《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第6節(jié)　離散型隨機變量及其分布列

第十章

第6節(jié)離散型隨機變量及其分布列知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1．離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為

，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為

隨機變量．隨機變量離散型2．離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的

．(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②

＝1.概率分布列p1＋p2＋…＋pn(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為

3．常見離散型隨機變量的分布列X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1. (

) (2)對于某個試驗，離散型隨機變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實際意義． (

) (3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7

則它服從兩點分布． (

) (4)一個盒中裝有4個黑球、3個白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出來，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X服從超幾何分布． (

)×

×

×

×

解析

對于(1)，離散型隨機變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1，故(1)不正確；對于(2)，因為離散型隨機變量的所有結(jié)果都可用數(shù)值表示，其中每一個數(shù)值都有明確的實際的意義，故(2)不正確；對于(3)，X的取值不是0和1，故不是兩點分布，(3)不正確；對于(4)，因為超幾何分布是不放回抽樣，所以試驗中取到黑球的次數(shù)X不服從超幾何分布，(4)不正確．2．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，則正面向上次數(shù)X的所有可能取值是_____________．0，1，2

3．已知離散型隨機變量X的分布列為X012P0.51－2qq2

則常數(shù)q＝____________．CD

5．(2021·西安月考)設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝________．6．(2021·郴州檢測)設(shè)隨機變量X的概率分布列為

則P(|X－3|＝1)＝________．考點分層突破題型剖析考點聚焦2考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)///////自主演練C

D

3．隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc

其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范圍是________．分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率．感悟升華【例1】(2021·惠州調(diào)研改編)某公司為加強對銷售員的考核與管理，從銷售部門隨機抽取了2020年度某一銷售小組的月均銷售額，該小組各組員2020年度的月均銷售額(單位：萬元)分別為：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. (1)根據(jù)公司人力資源部門的要求，若月均銷售額超過3.52萬元的組員不低于全組人數(shù)的65%，則對該銷售小組給予獎勵，否則不予獎勵，試判斷該公司是否需要對抽取的銷售小組發(fā)放獎勵；考點二離散型隨機變量的分布列///////師生共研【例1】(2)在該銷售小組中，已知月均銷售額最高的5名銷售員中有1名的月均銷售額造假，為找出月均銷售額造假的組員，現(xiàn)決定請專業(yè)機構(gòu)對這5名銷售員的月均銷售額逐一進行審核，直到能確定出造假組員為止，設(shè)審核次數(shù)為X，求X的分布列．求隨機變量分布列的主要步驟：(1)明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；(2)求每一個隨機變量取值的概率；(3)列成表格．求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識．感悟升華【例2】某市政府出臺了“創(chuàng)建全國文明城市(簡稱創(chuàng)文)”的具體規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項目之一的“市區(qū)公交站點的重新布局及建設(shè)”基本完成，有關(guān)部門準備對項目進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否驗收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：①調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨立評分；②采用百分制評分，評分在[60，80)內(nèi)認定為滿意，80分及以上認定為非常滿意；③市民對公交站點布局的滿意率不低于60%即可進行驗收；④用樣本的頻率代替概率．考點三超幾何分布///////師生共研【例2】(1)求被調(diào)查者滿意或非常滿意該項目的頻率；【例2】(2)若從該市的全體市民中隨機抽取3人，試估計恰有2人非常滿意該項目的概率；1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布．2．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．感悟升華【訓(xùn)練2】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．

(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；【訓(xùn)練2】(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是(

) A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球

C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù) 解析選項A，B表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0，1，2.C

D

C

C

5．從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是 (

)C

6．若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1

則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是 (

) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2)C

解析

由隨機變量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2]．二、填空題7．某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab

若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為________．40%

解析由分布列的性質(zhì)得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4， 故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.8．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過

1人的概率是________．9．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________________________． 解析

X＝－1，甲搶到一題但答錯了．

X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時一對一錯．

X＝1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對．

X＝2時，甲搶到2題均答對．

X＝3時，甲搶到3題均答對．－1，0，1，2，3

三、解答題10．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m (1)求2X＋1的分布列； 解由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

列表為X012342X＋113579

從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)求隨機變量η＝|X－1|的分布列．X01234|X－1|1012311.(2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)有編號為1，2，3，…，n的n個學(xué)生，入座編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法．

(1)求n的值；(2)求隨機變量X的概率分布列．B

14．(2020·重慶四檢改編)某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進行單車使用情況調(diào)查．調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段．在隨機問卷階段，A，B兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回；在整理分析階段，兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15至45歲的人群，按比例隨機抽取了300份，進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：組別年齡A組統(tǒng)計結(jié)果B組統(tǒng)計結(jié)果經(jīng)常使用單車偶爾使用單車經(jīng)常使用單車偶爾使用單車[15，25)27人13人40人20人[25，35)23人17人35人25人[35，45]20人20人35人25人先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達到35歲”抽出一個容量為60