高中數(shù)學必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題(高難度) 28(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題（高難度）（28）

一、單項選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.以下命題中真命題的個數(shù)是（）

①若直線/平行于平面a內的無數(shù)條直線，則直線〃/a；

②若直線“在平面a外,則力/a：

③若直線a〃b,bea,則”/a；

④若直線?！ㄘ?，baa,則。平行于平面a內的無數(shù)條直線.

A.1B.2C.3D.4

2.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，貝la截此正方體所得截面面

積的最大值為（）

A.迎B.氈C.乎D,皂

432

3.在三棱錐P-ABC中，已知乙4PC=pZ.BPC=PALAC,PB1BC,且平面PAC_L平面PBC,

4.在三棱錐4-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=1,AC=遮，且二面角B-AC-D為120。，

則三棱錐4-BCD外接球的表面積為（）

A.4兀B,57rC,6兀D.77r

5.三棱柱ABC-AB】Ci底面為正三角形，側棱與底面垂直，若AB=2,44i=1,則點4到平面4BC

的距離為（）

A.3B.3C.也D.V3

424

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

6.下列命題中正確的有（）

A.空間內三點確定一個平面

B.棱柱的側面一定是平行四邊形

C.分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點只可能在兩個平面的交線上

D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內

7.將直角△ABC沿斜邊上的高AD折成120。的二面角，已知直角邊4B=4百,AC=4后，那么下

面說法正確的是（）

A.平面ABC1平面ACD

B.四面體。一A8C的體積是|歷

C.二面角4-BC—D的正切值是走

3

D.BC與平面4C。所成角的正弦值是叵

14

三、填空題（本大題共14小題，共70.0分）

8.如圖，圓柱。。1中，兩半徑。4,0/等于1,且。410$,異面直線

AB與。0］所成角的正切值為弓則該圓柱001的體積為：Z

9.一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的側面積為

10.如圖，正方體ABC。-ABiGDi的棱長為1,線段8也上有兩個動點E,F,且EF=多則下

列結論中正確的結論序號是.

”工\*.一93

,、、一、、、、寸P/

DA

@AC1BE;②EF〃平面ABCD;③異面直線4E,BF所成的角為定值；④直線AB與平面BEF

所成的角為定值；⑤以48EF為頂點的四面體的體積隨EF位置的變化而變化.

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積為cm2.

側視圖

俯視圖

12.以棱長為2遍的正四面體中心點。為球心，以R(1<R<3)為半徑的球面與正四面體的表面相

交得到若干個圓(或圓弧)的總長度的取值范圍是

13.已知正方體ABCD—4B1GD1的棱長為3.點N是棱為B1的中點，點7是棱CC】上靠近點C的三等

分點動點。在正方形。山44式包含邊界)內運動，且QB〃面DiNT,則動點。所形成的軌跡的長

度為_________

14.如圖空間四邊形PA8C中，PA平面A8C,AC1BC,AC=BC=2,PA=4.則

PC和平面PA8所成角的正切值為.

15.如圖(1),在等腰直角△ABC中，斜邊4B=4,0為4B的巾點，將△ACD沿CC折疊得到如圖(2)所

示的三棱錐C-4'B。，若三棱錐。一48。的外接球的半徑為近，則力'DB=。

圖⑴

16.如圖(1),在等腰直角AABC中，斜邊AB=4,0為AB的中點，將△力CD沿CZ)折疊得到如圖(2)所

示的三棱錐C一48￡).若三棱錐C一ABD的外接球的半徑為遙，則NA'OB=.

17.如圖①，在等腰直角△ABC中，斜邊4B=4,。為AB的中點，將△力C。沿CD折疊得到三棱錐

C-4BD如圖②所示.若三棱錐C-A'BD的外接球的半徑為近，則=

18.已知三棱錐。一ABC的每個頂點都在球。的表面上，AB=6,AC=2遍，AB1AC,頂點。在

平面ABC上的投影E為8c的中點，且DE=5,則球。的體積為.

19.在立體空間中，橢圓可以看做是用一個不平行底面的平面去截高度足夠高的圓柱所得的截口曲

線，而圓柱的底面圓恰好是該橢圓在底面的投影.若長軸長為4,焦距為2百的橢圓方程為

捻+，=l(a>b>0),則該橢圓內接六邊形的面積的最大值為.

20.已知三棱柱ABC-aB】Ci的各頂點均在表面積為等的同一球面上，AB=AC=BC=4,則這

個三棱柱的高是.

