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文檔簡介

通常光滑曲面都有兩側.12.5第二型曲面積分12.5.1雙側曲面及其法向量

單側曲面莫比烏斯(M?bius)帶.它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉一下,將A、D粘在一起,B、C粘在一起形成的環(huán)行帶.上、下曲面的幾種常用表達形式:封閉曲面:

內、外左、右規(guī)定了側(或稱方向)的雙側曲面稱為有向曲面.

前、后曲面的方程為

偏導數連續(xù),且指向曲面的另一側.

指向曲面的一側,光滑曲面：例如,橢球面的法向量為

外側正號,內側負號.光滑曲面的方向用法向量函數表示曲面的方程

法向量

上側正,下側負右側正,左側負前側正,后側負簡單有向曲面的法向量問題12.4(流量問題)12.5.2第二型曲面積分的概念

設某流體的密度處處相同(無妨設密度為1),即為有向光滑曲面,

是在點(x,y,z)的單位法向量.

求流體在單位時間內通過曲面流向指向一側的流量中各點的速度只與該點的位置有關而與時間無關,液體簡單情況

流量當流速不是常向量,或不是平面閉區(qū)域時,用積分思想研究流量問題.將曲面任意劃分成個小曲面

記第k小塊曲面的面積為流量為

設為上任意一點,我們從兩方面近似:

(1)把近似為平面,方向為

(2)把上的流速近似為常向量

則求和,取極限,由對面積的曲面積分的定義,有即

抽去上述問題的物理意義,積分的定義.就得到了第二型曲面定義為第二型曲面積分.設為光滑的有向曲面,

是在點(x,y,z)的單位法向量,

向量函數

的各分量在上連續(xù),

則稱

特別地,

都稱作第二型曲面積分.

對坐標y,z的曲面積分

對坐標z,x的曲面積分

對坐標x,y的曲面積分

記作:第二型曲面積分的計算:概念產生方法1.求曲面方向向量的方向余弦;2.計算對面積的曲面積分.幾何性質,二重積分性質:與第一型曲面積分類似有向性:如果與是同一個曲面的不同側解單位化:例1計算積分其中是球面的外側.球面外側的法向量為

用幾何性質計算的例子(1)當有向曲面的方程為時,有其中,是在xOy面上的投影.化成表示曲面的兩個自變量的二重積分上側取正號,下側取負號.右正,左負.(2)當有向曲面的方程為時,有其中,是在xOz面上的投影.前正,后負.(3)當有向曲面的方程為時,有其中,是在yOz面上的投影.單個函數對坐標的曲面積分計算步驟從曲面方程中解出z=z(x,y),必要時分片表示.求出曲面在xOy投影上正,下負前正,后負右正,左負解投影域例2計算其中Σ是球面外側在的部分.單個函數對坐標的曲面積分計算解例3其中Σ是旋轉部分的下側.拋物面得曲面下側的方向向量為計算法向量:化為對x,y的二重積分注意到:故解例4右側.計算其中Σ是錐面化為對x,z的二

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