高考高中數(shù)學第14煉 函數(shù)的切線問題

第14煉函數(shù)的切線問題

一、基礎知識：

(一)與切線相關的定義

1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B,并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極限位置就是曲

線在點A的切線。

(1)此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為

一個動態(tài)的過程，讓切點A附近的點向A不斷接近，當與A距離非常小時，觀察直線A3是否穩(wěn)定在一

個位置上

(2)判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數(shù)來判定。例如函數(shù)y=Y在(-1,-1)處的

切線，與曲線有兩個公共點。

(3)在定義中，點B不斷接近A包含兩個方向，A點右邊的點向左接近，左邊的點向右接近，只有無

論從哪個方向接近，直線A3的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點A處的切線。對于一個

函數(shù)，并不能保證在每一個點處均有切線。例如y=|x|在(0,0)處，通過觀察圖像可知，當無=()左邊的

點向其無限接近時，割線的極限位置為y=—尤，而當尤=0右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置

為＞=%，兩個不同的方向極限位置不相同，故y=|x|在(0,0)處不含切線

(4)由于點8沿函數(shù)曲線不斷向A接近，所以若/(x)在A處有切線，那么必須在A點及其附近有定義

(包括左邊與右邊)

2、切線與導數(shù)：設函數(shù)y=/(x)上點A(x°，〃Xo))，/(x)在A附近有定義且附近的點

8(/+Ax,/(x0+Ax)),則割線AB斜率為：

k一/(x()+—)--仇)_/Go+詞一〃/)

(x0+Ax)—x0Ax

當3無限接近A時，即Ar接近于零，.??直線AB到達極限位置時的斜率表示為：

一］"區(qū)+3一遍，

即切線斜率，由導數(shù)定義可知：『忠心墳匕八瑜。故/'(/)為"X)在

4(玉),/(%))處切線的斜率。這是導數(shù)的幾何意義。

3、從導數(shù)的幾何意義中可通過數(shù)形結合解釋幾類不含導數(shù)的點:

（1）函數(shù)的邊界點：此類點左側(cè)（或右側(cè)）的點不在定義域中，從而某一側(cè)不含割線，也就無從談起極

限位置。故切線不存在，導數(shù)不存在；與此類似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則斷開處的邊界值也不存在

導數(shù)

（2）已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導數(shù)。例如前面例子丁=國

在（0,0）處不存在導數(shù)。此類情況多出現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，

觀察極限位置是否相同即可

（3）若在已知點處存在切線，但切線垂直x軸，則其斜率不存在，在該點處導數(shù)也不存在。例如：

y=也在（0,0）處不可導

綜上所述：（1）-（3）所談的點均不存在導數(shù)，而（1）（2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切

線，但沒有導數(shù)。由此可見：某點有導數(shù)則必有切線，有切線則未必有導數(shù)。

（二）方法與技巧：

1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數(shù)）

與切點，在利用點斜式寫出直線方程

2、若函數(shù)的導函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點A的橫坐標與,因為與可“一點兩代”，代入

到原函數(shù)，即可得到切點的縱坐標了（%）,代入到導函數(shù)中可得到切線的斜率/'（%）=左，從而一點一

斜率，切線即可求。所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來。

3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點己知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求

出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標（后,%）,再考慮利用條件解出核心要素

X。，進而轉(zhuǎn)化成第一類問題

4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用△=（）求出參數(shù)值

進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標系下，所以兩個方法可以互通。若某函數(shù)的圖像

為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如：y=>J\-x2（圖像為圓的

一部分）在（g,亭）處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析

式表示，像焦點在y軸的拋物線，可看作y關于x的函數(shù)，則在求切線時可利用導數(shù)進行快速求解（此

方法也為解析幾何中處理焦點在y軸的拋物線切線問題的重要方法）

5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點?！痹谀滁c處的切線”意味著該點即為切點，而

“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點。如果該點恰好在曲線上那就需要進行

分類討論了。

二、典型例題

例1：求函數(shù)/(x)=e"(3x_2)在x=l處的切線方程

思路：本題切點已知，代入原函數(shù)求得函數(shù)值，代入導函數(shù)中求得切線斜率，進而利用點斜式求出切線

方程

解：/(l)=e二切點坐標為(l,e)

