江西省萍鄉(xiāng)市2022屆高三高考二模數(shù)學（文）試題（含答案解析）

江西省萍鄉(xiāng)市2022屆高三高考二模數(shù)學（文）試題

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.已知4={xwN+1-1W7},8={x|x=3〃+L〃wN},則Ap|8=（）

A.{1,4}B.{4,7}C.{1,4,7}D.{-U,4,7}

2.已知復數(shù)z滿足z=Q5y（i為虛數(shù)單位），則同=（）

51

A.y/2B.—C.1D.:

22

3.北京2022年冬奧會的成功舉辦，帶動了我國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動市場需

求得到釋放.下圖是2012-2019年我國已投入運營的室內(nèi)滑雪場數(shù)量（家）與同比增

長率（與上一年相比）的統(tǒng)計情況，則下面說法錯誤的是（）

2012-2019年中國已投入運營的室內(nèi)清雪場（單位：家）

A.2012-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的數(shù)量總體呈增長態(tài)勢

B.2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速逐漸加快

C.2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速在2017年觸底

D.2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速在2018年首次出現(xiàn)正增長

4.已知sin(a+?)=g,貝Ijcos(2a+T

（）

A.|B.3

C.—D.

222

5.若函數(shù)/(x)=x-〃lnx的圖象在犬=1處的切線斜率為3,則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.在AABC中，AO為8c邊上的中線，E在線段AO上，AE=2ED,則麗=

()

3-.1—.

A.-AB--ACB.-AB--AC

4433

2__?__3—1—■

C.-AB——ACD.-AB+-AC

3344

7.如圖，在正方體ABCO-AgCQ,中，E,尸分別為8C,CC,的中點，過點A,E,F

作一截面，該截面將正方體分成上下兩部分，則下部分幾何體的正視圖為（）

B.

y1

+jy=l(6f>/?>0),[3]A7:x2+y2-6bx+3ay=0,若△”用工的重心

在橢圓C上，則橢圓C的離心率為（)

A④

B-CD

2-T-I

9.已知圓C:（x-2）?+y2=i,直線/為繞原點轉(zhuǎn)動的任一直線，則事件“直線/與圓C

有公共點”發(fā)生的概率為（）

￡n

-

Ac.3B.6

D.

11

3-6-

10.已知函數(shù)f（x）=（：一〉”：°,則y=/（x）-《的所有零點之和為（）

|x+l|,x<02

A.B.C.2D.0

22

11.已知四棱錐P-ABC。的底面四邊形A8C￡>是正方形，側(cè)棱PAL平面ABCO,

以=3,且直線PC與平面F4B所成的角的正切值為亞，則四棱錐尸-ABCD的體積

3

為（）

A.3B.9C.18D.27

12.設(shè)函數(shù)f（x）=sin[2x+：）在區(qū)間a,a+^上的最大值為"，最小值為機，則

M-機的最小值為（)

A近

2

c.1-也

D

2.亨

二、填空題

13.已知函數(shù)〃x)是R上的奇函數(shù),且f(x)=d+3x,若非零正實數(shù)〃?，〃滿足

,t\m-2〃加)+/(〃)=0,則,'的小值是.

mn

x+l>0

14.若實數(shù)工、》滿足約束條件卜-y<0,則目標函數(shù)z=3x+y的最小值為

2x+3y-l>0

15.AABC中，角AB,C的對邊分別為a,。,c,若一千心一=—J,a=百,c=2,則

b=?

16.已知圓。:/+9=2,對直線x+3y-4=0上一點P(r,A),在圓。上總存在點A,

使得NOP4=30。，則實數(shù)上的取值范圍為.

