湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第3章3-1-1第1課時(shí)函數(shù)的概念(一)課件

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)第1課時(shí)函數(shù)的概念(一)3.1函數(shù)3.1.1對函數(shù)概念的再認(rèn)識學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念．(難點(diǎn))2．體會(huì)集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．3．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．(重點(diǎn))1．通過對函數(shù)概念的理解，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過求簡單函數(shù)的定義域，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時(shí)刻的指標(biāo)值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如圖所示．醫(yī)生在看心電圖時(shí)，會(huì)根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果(如根據(jù)兩個(gè)峰值的間距來得出心率等)．必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知如果用t表示測量的時(shí)間，v表示測量的指標(biāo)值，則v是t的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？知識點(diǎn)函數(shù)的概念定義設(shè)A，B是兩個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的_______________，在集合B中都有______的數(shù)y和它對應(yīng)，那么稱這樣的對應(yīng)f：A→B為定義于A取值于B的函數(shù)，也記作y＝f(x)(x∈A，y∈B)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)x∈A定義域_________的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的函數(shù)值的集合_____________任何一個(gè)數(shù)x唯一

自變量x思考1．在函數(shù)的概念中，如果y＝f(x)的定義域與對應(yīng)關(guān)系確定，那么函數(shù)的值域確定嗎？[提示]

確定．[提示]

不確定．如函數(shù)的定義域?yàn)閧－1，0，1}，值域?yàn)閧0，1}，則對應(yīng)關(guān)系可以為f(x)＝x2或f(x)＝|x|．思考2．如果y＝f(x)的定義域與值域確定，那么對應(yīng)關(guān)系確定嗎？提醒理解函數(shù)的概念應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)(1)函數(shù)的定義中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x，在非空數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的數(shù)y與之對應(yīng)，這三性只要有一個(gè)不滿足便不能構(gòu)成函數(shù)．(2)y＝f(x)僅是函數(shù)的一個(gè)符號，不表示“y等于f與x的乘積”，f(x)也未必有解析式．(3)除f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．體驗(yàn)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任意一個(gè)x可以對應(yīng)著值域中不同的y． (

)(2)任何兩個(gè)集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系． (

)(3)函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合． (

)(4)在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域． (

)××××體驗(yàn)2．下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是________(填序號)．①

②

③

④①②④類型1函數(shù)關(guān)系的判斷【例1】

(1)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形：關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難①

②

③

④其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是(

)A．0

B．1C．2

D．3√

√√(1)B

(2)AB

[(1)圖①不滿足定義域M＝{x|0≤x≤2}；圖③不滿足集合N＝{y|0≤y≤2}；圖④不滿足函數(shù)的定義，如x＝1時(shí)對應(yīng)兩個(gè)不同的y值．(2)A，B滿足題意，C中當(dāng)x＝0時(shí)不滿足，D中當(dāng)x<0時(shí)不滿足，故選AB．]反思領(lǐng)悟

1．判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)的方法2．根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)的方法(1)任取一條垂直于x軸的直線l．(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l．(3)若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．(1)A＝N，B＝N＋，對應(yīng)關(guān)系f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)關(guān)系f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．[解]

(1)對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．(2)對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．(3)對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)．(4)集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．

從f(x)由幾部分組成，是否含有分母、開偶次方根、x0等角度思考使f(x)有意義的條件，進(jìn)而進(jìn)行解答．

反思領(lǐng)悟

求函數(shù)定義域的常用方法(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合．(4)若f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集．(5)若f(x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義．

反思領(lǐng)悟

函數(shù)求值的方法(1)已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]

f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；∵f(－1)＝(－1)3＋2×(－1)＋3＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝3．1．下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是(

)學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)23題號415B

[根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸(或y軸)的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對照選項(xiàng)，可知只有B選項(xiàng)不符合此條件．故選B．]A

B

C

D√

23題號415√C

[由x＋1>0得x>－1，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1}．]3．(多選題)下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的說法正確的是(

)A．y是x的函數(shù)B．x是y的函數(shù)C．對于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a時(shí)，f(x)的函數(shù)值是一個(gè)常數(shù)23題號45√1AD

[結(jié)合函數(shù)的定義可知AD正確．]√

23題號451

5．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，給出下列四個(gè)對應(yīng)關(guān)系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是______．(填序號)23題號451④

[結(jié)合函數(shù)的定義可知y＝|x|符合題意．]④回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)的條件是什么？[提示]

(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)．2．f(x)與f(a)相同嗎？兩者存在怎樣的聯(lián)系？[提示]

f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f(8)＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．3．求函數(shù)y＝f(x)的定義域常注意哪些問題？[提示]

(1)分母是不是零；(2)被開偶次方數(shù)是否非負(fù)；(3)x0中x是不是0；(4)實(shí)際意義．函數(shù)定義的演變過程簡介在現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他相關(guān)學(xué)科中，函數(shù)都是非常重要甚至是不可或缺的．與其他重要數(shù)學(xué)概念一樣，函數(shù)定義的發(fā)展與完善也經(jīng)歷了比較長的一段時(shí)間．“函數(shù)”一詞是萊布尼茨創(chuàng)造的，他用這個(gè)詞表示與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的線段長度，并使用這個(gè)詞表示變量之間的依賴關(guān)系．閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野歐拉于1734年首先使用字母f表示函數(shù)，歐拉在他的著作《微分學(xué)》中給出的函數(shù)定義是：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)．1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼給出的函數(shù)定義是：假定z是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值．如果對它的每一個(gè)值，都有未知量w的唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為函數(shù)的“對應(yīng)說”，因?yàn)槎x中采用了“唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)”的說法．1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上給出了如下函數(shù)的定義：設(shè)E和F是兩個(gè)集合，它們可以不同，也可以相同．E中的變元x和F中的變元y之間的一個(gè)關(guān)系稱為一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個(gè)x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關(guān)系，稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)．它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個(gè)元素x∈E相聯(lián)系．稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定．兩個(gè)等價(jià)的函數(shù)關(guān)系確定同一個(gè)函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為“關(guān)系說”．后來，有些學(xué)者把布爾巴基學(xué)派的定義進(jìn)一步符號化：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個(gè)二元關(guān)系，稱這個(gè)關(guān)系為函數(shù)，