/(x)=3e'+(3x-2)ex=(3x+l)ex

:.f(1)-4e二切線方程為：y-e=4e(x-l)=y=4ex-3e

小煉有話說：切點已知時求切線方程是切線問題中較簡單的一類問題，體會切點分別代入到函數(shù)與導函

數(shù)中所起到的作用，體會切點橫坐標在切線問題中的關鍵作用

例2：已知函數(shù)/(x)=lnx+2x,則：

(1)在曲線/(x)上是否存在一點，在該點處的切線與直線4x-y—2=0平行

(2)在曲線/(x)上是否存在一點，在該點處的切線與直線x-y-3=0垂直

解：(1)思路：切點未知，考慮設切點坐標為(%,%),再利用平行條件求出與,進而求出切線方程

設切點坐標為(七,%)???/(^o)=—+2由切線與4x-y-2=0平行可得：

/(%)」+2=4=/=l...%=/((]=]n(+l

/2\2J2

,切線方程為：y-l+ln2=4(x-g)ny=4x-ln2-1

(2)思路：與(1)類似，切點未知，考慮設切點坐標為(七,%),有垂直關系可得切線斜率與已知直線

斜率互為負倒數(shù)，列出方程求出與,進而求出切線方程

設切點坐標(%,%).-./(x0)=—+2,直線x—y—3=0的斜率為1

X。

f(工0)=—+2=—1=>%=-a而毛￡(0,+00)

/3

.?.%=—L不在定義域中，舍去

03

不存在一點，使得該點處的切線與直線X-y-3=0垂直

小煉有話說：(1)求切線的關鍵要素為切點，進而若切點已知便直接使用，切線未知則需先設再求。兩

直線平行與垂直關系與直線的斜率密切相關，進而成為解出切點橫坐標的關鍵條件

(2)在考慮函數(shù)問題時首先要找到函數(shù)的定義域。在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域

內(nèi)

例3：函數(shù)/(x)=alnx—區(qū)2上一點p(2,/(2))處的切線方程為y=-3x+21n2+2,求的值

思路：本題中求a,8的值，考慮尋找兩個等量條件進行求解，P在直線y=-3x+21n2+2上，

.?.y=-3-2+21n2+2=21n2—4,即/(2)=21n2-4,得到a,匕的一個等量關系，在從切線斜率中得

到％=2的導數(shù)值，進而得到的另一個等量關系，從而求出a,8

解：產(chǎn)在y=—3x+21n2+2上，.-./(2)=-3-2+21n2+2=21n2-4

.?.”2)=aln2-4/?=21n2-4

又因為尸處的切線斜率為-3f'(x)=--2bx

"⑵=會你=一3

aIn2-4〃=2In2—4(。

a=2

<=>,

-a-4Z?=-3b=l

12i

小煉有話說：(1)本題中切線體現(xiàn)了兩個作用：①切點在切線上，進而可間接求出函數(shù)值；②切線的斜

率即為切點導數(shù)值

(2)一般來說，在求未知量的值題目中，未知量的個數(shù)與所用條件的個數(shù)相等。在本題中確定a,b兩個

未知量，從而想到尋找兩個條件來解決問題。

例4：曲線y=e*在點(2*2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為()

2

A.e2B.2/C.4/D.—

2

思路：/(%)=由圖像可得三角形的面積可用切線的橫縱橫距計算，進而先利用求出切線方程

.?./(2)=e2所以切線方程為：y-e2=e2(x-2)即/x-y-/=0,

與兩坐標軸的交點坐標為(1⑼(0,—e2)S=gx1x/=]

答案：D

小煉有話說：在平面直角坐標系中，我們研究的問題不僅有函數(shù)，還有解析幾何。所以在求面積等問題

時也會用到解析幾何的一些理念與方法。例如求三角形面積要尋底找高，而選擇底和高以計算簡便為原

則，優(yōu)先使用點的坐標表示。在本題中選擇橫縱截距來刻畫三角形的兩條直角邊有助于簡化計算。

7

例5：一點P在曲線＞=/一九+（上移動，設點「處切線的傾斜角為。，則角a的取值范圍是（）.

