2015-2016年考研數(shù)學(xué)二真題及答案

2015考研數(shù)學(xué)二真題及答案

一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答博紙指定位置

上.

(1)下列反常積分收斂的是()

⑻r^dx

J2X

J2xlnx

⑻r^dx

J2/

【答案】(D)

【解析】，3^=-(4+1)￡一，則

r+ooXl+oocc

J—：dx=-(x+=3"2-lim(x+l)e~x=3e~'.

(2)函數(shù)〃x)=lim(l+吧在(-8,內(nèi))內(nèi)()

(A)連續(xù)

(B)有可去間斷點(diǎn)

(0有跳躍間斷點(diǎn)

(D)有無(wú)窮間斷點(diǎn)

【答案】⑻

22

?,x].sin/X

【解析】/(%)=lim(l+=ex,%wO,故/(%)有可去間斷

點(diǎn)x=0.

a1

xcos—,x>0

⑶設(shè)函數(shù)/(%)=</(1>0,4>0),若/(力在

0,x<0

x=0處連續(xù)則：()

(A)6Z—/?>0(B)O<?-^<1

(C)a-/3>2(D)0<a-^<2

【答案】(A)

【解析】尤<0時(shí),r(^)=O￡(O)=O

xacos

人=limcos上

力⑼=嚼p

X3+x

x>0時(shí)，/'(%)=O/TcosJ+(—sin：(一夕

=ax01_1cos-^+/3嚴(yán)一2,sin3

/'(X)在x=0處連續(xù)則：f：(o)=/(()=go=s得

of—1>0

axa~lcos-^r-+?！阓左\sin|=0

r(o)=噂/(力=噂

xpxp)

得:a-^-l>0,答案選擇A

⑷設(shè)函數(shù)/■(￡)在(-00,40。)內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)/■"(%)的圖形

如圖所示，則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

)

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【答案】（0

【解析】根據(jù)圖像觀察存在兩點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)變號(hào).則拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。

（5）設(shè)函數(shù)/（"一）滿足/卜+-口=——/,則與

(A),0

(B)0,1

(C)--,0

(D)0,-^

【答案】(D)

【解析】此題考查二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)的求解.

^u=x+y,v=—,則x='—,y=』匕，AffiJf(x+y,—)=%2-y2

X1+V1+VX

為

u2(l-v)

/3,v)=故

1+v

df_2w(l-v)df_2M之

du1+v9dv(1+v)2

因哈

=.故選(D)

W=1=0,U=1

V=1dvV=12

⑹設(shè)。是第一象限由曲線2盯=1,4町=1與直線y=x,

y=底圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在。上連續(xù)，則

\\f(x,y)dxdy=)

D

711

(A)][[。]呼。/(rcos6，sine)rdr

42sin26

71]

(B)JJd6rs[2。ycosrsinQiydr

40sin26

兀1

(C)gdejsinyy(rcos0,rsinOylr

42sin26

(D)jjdgjjsiye/(rcos8/sin。協(xié)

4-sin26

【答案】(B)

【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下計(jì)算該二重積分的積分區(qū)域?yàn)?/p>

J。上工,一「1

。=〈(幾。)

43<2sin29

所以

冗[

||于(x,y)dxdy=|Jd。]小野/(rcos8,rsin0)rdr

D4近sin20

故選B.

fl)

11)

(7)設(shè)矩陣A=12a,b=d.若集合O={1,2},則線

2

J4aJ

性方程組AA有無(wú)窮多解的充分必要條件為：

()

(A)a史O,d史O(B)。e。,deQ

(C)ae。,deQ(D)ae。,deQ

【答案】D

【解析】

qii1、(\11

(A,b)=12adf01a-1d-1

J4a2d2)1°0(a—l)(a—2)

由r(A)=r(A,?<3,故a=l或a=2,同時(shí)2=1或d=2。故選⑺)

(8)設(shè)二次型/(4,范，巧)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為

2?。?貢一%，其中尸=(q,簞，芻，若。=&,-e3。2則

/=(苞,%2，￡)在正交變換x=。下的標(biāo)準(zhǔn)形為：

()

(A)+y2(B)2y：+一

(C)—%—%'(D)2y；++y；

【答案】(A)

【解析】由X=今,故/=x,Ax=/(P'AP)、=2y：+￡-￡.且

,200、

PTAP=010

、00-17.

