廣西桂林、崇左、賀州市2022屆高三3月高考聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

廣西桂林、崇左、賀州市2022屆高三3月高考聯(lián)合調(diào)研考

試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={-1,0,1,2},8=k*<4},則4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,1,2）

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)丁匚的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.己知等差數(shù)列{4}的公差為1,S.為其前”項和，若$3=。6,則4=（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)/'（x）,f（x）的圖象在點"（1J。））處的切線方程

為y=；x+2,那么/（1）+1。）=（）

A.1B.2C.3D.4

5.隨機(jī)變量X的分布列為

則尸（因=1）等于（）A.；B.|C.|D.

6.在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,^Z?=asinC,c=acosB,貝ljAABC

的形狀一定為（）

A.等腰三角形非直角三角形B.直角三角形非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

7.長方體ABC。-AAG。的體積是120,若E為CC的中點，則三棱錐E-8CD的體

積為（）

A.10B.20C.30D.40

8.已知sin（等+=貝!|cos[x+M）等于（）

9.已知圓C過點4(0,2)且與直線＞=-2相切，則圓心C的軌跡方程為()

A.x2=4yB.x2=8yC.x2=-4yD.x2=-8y

22

10.已知F為雙曲線*■-5=1(。＞0力＞0)的左焦點，若雙曲線右支上存在一點產(chǎn)，

使直線尸產(chǎn)與圓f+＞2=“2相切，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(?+8)B.(￥,+8C.0,與D.(1,冏

11.四面體的四個頂點都在球。的球面上，

B4=8,8C=4,P8=PC=43=AC,且平面平面A8C,則球。的表面積為

A.6471B.654C.66萬D.128〃

12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為力")，對VxeR,都有21(x)＞/(x)成立，若

/(ln4)=2,則不等式f(x)＞「的解集是()

A.(0,1)B.(In4,-KX))C.D.(0,In4)

二、填空題

13.若函數(shù)〃x)滿足f(l-lnx)=g,則”2)等于.

14.已知向量:工，滿足H=I，M=夜，若：_1/+可，則向量;與向量z的夾角為

15.0+父)(1_￡|的展開式中，常數(shù)項為.

16.為積板應(yīng)對新冠肺炎疫情，提高大家對新冠肺炎的認(rèn)識，某企業(yè)舉辦了“抗擊疫

情，共克時艱''預(yù)防新冠肺炎知識競賽，知識競賽規(guī)則如下：在預(yù)設(shè)的6個問題中，選

手若能連續(xù)正確回答出3個問題，即停止答題，晉級下一輪.假定某選手正確回答每個

問題的概率都是:，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手至少回答了5個問題

晉級下一輪的概率等于.

三、解答題

17.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知公差d#0,5,=35,且出，％，卬成等

比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)若7；為數(shù)列的前〃項和，求

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8C。是平行四邊形，NBCD=135。，側(cè)面

產(chǎn)的，底面ABC。，ZBAP=90°,AB=AC=PA=2,E,尸分別為BC,A￡)的中

點，點M在線段PD上.

(1)求證：EF_L平面PAC；

(2)如果直線ME與平面P8C所成的角和直線ME與平面鉆。所成的角相等，求

19.(理)某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所

有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50,100]內(nèi),發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見

下表，規(guī)定：A、B、C三級為合格等級，。為不合格等級.

百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下

等級ABCD

為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了“名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)

行統(tǒng)計，按照[50,60),[60,70),[70,80)[80,90),[90,100)的分組作出頻率分布直方圖如圖

所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示

莖葉

8012347

958

(1)求”和頻率分布直方圖中的x，y的值；

(2)根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該

校高一學(xué)生任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；

(3)在選取的樣本中，從A、C兩個等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記

X表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

22

20.已知橢圓。:千+3=1(4>6>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端

點構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過尸作7F的垂線交橢圓C于

點p和Q.試判斷or是否平分線段尸。(其中。為坐標(biāo)原點)，并求當(dāng)局取最小值時

點T的坐標(biāo).