337T3兀

A.0,1B.0微—71.71C.17171D.

44y5'7

思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進而與導數(shù)聯(lián)系起來。y=3X2-\,對于曲線上任意一點P,斜

3

率的范圍即為導函數(shù)的值域：y=3x2-le[-l,+oo）,所以傾斜角的范圍是0,^—71、7t

4

答案：B

小煉有話說：（1）對于切線而言，其傾斜角，斜率，切點處的導數(shù)聯(lián)系緊密：傾斜角的正切值為斜率，斜

率即為切點的導數(shù)值。

（2）斜率范圍到傾斜角范圍的轉(zhuǎn)化要注意一下兩點：①斜率化傾斜角時盡量用圖像進行輔助，觀察斜率

變化時，傾斜角的變化程度。②直線傾斜角的范圍為[0,乃）

例6：求過點4（2,8）,且與曲線外力=%3相切的直線方程

思路：A（2,8）滿足/（x）,但題目并沒有說明A是否為切點，所以要分A是否為切點進行分類討論。當

A是切點時，易于求出切線方程，當A不是切點時，切點未知，從而先設再求，設切點（后,%）,切線

斜率為左,三個未知量需用三個條件求解：①%=/（%）,?k=f（x0）,③埼=/F

解：⑴當A（2,8）為切點時/（x）=3x2

.1?/（2）=12.??切線方程為：y-8=12（x-2）=>y=12x-16

（2）當A（2,8）不是切點時，設切點尸（工,%）（玉）。2）,切線斜率為k

3

%=%3

%=3焉，消去％,方可得：3年=為二^

再一2

/一2

而XQ—8—（x。-2乂片+2xg+4）w2

二方程等價于：3x；=焉+2/+4=>X：一%-2=0

解得：/=2（舍），x0=-1

.-.yQ=-l,k=3二切線方程為y+l=3（x+l）ny=3x+2

綜上所述：切線方程為y=12x-16或y=3x+2

小煉有話說：（1）由于在導數(shù)中利用極限的思想對切線進行了嚴格定義，即割線的極限位置是切線，從

而不能局限的認為切線與曲線的公共點一定就是切點，存在一條直線與曲線相切于一點，并與曲線的另

一部分相交于一點的情況，本題便是一個典型的例子

（2）在已知一點求切線方程時，要注意切線斜率不僅可用切點的導數(shù)值來表示，也可以用已知點與切點

來進行表示，進而增加可以使用的條件。

例7：設函數(shù)=V一辦2_9x_ig<o）,若曲線y=/（x）的斜率最小的切線與直線12x+y=6

平行，求。的值

思路：切線斜率最小值即為導函數(shù)的最小值，已知直線的斜率為一12,進而可得導函數(shù)的最小值為

-12,便可求出a的值

解：f（x）=3x2-2tw-9=sfx2-+-9=3^-^?2-9

-FT5直線12x+y=6的斜率為—12,依題意可得:

——a2—9——12=>a-+3a<0

3

a——3

ao15

例8：若存在過點（1,0）的直線與曲線y=r和—9都相切，則a等于（）

4

A.—1或一325B.一1或2二1C.725D.一7,或7

6444644

、15

思路：本題兩條曲線上的切點均不知道，且曲線了=奴2+」無一9含有參數(shù)，所以考慮先從常系數(shù)的曲線

4

y=/入手求出切線方程，再考慮在利用切線與曲線丁=依2+?1一9求出。的值。設過（1。）的直線與

曲線y=/切于點（后，耳，切線方程為y一片=3%Q（x-x0），即y=3x1x-2xf）,因為（1,0）在切線上,

3327

所以解得：X。=0或九0=5,即切點坐標為（0,0）或.當切點（0,9時，由y=0與

,15

y=ax"H---x-9相切可得

4

（15A225M27A

△=—j-4a（—9）=0=>a=—石，同理，切點為解得a=-1

答案：A

小煉有話說：（1）涉及到多個函數(shù)公切線的問題時，這條切線是鏈接多個函數(shù)的橋梁。所以可以考慮先從

常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來，再考慮切線與其他函數(shù)的關系

（2）在利用切線與y="2+—x-9求a的過程中，由于曲線），=?2^---x-9為拋物線，所以并沒有

4-4

利用導數(shù)的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的△=（）來求解，減少了運算量。通

過例7,例8可以體會到導數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面，求有關導數(shù)的問題時可以用到解析的思想，

而有些在解析中涉及到切線問題時，若曲線可寫成函數(shù)的形式，那么也可以用導數(shù)來進行處理，（尤其是拋

物線）

例9：（2014,北京）已知函數(shù)/（%）=2/一3%,若過點尸（1J）存在3條直線與曲線y=/（x）相切，求

，的取值范圍

思路：由于并不知道3條切線中是否存在以P為切點的切線，所以考慮先設切點（玉），％）,切線斜率為女，

則滿足《,所以切線方程為y—%=Z（x-Xo）,即

=f=6x°-3

y—（2片—3~））=（6%—3）（萬一%）,代入化簡可得：f=—4年+6焉一3,所以若存在3條切

線，則等價于方程/=-4只+6焉一3有三個解，即y=f與g（x）=-4x3+6%2-3有三個不同交點，數(shù)

形結合即可解決

解：設切點坐標（毛,%）,切線斜率為k,則有：

,：。=；：二31二切線方程為：y_（2需_3%）=（6片_3）（%_/）

k=j）=ox0-3

因為切線過。（u）,所以將p（lj）代入直線方程可得：

，-（2W-3與）=（6片-3）（1-%）

t—（6x：-3）（1-%）+Q元;-3XQ）

=6XQ—3-6/+3尤0+2xg3XQ=-4冗+6工；—3

所以問題等價于方程t=-4片+6焉一3,令g（⑼=T/+6%2_3

即直線y=，與g(x)=-4x3+6f-3有三個不同交點

g(x)=-12x2+12x=-12x(x-l)

令g'(x)>0解得0<X<1所以g(x)在(-00,0),(1,+8)單調(diào)遞減，在(0,1)單調(diào)遞增

g(x)極大值=g⑴=Tg(X)極小值=g(0)=-3

所以若有三個交點，貝1€(-3,—1)

所以當1€(—3,—1)時，過點P(lj)存在3條直線與曲線y=/(x)相切

例10：已知曲線C:/=y，點P在拋物線上且P的橫坐標為1,過P作斜率為左(左R0)的直線交。于

另一點Q，交x軸于加，過點。且與P。垂直的直線與。交于另一點N,問是否存在實數(shù)Z,使得直線

與曲線C相切？若存在，求出火的值，若不存在，說明理由。

思路：本題描述的過程較多，可以一步步的拆解分析。點?(1,1),則可求出PQ:y=丘一人+1,從而與

拋物線方程聯(lián)立可解得Q(A-1,(左-1『)，以及M點坐標，從而可寫出QN的方程，再與拋物線聯(lián)立得到

N點坐標。如果從M,N坐標入手得到MN方程，再根據(jù)相切(A=0)求左,方法可以但計算量較大。此

時可以著眼于N為切點，考慮拋物線V=y本身也可視為函數(shù)y=J,從而可以N為人手點先求出切線，

再利用切線過M代入M點坐標求k,計算量會相對小些。

解：由尸在拋物線上，且尸的橫坐標為1可解得尸(1,1)