U00、

Q=P001=PC

、0-10,

,200、

QTAQ=CT(PTAP)C=0-10

、00b

所以/=/Ax=V(QTAQ)y=2y；—￡+y；。選(A)

二、填空題：914小題,每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題

里指定位置上.

⑼]x一=arct+an/t則/U丘---------------------

【答案】48

【解析】今=%=厘=3（1+嚀

/dt1+/

d[3（l+』）2]/

察/卬+小=%/=+=.+力

/dt1+產(chǎn)

（10）函數(shù)=在x=0處的〃階導(dǎo)數(shù)/"（0）=

【答案】〃（八—l）（ln2廠2

【解析】根據(jù)萊布尼茨公式得：

/（"）（0）=戲2（2嚇1）=^^2（ln2）n-2=“（於l）（ln2）i

x=o2

（11）設(shè)/（尤）連續(xù)，必?zé)o）=[力，若0⑴q@'（$=，則/⑴=

【答案】2

【解析】已知e（x）=尤「『⑺辦，求導(dǎo)得夕'（X）=J；/⑺由+2%",），故

有0（1）=J）⑺力=1,

^(1)=1+2/(1)=5,則/(1)=2,

(⑵設(shè)函數(shù)y=y(力是微分方程y'+y-2y=0的解，且在x=0處

y(x)取得極值3,則y(x)=。

【答案】e-2x+2ex

【解析】由題意知：丁(。)=3,/(0)=0,由特征方程：力之+丸一2=0解

得4=1,42二—2

所以微分方程的通解為：y=ae*+Ge2代入y(o)=3,y'(0)=0解得：

G=2C?=1

解得：y=2ex+e-2A

(13)若函數(shù)Z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=l確定，則dz(0小

【答案】一如+2力)

【解析】當(dāng)x=0,y=0時(shí)Z=O,則對(duì)該式兩邊求偏導(dǎo)可得

(3/+2y+3z+孫)絲=_yz_e%+2y+3Z

dx

x+2y+3zx+2y+3z

(3e+xy)-=-xz-2eo將(0,0,0)點(diǎn)值代入即有

dy

dz1dz2

瓦(0,0)——1標(biāo)(0,0)——丁

121

則可得dzI”o)=—1dx—]dy———+2dy).

(14)若3階矩陣A的特征值為2,—2,1,B=A2-A+E^其中片為3階單

位陣，則行列式慟=.

【答案】21

【解析】A的所有特征值為2,-2,1.5的所有特征值為3,7,1.

所以151=3x7x1=21。

三、解答題：15?23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在等㈱紙指定位置上.解答

應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=x+aln(并光升bxsin,g(x)=履3.若/(龍)與g(龍)在

%-0時(shí)是等價(jià)無(wú)窮小，求。力,女的值.

【答案】a=—1,k=—,b=—

32

【解析】

方法一：

Jx3X3

因?yàn)閘n(lx)—x——+,sinx—x——+c>(x3),

那么，

(l+tz)x+(/?-^)x12+J%+。(九)

X+a

1-lim九)-HmI"。+sinx=lim

%-。g(%)、-。kx3x->0kx3

1+Q=0a=-l

可得：，力—區(qū)二0,所以,

2

3

方法二：

由題意得

x+aln(l+x)+/?xsinx

a。g(%)％'。

a,.7

1+—+PSHIX+/?XCOSX

=lim——1+x

x->03k￡

由分母lim3A;x2=0,得分子lim(l+—^+Z?sinx+Z?xcosx)

%-?0Xf0l+x

=lim(l+a)=0,求得c；

xf0

fz、1------——hbsinx+bxcosx

于是1=lim=lim—9------------------------

g(x)%'。3左￡

x+/7(l+x)sinx+bx(l+x)cosx

=lim

x—>03^(1+x)

%+Z?(l+x)sin%+bx(l+x)cosx

=lim

x->03k￡

l+/2sinx+/7(l+x)cosx+Z?(l+x)cosx+Z?xcosx-Z?x(l+x)sinx

=lim

x->06kx

由分母lim6g;=0,得分子

xf0

lim[l+Z?sinx+2Z?(1+x)cosx+Zzxcos九一fcv(l+x)sinx]

