湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章計數(shù)原理４-１兩個計數(shù)原理練習(xí)含答案

第4章計數(shù)原理4.1兩個計數(shù)原理4.1.1分類加法計數(shù)原理4.1.2分步乘法計數(shù)原理基礎(chǔ)過關(guān)練題組一分類加法計數(shù)原理1.把10個蘋果分成三堆,要求每堆至少有1個,至多有5個,則不同的分法共有()A.4種B.5種C.6種D.7種2.(2021天津?qū)氎嫫谥?用1,3,5,7中的任意一個數(shù)作分子,2,4,8,9中的任意一個數(shù)作分母,可構(gòu)成真分數(shù)的個數(shù)為()A.8B.9C.10D.113.如圖,一只螞蟻從正四面體ABCD的頂點A出發(fā),沿著正四面體ABCD的棱爬行,每秒爬一條棱,每次爬行的方向是隨機的,則螞蟻第1秒后到點B,第4秒后又回到點A的不同爬行路線有()A.6條B.7條C.8條D.9條4.(2022上海虹口期末)一個三位數(shù),個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當(dāng)y>x且y>z時,稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如341),則從集合{1,2,3,4,5}中取出三個不相同的數(shù)組成的“凸數(shù)”個數(shù)為.

題組二分步乘法計數(shù)原理5.(2022湖南長沙九中期末)從集合{0,1,2,3,4}中任取兩個互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有()A.10個B.12個C.16個D.20個6.為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召,某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食,并在用餐時積極踐行“光盤行動”,則不同的選取方法有()A.48種B.36種C.24種D.12種7.(2021廣東揭陽教學(xué)質(zhì)量測試)某學(xué)校有東、南、西、北四個校門,受新冠肺炎疫情的影響,學(xué)生只能從東門或西門進入校園,教師只能從南門或北門進入校園.現(xiàn)有2名教師和3名學(xué)生要進入校園(不分先后順序),則他們進入校園的方式共有()A.6種B.12種C.24種D.32種8.(2022廣東德勝中學(xué)期中)給圖中的A,B,C,D四個區(qū)域涂色,規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰的區(qū)域顏色不同,若有5種不同的顏色可選,則不同的涂色方案的種數(shù)為()A.180B.360C.64D.259.(2022遼寧丹東期末)汽車維修師傅在安裝好汽車輪胎后,需要緊固輪胎的五個螺栓,記為A,B,C,D,E(在正五邊形的頂點上),緊固時需要按一定的順序固定每一個螺栓,但不能連續(xù)固定相鄰的兩個,則不同的固定螺栓順序的種數(shù)為()A.20B.15C.10D.5題組三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用10.(2022湖南張家界月考)有不同的語文書9本,不同的數(shù)學(xué)書7本,不同的英語書5本,從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本,則不同的選法有()A.21種B.315種C.153種D.143種11.(2021河南信陽模擬)中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種生肖(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,三位同學(xué)依次選一個作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛和馬,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)每個吉祥物都喜歡,若三位同學(xué)對選取的禮物都滿意,則不同的選法有()A.30種B.50種C.60種D.90種12.(2022湖南常德月考)已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會用現(xiàn)金結(jié)賬,顧客乙只會用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結(jié)賬,顧客丙與甲、乙結(jié)賬方式不同,顧客丁用哪種結(jié)賬方式都可以.若甲、乙、丙、丁購物后依次結(jié)賬,那么他們結(jié)賬方式的組合種數(shù)為()A.36B.30C.24D.2013.(2022湖南益陽月考)學(xué)校計劃在周一至周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》《茶館》《天籟》《馬蹄聲碎》四部話劇,每天一部.受多種因素影響,話劇《雷雨》不能在周一、周四上演,《茶館》不能在周一、周三上演,《天籟》不能在周三、周四上演,《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演,則不同的展演情況有()A.0種B.1種C.2種D.3種14.(2022湖南師大附中期末)某單位有4位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是0,1,2,5,為遵守所在城市某月15日至18日4天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),四人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車(車牌尾數(shù)為2)最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)是()A.4B.12C.16D.2415.(多選)(2020北京第六十六中學(xué)期中)某校實行選科走班制度,張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科,且生物在B層班級.該校周一上午選科走班的課程安排如下表所示,張毅選擇三個科目的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí),則下列說法正確的是()第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A.此人有4種不同的選課方式B.此人有5種不同的選課方式C.自習(xí)課不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)能力提升練題組兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.(2022北京五十五中期中)中國古代十進制的算籌計數(shù)法在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造,算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如:3可表示為“”,26可表示為“”.現(xiàn)有6根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1~9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)的個數(shù)為()A.13B.14C.15D.162.(2022山西運城期末)如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”.現(xiàn)提供4種顏色給“弦圖”的5個區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同,則不同的涂色方案共有()A.48種B.72種C.96種D.144種3.(2022湖南臨澧一中月考)埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎,它的神奇遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,因為142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,……,所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn):142+857=999,285+714=999,428+571=999,……,若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y,若x+y=999,則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為()A.48B.60C.96D.1204.(2020重慶高考模擬)有4個不同的奇數(shù),5個不同的偶數(shù),現(xiàn)從中任取3個數(shù),分別記為a,b,c,則使ab+c為奇數(shù)的不同取法共有種.