三、解答題

17.第24屆冬奧會于2022年2月4日至2月20日在北京舉行，組委會為普及冬奧知

識，面向全市征召。名志愿者成立冬奧知識宣傳小組，現(xiàn)把該小組成員按年齡分成

[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]這5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知

(1)求m和a的值，并估計該冬奧知識宣傳小組成員年齡的中位數(shù)(中位數(shù)精確到

0.1)；

(2)若用分層抽樣的方法從年齡在[30,35),[35,40),[40,45]內(nèi)的志愿者中抽取6名參加某

社區(qū)的宣傳活動，再從這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者去該社區(qū)的一所高中組織一

次冬奧知識宣講，求這2名志愿者中至少有1人年齡在[35,40)內(nèi)的概率.

18.如圖，一半圓的圓心為0,A8是它的一條直徑，AB=2,延長AB至C,使得

BC=OB,設(shè)該半圓所在平面為a,平面a外有一點尸，滿足平面POCL平面a,且

OP=CP=4s,該半圓上點。滿足PQ=".

(2)若線段C。與半圓交于R,求三棱錐。-PQ?的體積.

19.己知數(shù)列｛4"｝中，％=l,a“a"+|=2",令2=%,,.

(1)計算久也也的值，并求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(2)若c“=(3〃+1也，求數(shù)列｛%｝的前〃項和7；.

a—]

20.已知/(不)=111_￥+1+；—工2+以.

(1)若。=一1,求/(幻的極值；

(2)若不等式f(x)<Z-ln2恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

4

21.已知拋物線C:d=2py(p>0),焦點為F,過F作動直線/交拋物線C于

&孫弘),8(々,％)兩點(必2”)，過3作拋物線C的切線”?，過A作直線口的平行直線

“交》軸于。，設(shè)線段AO的垂直平分線為〃，直線/的傾斜角為a.已知當

4

cosa=——時，y=4.

⑴求拋物線C的方程；

⑵證明：直線。過y軸上一定點，并求該定點的坐標.

C1

2x=t+-

22.在直角坐標系xQy中,曲線C的參數(shù)方程為C：:a為參數(shù)),以直角坐

y=t--

t

標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線c的極坐標方程；

(2)若A、8是曲線C上的兩點，且厲.麗=0，求|詞的最小值.

23.已知函數(shù)f(x)=|x+l|-2|x|.

⑴解不等式/(x)苦-1；

(2)若不等式/(x)4a|x-l|恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合元素的形式可得關(guān)于〃的不等式，從而可求AAB.

【詳解】

2

令-143〃+147,則-而nwN,

故〃=0,1,2,故4口8={1，4,7},

故選：C.

2.D

【解析】

【分析】

先化簡復數(shù)z,再利用復數(shù)的模公式求解.

【詳解】

?3?1

解：因為z=-----==—,

用十(1+i)22i2

所以同=；，

故選：D

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)圖表中的柱狀圖的高低變化和同比增長率的曲線圖可得錯誤的說法.

【詳解】

圖表中的室內(nèi)滑雪場的數(shù)量的柱狀圖逐年升高，故總體呈增長態(tài)勢，故A正確.

2013-2017年，我國室內(nèi)滑雪場的增速逐年降低，

2018年，我國室內(nèi)滑雪場的增速有所提高，而2019年的增速有小幅回落.

故B錯誤，CD正確.

故選：B.

4.A

【解析】

答案第1頁，共17頁

【分析】

利用二倍角的余弦公式求解.

【詳解】

因為sin(a+kj=],

所以cos(2a+g)=cos2(tz+^

5.A

【解析】

【分析】

求7U)導數(shù)，由題可知廣⑴=3即可求〃的取值.

【詳解】

Vf{x}=x-a\nx,/.=—,

x

若函數(shù)/(x)=x-alnx的圖象在》=1處的切線斜率為3,

則/⑴=1]=3=。=-2.

故選：A.

6.B

【解析】

【分析】

由向量的線性運算法則計算.

【詳解】

山題意次=A*-A￡=A與一一AD=AB--x-(AB+AC)=-AB--AC,

33233

故選：B.