Xfo

=lim(l+2Z?cosx)=0,

xf0

求得6=-4；

2

進(jìn)一步，b值代入原式

〃、1--sinx-(l+x)cosx--xcosx+—x(l+x)sinx

1=lim丁%=lim——----------------------------------------------------------

g(x)%一。6kx

——cosx-cosx+(l+x)sinx——cosx+—xsinx+—(l+x)sinx+—xsinx+—x(l+x)cosx

=lim----------------------------------------------------------------------------------------------------------

io6k

1

='，求得k=—1

6k3

(16)(本題滿分10分)

設(shè)A〉0,D是由曲線段y=Asinx(0Kx除及直線y=0,x所圍成

的平面區(qū)域，匕，匕分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積，若

匕=匕，求A的值。

O

【答案】一

n

【解析】由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得

717C萬(wàn)1o

7if2(x)dx=￡?(Asin犬了公=——°；'公

4

71

V2=『2時(shí)(x)dx=-2必「顯cosx=2JIA

Q

由題V=V,,求得A=—.

TC

(17)(本題滿分11分)

已知函數(shù)/(x,y)滿足f^(.x,y>=&什ef,<'(x,0)=(x+l)e*,

f(Q,y)^y2+2y,求f(x,y)的極值。

【答案】極小值/(0,—1)=—1

【解析】&(羽丁)=2(丁+1)靖兩邊對(duì)丫積分，得

y)=2(gy2+y)ex+0(x)=(丁+2y)ex+(p{x},

故f：(x,O)=e(x)=(x+l)ex,

求得9(x)=e*(x+1),

故f；(x，y)=(/+2y)ex+ex(l+x)，兩邊關(guān)于x積分，得

f(x,y)=(j2+2y)eA+jex(l+x)dx

=(/+2yK+j(l+xW

=(y2+2y)ex+(1+x)ex-Jexdx

=(V+2y)ex+(1+x)ex-ex+C

-(y2+2y)ex+xex+C

由/(0,y)=、2+2y+?=/+2丁，求得C=0.

所以/(x,y)=(/+2y)eA+xex.

人f：=(/+2y)e'+e'+xe'=0(x=0

令<[f；,=(2y+2)ex=0，求得[<y=-l.

又《=(/+2y)靖+2e*+x",

x

/=2(y+M，f；y=2e,

當(dāng)x=0,y=-1時(shí)，

A=如0「1)=1,B=&(0,-1)=0,C=/；(0,-l)=2,

AC-B2>0,/(0,—1)=-1為極小值.

(18)(本題滿分10分)

2

計(jì)算二重積分Jjx(x+y)公力，其中￡)={(%y),2+,2<2,y>x

12

【答案】---

【解析】jjx(x+y)dxdy=jjx2dxdy

DD

=2-x2)Jx

o

sin?￡2

"J/----------72%=&sii22

二2A/2—xdx——=2F2sintlcostdt——

0o5

u=2t

/=2cf4sin222tdt——r-=f2sin2u2du——7T=2-----

J。5J。545

(19)(本題滿分11分)

己知函數(shù)=產(chǎn)力，求/(無(wú))零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

【答案】2個(gè)

令/'(x)=0,得駐點(diǎn)為x=g,

在(-哈；)，/(X)單調(diào)遞減，在(g,+8),/(x)單調(diào)遞增

故/(J)為唯一的極小值,也是最小值.

+/2出―Jl+/dt

4

224

在d』)，<Jl+t,故J：\ll+t2dt-J；A/1+tdt<0

222

從而有/(—)<0

lim/(x)=lim[[+>dt+[Jl+tdt]=+oo

x—>-ooX—>-ooJxJl

limf(x)=lim[f/dt+\Jl+tdt]=lim[fA/1+tdt-[+?dt]

X—>+oox—>+ooJxJl%f+ooJlJl

［Jl+tdt2x\ll+x2

考慮lim—~==-=lim—/=+oo,所以limf(x)=+oo.

