湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)1.(2020北京石景山期末)雙曲線x24-y2A.32B.54C.72.(2022上海浦東期中)雙曲線4x2+ky2=4k的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則實(shí)數(shù)k的值是()A.16B.116C.-16D.-3.(多選)(2022廣東云浮期末)已知雙曲線W:x22+m-yA.m∈(-2,-1)B.若W的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2),則m=-3C.W的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)D.若m=0,則W的漸近線方程為x±2y=0題組二由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程4.(2021湖南常德二中月考)已知雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x,且經(jīng)過點(diǎn)(2,2),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x24-y2=1B.y2C.x2-y24=1D.y2-5.以橢圓x24+y23=1A.y23-x2=1B.x2-C.x24-y23=1D.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.x2-y2=12B.x2-y2C.x2-y2=2D.x2-y2=27.(2022湖南師大附中期中)已知雙曲線C與橢圓x29+y225=1有共同的焦點(diǎn),且它們的離心率之和為145,題組三雙曲線的漸近線8.(2022重慶國維外國語學(xué)校期中)已知橢圓x25+y2=1與雙曲線x2a2-yA.y=±3xB.y=±3xC.y=±2xD.y=±2x9.(2022廣東深圳中學(xué)期中)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線分別為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)B為該雙曲線的一個焦點(diǎn).A.2B.3C.4D.110.(2022山西長治二中期末)設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若P為C左支上的一點(diǎn),滿足|PF1|=|F1F2|,且F1到直線PF2的距離為A.y=±73xB.y=±4C.y=±3xD.y=±10311.(2022北京十二中期末)已知雙曲線C:x24-y28=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|PO|=|PF|,則雙曲線C的實(shí)軸長為;△題組四雙曲線的離心率12.(2022湖南雅禮中學(xué)期中)已知雙曲線x2a2-y22=1(a>2)A.23C.233或13.(2022廣東執(zhí)信中學(xué)期中)點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,F1,F2是雙曲線的兩個焦點(diǎn),∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長滿足2|PF1|=|PF2|+|FA.2B.3C.2D.514.(2021湖南衡陽一模)已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)M,若A.(1,2)B.(3,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)題組五直線與雙曲線的位置關(guān)系15.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-2,-1)B.(1,2)C.(-2,2)D.(-1,1)16.(2022福建莆田十五中期末)設(shè)離心率為e的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,A.k2-e2>1B.e2-k2>1C.k2-e2<1D.e2-k2<117.過雙曲線x2-y23=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為π6的直線,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),則18.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=k(x-1)與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.能力提升練題組一雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在直線x=c上運(yùn)動,若∠A1PAA.233B.3222.(多選)(2022湖南邵陽十一中期末)已知雙曲線C過點(diǎn)(3,2),且漸近線方程為y=±33x,則下列結(jié)論正確的是A.C的方程為x23-yB.C的離心率為3C.曲線y=ex-2-1經(jīng)過C的一個焦點(diǎn)D.直線x-3y-1=0與C有兩個公共點(diǎn)3.(2022山東棗莊期末)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),PF1⊥PF2,PF1與y軸交于點(diǎn)M,若|F1O|=2|OM|(OA.y=±2xB.y=±2xC.y=±5xD.y=±3x4.(多選)(2022湖北武昌期末)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過雙曲線C上的一點(diǎn)M作兩條漸近線的垂線,垂足分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A.雙曲線C的離心率為2B.四邊形AMBO的面積為12aC.雙曲線C的漸近線方程為y=±2xD.直線MA與直線MB的斜率之積為定值5.(2022湖南懷化期末)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d16.(2022江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期中)設(shè)雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q(0,b),已知點(diǎn)P在雙曲線C的左支上,若△PQF的周長的最小值是8,則雙曲線C的離心率是,此時,點(diǎn)P題組二直線與雙曲線的位置關(guān)系7.(2021湖南武岡二中期中)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),過點(diǎn)F且斜率為1的直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的垂直平分線與xA.52B.C.3D.28.(2022湖南名校聯(lián)合體期末聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)P為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任意一點(diǎn),雙曲線E的離心率為3,右焦點(diǎn)與橢圓G:(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)P作雙曲線兩條漸近線的平行線,分別與兩條漸近線交于點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:平行四邊形OAPB的面積為定值,并求出此定值.