7.A

【解析】

答案第2頁，共17頁

【分析】

由E尸〃AR,可得截面為AEFR,得到幾何體，進而得正視圖.

【詳解】

如圖由于EF〃AR,,由題意得此截面為AEFQ,由圖可知正視圖應為A選項,

故選：A.

叭______#

8.A

【解析】

【分析】

先表示出瑞的重心，代入橢圓可得出〃=?2,即可求出離心率.

【詳解】

由題可得月(一G。),工(c,O),M,則△石加工的重心為一1

將\b,-^\代入橢圓可得4+￡=1,即4/_4/戶+/=o,

V2)a-4b-

故選：A.

9.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)出直線/：?=履，利用圓心到直線位置關(guān)系，作圖，即可計算出所求概率

【詳解】

答案第3頁，共17頁

y

設(shè)圓心到直線的距離為d,

24

所以，d=-^J==,若/與圓C相交或相切,則d<l,化簡得，飲2?1+后2,得

一旦心且,

33

所以，ZAOB=60。，可以用原點。為圓心,r=3(半徑長度可隨意取)，作圓,

如圖，當直線/在陰影處運動時，直線/與圓沒C有公共點，當直線/在非陰影處運動時,

直線/與圓C有公共點,

故事件“直線/與圓C有公共點”發(fā)生的概率「=1黑200=：1

故答案選：C

10.D

【解析】

【分析】

根據(jù)零點定義求出零點后可得.

【詳解】

xNO時，由(1)2-！=0得x=l土變，

22

113

x<o時，由,+1|-5=0得工=一e或X=一3,

所以四個零點和為i+立+1-42-1-9=0.

2222

故選：D.

11.C

【解析】

【分析】

答案第4頁，共17頁

利用直線PC與平面必記所成的角的正切值，求出A8CO的邊長，進一步利用體積公式求

出答案.

【詳解】

設(shè)ABC￡＞的邊長為。

,:24,平面ABCO

/.PALBC

又???8CJ.A8,PAryAB^A

：.BC1■平面力協(xié)

/?直線PC與平面P4B所成的角即為角NCPB

?BC_瓜

,?詬

.a=瓜

y/a2+93

解得”=3夜

四棱錐尸-ABCD的體積為V=g/x3=18.

故選：C.

12.B

【解析】

【分析】

求出2x+f的范圍，把它作為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值M與最小值"?并分析它們

4

的差最小時結(jié)論.

【詳解】

答案第5頁，共17頁

xe［a,a-i—］時，2x4—G2〃4—,2QH--1----,令2XH—=t,2QH—=h,

34|_443」44

則問題轉(zhuǎn)化為g?)=sinf在［//+?27r］上的最大值是M,最小值是，",

由正弦函數(shù)性質(zhì)，g(r)=sinr的周期是2萬，要使得最小，則g⑺的最大值或最小值

點是區(qū)間［力,/?+的中點，

由周期性，不妨取力+力+2=%或力+力+2^=3萬，/?=~,=—,

3366

，4-J."1一1

h=—ti^,A/=1,w=sm—=—,M-m=—,

6622

.77r..7TC11

h=—時、/n=-l,M=sin—=—,M—m=—,

6622

故選：B.

13.2

【解析】

【分析】

由函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，得到/(加一2,加)=/(-〃)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到

m-2mn=-n,得至I」,+工=L(L+1)(〃?+〃)=L(2+2+')，利用基本不等式，即可求

mn2mn2mn

解.

【詳解】

因為函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，可得"-x)=-f(x)，

由f^m-2mn)+/(n)=0,可得/'(加—2〃?〃)=—〃")=f(-〃),

又因為〃x)=V+3x,可得/(力=3/+3>0,所以函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

所以m一2m九=一九，B|Jm+n=2mn,即?■!■+』=2,

mn

1111I、，、1小n1—「m、-

則—i—=—?(z—i—)(〃?+〃)=—*(2H---1—)>—?(2+2J----)=2,

mn2ntn2mn2\/nn

n17?

