誤；

對于D,若a〃月，機ua,根據(jù)面面平行的性質可知機///，D正確，

故選：ABC

3.（2023春?吉林長春?高一長春市第二中學校考期中）已知白,僅是兩個不同的平面，/,“是兩條不同

的直線，則下列說法錯誤的是（）

A.若/_La,mVa,則/〃

B.若〃/a,allp,則/〃〃

C.若〃/a,lu0,a/3=m,則/〃加

D.若/與"，異面，lea,I//P,m<^p,mlla,則a〃夕

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關系可判斷ABC；利用反證法可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線平行可知A正確；

對于B,若〃/a,a〃2，則/〃/或/u〃，故B錯誤；

對于C,根據(jù)直線與平面平行的性質定理可知C正確；

對于D,假設aP=n,因為/ua,/〃￡,aJ3=n,所以〃/〃，

同理可得相〃”，所以/〃加，這與/與m異面相矛盾，故假設不成立，

則a//〃，故D正確.

n

故選：B

4.（2023春?浙江杭州?高一杭州市長河高級中學?？计谥校┮阎恢睾系闹本€I,，“和不重合的平面a,夕，

下列命題正確的是（）

A.若/〃夕，U/p,貝ija〃/?B.若/_La,I,則加〃a

C.若/_La,I.\-P,則a〃尸D.若lua,mca,IH/3,m!!p,則a〃6

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中的線、面關系分析判斷.

【詳解】對于A：若///a,〃/夕，則平面a,尸的位置關系有：平行、相交，故A錯誤；

對于B：若/_La,Um,則犯。的位置關系有：m//a或機ua,故B錯誤；

對于C：若/_La,夕，根據(jù)線面垂直的性質可知：al1/3,故C正確；

對于D：根據(jù)面面平行的判定定理可得：若/，機相交，則a〃一，否則不成立，故D錯誤.

故選：C.

5.（2023春?浙江寧波?高一余姚中學?？计谥校┮阎?，b為兩條不同的直線，a,4為兩個不同的平面,

則：

①若a_La,bL（3,且a〃/，則ab.②若4_La,b//p,且a〃/，則。J；

③若a〃￡,aua,bu0,則④若a_L（z,bVp,且c_L〃，則。j_1；

其中真命題的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理，逐項判斷，即

可得出結論.

【詳解】由且a〃尸，可得匕，a,

而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，即6,故①正確；

由于a〃夕，a±a,所以aJ■人又因為匕〃夕，所以"力，故②正確;

若a〃夕，aua,bup,則直線a與6平行或異面，故③錯誤；

設a￡=/,在平面/內作直線c」/,

因為a_L￡,則c_Lc,又q_L（z,所以aPc,

又因為b，〃,cu/7,所以從而有故④正確；

因此，真命題的個數(shù)是3,

故選：B.

考點二線面平行關系的證明

6.（2023春?北京?高一匯文中學?？计谥校?）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，。是AG的中點.求證:

8G〃平面ABQ：

C

（2）如圖，在三棱錐P-A8C中，E為PC的中點，M為AB的中點，點下在E4上，且AF=2fP.求證:

CM//平面應廠.

A

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.

【分析】（1）運用線線平行證明線面平行即可.

（2）運用面面平行判定定理證得面〃面3EF,再運用面面平行性質可證得結果.

【詳解】（1）如圖所示，

證明：連接AB交4用于一點G,連接DG,

則G為AB的中點，

乂因為。為AG的中點，

所以。G//8G，

乂因為OGu面ABQ,面ABQ,

所以BG〃面ABQ.

（2）如圖所示，

證明：取AF的中點H,連接C”、MH,

又因為E為PC的中點，AF^2PF,M為A8的中點，

所以EF//CH,MH//BF,

又因為EFu面5EF,CHU間BEF,BFu面BEF,MHB面BEF,

所以C”〃面3所，MH〃面BEF,

又因為C”MH=H,CH、面CM”,

所以面CWH〃面BEF，

又因為CMu面CM”,

所以C0〃面8EF.