.?.設00:>—1=左(》一1)化簡可得：y=kx-k+l

'2

《V=X消去y：Yc一6+左一i=o

y-kx-k-\-\

/.x}-l,x2=k-T

設直線QN:y—(左_1)2=即y=(4_]/_工[兀_(4_1)]

kk

由y=f可得：y'=2x

，切線MN的斜率kMN=y匕小=-2k-1+1

代入川—,0)得:

:.k-l+-=2k^k2+k-\=0

k

.-1±N/5

k=---------

2

小煉有話說：(1)如果曲線的方程可以視為一個函數(shù)(比如開口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部

分)，則處理切線問題時可以考慮使用導數(shù)的方法，在計算量上有時要比聯(lián)立方程計算△=0簡便

(2)本題在求N點坐標時，并沒有對方程進行因式分解，而是利用韋達定理，已知Q的橫坐標求出N的

橫坐標。這種利用韋達定理求點坐標的方法在解析幾何中常解決已知一交點求另一交點的問題。

三、近年好題精選：

1、設函數(shù)/(x)=g(x)+d,曲線y=g(x)在點處的切線方程為y=2x+l,則曲線y=〃x)

在點處的切線方程為

2、已知直線丁="+1與曲線曠=丁+6+。切于點(1,3),則b的值為

3、若曲線G：y與曲線。2：y存在公切線，則a的最值情況為()

8484

A.最大值為二B.最大值為二C.最小值為二D.最小值為三

4、(2015,新課標H文)，已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=依2+(〃+2)x+I相切,

則a=______

5、(2015,陜西理)設曲線y=優(yōu)在點(0,1)處的切線與曲線y='(x>0)上點P處的切線垂直，則P

X

的坐標為_________

6、(2014,廣東)曲線y=e-5，+2在點(0,3)處的切線方程為

7、(2014,江西)若曲線y=e-'上點P處的切線平行于直線2x+y+l=0,則點P的坐標為

8、已知函數(shù)/(*)=二，則過原點且與函數(shù)/(X)圖像相切的直線方程為—

9、已知函數(shù)/(x)=e'—(/—奴(aeR),若函數(shù)/(%)的圖像在％=0處的切線方程為y=2x+。,

則a=,b-

習題答案：

1、答案：y=4x

解析：由切線過(l,g(l))可得：g(l)=3,所以/(l)=g(l)+f=4,另一方面，g'(l)=2,且

f'(x)=g(x)+2x,所以/(l)=g'(l)+2=4,從而切線方程為：y-4=4(x-l)=y=4x

2,答案：b=3

f(]]=a+b+1=3(a=-l

解析：代入(1,3)可得：k=2,f'(x)=3x2+a,所以有<'/、，解得《

f(l)=3+?=2g=3

3、答案：B

v—2

解析：設公切線與曲線G切于點(xX),與曲線c,切于點",。濤)，由彳可得：

[y=aex

aeX2—x22玉=——=>x,=2x-2-1)

2%=a*="—'，所以有(2，所以cz*=4馬一4,即△2,,

X,-xe'2

x

2xl=ae-

設=,則/'(,)=%寧口)?？芍?,2)單調(diào)遞增，在(2,+8)單調(diào)遞減，所以

4

"max=/(2)=7

4,答案：8

解析：y=1+1,所以y|y=2,切線方程為y—l=2(x—l)ny=2x-l,聯(lián)立方程

y=2x-1..