21.已知函數(shù)/(x)=x2-(2a+l)x+alnx(aeA).

(1)若/(x)在區(qū)間［L2］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍：

⑵函數(shù)g(x)=(l-a)x,若玉o?l,e］使得成立.求實數(shù)”的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P(0,-石)，曲線C的參數(shù)方程為1二：c"9

\/［y=2sm(p

為參數(shù)).以原點為極點，X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

「叫"句=5

(1)判斷點P與直線/的位置關(guān)系并說明理由；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B兩個不同的點，求向+看的值.

23.已知函數(shù)〃x)=|2x+a|+|2x—4+2的最小值為3.

⑴求a+b的值;

(2)若。>0/>0求證:+3-log3

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

先化簡集合B,再利用集合的交集運算求解.

【詳解】

因為集合A={-1,0,1,2},B={^|X2<4}={X|-2<X<2},

所以{-1,0,1},

故選：A

2.D

【解析】

【詳解】

分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共匏復(fù)數(shù)，找到共飄復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點，判斷其所

在象限.

詳解：言=君占r?%的共軌復(fù)數(shù)為；一5

對應(yīng)點為（：,-3,在第四象限，故選D.

點睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導(dǎo)

致馬虎丟分.

3.D

【解析】

【分析】

先求得為,然后求得的.

【詳解】

依題意3al+3=0+5,4=I,。？=1+1=2.

故選:D

4.C

【解析】

【分析】

答案第1頁，共15頁

求出f⑴,尸⑴即得解.

【詳解】

解：由題得/⑴=；xi+2=|,r(i)=|,

所以f(l)+/'(l)=|+g=3.

故選：C

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)隨機(jī)變量X的概率和為1求得答案.

【詳解】

P(|X|=1)=6(+C=1-1=|.

故選：C

6.C

【解析】

【分析】

利用正弦定理化簡c=acos5可得A=］，再根據(jù)〃=asinC可得b=c.

【詳解】

由c=acos8與正弦定理有sinC=sinAcosB,

即sin(A+5)=sinAcss8nsinAcosB+cosAsin8=sinAcos6,故cosAsin8=0,

7F

因為sin8H0,故cosA=0,故A=萬.

又6=asinC,故sinB=sinAsinC.又sinA=1,

故5畝8=$訪。,故6=。.故AA8C一定是等腰直角三角形.

故選：C

7.A

【解析】

【分析】

利用棱錐、棱柱的體積關(guān)系即可求得.

【詳解】

答案第2頁，共15頁

VE-BCD=^^C,-BCD=

I11IZ1I1，c

=5X§X/X%8CO-AB1Gol=/X§XjX120=10,

故選：A.

8.C

【解析】

【分析】

運用誘導(dǎo)公式即可.

【詳解】

【解析】

設(shè)圓心C(x,y),由圓心到A點距離等于圓心到切線的距離列式化簡可得.

【詳解】

設(shè)圓心c(x,y),據(jù)題意有Jf+(y-2)2=|y+2|,

化簡有f=8y.

故選：B.

【點睛】

本題考查求軌跡方程，解題方法是直接法.

10.A

答案第3頁，共15頁

【解析】

【分析】

根據(jù)直線尸產(chǎn)與圓V+/=/相切以及直線PF與漸近線y=的斜率的關(guān)系列不等式，化

簡求得離心率的取值范圍.

【詳解】

依題意可知，直線P尸的斜率存在，設(shè)直線PF的方程為y=&(尤+。)，

即kx-y+kc=Of

圓x?+y2=/的圓心為(0,0),半徑r=a,

圓心到直線PF的距離=a

J1+-2

d1

兩邊平方并化簡得二=1+3，

ak~

22b

雙曲線「r-當(dāng)v=1的一條漸近線為〉=±加,

a-ha

b,2b2\a2

由于在雙曲線的右支，所以網(wǎng)

P<—=>Jk(7淳R

a

?2

即11Q2c2a2221a~

4=1+>1+>1+,a+b

FFVF2一"屏’

aa

h2/p,b2,

—>F戶>f1，

a-

>VT+T=72.