當且僅當二=巴，即機=〃=1時，等號成立，

mn

所以'+4的小值是2.

mn

故答案為：2

14.-2

【解析】

答案第6頁，共17頁

【分析】

作出可行域，平移直線z=3x+y,找出使得目標函數(shù)z=3x+y在y軸上截距最小時對應的

最優(yōu)解，代入目標函數(shù)即可得解.

【詳解】

x+l>0

作出不等式組y-yvo所表示的可行域如下圖所示:

2x+3y-l>0

平移直線z=3x+y,當該直線經(jīng)過可行域的頂點A時,直線z=3x+y在y軸上的截距最

小,

此時z取最小值,g|Jznij?=3x(-l)+l=-2.

故答案為：-2.

15石+"

,2

【解析】

【分析】

7T

由正弦定理化邊為角，然后由兩角差的正弦公式變形,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得c=§,再

用余弦定理列方程解得人

【詳解】

a+bsinA+sinB_sinC

因為由正弦定理得

cosA+cosBcosCcosA+cosBcosC

sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCeosB,

答案第7頁，共17頁

sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC,

sin(A-C)=sin(C-B),

A,是三角形內(nèi)角，A—C+C—B=A—Be：{—7i,,

所以A—C=C—B,

所以A+8=2C,所以C=?,

由余弦定理d=片+從-2abeosC得4=3+^-2屜cos(=3+/-向,，

解得b=3上立2=立二也舍去)，

22

故答案為：叵電.

2

16.|,2

【解析】

【分析】

A在圓。上，當小是圓。切線時，/OPA取得最大值，由題意這個最大值不小于30。即滿

足題意，利用圓心到P點的距離與半徑的2倍比較可得.

【詳解】

由題意當R4是圓。切線時，NOPA取得最大值，而當/。上4=30。時，|OP|=2H=2/，

所以由在圓。上總存在點A,使得NOPA=30。，得〃+公J上,

2

即(4-3&)2+&248,解得？kW2.

故答案為：|，2.

17.(1)利=0.07,々=100,31.7

⑵I

【解析】

【分析】

(1)先計算各組的頻率，再根據(jù)頻率和為1計算出用的值，然后再根據(jù)［25,30)段的人數(shù)

和對應的頻率計算出總?cè)藬?shù)；利用面積法求出中位數(shù)；

(2)先計算出年齡在［30,35),［35,40),［40,45］內(nèi)的志愿者人數(shù)；再求從這6名志愿者中隨機

抽取2名志愿者的基本事件總數(shù)和至少有一名志愿者年齡在［35,40)內(nèi)的事件數(shù)，代入古典

答案第8頁，共17頁

概型概率計算公式，可得答案

（1）

由頻率分布直方圖知：（0.01+m+0.06+0.04+0.02）x5=l,解得機=0.07...

因為年齡在［25,30）內(nèi)的人數(shù)為35,所以a=35+（0.07x5）=100

設(shè)冬奧知識宣傳小組成員年齡的中位數(shù)的估計值為x,則xe［30,35）內(nèi)，且滿足

2

0.01x5+0.07x5+（x-30）x0.06=0.5,解得x=31-s31.7

3

⑵

由頻率分布直方圖知：小組成員年齡在［30,35）,［35,40）,［40,45］的人數(shù)之比為3:2:1,故抽

取的6名志愿者中，在區(qū)間［30,35）,［35,40）,［40,45］中分別抽取了3人，2人，1人

記［30,35）中的3名志愿者為A，演A，［35,40）中的2名志愿者為綜修，［40,45］中的1名志

愿者為C,則從6人中再隨機抽取2人的所有可能有（A，&），（4,4），（4由），（小名）,（4,0,

（54）,（4，用）,（&也）,（4,0,（4，用）,（4也）,（4,0鳥,82）,（40,（%0；

a3

共15種，至少有1人年齡在［35,40）內(nèi)的情形有9種，故所求概率為尸=尚=（

18.（1）證明見解析

⑵2

15

【解析】

【分析】

（1）連接PB,結(jié)合面面垂直得平面a,進而得再結(jié)合勾股定理得

POA.OQ,進而證明OQJ?平面POC即可證明結(jié)論；

（2）過點。作ODJ.QR于。，則。為QR的中點，進而根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合體積公式求解

即可.