「，/.no?+0c+2=0,從而由相切可得：△=/—&z=0=a=8

y^ax-+(a+2)x+l

5、答案：(1,1)

解析：丁="的導數(shù)》="，所以左=yL=o=l,故尸處的切線斜率為—1,設切點「(公,%)，由

y=L的導數(shù)y'=--可得：--!=-1=>玉)=1，則>o='=l，即P點坐標(1,1)

XxxQx0

6、答案：y=—5x+3

解析：y=_5e%,所以y|戶0=一5,則切線方程為：y-3=—5x=y=-5x+3

7、答案：(-ln2,2)

解析：y=-e-,因切點坐標未知，故設「(%,%),由切線與2x+y+l=0平行可知切線斜率為

-2,即>|,氣=-e'=一2,解得：x0=-ln2,所以%=/1吟=2，即P點坐標(—ln2,2)

8、答案：y=—x

2e

解析：設切點坐標為(%,%)，切線的斜率為左，因為/'(力=上詈

.1-Inxn,

=

k~AoK_卜?-1一m%

,%lnx01-Inx0r-

?,?<%=、=--產(chǎn)=XQ=7e

人警X。X。

y0=—[%

X。

所以切線方程為：y^—x

2e

9、答案：a=-l,b=l

解析：將％=()代入到直線方程可得切點坐標為(0,b)

.??。=/(0)=1

二直線方程為y=2x+l

f(x)=ex-x-af(0)=l-a=2na=-l

「?a=—l,b=1

一、光速解題一一學會9種快速解題技法

技法1特例法

在解答填空題時，可以取一個(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊點、特殊方程、特殊圖形等

來確定其結果,這種方法稱為特例法.特例法只需對特殊數(shù)值、特殊情形進行檢驗，失去了推理論證的演算

過程,提高了解題速度.特例法是解答填空題時經(jīng)常用到的一種方法.

典例1(特殊數(shù)值)求值:cos'+cos“a+120°)+cos2(a+2400)=.

3

答案2

解析題目中“求值”二字提供了這樣的信息：答案為一定值，于是不妨令a=0°,則原式

113

=COS20+COS2120°+COS2240°=1+4+4=2.

典例2(特殊點)點P為橢圓元+可=1上第一象限內(nèi)的任意一點，過橢圓的右頂點A、上頂點B

分別作y軸、X軸的平行線,它們相交于點C,過點P引BC、AC的平行線交AC于點N,交BC于點M,交AB于

D、E兩點，記矩形PMCN的面積為Sb三角形PDE的面積為S2,則S,：S產(chǎn).

答案1

(4,2)99i

解析不妨取點P'5。則s產(chǎn),57X(5-4)=5,PD=2,PE=M所以S2=2X2X

66

5=5,所以S1：Sz=l.

典例3(特殊函數(shù))若函數(shù)y=f(x)對定義域D中的每一個X”都存在唯一的X2GD,使f(xj?f(X2)=l

成立,則稱f(x)為“影子函數(shù)”，有下列三個命題：

①''影子函數(shù)”f(x)的值域可以是R;

②“影子函數(shù)”f(x)可以是奇函數(shù)；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函數(shù)”，且定義域相同，則y=f(x)?g(x)是“影子函數(shù)”.

上述正確命題的序號是.

答案②

解析對于①：假設“影子函數(shù)”的值域為R,則存在X,.使得f(x)=O,此時不存在X?,使得

f(X1)?雙加)=1,所以①錯誤;

1

對于②:函數(shù)f(x)=x(x#o),對任意的X|￡(-8,0)U(0,+8),取X2-肛,則f(xi)?f(X2)=l,因為函

數(shù)f(x)=x(xW0)為奇函數(shù)，所以“影子函數(shù)”f(x)可以是奇函數(shù)，②正確；

對于③:函數(shù)f(x)=x(x>0),g(x)="(x>0)都是“影子函數(shù)”，但F(x)=f(x)?g(x)=l(x>0)不

是“影子函數(shù)”(因為對任意的XIG(0,+8),存在無數(shù)多個xzW(0,+8),使得F(Xl)?F(X2)=1),所以③錯

誤.