21.一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，若該圓錐的側面積為3百兀，則該圓錐的體積為

四、解答題(本大題共9小題，共108.0分)

22.如圖，在三棱柱4BC-中，側面441GC是菱形,D是AC中點,&D_L平面ABC,平面BB1。

與棱4cl交于點E,AB=BC.

(1)求證：四邊形BBiED為平行四邊形;

(2)若CBi與平面4BB14所成角的正弦值為等求蔡的值.

23.如圖，正方體4BC。一&B1C1D1的棱長為2,E是A5的中點，OF1。出于F。

(1)證明;BO11平面。EF；

(2)求三棱錐5-OEF的體積。

24.已知四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為矩形，且4D=4,4B=2,若PAJ?平面4BCD,E,F

分別是線段AB,8C的中點.

⑴在線段4。上是否存在點G,使得EG〃平面PFD?若存在，找出點G的位置(不用證明)；若

不存在則說明理由；

(2)證明：PF1DF；

(3)若PB與平面ABCD所成的角為60°,求二面角A-PD-F的平面角的余弦值.

25.如圖，在四棱錐P—48co中，Z4PB=乙BPD=Z.APD=60°,PB=PD=BC=CD=2,AP=3.

(/)證明：AP1BD-,

(〃)求PC與平面PA8所成角的正弦值.

26.如圖，四邊形A8C￡＞是矩形，AD=2,DC=1,平面/BCDJ■平面8CE,BE1EC,EC=1.點

尸在線段BE上，且DE〃平面ACF

(I)求證：平面4ECJ?平面A8E；

(口)求言的值;

(in)求二面角力一戶C-B的余弦值.

4■_____L

廠

27.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛(Alberobello),這些圓錐形屋頂?shù)钠?/p>

特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄(如圖1).現(xiàn)測量一個屋頂，得到圓錐5。

的底面直徑4B長為12〃?，母線S4長為18nl(如圖2).C,力是母線SA的兩個三等分點(點?？拷?/p>

點4),E是母線SB的中點.

圖1困2

(1)從點A到點C繞屋頂側面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度;

(2)現(xiàn)對屋頂進行加固，在底面直徑4B上某一點P,向點。和點E分別引直線型鋼管和PE.試

確定點P的位置，使得鋼管總長度最小.

28.如圖，在四棱錐S-ABCD中，5口_1底面從8。。，底面A8CO是正方形，且.SD=AD,5是SA的

中占

I八、、,

（I）求證：直線BAL平面SAQ；

（口）求直線SA與平面BED的夾角的正弦值.

29.某潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進行考察，氧氣瓶形狀如圖，其結構為一個圓

柱和一個圓臺的組合（設氧氣瓶中氧氣已充滿，所給尺寸是氧氣瓶的內徑尺

寸），潛水員在潛入水下4米的過程中，速度為V米/分，每分鐘需氧量與速

度平方成正比（當速度為1米/分時，每分鐘需氧量為0.2L）；在湖底工作時，

每分鐘需氧量為0.4L；返回水面時，速度也為v米/分，每分鐘需氧量為0.2L,

若下潛與上浮時速度不能超過P米/分，試問潛水員在湖底最多能工作多少

時間？(氧氣瓶體積計算精確到IL,a、p為常數(shù)，圓臺的體積了=17rh(r2+rR+R2),其中〃

為高，八R分別為上、下底面半徑.)

30.如圖，AABC和△BCD所在平面互相垂直，且4B=BC=B0=4,

/.ABC=ADBC=120°,E,F,G分別為AC,DC,AO的中點.

(1)求證：EFJJF面BCG；

(2)求三棱錐。-BCG的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置

關系的合理運用.

在①中，直線/與a平行或，ua：在②中,a與a平行或相交；在③中，“/a或aua；在④中，a〃a或

aua,故a平行于平面a內的無數(shù)條直線.

解:因為直線I雖與平面a內無數(shù)條直線平行，但/有可能在平面a內，所以/不一定平行于a,所以①是

假命題.

因為直線a在平面a外包括兩種情況：a〃a和。與a相交，所以a和a不一定平行，所以②是假命題.

因為直線4/b,bua,則只能說明“和6無公共點，但。可能在平面a內，所以a不一定平行于a,

所以③是假命題.

因為a〃b,bua,所以所以。可以與平面a內的無數(shù)條直線平行，所以④是真命題.