7.(2023春?吉林?高一校聯(lián)考期中)如圖，四棱柱ABC。-A4GA的底面ABC。是菱形，，平面ABCD,

AB=\,M=2,N84￡)=60。，點尸為。2的中點.

(1)求證：直線8R〃平面PAC；

(2)求二面角4-AC-P的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵返

85

【分析】(1)連接交AC于點0,連接P。，根據(jù)線面平行的判定定理求解；

(2)連接B7，B0,可證明NBQP為二面角耳-AC-P的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.

【詳解】(1)連接BO交AC于點。，連接PO,如圖，

則。為3。的中點，

由于P是。2的中點，故PO1/BD,,

POu平面PAC,u平面PAC,

所以〃平面PAC：

(2)連接8/，4。，

因為尸A=PC,。是AC的中點，所以PO1AC,

因為AAJL平面A8CD,所以8耳1平面A3C。，

又ACu平面A8C。，所以B四，AC,

由底面ABC。是菱形，得AC上8D,

又BBqBD=B,BBy,BQu平面8?！?田，所以ACJL平面BDD、B、,

又4。u平面BOQ百，所以B0_LAC,

則NBQP為二面角B.-AC-P的平面角,

時小+出=耍即=卜+(￡|=4,4P=VFTF=0，

517.

PQ-+OB;-PB；彳+1［底

由余弦定理可知cos/B0P=

2POOB、.亞歷一~^~

2x——x—

22

8.（2022春?廣東?高一校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCO中，底面A8C。為平行四邊形，E為棱PC的

中點，平面4/與棱P￡）交于點F.

⑴求證：24〃平面5￡>E；

（2）求證：尸為陽的中點；

【答案】（1）詳見解析；

（2）詳見解析；

【分析】（1）連接AC交8。于點G,連接GE,根據(jù)A8CD為平行四邊形，得到G為AC的中點，再由E

為PC的中點，得到GE//Q4,再利用線面平行的判定定理證明；

（2）先由4?〃8,利用線面平行的判定定理得到C。//平面48EF,再利用線面平行的性質定理得到

CD//EF求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示:

連接AC交B￡）于點G,連接GE,

因為A8C。為平行四邊形，

所以G為4c的中點，又E為PC的中點，

所以GE〃24,又PA仁平面BDE,GEI平面BDE,

所以PA〃平面也汨；

（2）因為底面ABC。為平行四邊形，

所以AB//C。，

又ABu平面A3E尸，CDU平面ABEF,

所以8〃平面又平面ABEFc平面PDC=EF,

所以C。//砂，

又因為E為PC的中點，

所以尸為PE>的中點.

9.（2023春?陜西咸陽?高一統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCO是矩形，附為點P到平

PM

面ABCQ的距離，AB=4,">=3,科=3,點￡、M分別在線段A8、PC上，其中￡是A8中點，y=4,

MC

⑴當2=1時，證明：直線用E//平面B4D：

⑵當；1=2時，求三棱錐M-BCD的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【分析】（1）構造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.

（2）根據(jù)塔PM=2,求出三棱錐的高，然后利用體積公式即可.

MC

【詳解】（1）取中點N,連接MN、AN,

.MN是PCD的中位線，；.MNHCD,且MN=；CO,

又AEMCD,且AE=；C￡>,.?.四邊形AEMN為平行四邊形，

：.ME//AN

乂平面出。，47匚平面以力，二%。/平面隙。.

PM

（2）v—=2,尸到平面4BCD的距離為3,.??點M到平面A3。的距離為1,

MC

?,VM-BCD=—x—x4x3xl=2.

32

10.（2023春?天津南開?高一南開中學校考期中）已知點尸為正方形A3CO所在平面外一點,

PMBN5

吁吁PC5-3,M、N分別為抬、上的點，且加=而下

⑴求證：MN//平面PBC；

（2）求線段的長.

