工科數(shù)學(xué)分析 課件 8-3 三重積分

第三節(jié)三重積分工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期三重積分三重積分的定義利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分小結(jié)一、三重積分的定義由于探討引力、多體力學(xué)等問題，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德等人開始了關(guān)于三重積分的研究。三重積分的定義可以形象地用求一個(gè)土豆的質(zhì)量來理解，土豆的形狀很不規(guī)則，即使其密度是常數(shù)，它的體積也很難求得。如果把土豆切成很小的、規(guī)則的土豆丁，而每個(gè)土豆丁的質(zhì)量可以求出來，然后把所有的土豆丁相加，就得到了整個(gè)土豆的質(zhì)量的一個(gè)近似值，顯然土豆切得越細(xì)，則這樣求出的土豆的質(zhì)量就越接近于土豆質(zhì)量的真實(shí)值，數(shù)學(xué)上這可以通過取極限的過程達(dá)到。這里，土豆丁的體積就是三重積分的微元，求和的極限就是三重積分，密度函數(shù)就是被積函數(shù)。三重積分的定義三重積分的存在性與二重積分的存在性是一樣的；性質(zhì)也相類似。1.直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分---投影法二、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分如圖，得注意解故

：解如圖，解2.計(jì)算三重積分的截面法原式解原式解如圖,三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分小結(jié)一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算實(shí)質(zhì)上是一個(gè)方向采用直角坐標(biāo)系，另外兩個(gè)方向采用極坐標(biāo)系。在投影法中，投影區(qū)域上的二重積分采用極坐標(biāo)系計(jì)算；在截面法中，截面上的二重積分采用極坐標(biāo)計(jì)算。投影區(qū)域或截面為圓域或扇形最好。解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，

原式本題也可使用截面法求解。二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．如圖，球面坐標(biāo)系中的體積元素為解2

采用柱面坐標(biāo)(投影法)本題也可使用截面法求解。解補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性．解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解

是關(guān)于的奇函數(shù),同理×φ

不容易求出采用何種坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？在計(jì)算三重積分的時(shí)候，第一步驟就是選擇合適的坐標(biāo)系，注意到不同坐標(biāo)系下積分計(jì)算的難易程度是有區(qū)別的。常見的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。從換元的角度來說，后兩個(gè)坐標(biāo)系分別對(duì)應(yīng)的是柱坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)變換。積分變換做換元首要考慮的就是積分區(qū)域的性狀，當(dāng)然還要照顧被積函數(shù)的形式。1、直角坐標(biāo)系：如果積分區(qū)域是長(zhǎng)方體、四面體或一般的任意形體時(shí)，采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行積分計(jì)算；2、柱面坐標(biāo)系：如果積分區(qū)域是柱形體域、錐形體域或拋物體域時(shí)，采用柱面坐標(biāo)系進(jìn)行積分計(jì)算；3、球面坐標(biāo)系：如果積分區(qū)域是球形體域或球形體域的一部分時(shí)，采用球面坐標(biāo)系進(jìn)行積分計(jì)算。球面坐標(biāo)系下的積分計(jì)算有一定的適用范圍，即積分區(qū)域要和球體相關(guān)，其次積分區(qū)域與z

軸正向的夾角，也就是φ

要容易求出才行。補(bǔ)充：兩個(gè)有趣的立體維維安尼體牟合方蓋1、維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體,p131維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體2、牟合方蓋:兩個(gè)直交圓柱面所圍成的立體，我國(guó)古代

數(shù)學(xué)家劉徽把這個(gè)立體稱為牟合方蓋(Steinmetzsolid).(p.139,習(xí)題8?4，題目1（8）的幾何體?兩個(gè)直交圓柱面x2

+y2

=R2和x2+z2=R2所圍成的立體)牟合方蓋（1）柱面坐標(biāo)的體積元素（2）球面坐標(biāo)的體積元素（3）對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算三重積分換元法柱面坐標(biāo)