綜上，真命題的個數(shù)為1.

故選A.

2.答案：A

解析:

本題考查直線與平面所成角的大小關系，考查空間想象能力以及計算能力，有一定的難度.

利用正方體棱的關系，判斷平面a所成的角都相等的位置，然后求解a截此正方體所得截面面積的最

大值.

解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所成的角都相等,

如上圖所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a截此正方體所得截面面積的最大,

此時正六邊形的邊長遮，截面面積最大值為：6X^X(^)2=M.

24v274

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查幾何體外接球的表面積，由面面垂直的性質，得4。，平面P8C,史R3=立,故得解.

66

解：取尸C中點0,連接A。，B0,設球半徑為R,因為NBPC':,PALAC,PB1BC,

所以AO=BO=R,PC=2R,PB=R,BC=遍R,由平面PACJL平面PBC,/-APC=?得，AO1平

面PBC,因為三棱錐P-ABC的體積為更，所以3R3=隹，...R=I,

666

二球的表面積為47r.

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查球的表面積公式，空間想象能力和思維能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意中數(shù)據(jù)可得NACB=4a4。=90°,將將三棱錐4-BCD置于一個直三棱柱力DE-CFB中是

解題的關鍵.

解：因為4B=CD=2,AD=BC=1,AC=V3,所以N4CB=NC40=90。，

將三棱錐A-BCD置于一個直三棱柱ADE-CFB中，如圖所示：

由二面角B-4C-C為120。可知NE/W=120%直三棱柱/。9一。/8的外接球即三棱錐4一8以)的

外接球，

外接球的球心。在上下底面三角形外心連線段的中點.

在△力DE中，AD=AE=1,/.EAD=120°,得0E=心，

設三棱錐4-BCO的外接球的半徑為R,A/IDE外接圓的半徑為「，由正弦定理得2r=f肅=2,

smz.EAD

解得r=l.

又球心到底面ADE的距離d=-AC=在，

22

所以外接球的半徑R=Vr2+d2=—>

2

所以外接球的表面積為JTTFHF，

故選O.

5.答案：B

解析：

本題考查點到面的距離，線面垂直的判定.屬于一般題.

過A作4。1&D,AO即為所求，利用等體積法求解.

解：在三棱柱中，連接&B,4C,

取BC的中點。，連接A。，&D

因為底面△ABC是正三角形，所以4B=4C

有題干條件可知側棱1底面A8C

所以441_L48,AAX1AC

222

所以|七B|2=|44/2+|幽2,\Aj_C\=\AAr\+\AC\

所以=141cl

且4B=4C,點。是BC的中點

貝lj有4。1BCMi。_LBC,AO與公。交于。，

且AD與&D都在平面中，

所以BC1平面44D,

過A作40J.&D,則4。1面4BC,

因為4B=2,44i=1,4BC—/1B1G底面為正三角形,

所以40=遮，

ArD=2,

^A-AtBC=^A1-ABCf

11

.,九，S“]Bc=Q?,S^ABC,

i-h-i-2-2=i-l-i-2-V3,

3232

h=避,

2

所以A到平面4BC的距離為當

故選B.

6.答案：BC

解析：

本題主要考查了平面的基本性質及其推論的應用，屬于基礎題.

根據(jù)平面的基本性質及其推論，以及棱柱的性質，逐項分析，即可判斷出結果.

A.因為任意不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

B.根據(jù)棱柱的性質可得：正棱柱的側面是矩形，斜棱柱的側面可能是矩形和平行四邊形，棱柱的側

面一定是平行四邊形，故B正確；

C.分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點分別含于兩條直線，也分別含于兩個平面，

必然在交線上，故C正確；

。.若一條直線過三角形的頂點，則這條直線不一定在三角形所在的平面內，故。錯誤.

故選BC.

7.答案：CD

解析：

本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查二面角，線面角，棱錐的體積，考查空間想象能

力，屬于較難題.

根據(jù)題意逐項判斷即可.