【答案】（1）證明見解析

(2)AW=7

【分析】（1）過M作AB的平行線交PB于E,過N作CO的平行線交BCTF,連接EF，證明出四邊形MEFN

是平行四邊形，可得出ME//NF,再利用線面平行的判定定理可證得結論成立;

（2）過E作PC的平行線交BC于G,計算出EG、FG的長以及/或近的值，利用余弦定理可求得EF,

即可得出MN的長.

【詳解】（1）證明：過M作A8的平行線交PB于E,過N作CD的平行線交BC于F,連接EF,

因為PM:M4=BN:N￡>=5:8,所以，ME:AB=NF:CD=5:T3,

因為四邊形ABCD是正方形，則45=8,所以，ME=NF,

因為ME〃A8,NF//CD.AB//CD,所以，ME/INF.

所以，四邊形ME/W是平行四邊形，則MN//￡F,

因為MNu平面PBC,EFu平面PBC,所以，MN〃平面PBC.

（2）解：過E作PC的平行線交3C于G,

因為PM:MA=BN:ND=5:8,PB=BC=13,旦ME//AB,NF//CD,

PEPM5

所以，出=等="，則PE=5,同理可得BF=5,

PBrA13

因為EG//PC,所以，器=《|=磊，則CG=5,

所以，BG=8C-CG=13—5=8,則EG=BG—BF=3,

由黑=黑=2且PC=13可得EG=8，

因為尸3=PC=3C=13,則.PBC為等邊三角形，貝1"反/=/尸。3=60,

由余弦定理得EF?=EG?+FG2—2EG-FG-COSNEGF=8?+3?-2x8x3x4=49,

2

所以，EF=1,故MN=EF=1.

H.（2023春?浙江?高一期中）三棱柱ABC-A4G的棱長都為2,。和E分別是和AG的中點.

⑴求證：直線DE〃平面ABG；

⑵若ZAAC=60。，點B到平面4CGA的距離為6,求三棱錐。-4BC；的體積.

【答案】（1）證明見解析

【分析X1）法一,根據(jù)中位線可得線線平行,證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明DE//HG,

即可得證；

（2）根據(jù)線面平行可得力=，由等體積法求解.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，AB//A4,取B,G中點尸，連接。REF,

v。和E分別是BB、和AG的中點,

;.DF//BC、,EFUA、B\,.-.EF//AB,

又。尸＜2面ABC-BRU面ABC-且砂（Z面A8G，43u面ABC一

OF〃面ABCt,EF〃面ABC,,又DFEF=F,DE,EFu面DEF,

：.面O￡F//平面ABC-而DEu面DEF,故直線QE〃平面ABC,.

法二，連接CE交AG于點G,連接CO交Bq于點H,連接"G,如圖,

在三棱柱A8C-ABC中，\CJ!AC,BB.//CC,,

.EGEC,1DH8)=1

?'GC=AC=2'~HC~~CC~V

，粵=埋，則DE//"G，又OE(Z面ABC-"GU面48G，

GCHC

，直線OE〃平面ABC一

（2）如圖，

???直線QE//平面ABC-

VD-ABG=又AC=60°,

所以平行四邊形ACC/邊AC上的高廳=2sin60。=百，

由8到面ACCM的高％=6，則%-Ag=%一入田=gs煙4=gx；xlx6x6=；.

12.（2023春?廣東深圳?高一紅嶺中學?？计谥校┤鐖D，在三棱錐P-ABC中，ABC是正三角形，PAL平

PFPFAD

面ABC,D,E,F分別為PAP8,PC上的點，且蘭=蕓=黑=：1.已知AB=6,AP=9.

PBPCAP3

P

（1）設平面OEFc平面A8C=/,證明：/，平面PBC；

（2）求五面體DEF-ABC的體積.

【答案】（1）見解析；

（2）2573.

【分析】（1）首先證明跖〃3C,則有EF〃平面ABC,再根據(jù)線面平行的性質定理得到班7〃，則得到線

面平行；

12

（2）根據(jù)相似得S陽=§S.，則%一陽=為3則%樹=27?