故選：A

II.B

【解析】

【詳解】

如圖，2E分別為8cp4的中點，易知球心。點在線段。E上，因為

PB=PC=AB=AC,則9，8C,ADJL3C,PL>=AZ).又二?平面P8C_L平面ABC,平面

PBCn平面A3C=BC,PE>_L平面ABC,PD_LA。，.?.戶短=4￡)=4&.因為E點是

抬的中點，AEDA.PA,B.DE=EA=PE=4.

設(shè)球心。的半徑為R,OE=x,則OD=4-x,在RSOE4中，有R2=16+V,在

答案第4頁，共15頁

Rt/XQBO中，有/?2=4+(4_》)2,解得R?=奐，所以$=4兀店=65兀，故選B.

【點睛】本題主要考查球內(nèi)接多面體，球的表面積，屬于中檔題，其中依據(jù)題意分析出球

心。必位于兩垂直平面的交線上，然后再利用勾股定理，即可求出球的半徑，進(jìn)而可求出

球的表面積，此類題目主要靈活運用線面垂直的判定及性質(zhì)，面面垂直的判定及性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

12.B

【解析】

【分析】

/\/(x)

構(gòu)造函數(shù)g(x)=-T-,利用導(dǎo)數(shù)可判斷g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)/(ln4)=2,求得

g(ln4)=l,再根據(jù)不等式og(x)>log(x)>g(ln4)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即

可求出結(jié)果.

【詳解】

VVxsR,都有2/'(x)>/(x)成立，gf(x)>0,

1

令g(x)=/?,則于是有g(shù)，(x)=(翌］=f(X)-1/(X)>0,

e〔e?Je?

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

V/(ln4)=2,g(ln4)=l,

X

.不等式/(%)>/og(x)>l<=>g(x)>g(ln4)，

**?x>In4,即不等式/(x)>e2的解集是(ln4,+oo).

故選：B.

13.e

【解析】

答案第5頁，共15頁

【分析】

由l-lnx=2可得x=L帶入即可得解.

e

【詳解】

令l-lnx=2可得x=L

e

所以“2）十e.

故答案為：e.

“3兀

14.—

4

【解析】

先根據(jù)得?=_],再根據(jù)向量夾角公式計算即可得答案.

【詳解】

解：?.二小+勾，??.】干+斗0,即：+蒜=0，

.TT

,,ab=-\'

15.16

【解析】

【分析】

結(jié)合二項式展開式的通項公式求得常數(shù)項,

【詳解】

（1+?。?-，）的展開式中,

常數(shù)項為lx《x卜［+X2XC；X(_L)=1+15=16.

答案第6頁，共15頁

故答案為：16

【解析】

【分析】

討論該選手恰好回答了5個問題或6個問題晉級下一輪兩種情況進(jìn)行計算，即得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，若該選手恰好回答了5個問題晉級下一輪，則必有第2個問題問答錯誤，第

3,4,5個問題問答正確，第1個問題可對可錯，故所求概率為6==亙；

若該選手恰好回答了6個問題晉級下一輪，則第4,5,6個問題問答正確，第3個問題回

答錯誤，前2個問題可對可錯，故所求概率為g=lxlx；x?q.

故該選手至少回答了5個問題晉級下一輪的概率等于6+6=富.

O1

故答案為：襄.

OI

17.⑴+1

Q)(=2(〃+2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知，利用基本量法求得首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；

(2)利用裂項相消法求和即可.

(1)

r7x6,?