解：沿折后如圖，

由題易得力。1CD,AD1BD,CDCBD=D,；.ADJ_平面BCD,

所以4。IBC,

且易知NCDB是二面角C一4D-B的平面角，

故NCDB=120°,CD=8,BD=4,AD=4魚，

在ACDB中，由余弦定理得BC2=CO2+BD2-2CD-BDCOS120。，可得BC=4夕,

過點。作CFLBC于F,連接AF,

又BCJ_AD,ADODF=D,

BC_L平面ADF,則4F1BC,

由面積相等得［DFBC,可得。尸=咆，

997

①VAD1平面BCD,ADu平面ACD,

平面4CD_L平面BCD,

???易知平面ABC與平面AC￡＞不垂直，A錯;

②由于Vo-ABC—^A-BCD=]SABCD-4。

=:(!x8x4xsinl2()""＞，錯;

323

③易知乙4FD為二面角A-BC-。的平面角，

AD4—屈

taii7Z.A4rrUn=__=—-^==--——十5

DF4y/213，C正確；

④?.?平面AC。_L平面BCD,平面ACO介平面BC。=CD,

???過B垂直于平面AC。的直線一定在平面BCO內，且與C。相交,

BC與平面48所成的角是NBCD,

RHCDF中，.DF歷，。正確.

suiZZ/C=——=-*■—=----

故選CD.

8.答案：47r

解析：解：過B作BC_L底面0,交底面圓。于點C,連結0C,

???圓柱001中，兩半徑04,0止等于1,且041。$,

異面直線AB與。01所成角的正切值為?，

0A10C,AC=Vl2+I2=V2,OoJ-BC,

二N4BC是異面直線AB與。。1所成角，

tan^ABC="=立=五，二00=BC=4,

BCBC41

???該圓柱。。1的體積:

V=nr2?00]=47r.

故答案為：47r.

過B作BC1底面0,交底面圓。于點C,連結。C,則04JL0C,AC=&，OO^-BC^由乙48c是

異面直線48與。。1所成角，得到tan/ABC="=涯=江，從而。01=BC=4,由此能求出該圓柱

BCBC4

。。1的體積.

本題考查圓柱的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求

解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

9.答案：2n

解析：

本題主要考查圓的周長公式和扇形面積公式，圓錐的軸截面等基礎知識，考查運算求解能力，化歸

與轉化思想,屬于基礎題.

由題意得圓錐的底面半徑及母線長，那么圓錐的側面積=底面周長x母線長x

解：???圓錐的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，

二底面半徑=1＞底面周長=2n,

二圓錐的側面積=x2TTx2=27r.

故答案為27r.

10.答案：①②④

解析：

本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據(jù)這些幾何特征，

對其中的點線面和位置關系作出正確判斷.熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義

以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證.

①4CJ.BE,可由線面垂直證兩線垂直：

②由面面平行的定義可證得結論正確；

③可由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值；

④把線面角轉化為線線角即NABD,即可得知④正確；

⑤可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值.

解：①ACJL平面又BEu平面BBiD[D，工ACLBE,故①正確；

②)?：平面ABCD"平面A、BiC\D\,EFU平面AiBiGR,，EF〃平面ABC。，故②正確；

③由圖知，當F與當重合時，令上底面中心為O,則此時兩異面直線所成的角是N&40,當E與內重合

時，此時點F與。重合，則兩異面直線所成的角是OBCi，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成

的角不為定值，故③錯誤；

④直線AB與平面BE尸所成的角也就是直線AB與平面88也。所成的角，ACJ.平面8出。|。，

???直線AB與平面8815。所成的角就是乙4BD為J5，因此，直線AB與平面BEF所成的角為定值，

故④正確；

⑤由幾何體的性質及圖形知，三角形BE尸的面積是定值，4點到面ODiBiB距離是定值，故可得三

棱錐4-BEF的體積為定值，故⑤錯誤.

11.答案：12+8收

解析：

本題考查空間幾何體的三視圖，以及求表面積，屬于基礎題.

判斷得出該幾何體類型，利用題中數(shù)據(jù)，即可求解幾何體的表面積.

解：由三視圖可知，該幾何體為一個三棱錐和一個四棱錐的組合體，其直觀圖如圖所示，其中四棱

錐P-4BCD的底面為邊長為2的正方形，高為2,三棱錐Q-BCE的底面為直角邊為2的等腰直角

三角形，高為2,所以該幾何體的表面積S=4+2x|x2x2+2xjx2x2V2+2x|x2x2

+2xJx2x2>/2=12+Sx/2(cin2).

12.答案:(0,8企司

解析：

本題考查正方體與圓的組合體，確定球面在正方體表面上截得的弧的位置和大小是解題的關鍵.