PEPF

【詳解】（1）因為工=大，所以￡F〃BC,

因為8Cu平面ABC,EF<￡平面ABC,

所以E尸〃平面48C,

又平面DEFC平面ABC=/,EFu平面DEF,所以EFUL

又EFu平面PBC,/《平面PBC,所以III平面PBC,

，八h4PEPFAD1.1

(2)因為證=/=”=Q，所rrH1以c=^Scme

222

所以七-PEF=§^A-PEF=^A-PBC=^P-ABC

25

所以五面體DEF-ABC的體積V=VP_ABC-VD_PEF=—VP.ABC

因為％-板=9,6~**9=276,所以丫=256

考點三面面平行關系的證明

13.(2023春?山東臨沂?高一?？计谥?如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M,N分別是A8,

PC的中點.

(1)求證：MN〃平面PA。；

(2)若尸8中點為。，求證：平面MVQ〃平面PAO.

(3)若B4_L平面ABC。，AB=PA=2,求直線尸8與面PAD所成的角.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)45°

【分析】(1)取PZ)的中點E,連接AE,NE,即可證明四邊形AMNE為平行四邊形，所以MW/A￡,從

而得證；

(2)依題意可得MQ〃AP即可得到MQ〃平面PAD,再結合(1)的結論，即可得證；

(3)依題意可得平面R4D_L平面ABC。，由面面垂直的性質得到AB上平面R4Z),則NBR4即為直線PB與

面PAD所成的角，再根據(jù)邊長的關系得解.

【詳解】(1)取PD的中點E,連接AE,NE,

因為N是PC的中點，所以NE〃DCdNE=[DC,

2

乂〃是A8的中點，ABC。是正方形，所以AM〃0C且AM='A8=,￡>C,

22

所以NE//AM且NE=AM,

所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN//AE,

又MNU平面PAD，AEu平面叢。，所以MN〃平面PAD.

（2）因為。為尸8的中點，M是AB的中點

所以MQ//AP,又MQ<Z平面外￡>,APu平面E4D,所以〃?！ㄆ矫鍾4D,

又MN〃平面PAD,MQcMN=M,MQ,MNu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面玄。.

（3）因為PA_L平面ABC。，R4u平面PAD,所以平面24￡>"L平面ABC。，

又ABC。為正方形，所以AB_LAD,A8u平面ABC。，平面P4Z）c平面ABCO=AD,

所以AB2平面PAD，

所以N8孫即為直線P8與面尸A￡>所成的角，又相=%=2,所以人為等腰宜角三角形,

所以N8"=45°,

即直線PB與面PAD所成的角為45。.

14.（2022秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A^G中，D,E,F分別為BC,AC，AG的中

⑴44//平面。田；

⑵平面45尸//平面。EC；.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得4片〃平面DEC1；

（2）根據(jù)面面平行的判定定理證得平面4BF〃平面DEG.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，RE分別為BC,AC的中點，

DEI/AB,AB"AB',;.DEHA.B,,

DEu平面DEC,,Ag①平面DEC,,

.?.4與〃平面。石。.

（2）.AB//DE,AB平面DEC、,DE0平面DEC、,

：.A3〃平面。Eq.

F,E分別為AG，AC的中點，AG〃AC，

:.FCt//AE,且FC|=AE.

四邊形FCEA是平行四邊形.

AF//EQ.

乂EC,G平面DEC,,AF<z平面DEC,,

AF〃平面DEC.

又AB,AFu平面ABF,ABcAF=A,

平面4BF〃平面。E￡.

15.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學?？计谥校┤鐖D，正三棱柱ABC-的所有棱長都等于2,

E,F,G分別為BC，同與，AB的中點.

（1）求證：平面AGG〃平面BEF；

（2）求CQ與平面BCC百所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵叵

14

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面AGG〃平面8EF；

（2）先依據(jù)線面角定義作出￡G與平面BCC出所成角，進而求得其正弦值.