02

z+01Az力ZMVI+x

所以函數(shù)f(x)在S,g)及(g,+8)上各有一個(gè)零點(diǎn),所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

(20)(本題滿分10分)

已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻該物體溫度對(duì)時(shí)間的變化率與

該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃

的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降至30℃,若要將該物體的溫度繼續(xù)

降至21℃,還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？

【答案】30min

【解析】設(shè)/時(shí)刻物體溫度為x(t),比例常數(shù)為k(>0),介質(zhì)溫度為m,則

一=-k(x-m),從而%(%)=。￡一"十加，

dt

x(0)=120,m=20,所以C=100,即x?)=100e，+20

又1(2)=30,所以左=21nl0,所以x(/)=」^+20

2100'T

當(dāng)X=21時(shí)，t—1,所以還需要冷卻30min.

(21)(本題滿分10分)

已知函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,+oo］上具有2階導(dǎo)數(shù)，/(?)=0,/(%)>0,

/"(^)>0,設(shè)b>a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(仇/■("))處的切線與x軸的交

點(diǎn)是(天,0),證明a<x()<b。

【證明】根據(jù)題意得點(diǎn)(仇/(加)處的切線方程為y—/3)=/'S)(x—b)

于(b)

令y=0,得

f'(b)

因?yàn)?'(x)>0所以/(x)單調(diào)遞增，又因?yàn)?(a)=0

所以/(b)>0,又因?yàn)?'出)>0

所以-華^<6

『出)

又因?yàn)?-黑，而在區(qū)間(a,b)上應(yīng)用拉格朗日中值定理有

—f(a)=/,?，e(a,b)

b-a

所以……-符倦-瑞小瑞普

因?yàn)?“(X)>。所以/'(X)單調(diào)遞增

所以rs)>rC)

所以七一。〉0,即x()>a,所以結(jié)論得證.

(22)(本題滿分11分)

"a10、

設(shè)矩陣A=1a-1且A3=o.

101a}

(1)求。的值；

(2)若矩陣X滿足X—X4?—AX+AXf=E，E為3階單位陣，求X.

【答案】<20-1、

〃=0,X=—11—1

「1f

【解析】

a10010

(I)A3=(9=>|A|=0^>1a-11-a2a—l="3=Ona=o

01a-Q1a

(II)由題意知

X-XA2-AX+AXA2=E=>X(E-A2)-AX(E-A2)=E

=>(E-A)X(E-A2)=E=>X=(E-Ay1(E-A2)-I=[(E-A2)(E-A)]-1

=>X=(E-A2-A)-1

'0-1P

E-A2-A=-111

-1-12

\7;

'0-1IM00、'1-1-IM-10、

-11IM10T0-11M00

、—

、—1-12M01;1-12M017

<1-1-IM)-10、<1-1-IM)-10、

f01-1M100T01—1M100

-21M)-1b100-1M2-1b

‘1-10M0-1>0OM1-2、

T01OM1-1T01OM1-1

、00IM1-ly、00IM1—1,

,31-2、

X=11-1

(21-1J

（23）（本題滿分11分）

’02-3、(1-20、

設(shè)矩陣A=-13-3相似于矩陣B=0b0

1-2a)N3b

（1）求a,b的值;

（2）求可逆矩陣p,使尸-1轉(zhuǎn)為對(duì)角陣.

【答案】

(1)a=4,Z?=5；

(2)

,2-3-1

P=10-1

、0117

【解析】(I)A~3n"(A)="(3)n3+a=l+b+l

02-31-20

|川=忸|=>-13-30b0

1-2a031

a-b=-la=4

2a—b—3b=5

(II)

（

f02-3、100、(-12-3、

A=-13-3010+-i2-3=E+C

1-237\00Li-237

12—3、5

C=-12-3=-1(1-23)

1-23J

c的特征值4=4=o,4=4

4=0時(shí)(0E—Qx=0的基礎(chǔ)解系為只=(2,1,0產(chǎn);/=(-3,0,l)r

/l=5時(shí)(4E—C)x=0的基礎(chǔ)解系為5=(-1,-1,1)T

A的特征值4=1+4:1,1,5

/2-3-P

令？=?&，3)=10-1

I。11J

(1)

PlAP=1

、5,

2016考研數(shù)學(xué)二真題及答案

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1.當(dāng)xf0+時(shí)，若ln?l+2x),(1—cosxW均是比x高階的無(wú)窮小,

則a的可能取值范圍是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(―,1)(D)(0,—)

11-2

【詳解】lna(l+2x)~2"x",是a階無(wú)窮小，(l—cosx)。~二X。是一

-a

2a

a>1

階無(wú)窮小，由題意可知,2

—>1

a

所以a的可能取值范圍是(1,2),應(yīng)該選(B).