解：

將棱長為2n的正四面體人-BCD補體為正方體，則正方體邊長為2遍,

所以該正四面體外接球半徑為3,即08=3,

設CD中點為E,底面ABCO的中心為0',連接BE,OE,

則BE=3V2，BO'=2V2,EO'=五,

00'=yjBO2-BO'2=］，OE=1。。'2+E0'2=V3.

當1<R<但時，球在正四面體每個面上截得的軌跡都是圓，這些圓都是以各個面的中心為圓心的

圓，設半徑為r（0<rW魚），

所以總長度為4X2nr<8/兀，

當遮<R<3時，球在四面方體每個面上截得的軌跡都是三段圓弧，其長度顯然小于8位兀，R-1或

R-3時，球在正四面體每個面上截得的軌跡都是點，長度為0,

故答案為（0,8立司.

13.答案：V10

解析：

本題考查直線與平面的位置關系的應用，軌跡的長度求法，取DC中點Ei，取4G=1,延長BE1，

延長A。，交于點E,連接￡G,交05于點］.說明面BGECI面D1DZM1=G/,點Q的軌跡是線段G/然

后求解即可.

解:由于QB〃面ANT,所以點。在過8且與面DiNT平行的平面上.

取。C中點Er取41G=1,

故可得BN匕E\D<

故可得BE//D1N,

同理證得BG〃/

又因為BGnB%=8,DrNnDyT=Dx

則面ME1〃面。iNF.

延長BE】，延長AD,交于點E,

連接EG,交DDi于點/.顯然，面BGEn面￡(i?44i=G/,

所以點。的軌跡是線段G/.易求得G/=V32+I2=V10

故答案為：VTo

14.答案：|

解析：解：取AB的中點為O,連接C。，

"PAl^ABC,：.PA1.0C,

■■AC=BC,。是AB的中點，.??AB1OC,

又P4CiAB=A,：.COJ_平面PAB,

貝ikCP。為PC和平面PAB所成的角.

AC—BC-2,AC1BC,AB=2&，CO=^AB=\[2,

：.PO=y/PA2+OA2=3V2.

tanz.CPO=—=

OP3

PC和平面PAB所成角的正切值為“

故答案為：

取4B的中點為0,連接CO,可證C01平面PAB,則NCP。為尸C和平面PAB所成的角.

本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.

15.答案：簧

解析：

根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是石，以及已有的入

邊的長度和角度關系，分析即可解決./\

本題考查了三棱錐的外接球的問題，找到球心的位置是解決本題的關/

鍵.屬于難題.￡<整//一,均\

解：球是三棱錐C-ABD的外接球，所以球心。到各頂點的距離相

等，如圖.*二^3

根據(jù)題意，（:0_1_平面48。，

取CC的中點E,4B的中點G,連接CG,DG,

因為4D=BD,CD_L平面4BD,

所以力'和B關于平面CQG對稱，

在平面CDG內，作線段CZ）的垂直平分線，則球心。在線段CD的垂直平分線上，設為圖中的。點

位置，過

O作直線C。的平行線，交平面ABD于點兄

則OF1平面A'BD,且OF=DE=1,

因為a'F在平面ABO內，所以。尸14'F,

即三角形AOF為直角三角形，且斜邊。&=R=病，

???A'F=Vft2-OF2=V5^1=2.

所以BF=2,

所以四邊形A'DBF為菱形，

又知OD=R,三角形0￡>E為直角三角形，

0E=7R2-DE2=75^1=2,

???三角形A'DF為等邊三角形,

???^A'DF=p

故"DB=y,

故填

16.答案：等Ojr

解析：

本題考查三棱錐的結構特征及其外接球問題，屬于較難題目.

根據(jù)題意得出三角形ABD的外接圓半徑，設4&DB=2。，利用正弦定理及外接球的半徑得出r,求

出cos。即可得出.

解：設△4BD的外接圓半徑為，，乙4，DB=2。，其中。e（0,》

取48的中點E,???A'D=DB,二DE1A'B^A'DE=^A'DB=6,

/.AfE=2sin09/.AiB—2AfEIsin0；

.WB4sin0

在△480中，由正弦定理易得2r

s\nZ.AfDBsin20

故「

由題意知A/1+產(chǎn)=遍.

19TT

解得860=,），所以乙山。8=20=可.

故答案為二:.

17.答.案:797r

解析：

本題考查三棱錐的結構特征及其外接球問題，屬于較難題.

根據(jù)題意得出三角形48。的外接圓半徑，設乙4切8=20,利用正弦定理及外接球的半徑得出r,求

出cos。即可得出.