【詳解】（1）,E,尸分別為耳￡,44的中點，；.EF〃AG，

AGu平面AGG,即《平面466,；.所〃平面4。。，

又尸,G分別為分用,AB的中點，??.A尸=BG,

又A尸〃8G,.?.四邊形AG8F為平行四邊形，則8尸〃AG,

A,Gu平面ARG,8尸＜z平面ARG,

8尸〃平面AGG,

又EFBF=F,EF,BFu平面BEF,

二平面AGG〃平面BEF.

（2）在平面ABC內，過點G作GH，BC,垂足為“，連接G”.

?.?正三棱柱ABC-姬￡,

;.CG_L平面48c.乂G"i平面ABC,，CG_LG”.

又BCcCC、=C,BC,CGu平面BCC4，.?.G〃J_平面BCGA.

NGC\H即為GG與平面BCCtBt所成的角.

?.正三棱柱ABC-48IG的所有棱長為2,G為A3中點，

;.BG=1,NGBH=60°,

又NBHG=9Q°,：.BH=[GH=—.

22

3

xCC,±BC,CH=j,CC,=2

2

:.C}H=yjCH+CC；

又GHLQH,

22

:.Cfi=4GH+C,H==y/1，

B

GH為亞,

sinNGC[H=

故GG與平面BCG4所成角的正弦值為叵.

14

16.（2023春?河南洛陽?高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱柱ABC-A8G中，E,F,G,H分別是AB,AC,

AG，4耳的中點，求證:

B

(l)BCJ/平面AEF；

(2)平面\EFII平面BCGH.

【答案】⑴證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結論；

（2）先證明EF〃平面BCGH,再證明4尸〃平面8CG”,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結論.

【詳解】（1）證明：?..瓦尸分別是AB,AC的中點，

?*.EF//BC.

又在三棱柱ABC-A4G中，BC〃B\G,

所以B￡〃EF.

又用Ga平面AEF,EFu平面AEF,

所以6G〃平面AEE

（2）證明：由（1）知EF〃BC,平面BCGH,BCu平面BCGH,

，砂〃平面BCG”,

又?:EG分別為AC,4G中點，

故尸C=；AC,AG=；AG，

又AC//AG，AC=FC//AG,FC=\G,

四邊形FCGA］為平行四邊形，

Z.\F//GC,

又AF<Z平面BCGH,GCu平面BCGH,

A/〃平面BCG”，

又AFp收=F,AF,EFu平面&EF,

平面AW”平面8CG”.

考點四線面平行、面面平行關系的應用

17.（2023春?北京?高一北京市第一六六中學?？计谥校┤鐖D，在正方體AB8-AAG。中，E為BB，中

點，4G與平面ARE交于點尸.

（1）求證：BCJ/面A*；

（2）求證：F為8c的中點.

【答案】（1）證明見解析.

（2）證明見解析.

【分析】（1）證明A〃//BG，然后由線面平行的判定定理得證；

（2）由線面平行的性質定理得線線平行，從而可證得結論成立.

【詳解】（1）因為A3與GR平行且相等，所以ABG"是平行四邊形，所以AR//8C，

乂4〃u平面ARE,8^0平面AQE,

所以BG〃平面ARE；

（2）由（1）8CJ/平面ARE,BGu平面BCG4，平面1平面BCCg=",

所以BCJ/EF，又E是中點,

所以F是qG中點.

18.（2023春?福建?高一校聯(lián)考期中）如圖，在三棱臺￡＞七萬一ABC中，AB=BC=CA=2DF=2,FC=\,

NACF=NBCF=90,G為線段AC中點，，為線段5c上的點，BD"平面FGH.

D

（1）求證：點”為線段8c的中點；

（2）求三棱臺DEF-ABC的表面積.