9.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值m1,m2,且滿足m(1)求雙曲線的離心率;(2)若a=2,過點(diǎn)F1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)D(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),求|AB|

10.[2021新高考八省(市)聯(lián)考]已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3),求雙曲線C的方程;(2)設(shè)B,F分別為雙曲線C的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn),是否存在常數(shù)λ,使得∠AFB=λ∠ABF?如果存在,請求出λ的值;如果不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過關(guān)練1.C由雙曲線x24-y23=1,得a∴a=2,c=a2+b2=7,∴e=ca2.C雙曲線方程可化為x2k+y24=1,易知k<0,所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2-k,又因?yàn)樘撦S長是實(shí)軸長的2倍,所以2×4=2-3.BD因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,A錯誤;因?yàn)閃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2),所以-m-1=(2)2,解得m=-3,B正確;當(dāng)m>-1時,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,當(dāng)m<-2時,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,C錯誤;當(dāng)m=0時,雙曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y2=1,則漸近線方程為y=±22x,即x±2y=0,D正確4.C由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y24=k(k≠0),將(2,2)代入,可得(2)2-224=k,解得k=1,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為5.B易知橢圓x24+y23=1∴雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為(±2,0).設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2則a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23=1.6.B由題意得a2=b2,則c=a2+b2=2a,所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為1,所以2a2=1,解得a=1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1.7.答案y24-解析因?yàn)殡p曲線C與橢圓x29+y225=1有共同的焦點(diǎn),所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則c=25-9=4,ca+45=148.D易得橢圓的離心率為5-15=255,故255×ca=2,即ca=5,9.A由題意可知雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則ba×-ba=-1,即a=b,故漸近線方程為y=±x,∵正方形OABC的邊長為2,B為雙曲線的一個焦點(diǎn),∴|OB|=22,即c=22,則a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(負(fù)值舍去10.C由題意知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+2c,則(2c)2=(a+c)2+(7a)2,得3c2-2ac-8a2=0,3·c2a2-2·ca-8=0,所以ca=2,故a2+b2=4a2,所以ba=3,11.答案4;32解析由雙曲線C的方程可知其實(shí)軸長為4,右焦點(diǎn)為F(23,0),又因?yàn)閨PO|=|PF|,所以點(diǎn)P在線段OF的中垂線上,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,易得雙曲線C:x24-y28=1的漸近線方程為y=±2x,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為±6,即△PFO的高為6,所以△PFO的面積為1212.A雙曲線的漸近線方程為y=±2ax,因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為π3,所以直線y=2ax的傾斜角是π6或π3,即2a=tanπ6或2a=tanπ3,解得a=6或a=63,又因?yàn)閍>2,則a=6,所以c=213.D設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),則|PF1|-|PF2|=2a,因?yàn)閨F1F2|=2c,2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,所以|PF1|=2c-2a,|PF2|=2c-4a,因?yàn)椤螰1PF2=90°,所以△F1PF2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,即c2-6ac+5a14.D由題意可設(shè)過點(diǎn)F1(-c,0)且與雙曲線的一條漸近線y=bax平行的直線的方程為y=bax+bca,與另一條漸近線y=-bax的交點(diǎn)為M-c2,bc2a,由MF1·MF2>0得-c2,-bc15.D當(dāng)直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時,k=±1,此時直線l只與雙曲線的左支或右支有一個交點(diǎn),∵直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點(diǎn),∴k的取值范圍為(-1,1),故選D.16.B當(dāng)直線l的斜率k不存在時,直線l只與雙曲線的一支相交,不滿足題意,故k存在,由直線l過右焦點(diǎn)F,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-c),易求得雙曲線的漸近線方程為y=±bax,若直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交,則|k|<ba,故k2<b2a2,即e2規(guī)律總結(jié)解決直線與雙曲線的交點(diǎn)問題,可先把雙曲線的漸近線與直線進(jìn)行對比,然后把問題轉(zhuǎn)化成漸近線的斜率與直線斜率之間的大小關(guān)系求解.17.