解：設△A'BC的外接圓半徑為r,WDB=2。,其中。e（0弓）.

取的中點E,vA'D=DB,

：.DE1A'B^A'DE=^A'DB=0,

...1772sin0f

A!B2.1'/?Lsin0;

在△A8D中，由正弦定理易得2r==處女

sinNADBsin20

故廠=—

CU?U

由題意知A/1+丁2=岳.

IQyr

解得8S0=；,所以/4。8=2。=m?

2TT

故答案為三.

18.答案：等

解析：解：因為4B=6,AC=2乃，AB14C,所以BC='36+24=

2V15-

由題意可知△ABC外接圓半徑r==V15,

因為DE_L平面ABC,則可知球心。在?！晟?，由球的性質可知

R2=(5-燈+15,

解可得R=4,

故球的體積用竽=等

故答案為：等.

由題意可知DE，平面A8C,球心。在。E上，由球的性質可知R2=(0E-R)2+GBC)2,代入可求

R,然后結合球的體積公式即可求解.

本題主要考查了球體積的求解，解題的關鍵是球半徑的求解，屬于中檔試題.

19.答案：3/j

解析：

本題考查橢圓在立體空間中的應用，考查了綜合分析運用能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由射影的性質求出橢圓面與底圓面的二面角的余弦值，然后由圓的性質可知，當圓的內

接六邊形為正六邊形時，內接六邊形面積才最大，求出正六邊形面積，再根據(jù)面積關系進行求解即

可.

解：由題意可知a=2,c=痘,則b=l,如圖所示,

該橢圓在底面的射影是底面圓，其中4c=2a=4,AB=2b=2,

由射影的性質可知，橢圓面與底圓面的二面角為。，則cosO=|^=；

2a2

由圓的性質可知，當圓的內接六邊形為正六邊形時，內接六邊形面積才最大，S投影正六邊形=6x三x

12*sin6。。=苧

所以S_S投跖E大邊地_

加”橢圓六邊形-cose-SV3.

故答案為3、月.

20.答案：8

解析:

本題考查了直三棱柱與外接球的關系，根據(jù)棱柱底面三角形的形狀找出球心位置是解題關鍵.

根據(jù)題意得到球的半徑為R=苧，進而得到△力BC外接圓的半徑為「=券即可得到答案.

解：???三棱柱ABC-&B1C1的各頂點均在表面積為等的同一球面上,

S=4標=竽,解得R=隨，

33

又???4B=AC=BC=4,

???由正弦定理得：-^-=2r,故△ABC外接圓的半徑為「=這

sm6003

又???三棱柱4BC-的各頂點均在同一球面上，

???三棱柱ABC-&B1C1為直三棱柱，

故三棱柱4BC—41B1G的高h=2^—^——(2)=8，

故答案為8.

21.答案：\Zii;r

解析：

本題考查圓錐的側面積公式與圓錐的體積公式，屬于中檔題.

先通過圓錐的側面積公式求出底面圓的半徑以及高，即可求出結果.

解：如圖：

由題意知，三角形A5C為正三角形，

乙ASB=LASC=Z-BSC=60°,

所以AB=SA=SB=SC=AC=BC,

設力B=x,則底面圓的直徑為2R=f=磊，

sinouVJ

該圓錐的側面積為乃WX,?X=3V37T,

解得％=3,

所以底面圓的半徑為so=J32一⑼2=遍，

所以該圓錐的體積為%X(/j)2Xg瓜K.

故答案為.

22.答案：(1)證明：在三棱柱ABC-A/iG中，側面為平行四邊形，

所以B】B〃41A

又因為BiBC平面&ACG，u平面&ACC1，

所以當8〃平面&ACCi.

因為u平面EBW，且平面BBi。n平面AiACCi=DE,

所以&B〃DE.

因為在三棱柱ABC-AiBiQ中，平面4BC〃平面&B1G，平面B&Dn平面4BC=B0,平面BB1。n

平面力i&G=B]E.

所以故四邊形B/ED為平行四邊形.

(2)解：在AABC中，因為A8=BC,。是AC的中點,

所以BDJ.AC.

因為4。1平面ABC,所以4D1BD,A^D1AC,以DB,AC,4D所在直線分別為x軸，y軸，z

軸，建立如圖空間直角坐標系O-xyz.

