湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第2章平面解析幾何初步2-7用坐標(biāo)方法解決幾何問題課件

1.用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的三個(gè)步驟第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,

將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步:實(shí)施代數(shù)運(yùn)算,求解代數(shù)問題.第三步:把代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.2.建立平面直角坐標(biāo)系應(yīng)堅(jiān)持的原則(1)若有兩條相互垂直的直線,一般以它們分別為x軸和y軸.(2)充分利用圖形的對(duì)稱性.2.7用坐標(biāo)方法解決幾何問題利用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程(3)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.(4)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得.求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法(1)直接法:根據(jù)已知條件,直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)間的幾何關(guān)系,再利用解析幾何有關(guān)公

式(兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),即把這種關(guān)系

“翻譯”成含x,y的等式.(2)定義法:若動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義,可先設(shè)方程,再確定其中的基本量,求

出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)相關(guān)點(diǎn)法:有些問題中,動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出,但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)求解與圓有關(guān)的軌跡問題?點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的,如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,

這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)

點(diǎn)的軌跡方程.

典例已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程.解析

(1)解法一:設(shè)C(x,y),由題意可知AC⊥BC,且A,B,C三點(diǎn)不共線,所以AC,BC

所在直線的斜率存在,且y≠0,又kAC=

,kBC=

,所以

·

=-1(y≠0),化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法二:設(shè)C(x,y),由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化簡(jiǎn)得x2

+y2-2x-3=0,又A,B,C三點(diǎn)不共線,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法三:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0).由直角三角形的性質(zhì)知,|CD|=

|AB|=2.由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共

線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).設(shè)C(x,y),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=

,y=

,于是有x0=2x-3,y0=2y.由(1)知點(diǎn)C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上,將C(x0,y0)代入該方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).因此,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).

通過直線與圓的方程和位置關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)通過建立平面直角坐標(biāo)系寫出直線和圓的方程,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)

算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).通過代數(shù)式的變形研究不等式或最值問題,體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).素養(yǎng)解讀

例題如圖1,某十字路口的花圃中央有一個(gè)底面半徑為2m的圓柱形花柱,四周斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成邊長(zhǎng)為20m的正方形.因工程需要,測(cè)量員將使用儀器沿

斑馬線的內(nèi)側(cè)進(jìn)行測(cè)量,其中儀器P的移動(dòng)速度為1.5m/s,儀器Q的移動(dòng)速度為1m

/s.若儀器P與儀器Q的對(duì)視光線被花柱阻擋,則稱儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中.

(1)如圖2,斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形ABCD,儀器P在點(diǎn)A處,儀器Q在BC上且距

離點(diǎn)C4m處,試判斷儀器Q是否在儀器P的“盲區(qū)”中,并說明理由;(2)如圖3,斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形ABCD,儀器P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D移動(dòng),同時(shí)典例呈現(xiàn)儀器Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B移動(dòng),在這個(gè)移動(dòng)過程中,儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中的

時(shí)長(zhǎng)為多少?

信息提取

儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中要滿足P,Q的連線與圓有公共點(diǎn),即相交或相切.解題思路

(1)儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中,理由如下:建立平面直角坐標(biāo)系,求得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線PQ的方程.建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,則Q(10,6),P(-10,-10),所以kPQ=

,所以直線PQ的方程為4x-5y-10=0.通過判斷直線PQ與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.圓心O到直線PQ的距離d=

=

<2,所以圓O與直線PQ相交,故儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中.

(2)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10).依題意知起始時(shí)刻儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中.假設(shè)儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為ts,用t表示P,Q的坐標(biāo),并求出PQ的方程.假設(shè)儀器Q在儀器P的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為t(t≥0)s,則P

,Q(10,10-t),所以kPQ=

=

=

,利用圓心O到直線PQ的距離d≤2可得關(guān)于t的不等式,求出t的取值范圍即可得解.故直線PQ的方程是y-(10-t)=

(x-10),即(t-8)x+8y-2t=0,從而圓心O到直線PQ的距離d=

=

≤2,整理得t2≤t2-16t+128,解得t≤8,又因?yàn)閠≥0,所以0≤t≤8.故儀器Q在儀器