2.下列曲線有漸近線的是

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx(C)j=x4-sin—'(D)

x

..1

y=x2j+sm—

x

1y1

【詳解】對(duì)于y=x+sin—,可知lim上=1且lim(y-％)=limsin—=0,

“XX—>oo%X—>00X—>ooX

所以有斜漸近線y=x

應(yīng)該選(C)

3.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,則在［0,1］上

()

(A)當(dāng)r(x)N0時(shí)，/(x)>g(x)(B)當(dāng)r(x)>0時(shí)，

f(x)<g(x)

(C)當(dāng)/"(x)N0時(shí)，/(x)>g(x)(D)當(dāng)/"(x)N0時(shí)，

f(x)<g(x)

【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.

【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間［見(jiàn)切上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接

做出判斷.顯然g(x)=/(0)(1-“)+/⑴x就是聯(lián)接(0,7(0)),(1,/⑴)

兩點(diǎn)的直線方程.故當(dāng)/"(x)>0時(shí)，曲線是凹的，也就是/(x)<g(x),

應(yīng)該選(D)

【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間加上凹凸的定義不熟悉的話，可令

F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(l-x)-f(l)x,則F(0)=F(l)=0,

且歹‘'(x)=r'(x),故當(dāng)r'(x)No時(shí)，曲線是凹的，從而

F(x)<F(O)=F(l)=O,BPF(x)=f(x)-g(x)<0,也就是

f(x)<g(x),應(yīng)該選(D)

4.曲線|"=：+7'上對(duì)應(yīng)于f=l的點(diǎn)處的曲率半徑是()

y=￡+4/+1

(A)叵(B)叵(C)io7io(D)5如

50100

|j"|

【詳解】曲線在點(diǎn)(x,/(x))處的曲率公式K=一^^,曲率半徑

v(i+y2)3

.,dxdy,辦2f+4,2

本題m中一=2t,—=2t+4,所以—=-----=1+-

dtdtdxItt

_2_

d2y1

dx2It3

1

對(duì)應(yīng)于r=l的點(diǎn)處V=3,V'=-1，所以爪=亍^^=一「,曲率

7d+y2）3io麗

半徑R=」~=IO"5.

K

應(yīng)該選（C）

身=

5.設(shè)函數(shù)/(x)=arctanx,若f(x)=,則lim)

Xf0X2

(B)

(A)1t（C）I(D)

3

1

【詳解】注意（1)/'(x)=(2)

1+X2

x—>0時(shí),arctanx=x-jx3+o(x3).

由于小)3(“所以可知小)=金=—=丁

x-arctanx

片=

(arctanx)2

(x-jX3)+O(X3)

A..x-?rxtanx1

Inn—=Inn----------------=lim

iox—。x(arctanx)x->0X33

6.設(shè)"(x,y)在平面有界閉區(qū)域〃上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

222

且滿d足u三及d三u+d”u=0,則().

dxdydx2dy2

(A)u(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域〃的邊界上；

(B)〃(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域〃的內(nèi)部；

(C)〃(x,y)的最大值點(diǎn)在區(qū)域，的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域〃的邊界上;

(D)〃(x,y)的最小值點(diǎn)在區(qū)域2的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域〃的邊界上.

【詳解】u(x,y)在平面有界閉區(qū)域〃上連續(xù)，所以〃(x,y)在D內(nèi)必然有

aa

最大值和最小值.并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn)(x0,j0),也就是《=F=°，

dxdy

d2ua2

在這個(gè)點(diǎn)處A==笠=三:，由條件，顯然

dxdydxdydydx

AC-B2<0,顯然〃(x,y)不是極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以〃(x,y)

的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域，的邊界上.

所以應(yīng)該選(A).