【答案】（1）證明見解析

⑵述+邁+3

44

【分析】（1）連接CO,設C￡＞cFG=O,由比＞//平面FG",證得BD//HO,結合。是以?的中點，得

到點”是BC的中點；

（2）根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別5°砂=3和5板=6,再結合側面4DFC和側面

3

"TB均為直角梯形，求得面積為51=萬，由側面AOEB為等腰梯形，過點E作區(qū)求得的長，

得到側面ABED的面積為52=空，即可求解.

4

【詳解】（1）連接CO,設CDcFG=O,連接H。、DG,

因為8?！ㄆ矫鍲G",比＞u平面CB。，且平面C3。c平面尸G”="O,

所以BD//HO,

又因為四邊形QFCG是正方形，且。是CD的中點，所以點，是3c的中點.

（2）:.棱臺DEF—ABC中，

因為AB=BC=C4,所以“WC為等邊三角形，

所以所也為等邊三角形，且EF=DE=DF=1,

&

上底面防為等邊三角形，其邊長為1,可得面積為S4-XDE2=—,

4

亙

卜底面A3c為等邊三角形，其邊長為2,可得面枳為S4XAB2=J3,

又因為NAC尸=N8CF=90，所以側面4OFC和側面EFCB均為直角梯形，且FC=1,

13

其面積均為S,=「xa+2）xl=W，

22

側面43EB為等腰梯形，其中。E=1,AB=2,且AD=BE=。BH?+EH?=五,

_V7

過點E作垂足為M,可得EM=1BE2-BM?=

-2

所以側面他￡￡＞的面積為&=gx（l+2）x#=乎,

33775百3百

—I----=----1----

2444

19.（2023春?浙江?高一臺州市書生中學校聯(lián)考期中）如圖所求，四棱錐P-ABC。，底面A3CD為平行四

⑵已知”點在加上滿足EC〃平面求證的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【分析】（1）連結AC交80于。，連結OF,通過證明PC〃。凡可證PC//平面BFD：

（2）如圖連結交AD延長線于G,連結BG交CD于N,連結￡尸，F(xiàn)N,PG,EN.

山EC//平面屏”，可得N為CD中點，后通過證明EN//FD//BG,可得GMP,繼而可得答案.

【詳解】（1）證明：連結AC交5。于。，連結。尸，

因在△R4C中，E為以中點，。為AC中點，則尸C//尸。.

又PCs平面8尸￡）,FOu平面3皿，故PC//平面B/D；

p

M

3D

8匕

(2)如圖連結尸/W交AO延長線于G,連結BG交CDTN,

連結EF,FN,PG,EN.

因EF//CN,則E,憶N,C四點共面.

又EC//平面3RW,平面BFMc平面EFNC=FN,

則EC〃/W,四邊形EFNC為平行四邊形，可得EF=CN=gcDnN為CO中點.

則.BCN三GDN,N為BG中點.

即EN為△PBG中位線，則ENIIPG,EN=-PG.

2

又EF=DN,EFUDN,則四邊形EFDN為平行四邊形，EN//FD.

從而FD//PG,FMDGMP=珠喟喟八

20.(2023春?陜西西安?高一交大附中?？计谥?如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB=\,CD=3,

AP=2,DP=2^3,ZPAD=60,ABI平面PAD,點M是棱PC上的動點.

c

(1)證明：AP_LDM；

PM

(2)設正=2,求當AP//平面8ZW時；l的值.

【答案】(1)證明見解析

吟

【分析】(1)根據(jù)AB1平面PAQ和A8〃C￡>推出CDL4P,根據(jù)余弦定理計算推出赫，PD,根據(jù)線面

垂直的判定定理得到AP1平面PCD,從而可得API.DM.

(2)連AC,BD交于點N,連MN,根據(jù)線面平行的性質定理推出"〃MN,再根據(jù)三角形相似可求出

結果.

【詳解】(1)證明：由于A3J,平面R4D且A3〃C￡),

所以C￡)_L平面PAO,乂APu平面PAD,所以C￡>_LAP.

由PD2=AP2+AD'-2AP-ADcosZPAD，

得12=4+AZ)2-2x2-A￡)xg