Tp

典例4(特殊位置)(1)已知E為△ABC的重心,AD為BC邊上的中線，令AbAC=b,過點E的

11

AP

直線分別交AB,AC于P,Q兩點，且=ma,"Q=nb,則叫"=

(2)如圖,在三棱柱的側(cè)棱AR和BiB上各有一動點P,Q,且A1P=BQ,過P,Q,C三點的截面把棱柱分成上、

下兩部分,則上、下兩部分的體積之比為

A

答案(1)3(2)2：1

AP

解析(1)由題意知結果必然是一個定值,故可利用特殊直線確定所求值.如圖，令PQ〃BC,則

-ABTn次

3,4Q=3，此時,m=n=

%44凡七「ABC=

⑵將P.Q置于特殊位置:PfA”Q-B,此時仍滿足條件A產(chǎn)BQ(=O),則有

VABC-AiBiCi

-3-

因此過P,Q,C三點的截面把棱柱分成了體積比為2：1的上、下兩部分.

典例5(特殊圖形)在aABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列，則

cos4+cosC

1+COSACOSC_

答案b

1cos4+cosC4

解析不妨令△ABC為等邊三角形，則COSA=COSC=2,則1+COS4COSC=5

技法2換元法

換元法又稱變量代換法.通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來,或者

將題目變?yōu)槭煜さ男问?簡化復雜的計算和推理.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關鍵是構造元和設元,理論依據(jù)是等

量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中再研究，從而使非標準型問題標準化、復雜

問題簡單化.換元法經(jīng)常用于三角函數(shù)的化簡求值、復合函數(shù)解析式的求解等.

典例1(三角換元)已知x,yGR,滿足x2+2xy+4y2=6,則z=x2+4y'的取值范圍是.

答案［4,⑵

解析己知x2+2xy+4y=6,

即（x+y），（%=（號,

司sa,Sina,

故設x+y=A

Ain

即x=圾osa-Aina,y=a.

則z=x?+4yJ6-2xy=6-2("cosa-&sina)?Aina

Qa+9

=8-4sin

所以8-4WzW8+4,即z的取值范圍是[4,12].

典例2（整體代換）函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx,xG[0,n]的最小值是.

答案T

解析設t=sinx-cosx=圾in

i-t2

則sinxcosx=

因為x￡[0,五]，所以x-

所以&],

1--1

所以尸t+2=-"(tT)?+l,當t=-l時，y.tn二一1.

4(a+l)2a((a+1)2

2aa+1+10g4a2>0恒成立，

典例3（局部換元）設對一切實數(shù)x,不等式xlog2+2xlog22

求a的取值范圍.

2a4(a+l)8(a+Da+12a

a+12a2a=3-loga+1=3-t,log

解析設log2=t,則10g20=log2=3+log222

(a+1)2a+1

4a=21og220=-2t,則原不等式化為(3-t)x「+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)X恒成立，所以

(3-t>0,(t<3,2a2a

(△=4^4-81(3-1)<0,解得或t>6,所以t〈o,即i

og2a+1<0,所以0<a+Ll,解得

0<a<l.

技法3數(shù)形結合法

數(shù)形結合法包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用分為兩種情形:一是代數(shù)問題幾何化,

借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形為手段，以數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)

的性質(zhì)；二是幾何問題代數(shù)化，借助數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段，以形為目的，如應用曲線

的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

典例1(平面向量問題)設a,b,c是單位向量,且a-b=0,則(a-c)?(b-c)的最小值為.

答案1-?

解析由于(a-c)?(b-c)=-(a+b)?c+1,因此求(a-c),(b-c)的最小值等價于求(a+b)?c的最大值，

這個最大值只有當向量a+b與向量c同向共線時取得.由于a?b=O,故aJ_b,如圖所示，|a+b|二

泥，c|=1,當。=0時，(a+b)?c取得最大值迎,故所求的最小值為1-4.

典例2(函數(shù)問題)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中最小的數(shù)，設f(x)=min{2\x+2,10-

x)(x^O)JllJf(x)的最大值為.