0b0

00b

7.行列式等于

00

00

(A)(ad-be)2(B)—(ad-'Ac)?(C)u^d—b2c~(D)

-a2d~+b-c2

【詳解】

0ab0

a0ba0b

a00bbab

=-a00+b0c0=-ad+bc=-(ad-be)2

0c0

00

00

應(yīng)該選(B).

8.設(shè)a”4，%是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)無(wú)，/，向量/+左％，a2+

線性無(wú)關(guān)是向量區(qū),4，用線性無(wú)關(guān)的

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

【詳解】若向量線性無(wú)關(guān)，則

0、

對(duì)任意

(a1+ka3,<z2+la3)=(即％，。3)。1=(al,a2,ai)K,

苫

的常數(shù)上,/,矩陣K的秩都等于2,所以向量/+左％，%+以3一定線性

無(wú)關(guān).

而當(dāng)見(jiàn)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)向量%+左%，

%+，4線性無(wú)關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇(A).

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫

線上）

H1,

9.I—；------ax=_______.

J-°°X-+2x4-5

【詳解】

f11,ridx

I—；-------dx=I----------

J-°°x+2x+5J-00(x+1)+4

10.設(shè)/(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且/'(x)=2(x—l),xe[o,2],則

/(7)=.

【詳解】當(dāng)xw[0,2]時(shí)，/(x)=12(x-l)dx=x2-2x+C,由/(0)=0

可知。=0,即/(x)=Y-2x；/(x)為周期為4奇函數(shù)，故

/(7)=/(-1)=/(1)=1.

7

11.設(shè)z=z(x,y)是由方程e?%+x++z=z確定的函數(shù)，則

---.

7

【詳解】設(shè)F(x,y,z)=e2yz+x+y2+z--,

2yz2yz

Fx=l,Fy=2ze+2y,Fz=2ye+1,當(dāng)x=y=g時(shí)，z=Q，

dz_Fx_1dzFy

=

dx~~l\~~2'~dy~~Fz2

22

12.曲線L的極坐標(biāo)方程為r=6,則L在點(diǎn)（r,6）=—,一處的切線方

I22）

程為.

【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程《x=r（二e）cos八6八=Ocos八O，于是在

y=r（e）sine=esin6

八?！眂dy,sine+6cos6,2皿>人上

6=一處，x=Q,y=—,—I=-----------------I=一一，則L在點(diǎn)

22dxIcos?！猄sine?兀

(7T7T\冗29jr

(r,6)=—,一處的切線方程為y----=-----(X—0),即7=-----x-\—?

V22J27in2

13.一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于工軸的區(qū)間［0,1］上，若其線密度

p（x）=-x2+2x+l,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)x=

11

_Jxp(x)dx￡(―x3+2x2+x)dx

【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)X=T----------12_H

-

[p(x)dxJ(_x+2x+Y)dx520

Jo3

14.設(shè)二次型/（巧，*2，*3）=X：一X；+2。跖*3+4*2*3的負(fù)慣性指數(shù)是1，

則。的取值范圍是

【詳解】由配方法可知

/(x1,x2,x3)=xf-xf+2axlx3+4x2x3

=(X]+ux^)~一(x?！?x-j1+(4―a1)xg

由于負(fù)慣性指數(shù)為1,故必須要求4一。2N0,所以。的取值范圍是［-2,2］.

三、解答題

15.（本題滿分10分）

J-1)—t)dt

求極限lim----------------------.

X->4-0001

x2ln(l+-)

x

【分析工先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極

限.

【詳解】

「(尸(6-1)-力西「(尸(〃-1)-/)近1

lim-----------------------=lim-----------------------=lim(x2(ex-1)-x)

Xf+81Xf+8YXf00

xo2ln(l+-)”

x

16.(本題滿分10分)

已知函數(shù)y=j(x)滿足微分方程x2+J2J'=1-V,且y(2)=0,求y(x)

的極大值和極小值.

【詳解】

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到(l+y2)半=1-*2,這是一個(gè)可分離變量的

1.1,

一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：—V+x—一—+c,

33

由y(2)=0得C=:,

1,1,2

即Bn_V3+V=X---X34---.

