2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.2-用樣本估計(jì)總體【課件】

第九章統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第2節(jié)用樣本估計(jì)總體ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有______的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按__________排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的________.1.總體百分位數(shù)的估計(jì)p%從小到大平均數(shù)(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中______________的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).2.樣本的數(shù)字特征出現(xiàn)次數(shù)最多最中間1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.×解析(1)平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故該說法錯(cuò)誤.(3)方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，故它們單位不一樣.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(

) (2)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(

) (3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(

) (4)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(

)√×√A解析把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù).2.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(

) 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A.3.2

B.3.0

C.4.4 D.2.5C解析10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

) A.0.01

B.0.1

C.1 D.10因?yàn)閏≠0，所以A，B不正確，C，D正確.4.(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(

) A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同CD解析設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，5.(易錯(cuò)題)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________.4846.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為m，中位數(shù)為n，則m－n＝________.360所以m＝1000×0.3＋3000×0.4＋5000×0.18＋(7000＋9000)×0.06＝3360，故m－n＝360.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2A.－2 B.0 C.1 D.21.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是(

)D解析由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，解析∵75%×20＝15，2.一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________，第86百分位數(shù)為________.14.517∵86%×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個(gè)數(shù)據(jù)17.3.將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))124.44解析由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120，130)內(nèi).所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.(1)請你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；例1

某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)：角度1樣本的數(shù)字特征甲9582888193798478乙8375808090859295甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分，84分.①從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù)，乙的成績好于甲；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？請說明理由.④從數(shù)據(jù)來看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙的成績好些；⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢看，乙后幾次的成績均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力.綜上分析可知，甲的成績雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績的次數(shù)及發(fā)展勢頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢，所以應(yīng)派乙參賽更有望取得好成績.例2

某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：角度2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征解如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為3.(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解當(dāng)w＝3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即當(dāng)w＝3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元.訓(xùn)練1(1)有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：7

8

10

9

8

8

6

乙：9

10

7

8

7

7

8

則下列判斷正確的是(

) A.甲射擊的平均成績比乙好 B.乙射擊的平均成績比甲好 C.甲射擊的成績的眾數(shù)小于乙射擊的成績的眾數(shù) D.甲射擊的成績的中位數(shù)等于乙射擊的成績的中位數(shù)D乙射擊的平均成績?yōu)楸姅?shù)為7，中位數(shù)為8；故甲射擊的平均成績等于乙射擊的平均成績，甲射擊的成績的眾數(shù)大于乙射擊的成績的眾數(shù)，甲射擊的成績的中位數(shù)等于乙射擊的成績的中位數(shù).(2)(多選)某校高二年級共有800名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(yàn)(滿分150分)，已知這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于90分，將這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組為：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是(

)A.a＝0.045B.這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在110分以下的人數(shù)為160C.這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為121.4D.這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為125BC解析由題意，(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A錯(cuò)誤；110分以下的人數(shù)為(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正確；平均數(shù)為95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D錯(cuò)誤.例3

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5解由表格中的數(shù)據(jù)易得：所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；訓(xùn)練2

某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企業(yè)數(shù)22453147用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30，0.17.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析由題中數(shù)據(jù)的分布，可知極差不同，1.甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是(

) A.極差

B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.都不相同B所以甲、乙的平均數(shù)相同.解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響.2.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(

) A.中位數(shù)

B.平均數(shù) C.方差

D.極差A(yù)解析將12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序：1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.75，1.78，3.12名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，成績分別為1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(單位：m)，則比賽成績的75%分位數(shù)是(

) A.1.72 B.1.73

C.1.74

D.1.75B4.某樣本中共有5個(gè)數(shù)據(jù)，其中四個(gè)值分別為0，1，2，3，第五個(gè)值丟失，已知該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為(

)A則下列結(jié)論正確的是(

)A.極差為12.5萬噸

B.平均數(shù)為24萬噸C.中位數(shù)為24萬噸

D.眾數(shù)為17.5萬噸5.(多選)下表為2021年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產(chǎn)量：ABD月份12345678910產(chǎn)量(單位：萬噸)23252417.517.52126293027解析將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.極差為30－17.5＝12.5(萬噸)，A正確；＝24(萬噸)，B正確；平均數(shù)為眾數(shù)為17.5(萬噸)，D正確.A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)之間的概率為0.5C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為656.(多選)某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)ABC解析根據(jù)頻率和為1，計(jì)算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)之間的頻率是0.4，估計(jì)得分在[40，60)之間的有100×0.4＝40(人)，A正確；得分在[60，80)之間的頻率為0.5，可得從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，得分在[60，80)之間的概率為0.5，B正確；解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.16，18＝3×5＋1＝16，(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________.8.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖所示，則：1362.564解析(1)在[55，75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.解析設(shè)成績的70%分位數(shù)為x，9.某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數(shù)約為________秒.16.5經(jīng)計(jì)算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這次競賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說明理由.解

從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲組成績好些.10.一次數(shù)學(xué)知識(shí)競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好.④從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多.同時(shí)，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績較好.解

因?yàn)轭l率分布直方圖中最高小長方形所在的區(qū)間的中點(diǎn)值為65，所以眾數(shù)為65，又因?yàn)榈谝粋€(gè)小長方形的面積為0.3，第二個(gè)小長方形的面積是0.4，0.3＋0.4＞0.5，所以中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位數(shù)為65.11.某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競賽，現(xiàn)將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)求參賽學(xué)生的平均成績.解

依題意，可得平均成績?yōu)?55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，所以參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?7分.A.甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值B.甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C.乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值12.(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是(

)AC解析對于A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，故A正確；對于B，甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象力指標(biāo)值為5，故B錯(cuò)誤；對于D，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，故D錯(cuò)誤.13.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”，現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))： ①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22； ②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24； ③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)的序號(hào)為______