（1）

證明：連接尸8,：OP=CP,OB=CB,PB±OC

又?.?平面POC_L平面a,平面POCCI平面a=OC,

.?.必，平面。，./8，。。

OP=y/5,OQ=l,PQ=y/6,

OP2+OQ2=PQ2,:.PO1OQ,

■：opr\PB=p,

答案第9頁，共17頁

.?.OQ1.平面POC,又=平面POC,

OQLAB,

由平面POC_L平面。，且平面POC_L平面a=A8,

.?.OQ,平面POC,

又OQu平面尸OQ,

平面尸OQ_L平面POC.

(2)

解：過點。作ODLQR于O,則。為QR的中點，

故在R〃COQ中：?.?；OCxOQ=gcQx。。，即：OD

RQ=2y/OQ2-OD2=竽

c_1℃12后2石2

■■^SORQ=~RQXOD=~X—^-X—^---

XPB=slop1-OB-=2，

1]24

xx

??^O-PQR=Vp-OQR=~SXOQRxPB=--2=—

19.(1)4=2,仇=4力3=8；bn=2"

(2)7；,=(3n-2)-2,,+l+4

【解析】

【分析】

答案第10頁，共17頁

(1)根據(jù)遞推關(guān)系求出生,4，4即可得出4,為，4,再證明｛〃｝為等比數(shù)列即可求出通項公

式；

(2)利用錯位相減法可求出.

(D

T°

由=2"得。+]=-，又〃1=1，，出=2,%=2,包=4,見=4,4=8，

..b、=612=2,Z?2=。4=4,=a。=8,

由的必=2"得a“+4+2=2向，兩式相除可得—=2,

則如=%11=2,

'b“a2n

..?｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故"=2"；

(2)

由⑴知c?=(3n+l)2n,

23,,-1n

則7；1=4x2+7x2+10x2+---+(3n-2)2+(3?+l)2,

27；,=4x22+7x23+10x24+---+(3n-2)2,,+(3n+l)2n+l,

兩式相減得-7；=8+3X(2?+2,+…+2”)-(3〃+1)2"”=8+3x上二彳一-(3n+1)2向

=(2-3n)-2n+l-4,

故<=(3〃-2)-2向+4.

20.(1)極大值為-ln2+!；無極小值.

4

(2)ae(-oo,-l)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得極值；

(2)由題知尸(x)=J"]處，進而分a-120和。-1<0兩種情況討論求解即可.

(1)

解：當4=一1時，f(x)=lnx+l-x2-X,

答案第II頁，共17頁

廣(力」一21=一回*'二1),

XX

.?.當xe(O,f時，r(x)>OJ(x)遞增；當xeg,y)時，/'(x)<OJ(x)遞減，

二/(x)的極大值為/gtTn2+1；無極小值；

⑵

0刀“\1/x(。一1W+4X+1-1)工+1](工+1)

解：/(x)=-+(^-l)x+?=^——』--------——-————二

XXX

當4一120即421時，/(x)>O,/(x)遞增；/(l)=^il>0>--ln2,不合題意，

24

(注：取其它使得/(x)2」-ln2的x也可).