333

令◎=!_「=o,得x=±i,且可知

dx1+j

d2y二―2x(l+y2)2—2y(l--)2

dx2(1+J2)3

當(dāng)x=l時(shí)，可解得y=l,y'=-l<0,函數(shù)取得極大值y=l；

當(dāng)x=-l時(shí)，可解得y=0,/'=2>0,函數(shù)取得極小值y=0.

17.(本題滿分10分)

設(shè)平面區(qū)域D=j(x,j)|l<x2+j2<4,x>0.j>0).計(jì)算

xsin(^7^2+J2),,

--------------------dxdy

x+y-------------?

nD

【詳解】由對(duì)稱性可得

rj.xsin(^7^2+J2)rpsin(^7^2+J2)

dxd=^2^

Yx+yJ/x+y

2

1內(nèi)11(%/爐+/)/lf7jnf./3

=----------------------dxd=——d夕rsm^rrfr=——

2JJ12JoJi4

18.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(H)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(excosy)滿足

a27a?7

衿+衿=(4z+e*coy^e2x.若"0)=0,尸(0)=0,求/?的表達(dá)

oxdy

式.

【詳解】

設(shè)“=e*cosy,貝!lz=f(u)=f(excosy),

07a?7

『=八"?-4=/"(?>2xcos2j+f\uyexcosy；

OXox

dzd~70。

￥=~fWsi"'后=『"‘in"八"cosy；

22

dzdz79

由條件+丁r=(4z+e*cosy)e2"

ox-dy~

可知

/"(〃)="(〃)+w

這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程.

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：

2uU

/(?)=Cxe+C,e--其中G，g為任意常數(shù).

對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為y*=-.

2u2a

故非齊次方程通解為f(u)=C,e+C2e--^u.

將初始條件/(0)=0,/'(0)=0代入，可得G=」,C，=一二.

1616

所以/(〃)的表達(dá)式為f(u)=^e2u-^e-2u--u.

19.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間限司上連續(xù)，且/(%)單調(diào)增加，0<g(x)<l,

證明：

(1)04Jg(t)dtWx-a,xG[a㈤；

(2)r+^a8t)df(x)dx<Cf(x)g(x)dx.

JaJa

【詳解】

(1)證明：因?yàn)镺<g(x)?l,所以JOrfx<Jg(t)dt<JIdtxG\a9b].

即0<Jg(t)dt<x-a,xG\a^b].

(2)令方(x)=[Xf(u)g(u)du-[a+^8t)dtf(u)du,

JaJa

則可知b(a)=O,且F'(x)=/(x)g(x)—g(x)/(a+J〃g⑺叼，

因?yàn)?4/g(/)d/4*-a,且/(x)單調(diào)增加，

所以/(a+Jg(t)dt^<f(a+x-a)=f(x).從而

F'(x)=/(x)g(x)-g(x)f^a+，g(f)df)>f(x)g(x)-g(x)f(x)=0

,xe\a,b\

也是F(x)在[a,在單調(diào)增加,則是(》)N4(a)=0,即得到

+g,,)(Zf

r￡y(x)jx<Cf(x)g(x)dx.

JaJa

20.(本題滿分11分)

設(shè)函數(shù)〃x)=^^,xe[0,l]，定義函數(shù)列

1+X

/1(x)=/(x),/2(x)=/(71(x)),?>/n(x)=/(/n_1(x))9...

設(shè)S〃是曲線)=/〃(%),直線x=l,y=O所圍圖形的面積.求極限

limnSn.

n—>oo

【詳解】

X

X1+XX,

fl(x)==

1+X]IXl+2x

1+x

X

f(x)=

3l+3x

X

利用數(shù)學(xué)歸納法可得/〃(x)=

1+nx

氤八力」六但如中，

rcr(Aln(l+明]

InnnS=Inn1----------=1.

8nn-?oolnJ

21.(本題滿分11分)

已知函數(shù)f(x,y)滿足%=2(y+1),且/(j,j)=(j+1)2-(2-j)lnj,

Sy

求曲線/(x,y)=0所成的圖形繞直線j=-l旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

【詳解】

由于函數(shù)f(x,y)滿足g=2(y+1),所以/(x,y)=y2+2y+C(x),

dy

其中C(x)為待定的連續(xù)函數(shù).

又因?yàn)?(y,y)=(y+l)2-