5.(2020山東青島二中期末)如圖,在由開關(guān)組A與B組成的電路中,閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有種.

6.(2020廣東深圳一模)若O是正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,Q={OAi|i=1,2,3,4,5,6},a,b,c∈Q,且a,b,c互不相同,要使得(a+b)·c=0,則有序向量組(a,b,c)的個數(shù)為7.(2022重慶八中月考)某人設(shè)計了一項單人游戲,規(guī)則如下:先將一枚棋子放在如圖所示的正方形ABCD(邊長為3個單位)的頂點A處,然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位,如果擲出的點數(shù)為i(i=1,2,…,6),則棋子就按逆時針方向行走i個單位,一直循環(huán)下去.某人擲三次骰子后,棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有種.

答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A當(dāng)三堆中最多的一堆為5個時,其他兩堆總和為5,有2種分法,即1和4,2和3;當(dāng)三堆中最多的一堆為4個時,其他兩堆總和為6,有2種分法,即2和4,3和3.所以不同的分法共有2+2=4(種).故選A.2.D分四類:①當(dāng)分子為1時,有12,14,18,19,共4個真分數(shù);②當(dāng)分子為3時,有34,38,39=13,共3個真分數(shù);③當(dāng)分子為5時,有58,59,共2個真分數(shù);④當(dāng)分子為7時,有78,79,3.B由題意可畫圖如下,則不同的爬行路線有7條.故選B.4.答案20解析由題意可得y只能取3,4,5.當(dāng)y=3時,凸數(shù)有132,231,共2個;當(dāng)y=4時,凸數(shù)有142,241,143,341,243,342,共6個;當(dāng)y=5時,凸數(shù)有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453,共12個.故共有2+6+12=20(個).5.C由題意得b只能從1,2,3,4中選一個,有4種,a從剩余的4個中選一個,有4種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知虛數(shù)有4×4=16(個).故選C.6.B由題意可知,分三步完成:第一步,從2種主食中任選一種,有2種選法;第二步,從3種素菜中任選一種,有3種選法;第三步,從6種葷菜中任選一種,有6種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得不同的選取方法的種數(shù)為2×3×6=36,故選B.7.D由題意得3名學(xué)生進入校園的方式有23=8(種),2名教師進入校園的方式有22=4(種),所以共有8×4=32(種).故選D.8.A第一步涂A,有5種涂法;第二步涂B,和A不同色,有4種涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3種涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3種涂法.由分步乘法計數(shù)原理可知共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案,故選A.9.C如圖,先在A,B,C,D,E五個螺栓中任選1個,有5種選法;假設(shè)選中A,則再在C,D中選1個,有2種選法;剩下的3個螺栓只有一種固定順序.故共有5×2=10種不同的固定順序.故選C.10.D由題意,選一本語文書和一本數(shù)學(xué)書有9×7=63種選法,選一本數(shù)學(xué)書和一本英語書有7×5=35種選法,選一本語文書和一本英語書有9×5=45種選法,∴共有63+35+45=143種不同的選法.故選D.11.B①若甲同學(xué)選擇牛,則乙同學(xué)有2種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為2×10=20;②若甲同學(xué)選擇馬,則乙同學(xué)有3種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為3×10=30.