答案3解析依題意,得雙曲線的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(-2,0),直線AB的方程為y=33由y=33(設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12,x1x2=-13所以|AB|=1+=1+=3.18.解析(1)由條件可知2a=4,ba=32,(2)聯(lián)立y=k(x-1),x24-y因?yàn)閘與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),所以3解得-1<k<1且k≠±32故k的取值范圍為-1,-32∪能力提升練1.A設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,∠F2PA1=α,∠F2PA2=β,則∠A1PA2=α-β.依題意不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,坐標(biāo)為(c,t)(t>0),則tanα=c+at,tanβ=c-at,所以tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=c+at-c-at1+c+at·c-at=2at+b2t.因?yàn)閠>0,所以t+b2t≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)t=b時等號成立,則tan(α-β)≤2.AC由題意可設(shè)雙曲線的方程為x23-y2=λ(λ>0),把(3,2)代入,得93-2=λ,即λ=1,∴雙曲線C的方程為x23-y2=1,故A正確;由a2=3,b2=1,得c=a2+b2=2,∴雙曲線C的離心率為23=233,故B錯誤;令x-2=0,得x=2,則ex-2-1=0,故曲線y=ex-2-1過定點(diǎn)(2,0),故C正確;雙曲線的漸近線方程為x±3y=0,因?yàn)橹本€x-3y-1=0與雙曲線的一條漸近線平行,所以直線x-3y-1=03.B易得F1(-c,0),F2(c,0),因?yàn)镻F1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,因?yàn)椤螰1OM=90°,∠MF1O=∠F2F1P,所以△MOF1∽△F2PF1,故|PF1||PF2|=|F1O||OM|=2,所以|PF1|=2|PF2|,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,在Rt△PF2F1中,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即16a4.ABD設(shè)M(x0,y0),則x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,且雙曲線C的兩條漸近線的方程分別為bx+ay=0和bx-ay=0,不妨設(shè)點(diǎn)A在直線bx+ay=0上,于是得|MA|=|bx0+ay0|a2+b2,|MB|=|bx0-ay0|a2+b2,從而得(2c)2=16·|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=16·b2x02-a2y5.答案x23-解析如圖,直線CD是雙曲線的一條漸近線,其方程為y=bax,即bx-ay=0,且F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,故四邊形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足為E,因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以|EF|=d1+d22=3,又因?yàn)閨EF|=bca2+b2=b,所以b=3,因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所以ca=2,即a26.答案5;-解析如圖,設(shè)D為雙曲線C的左焦點(diǎn),連接PD,QD,則|QD|=|QF|,|PF|=|PD|+2,設(shè)△PQF的周長為l,則l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PD|+|QD|+2,因?yàn)閨PQ|+|PD|≥|QD|=c2+b2,所以△PQF的周長l≥2c2+b2+2,因?yàn)椤鱌QF的周長的最小值是8,所以2c2+b2+2=8,即c2+b2=9,即1+b2+b2=9,所以b=2,所以c=5,所以雙曲線C的離心率e=ca=5,其方程為x2-y24=1.當(dāng)△PQF的周長取最小值時,點(diǎn)P在直線QD上,易得Q(0,2),D(-5,0),故點(diǎn)P的坐標(biāo)為-57.D設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則有y0x0+c=1,y0x0-2c=-1,解得x0=c2,y0=32c,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,又因?yàn)辄c(diǎn)A,B在雙曲線C上,所以x12a2-y18.解析(1)由題意可得ca=所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2(2)易求得雙曲線漸近線方程為y=±2x.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),過點(diǎn)P且與兩條漸近線平行的直線分別為l1,l2,A在l1上,且l1的斜率為2,則l1,l2的方程分別為y-y0=2(x-x0),y-y0=-2(x-x0),聯(lián)立y則A2x0-則B2x又因?yàn)闈u近線方程為y=±2x,所以sin∠AOB=22所以S?OAPB2=|OA|2×|OB|2×sin=3(2x0-y0又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上