4

當。一1<0,即時，xw(0,^J,/'(x)>0,/(x)遞增；(冗)<O,f(x)

遞減，

f(x)的最大值/(---)=-ln(l-67)+—<--ln2恒成立，

\-a2(1-a)4

1〃、112(1-a)+l

令g(〃)=-ln(l-。)+——-,伍<1),g⑷=--+—----=—------>。,(。<1)

2(1-^)i~a2(j)2(j)

所以，g(4)在(YO,1)遞增，且g(-l)=；-ln2,

,即4€(-8,-1)

21.(l)x2=4>-

⑵證明見解析，(0,1)

【解析】

【分析】

(1)法一：根據(jù)題意，易得直線/的方程為：y=—；x+5,與拋物線方程聯(lián)立，求得

A(-2p,4),代入/=2py求解；法二：設(shè)拋物線C的準線為6,過A作于A，過

F作小，A4于4,根據(jù)cosa=-1,結(jié)合拋物線的定義，得至iJIAARAFIsinNAEA,,

再由|A%|=|A4J-叢闋求解；

(2)設(shè)/的方程為丫=依+1,與拋物線方程聯(lián)立，用導數(shù)法得到切線加斜率心=5,由

m//n,得到直線〃的斜率，進而得到直線”的方程，令x=0,得到D的坐標，進而得到

答案第12頁，共17頁

線段AO的垂直平分線a的方程求解.

(1)

43

解：法一：當cosa=-二時，直線/的斜率為

54

又/過焦點尸，故直線/的方程為：y=-3+勺

代入x?=2py得：2x?+3px-2p2=0,

???乂士必。為鈍角，

x,<(),x2>0,xt=-2p,x2=—,

，A(-2p,4),代入f=2py,解得p=2,

，拋物線C的方程為f=4y

法二：如圖：設(shè)拋物線C的準線為b,過A作的，6于A，過尸作于4,

?.?乂之必。為鈍角，二&在線段441上

A4,|=|AF\sinAAFA,=(4+爭x|,

又|伏|=|9|一叫4卜y+5—p=4—

.?.(4+介|=4.，解得p=2,

，拋物線C的方程為x?=4y；

⑵

???直線/與拋物線C相交，

.??/的斜率存在，由⑴知尸(0,1),設(shè)/的方程為廣履+1,

答案第13頁，共17頁

代入f=4y,得x2-4fcv-4=0.

:.x{+Xj=4k,x1x2=-4,

r2r

由％2=4y,得曠=一,則y'=q,

42

???切線"斜率心=￡,

u:m!In,

???直線〃斜率與=5,

又直線〃過A（x?y直線n的方程為：y-%='（x-入）,

令x=0,得知=X-券，

X[x2=-4,.?.yD=y\+2,

X

「.AT）的中點M（^，y+1），

2

則線段AD的垂直平分線。的斜率（=一一，（左。0,否則/為y軸，與拋物線只有一個交

%

點），

???直線。的方程為：y—（乂+1）=-2*-+）,

x22

設(shè)。與y軸交于點?%）,

2222

,1+11=1

.,.%0=31++—=—+—=—+-—）

x?4x,x244

直線。過定點（0,1）,命題得證.

,4

22'（"=4cos*-sin*

⑵逋

3

【解析】

【分析】

（1）在曲線C的參數(shù)方程中消去參數(shù)f,可得出曲線C的普通方程，再利用直角坐標方程

與極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線C的極坐標方程；

（2）因為麗.麗=0，所以可設(shè)以外,，）、利用勾股定理可得出

|福f=比+P?=--2：.2八+”.2廣-277-然后利用三角恒等變換結(jié)合正弦型函數(shù)

114cos~6-sm04sm'，一cos0

答案第14頁，共17頁

的有界性可求得I洞的最小值.

(1)

2x+y=2t

解：在曲線C的參數(shù)方程中，可得兩式相乘得普通方程為4/-V=4,

故曲線C的極坐標方程為4"cos?6-p1sin20=4,即P2=——;---------

4cos-O-sirT。

⑵

解