高考數(shù)學壓軸題大全

2019年高考數(shù)學壓軸題大全

高考數(shù)學壓軸題大全

1.（本小題滿分14分）

如圖，設拋物線的焦點為F,動點P在直線上運動，過P作拋物

線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

⑴求4APB的重心G的軌跡方程.

⑵證明PFA=PFB.

解：（1）設切點A、B坐標分別為，

切線AP的方程為：

切線BP的方程為：

解得P點的坐標為：

所以4APB的重心G的坐標為，

所以，由點P在直線I上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

⑵方法1:因為

由于P點在拋物線外，則

同理有

AFP=PFB.

方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d1=d2,即得AFP二PFB.

②當時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

,同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1二d2,可得到

AFP=PFB.

2.(本小題滿分12分)

設A、B是橢圓上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB

的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

(I)確定的取值范圍，并求直線AB的方程；

(II)試推斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓

上？并說明理由.

(此題不要求在答題卡上畫圖)

本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎學問以及

推理運算實力和綜合解決問題的實力.

(1)解法1:依題意，可設直線AB的方程為，整理得①

設是方程①的兩個不同的根，

且由N(1,3)是線段AB的中點，得

解得k=7,代入②得，的取值范圍是(12,+).

于是，直線AB的方程為

解法2：設則有

依題意，

VN(1,3)是AB的中點，

又由N(1,3)在橢圓內(nèi)，

的取值范圍是(12,+).

直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

（11）解法1:YCD垂直平分AB,直線CD的方程為y-3=x-1,即

x-y+2=0,

代入橢圓方程，整理得

又設CD的中點為是方程③的兩根，

于是由弦長公式可得④

將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程得⑤

同理可得⑥

???當時，

假設存在12,使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑,

點M為圓心.

點M到直線AB的距離為⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上.

（注：上述解法中最終一步可按如下解法獲得：）

A、B、C、D共圓4ACD為直角三角形，A為直角|AN|2二|CN||DN|,

即⑧

由⑥式知，⑧式左邊

由④和⑦知，⑧式右邊

⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓.

解法2：由（II）解法1及12,

〈CD垂直平分AB,直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得

將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程，整理得

解③和⑤式可得

不妨設

計算可得，A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.

(注：也可用勾股定理證明ACAD)

3.(本小題滿分14分)

已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設數(shù)列的

各項為正，且滿意

(I)證明

(II)揣測數(shù)列是否有極限?假如有，寫出極限的值(不必證明)；

(III)試確定一個正整數(shù)N,使得當時，對隨意bO,都有

本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的

思想.

(I)證法1:二,當

即

于是有

全部不等式兩邊相加可得

由已知不等式知，當n3時有，

證法2:設，首先利用數(shù)學歸納法證不等式

⑴當『3時，由

知不等式成立.

(ii)假設當n=k(k3)時,不等式成立，即

則

即當n=k+1時，不等式也成立.

由⑴、(ii)知，

又由已知不等式得

(II)有極限，且

則有

故取N=1024,可使當nN時，都有

4.如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1,F2在x軸上，

長軸A1A2的長為4,左準線I與x軸的交點為M,

|MA1|：|A1F1|=2：1.

(I)求橢圓的方程；

(II)若點P為I上的動點，求F1PF2最大值.

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基

礎學問，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題實力.滿分14

分.

解：(I)設橢圓方程為，半焦距為，則

5.已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且.

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)解不等式；

(III)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的

應用等基礎學問，以及綜合運用所學學問分析和解決問題的實力.

滿分14分.

解：(I)設函數(shù)的圖象上隨意一點關于原點的對稱點為，則

???點在函數(shù)的圖象上

(II)由

當時，，此時不等式無解.

當時，，解得.

因此，原不等式的解集為.

6.(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2

小題滿分6分，第3小題滿分6分.

對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x)、y=g(x),

f(x)g(x)當xDf且xDg

規(guī)定：函數(shù)h(x)=f(x)當xDf且xDg

g(x)當xDf且xDg

若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式；

求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域；

⑶若g(x)(x+),其中是常數(shù)，且[0,],請設計一個定義域為R

的函數(shù)y=f(x),及一個的值，使得h(x)=cos4x,并予以證明.

[解](1)h(x)=x(-1)(1,+)

1X=1

(2)當x1時，h(x)==x-1++2,

若x1時，則h(x)4,其中等號當x=2時成立

若x1時，則h(x)0,其中等號當x=0時成立

函數(shù)h(x)的值域是(-,0]{1}[4,+)

⑶令f(x)=sin2x+cos2x,=

則g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,

于是h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x,=,

g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,

于是h(x):f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x..(本題滿

分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8

分，第3小題滿分6分.

在直角坐標平面中，已知點P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n

是正整數(shù).對平面上任一點AO,記A1為A0關于點P1的對稱點，A2

為A1關于點P2的對稱點，，AN為AN-1關于點PN的對稱點.

(1)求向量的坐標；

(2)當點A0在曲線C上移動時，點A2的軌跡是函數(shù)y二千(x)的圖

象，其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù)，且當x(0,3］時,f(x)=Igx.

求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4］上的解析式；

⑶對隨意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標.

［解］(1)設點A0(x,y),A0為P1關于點的對稱點A0的坐標為

(2-x,4-y),

A1為P2關于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y),

={2,4}.

(2)???={2,4},

f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位，再向上平移4個單位得

到.

因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象，其中g(x)是以3為周期的周

期函數(shù)，且當x(-2,1］時,g(x)=lg(x+2)-4.于是，當x(1,4］

時,g(x)=lg(xT)-4.

另解設點AO(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,

若36,則0x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=Ig(x2-3).

當14時,則36,y+4=lg(x-1).

當x(1,4］時,g(x)=Ig(xT)-4.

⑶=,

由于，得

13分)

如圖，已知雙曲線C:的右準線與一條漸近線交于點M,F是雙曲

線C的右焦點，0為坐標原點.

(I)求證：；

(II)若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；

(III)在(II)的條件下，直線過點A(0,1)與雙曲線C右支交于不

同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿意，試推斷的范圍，并用代

數(shù)方法給出證明.

解：(I)右準線，漸近線

3分

(II)

雙曲線C的方程為：7分

(III)由題意可得8分

證明：設，點

由得

與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q

11分

,得

的取值范圍是(0,1)13分

2.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)，

數(shù)列滿意

(I)求數(shù)列的通項公式；

(II)設x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求;

(III)在集合，且中，是否存在正整數(shù)N,使得不等式對一切恒成

立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個?并求出滿意條件的最

小的正整數(shù)N；若不存在，請說明理由.

(IV)請構造一個與有關的數(shù)列，使得存在，并求出這個極限值.

解：⑴

1分

將這n個式子相加，得

3分

(II)為始終角梯形(時為直角三角形)的面積，該梯形的兩底邊的

長分別為，高為1

6分

(III)設滿意條件的正整數(shù)N存在，則

又

均滿意條件

它們構成首項為2019,公差為2的等差數(shù)列.

設共有m個滿意條件的正整數(shù)N,則，解得

中滿意條件的正整數(shù)N存在，共有495個，9分

(IV)it,即

則

明顯，其極限存在，并且10分

注：(C為非零常數(shù))，等都能使存在.

19.(本小題滿分14分)

設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.

(I)求此雙曲線的漸近線的方程；

(II)若A、B分別為上的點，且，求線段AB的中點M的軌跡方程,

并說明軌跡是什么曲線；

(III)過點能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q