7ci,H----d—35

解：由題意可得，2,

(q+4d)2=(q+d)(q+10J)

又因為dHO,所以心二2，

所以““="+1;

⑵

答案第7頁，共15頁

解：因為癡二二(〃+1)(〃+2)=調(diào)而_宙'

「11111111n

所以77=-------1------+…-I----------------=----------=------r

%以"2334n+1H+22n+22(n+2)-

18.(1)證明見解析；(2)也=三且.

PD2

【解析】

【分析】

(1)通過證明M//AB來證得所，AC,通過證明PAL底面ABC。來證得「4_L￡F,由

此證得所，平面PAC.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)需=2(2€[0』)，由“直線ME與平面P8C所成的角和此

直線與平面A88所成的角相等“列方程，解方程求得/I的值.

【詳解】

(1)在平行四邊形ABC。中，因為AB=AC,ZBCD=135°,

所以ABLAC.由E,F分別為BC,AD的中點，得EF//AB,

所以EF_LAC.

因為側(cè)面底面ABC。，且交線為AB,而N54P=90。，所以PAL底面ABCD.

又因為EFu底面ABC。，所以B4_LEF.

又因為PAC|AC=A,B4u平面PAC,4Cu平面PAC,

所以砂，平面PAC.

(2)因為PA_L底面ABC。，ABVAC,所以AP,AB,AC兩兩垂直，

以48,AC,a分別為x、V、z,建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),?(-2,2,0),E(l,l,0),

所以方=(2,0,-2),麗=(-2,2,-2),阮=(-2,2,0),

設(shè)翳=小€[0,巾，則麗=(_2424_2孫

所以用(一2/1,22,2-22),配=(1+24,1—2424—2),

平面A5C￡＞的法向量加=(0,0,1).

1UU—2x+2y=0,

設(shè)平面P8C的法向量為”=(x,y,z),由，.淺=0,n?PB=0,得

2x-2z=0,

答案第8頁，共15頁

令X=1,得〃=(1,1,1).

因為直線ME與平面P8c所成的角和此直線與平面A8C￡＞所成的角相等,

|ME-W|阿臼

，所以|22-2|=22

“碉何"M4問耳

解得Y，或t（舍）?綜上所得:端W

19.（1）〃=50；x=0.004,y=0.018（2）季999（3）分布列見解析，期望為己9

10004

【解析】

【分析】

1）根據(jù)莖葉圖得［80,90）人數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得［80,90）概率，最后根據(jù)頻數(shù)、總

數(shù)與頻率關(guān)系得〃，根據(jù)莖葉圖得［90,100）人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)與頻率關(guān)系得［80,90）概

率，最后根據(jù)頻率分布直方圖求X根據(jù)所有頻率和為1得［&）,70）概率，再根據(jù)頻率分布直

方圖頻率求X（2）先求無合格等級的事件概率，再根據(jù)對立事件求結(jié)果，（3）先確定隨機(jī)

變量取法，再分別求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.

【詳解】

6“2八.1-0.04-0.1-0.12-0.56八…

(1)n=--=--5--0-；----x=-----=0.004,y=---------------------=0.018

0.012x1050x1010

（2）設(shè)至少有1人成績是合格等級的事件為M

答案第9頁，共15頁

P（M）=1一化丫=理

'，UoJ1000

（3）由題意可知C等級的學(xué)生人數(shù)為0.18x50=9人，A等級的學(xué)生人數(shù)為3人，故X的

取值為0,1,2,3

P(X=0)=

a220

2

P(X=1)=巖c'c27

220

P(X=2告

P（X=3）=備號

所以X的分布列為:

X0123

I272721

r

2202205555

1279

EX=0x—+lx—+2x2+3逐

22022055554

【點睛】

求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概

率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值

2°?⑴1+0

（2）07平分線段PQ,點7的坐標(biāo)為（-3,1）或

【解析】

【分析】

（1）依題意得到方程組，求出/、b2,即可得解;