設80=a,AD=b,在A/Mi。中，AAX=2AD,Z.AXDA=90°,

所以&D=例,所以D(0,0,0),A(O,-b,0),4(0,0,例),B(a,0,0),

則所以京=(0,b,遮b)，AB=(a,b,0).

因為E(0,b,我b),所以西="+而=(a,b,V5b)，即為色也遍b).

因為C(0力,0),所以西=(a,0,66).

設平面4BBM1的法向量為五=(x,y,z).

y=-V3z,

也竺=0,即by+痘bz=0,所以

因為43b

ax+by=0,X=——Z.

n-AB=0,a

令2=a,則y=—ga,x=V3Z??所以五=(百①一J5a,Q).

因為Icos伍，鬲〉l=瞞=譯瓷為軍聲

所以不賽F=即4a4-37/爐+朔=。，

所以a=；b或a=3b,即需=4或需=|.

LDUDU5

解析：本題主要考查線線平行的判定，及求線面角的求法，屬于中檔題.

(1)由線面平行的判定證BiB〃平面44CG,由線面平行的性質得BiB//DE,

由平面4BC〃平面AB"根據(jù)面面平行的性質可得結論

(2)建立如圖空間直角坐標系，OB1與平面4BB1&所成角的正弦即為CB］與

平面4BB14的法向量所成角的余弦，結合已知條件可的結果.

23.答案：(1)證明：因為正方體4BCD中，E是AO】的中點，

所以0E_L04］,又因為4B_L平面4。。送1，

所以AB_LCE,因為4BnADi=A,

則DE1平面ABD1,

所以DEJ.BD1，又因為DF_LD/,DEnDF=D,

所以B￡)i1平面DEF;

(2)解：在4508中，因為5。_L1BO1，所以久以=名/乂BD1，所以劣尸=壺=當，設

2>/3

平面40D14的距離為d,所以色=絲=色=工=d="

ABDiB22V33

所以力「DEF=^F-D1ED=gdXSAEDD1=-X-X-X2xl=-.

解析：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面垂直的性質和三棱錐體積的計算，同時考查了空

間想象能力、運算求解能力、轉化與劃歸的思想.

(1)先證明DEJL平面ABD1,得到。E1B01，由OF1從而證出8歷1平面DEF;

(2)根據(jù)等體積法％L0EF=^F-DAED=3dxS^EOD］即可求出所求.

24.答案：解：(1)G為AQ的4等分點；

(2)連接AF,則4尸=&，DF=V2,又AD=2,由DF?+^「2=4。2,

所以0F14F,又由P4J_平面ABCQ,則DFJLPA,又由24rlAF=A,

所以CF1平面「4F,又PFU平面P.AP，

屬所以PFLDF；

(3)因為P4平面ABCC,

所以NPB4是尸8與平面ABC￡>所成的角，且“84=60。，

所以PA=AB=1,

取AO的中點M,連接

則FMJ./W,尸"_1_平面內。，

所以FM1PD,在平面P43中，過點M作MNJLPC于點N,連接FM

則PC1■平面FMN,則NMNF為二面角A-PD-F的平面角，

因為RtAMND-Rt^PA。，所以空=2，

PAPD

因為P4=2a，MD=2,PD=4,且NFMN=90",

所以MN=V3.FN=y/7,

\fv、樂

在直角AFMN中，eo?=ZA/AT—:—，

FN7

故二面角A-PC-F的余弦值為"

解析：略

25.答案：（/）證明：因為乙4PB=4/1PD=60。，PD=PB,

所以AAPB三AAPD,所以4。=AB,

取B。的中點E,連接AE,PE,

所以4EJ.BD,PE1BD,

所以BD1面PAE.

又4Pu面PAE,

所以4P1BD;

(〃)解：在AAP。中，根據(jù)余弦定理，得4Q2=Ap2+po2-2APxPDxcos6(r=7,

所以AD=夕，

又因為。E=l,所以4后=逐，PE=V3，PC=V6.

所以AP2=AE2+PE2,

即力E1PE.

設點C到平面PAB的距離為人，PC與平面248所成角為。,

因為%-P4B=Vp-ABC即3九，S?PAB=gPE-SSABC,

所以九=PE-S0〃BC_氏R赤+⑸XI_—+V5

S^PAB1x3x2xsin6003

所以sinO=2=*,

PC6

所以PC與平面以8所成角的正弦值為2.

6

解析：本題考查線面垂直的判定與性質，同時考查線面角的求解及等體積法的應用.

