高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 12.5 第二型曲面積分

通常光滑曲面都有兩側(cè).12.5第二型曲面積分12.5.1雙側(cè)曲面及其法向量

單側(cè)曲面莫比烏斯(M?bius)帶.它是由一張長(zhǎng)方形紙條ABCD,扭轉(zhuǎn)一下,將A、D粘在一起,B、C粘在一起形成的環(huán)行帶.上、下曲面的幾種常用表達(dá)形式:封閉曲面:

內(nèi)、外左、右規(guī)定了側(cè)(或稱方向)的雙側(cè)曲面稱為有向曲面.

前、后曲面的方程為

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),且指向曲面的另一側(cè).

指向曲面的一側(cè),光滑曲面：例如,橢球面的法向量為

外側(cè)正號(hào),內(nèi)側(cè)負(fù)號(hào).光滑曲面的方向用法向量函數(shù)表示曲面的方程

法向量

上側(cè)正,下側(cè)負(fù)右側(cè)正,左側(cè)負(fù)前側(cè)正,后側(cè)負(fù)簡(jiǎn)單有向曲面的法向量問題12.4(流量問題)12.5.2第二型曲面積分的概念

設(shè)某流體的密度處處相同(無妨設(shè)密度為1),即為有向光滑曲面,

是在點(diǎn)(x,y,z)的單位法向量.

求流體在單位時(shí)間內(nèi)通過曲面流向指向一側(cè)的流量中各點(diǎn)的速度只與該點(diǎn)的位置有關(guān)而與時(shí)間無關(guān),液體簡(jiǎn)單情況

流量當(dāng)流速不是常向量,或不是平面閉區(qū)域時(shí),用積分思想研究流量問題.將曲面任意劃分成個(gè)小曲面

記第k小塊曲面的面積為流量為

設(shè)為上任意一點(diǎn),我們從兩方面近似:

(1)把近似為平面,方向?yàn)?/p>

(2)把上的流速近似為常向量

則求和,取極限,由對(duì)面積的曲面積分的定義,有即

抽去上述問題的物理意義,積分的定義.就得到了第二型曲面定義為第二型曲面積分.設(shè)為光滑的有向曲面,

是在點(diǎn)(x,y,z)的單位法向量,

向量函數(shù)

的各分量在上連續(xù),

則稱

特別地,

都稱作第二型曲面積分.

對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分

對(duì)坐標(biāo)z,x的曲面積分

對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分

記作:第二型曲面積分的計(jì)算:概念產(chǎn)生方法1.求曲面方向向量的方向余弦;2.計(jì)算對(duì)面積的曲面積分.幾何性質(zhì),二重積分性質(zhì):與第一型曲面積分類似有向性:如果與是同一個(gè)曲面的不同側(cè)解單位化:例1計(jì)算積分其中是球面的外側(cè).球面外側(cè)的法向量為

用幾何性質(zhì)計(jì)算的例子(1)當(dāng)有向曲面的方程為時(shí),有其中,是在xOy面上的投影.化成表示曲面的兩個(gè)自變量的二重積分上側(cè)取正號(hào),下側(cè)取負(fù)號(hào).右正,左負(fù).(2)當(dāng)有向曲面的方程為時(shí),有其中,是在xOz面上的投影.前正,后負(fù).(3)當(dāng)有向曲面的方程為時(shí),有其中,是在yOz面上的投影.單個(gè)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算步驟從曲面方程中解出z=z(x,y),必要時(shí)分片表示.求出曲面在xOy投影上正,下負(fù)前正,后負(fù)右正,左負(fù)解投影域例2計(jì)算其中Σ是球面外側(cè)在的部分.單個(gè)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算解例3其中Σ是旋轉(zhuǎn)部分的下側(cè).拋物面得曲面下側(cè)的方向向量為計(jì)算法向量:化為對(duì)x,y的二重積分注意到:故解例4右側(cè).計(jì)算其中Σ是錐面化為對(duì)x,z的二