⑵設(shè)T（—3,r）,P（X（,y）,Q（x2,y2）,PQ的中點為N（七,%）,直線PQ的方程為

x=my-2,當(dāng)機(jī)=0時，求出T的坐標(biāo)，當(dāng)〃時，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋

答案第10頁，共15頁

達(dá)定理，即可得到N的坐標(biāo)，即可得到左er即可得到O,N,T三點共線，從而0T平

TF\/+3

分線段PQ,再由弦長公式得到伊。|、\TF\,即可得到河=，令

即可得到翳*T

x=\lm2+\(x>1),再利用基本不等式計算可得;

（1）

c=2

解：依題意有a=6b,解得

a2-b2=c2=4

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+±=1

62

（2）

解：設(shè)7（-3"）,P（%，x）,PQ的中點為由尸（一2,0）,可設(shè)直線

P。的方程為x=my-2,

①當(dāng)機(jī)=0時，直線PQ的方程為x=-2,此時7（-3,0）,顯然。7平分線段PQ.

②當(dāng)公。時，加的斜率

...△=16/+8(療+3)=24(川+1)>0

4m

%+必=-7^，

m+3m+3

土日);i+y2/n2m2.-6-62m

于2=^x=my-2^----2=---,N

2tn+3n0"iT+3mT+3m2+3m2+3

1_1

則直線ON的斜率又由PQL7F知，直線"的斜率"=工？口=-1

m

解得『=/%.

ttii

從而%===-丁=%…即的r=心心所以。，N,7三點共線，從而。7平分線段尸Q.

—33

由兩點間距離公式得|"|=Jm2+1,由弦長公式得

IPQ|Tx-)3I加2+1=+>2『fa>加+1=

加2+3

答案第II頁，共15頁

|TF|________y/m2+1______m2+3

所以|PQ|,24（帆2+1）J24（療+1），

機(jī)2+3

則需宗噓"訃呼(當(dāng)且僅當(dāng)心2時,取一

令x=dm?+1（0之1）

號)，所以當(dāng)圖最小時,由/=2=/+］,得〃?=1或％=T,此時點T的坐標(biāo)為(-3,1)

或(T-1).

21.或422

(e(e-2)

(2)一」

【、e-l」

【解析】

【分析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得導(dǎo)函數(shù)r(x)的零點x=”落在區(qū)間(1,2)內(nèi)時;函數(shù)在區(qū)

間［1,2］上不單調(diào)，從而可求得結(jié)果，

(2)將問題轉(zhuǎn)化為f-2x+a(lnx-x)Z0在區(qū)間［l,e］上有解，a<￡Z^,在區(qū)間［l,e］上

x-\nx

有解，構(gòu)造函數(shù)/7(X)=C,利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可

x-lnx

(1)

r(x)=(2x-l1(x-a),

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)尸(X)的零點X=a落在區(qū)間(1,2)內(nèi)時，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［，2］上就不是單調(diào)函數(shù)，

所以實數(shù)。的取值范圍是aVI或a22.

⑵

由題意知，不等式〃x)Zg(x)在區(qū)間［l,e］上有解，

即V-2x+a(lnx7)之0在區(qū)間［l,e］上有解.

答案第12頁，共15頁

令夕(x)=x-lnx,xe[l,e],則“(x)=l=~->0,

xx

夕(X)=XTnX在[l,e]上單調(diào)遞增，

.?.(p{x)>(p(\)=1,x-lnx>0

,a4匚在，在區(qū)間[l,e]上有解

x-\nx

(x-l)(x+2-21nx)

令力(力=二^,則〃(x)

x-lnx(x-lnx)2

Vxe[l,e],:.x+2>2>2]nx,

/.//(%)>0,/i(x)單調(diào)遞增,

???xe［l，e］時，h(x)mm=/?(e)=^-^

.〃<e(e-2)

..U---------,

e-1

所以實數(shù)”的取值范圍是(y,典學(xué)

【點睛】

此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式