(/)取B。的中點E,連接AE,PE,通過證明BD1面PAE即可求解；

(〃)利用等體積法求出C到平面PAB的距離，然后利用疝M［求解即可.

26.答案：(I)證明：因為平面說。平面8CE,平面4BC0n平面BCE=BC,AB1BC,48u平

面ABCD,

所以ABJL平面BEC,同理，C01平面BEC,

如圖，以E為原點，EC,EB方向為x,)，軸方向，過E垂直于平面8EC的垂線方向為z軸方向建立

空間直角坐標系，

在直角ABEC中，可得BE=遮，

故C(1,O,0),B(0,V3,0)，4(0,75,1),￡>(1,0,1),

設F(0力，0),EA=(0,V3,l)>EC=(1,0,0),

設平面AEC的法向量為元=Qi，%*]),

由阿,更=0,(V3y1+zx=0

I可?瓦f=o'k=0

可取元=(0,-1,A/3).

取平面ABE的法向量為芯=(1,0,0),故蘇?底=0,

所以平面4EC1平面ABE-,

(口)解：CF=(-1,^，0),AC=(1,-V3,-1).

設平面4c尸的法向量為標=(x2,y2^2)>

-

,(m^-CF=0fx2+by2—0

l沅7,旅=0lX2—a為-Z2=O'

可取可=(一瓦一1,6一b),

由麗=(1,0，1)，且DE〃平面ACF,

故.沅7=0,可得/?=立，所以案=；；

12BE2

(m)解：取平面8尸C的法向量為尼=(0,0,1),

由(口)知，可取標=(—今-1凈，

3<對用"磊=]=騫,

由圖知，該二面角是銳角，

所以二面角4-FC-B的余弦值為回.

10

解析：本題考查利用空間向量求二面角、判定線面平行及面面垂直，考查學生的空間想象能力、邏

輯推理能力及運算能力.

(1)以￡為原點，EC,E8方向為x,y軸方向，過E垂直于平面BEC的垂線方向為z軸方向建立空

間直角坐標系，求出平面AEC的法向量，取平面ABE的法向量，利用數(shù)量積運算證明兩法向量垂直

即可;

(II)求出平面力CF的法向量沅春由DE〃平面4CF,得瓦;.沆7=0，從而可得6值，故而得答案；

(HI)轉化為求兩平面法向量夾角的余弦值，平面BFC的法向量易求，由(U)可得平面AFC的法向量，

注意該二面角為銳角；

27.答案：解：(1)將側面沿母線SA展開，A點對應于公,

連接&C,則&C為最小長度，

SA=18.AB=12,則AA]=兀-AB=12兀，

設Z_AS4i=a,貝IJAA】=aR=18a，:18a=12兀，二a=彳，

在A4SC中由余弦定理可得&C2=力行2+SC2-2Als-SC-cos乙%SC,

即&(?2=182+62-2-18?6-cosl20°,

41c=6g,即燈光帶的最小長度為

(2)如圖建立平面直角坐標系，因為SA=18,AB=12,

X(-6,0),B(6,0),S(0,12V2),

???D是SA的三等分點(靠近4),D(—4,4&)，又E是SB的中點,

二E(3,6&),貝|D(-4,4V力關于x軸對稱的點為。式一4,-4&),

連接D1E與x軸交點P,則PD+PE的最小值為。北，

.?.D]E=J(3+4)2+(60+4肉2=^/5面,

.6V2+4V210V2

???卜皿=^^=『

二直線D1E的方程為y-6m=呼8-3).

令y=0則％=

即P(-|,0)時，PD+PE的最小值為立演

解析：本題考查圓錐的側面展開圖，余弦定理以及直線方程，考查了數(shù)形結合思想，屬中檔題.

(1)將側面沿母線SA展開，A點對于與連接&C,則41c為最小長度，在AAiSC中由余弦定理計

算可得.

(2)建立平面直角坐標系，求出。關于x軸的對稱點名，利用兩點間的距離公式求出距離最小值，利

用點斜式求出直線方程，即可求出P的坐標.

28.答案：(I)證明：TSDI平面A8CD,ABu平面ABCZ),

:.SD1AB,

???正方形ABCD中AD1AB,

乂ADCiSD=D,A。、SDu平面SA，

ABJ■平面SAD.

(口)設點A到平面BED的距離為h,

設正方形48CD的邊長為2,

???SDIjRffiABCD,E為SA中點，