綜上,總共有20+30=50種不同的選法.故選B.12.D當(dāng)甲和乙都用現(xiàn)金結(jié)賬時,丙有3種方法,丁有4種方法,共有3×4=12種方法;當(dāng)甲用現(xiàn)金結(jié)賬,乙用銀聯(lián)卡結(jié)賬時,丙有2種方法,丁有4種方法,共有2×4=8種方法.綜上,共有12+8=20種結(jié)賬方式.故選D.13.C周一周二周三周四《雷雨》××《茶館》××《天籟》××《馬蹄聲碎》××根據(jù)上表,分步確定,可知周四只能上演《茶館》,有1種情況,周一只能上演《天籟》,有1種情況,周二可以安排《雷雨》或《馬蹄聲碎》,有2種情況,最后一部話劇安排在周三,有1種情況.所以有1×1×2×1=2種不同的展演情況.故選C.14.B第一步安排奇數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有22=4(種).第二步安排偶數(shù)日出行,分兩類:第一類,先選1天安排甲的車,另外一天安排其他車,有2種;第二類,不安排甲的車,只有1種選擇,共有1+2=3(種).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知不同的用車方案共有4×3=12(種),故選B.15.BD由于生物在B層班級,所以只能選第2或第3節(jié),故分兩類:若生物選第2節(jié),則地理可安排在第1、3節(jié),有2種選法,政治從剩余的兩節(jié)課中任選,有2種選法,故有2×2=4(種)(此種情況自習(xí)課可出現(xiàn)在第1、3、4節(jié)中的某節(jié));若生物選第3節(jié),則地理只能選第1節(jié),政治只能選第4節(jié),自習(xí)只能選在第2節(jié),故有1種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,共有4+1=5種不同的選課方式.由以上分析可知,自習(xí)課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).能力提升練1.D6根算籌可以表示的數(shù)字組合為(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),數(shù)字組合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每組可以表示2個兩位數(shù),則可以表示2×7=14個兩位數(shù);數(shù)字組合(3,3),(7,7),每組可以表示1個兩位數(shù),則可以表示2×1=2個兩位數(shù).故一共可以表示14+2=16個兩位數(shù),故選D.2.B如圖,設(shè)5個區(qū)域依次為A,B,C,D,E,對于A,有4種涂法;對于B,與A相鄰,有3種涂法;對于C,與A,B相鄰,有2種涂法;對于D,若其與B同色,則E有2種涂法,若其與B不同色,則E有1種涂法.故不同的涂色方案共有4×3×2×(2+1)=72(種),故選B.3.A數(shù)字142857中,兩個數(shù)字之和為9的組合有1+8=9,4+5=9,2+7=9,共3組.若x+y=999,對于x,其百位數(shù)字可以為6個數(shù)字中的任意1個,假設(shè)為1,則y的百位數(shù)字必須為8,因此x、y的百位數(shù)字有6種選法;x的十位數(shù)字可以為剩下4個數(shù)字中的任意1個,假設(shè)為4,則y的十位數(shù)字必須為5,因此x、y的十位數(shù)字有4種選法;x的個位數(shù)字可以為剩下2個數(shù)字中的任意1個,y的個位數(shù)字為最后1個,因此x、y的個位數(shù)字有2種選法.所以所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為6×4×2=48,故選A.4.答案260解析要使ab+c為奇數(shù),數(shù)組(a,b,c)的奇偶性可為(偶,偶,奇)、(奇,偶,奇)、(偶,奇,奇)、(奇,奇,偶).若為(偶,偶,奇),即a為偶數(shù),b為偶數(shù),c為奇數(shù),則有5×4×4=80(種);同理,若為(奇,偶,奇),則有4×5×3=