(2)設函數(shù)函X)=X2-2(X￡R),

(g(x)+x+4,xvg(%),

f(x)(x)-x,x>g(x),則f(x)的值域是

；-0

答案(1)6(2)U(2,+8)

解析(1)在同一平面直角坐標系中畫出y=2*,y=x+2,y=10-x的圖象(如圖)，觀察圖象可知f(x)=

r2x(0<x<2),

*x4-2(2<x<4),

10-x(x>4),

(x)的最大值在x=4時取得,為6.

X2-2+x+4,xvX2-2,

22

(2)依題意知f(x);JC-2-X,x>X-2,

“2+x+2,xVT或x>2,

即f(x)=.X2-2-X,-1<X<2,作出圖象如下(加粗部分)，由圖象可知f(x)的值域是

dog2(x+l),xe[0,1),

3x+—,[1,十°°),

典例3己知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)=22'''則關于x的

方程f(x)+a=0(0<a<l)的所有根之和為.

答案1-2°

rlog2(x+l),xG[o,1),

壯》2-3x+2,xG[1,+°°)

，

解析在平面直角坐標系中作出函數(shù)f(x)=22'以及y=-a的圖象，由圖象

可知，關于x的方程f(x)+a=0(0<a<l)共有5個根，這5個根由小到大依次記為xi,X2,x”x"x$,則xi+x2=-

aaa

6,x.i+xo=6,由一l0g2(-X3+I)=一a得X3=l-2,所以XI+X2+X3+X4+X5=-6+(l-2)+6=l-2.

：3-

：2

.,0/

i-2-?

(2x+”2,

卜＞0,

(x+yN0時,不等式x2+yZ+2y22a-l恒成立,則

典例4(不等式問題)已知當動點P(x,y)滿足

實數(shù)a的取值范圍是_______.

f-oo11

答案1'4」

'2x+y<2,

x>0,

解析動點P(x,y)滿足的約束條件為"+y‘0，其可行域如陰影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+l)2-

1,其中/+(丫+1產(chǎn)表示點(x,y)到點(0,-1)的距離的平方，

由圖可知，點A(0,T)到直線y=-x的距離的平方就是x?+(y+l尸的最小值，

由點到直線的距離的平方得/+?+1產(chǎn)的最小值為'丘)二,

11

因此xz+y2+2y=xz+(y+l)2-l的最小值為'1=-彳

11

所以由不等式恒成立的條件知2aTW-1解得t故實數(shù)&的取值范圍是

典例5(解析幾何問題)若拋物線y'2px(p>0)上一點M到拋物線的準線和對稱軸的距離分別為10和

6,則點M的橫坐標為.

答案9或1

解析在圖⑴中，MN=MF=10,MG=6,；.FG=8,故AF=2,則xM=0F+FG=9,/.M的橫坐標為9.在圖⑵

中，GF=8,.?.AF=10+8=18,；.0G=AG-0A=10-9=l,故M的橫坐標為1.

技法4待定系數(shù)法

待定系數(shù)法就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為解方程(組)的問

題來解決.待定系數(shù)法主要用來解決所求解的數(shù)學問題中涉及某種確定的數(shù)學表達式的情況，例如求函數(shù)

解析式、求曲線方程、求數(shù)列的通項公式等問題.

典例1(求函數(shù)解析式)(1)己知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,求f(x知

解析(1)設f(x)=ax+b(aW0),

則f(x+l)=ax+a+b,f(x-l)=ax-a+b,

.*.3f(x+l)-2f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

fa=2,(a=2

...U+5a=17,解得l匕=7,f;.f(x)=2x+7.

(2)設f(x)=ax2+bx+c(aWO),

由f(0)=0,知c=0,Af(x)=ax2+bx.

Vf(x+1)=f(x)+x+l,

a(x+l)2+b(x+l)=axJ+bx+x+1,

.\ax~+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

2Q+匕=匕+1,

“+匕=1，解得

11

f(x)='x.

典例2(求曲線方程)(1)(2017天津,12,5分)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為1.已知點C在1上,

以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若NFAC=120°,則圓的方程為.

V3

(2)已知橢圓C的焦點在x軸上，其離心率為2,且