高中數(shù)學(xué)人教B版2019必修 第二冊 數(shù)據(jù)的直觀表示

5.1.3數(shù)據(jù)的直觀表示

教材分析

本節(jié)課是統(tǒng)計的第3節(jié)課，在學(xué)習(xí)了抽樣方法和數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)怎么用

圖表想象化的表示數(shù)據(jù)。統(tǒng)計圖表的教學(xué)，可以分為三個層次：一是會讀圖表，能識別出主要

信息；二是能對圖表中的信息進(jìn)行組合，給出問題背景有關(guān)的解讀；三是能根據(jù)場景設(shè)計和制

作合適的圖表。本小節(jié)的統(tǒng)計圖表，絕大多數(shù)學(xué)生以前都接觸過，本節(jié)課的教學(xué)中，主要培養(yǎng)

學(xué)生對第二和第三層次的要求，借助真實的情境提出富有啟發(fā)性的問題，并在分析數(shù)據(jù)特征的

基礎(chǔ)上給出解決問題的方法.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

考占

■J八、、教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)

柱形圖、折線圖、扇形圖、掌握柱形圖、折線圖、扇形直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)

莖葉圖及頻率分布直方圖圖、莖葉圖及頻率分布直方運算

的繪制圖的繪制過程

柱形圖、折線圖、扇形圖、掌握柱形圖、折線圖、扇形直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)

莖葉圖及頻率分布直方圖圖、莖葉圖及頻率分布直方運算

的信息讀取和應(yīng)用圖的信息讀取和應(yīng)用

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

柱形圖、折線圖、扇形圖、莖葉圖及頻率分布直方圖的繪制、信息讀取和應(yīng)用

【教學(xué)難點】

柱形圖、折線圖、扇形圖、莖葉圖及頻率分布直方圖的應(yīng)用

教學(xué)過程

我們知道，從現(xiàn)實生活中得到的數(shù)據(jù)往往都是沒有規(guī)律的、凌亂的，如果不加以整理，可能難

以看出數(shù)據(jù)的特征，也不利于有關(guān)信息的挖掘。因此，人們在呈現(xiàn)有關(guān)結(jié)果時，往往會對數(shù)據(jù)

進(jìn)行整理，并用合適的圖表形象化表示有關(guān)數(shù)據(jù).

問題1：柱形圖

情境與問題

2015年7月6日的《中國青年報》報道：“根據(jù)調(diào)查,有擔(dān)當(dāng)（76.3%）和踏

實（74.5%）的年輕人最被受訪者欣賞.奮進(jìn)（54.7%）、堅毅（54.1%）、有夢想

（50.2%）、有闖勁兒（40.1%）、沉穩(wěn)（36.7%）、直率（34.6%）、幽默（33.4%）、

活潑（27.2%）、莊重（20.3%）、灑脫（20.0%）也是受訪者欣賞的品質(zhì).”

你能將這一調(diào)查結(jié)果用圖表進(jìn)行形象化表示嗎？

我們知道，柱形圖（也稱為條形圖）可以形象地比較各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系，因此上述情境

與問題中的結(jié)果可以用柱形圖表示，如圖所示.

知識點1:柱形圖（也稱為條形圖）可以形象地比較各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系.

一般地，柱形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或

者比例，柱形圖中每一矩形都是等寬的.

例1.如圖是華聯(lián)商廈某個月甲、乙、丙三種品牌彩電的銷售量統(tǒng)計圖，則甲、丙兩種品牌彩

電該月的銷售量之和為臺.

【答案】75

【解析】由圖可知，甲品牌該月的銷售量為45臺，丙品牌該月的銷售量為30臺，所以甲、丙

兩種品牌彩電該月的銷售量之和為75臺.

【變式練習(xí)】

如圖是某超市一年中各月份的收入與支出（單位：萬元）情況的條形統(tǒng)計圖?已知利潤為收入與

支出的差，即利潤=收入一支出，則下列說法正確的是（）

金?/萬比

收

「一?月

A.利潤最高的月份是2月份，且2月份的利潤為40萬元

B.利潤最低的月份是5月份，且5月份的利潤為10萬元

C.收入最少的月份的利潤也最少

D.收入最少的月份的支出也最少

【答案】D

【解析】

在［中，利潤最高的月份是3月份，且2月份的利潤為15萬元，故力錯誤；

在8中，利潤最小的月份是8月份，且8月分的利潤為5萬元，故8錯誤；

在。中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利潤不是最少，故C

錯誤；

在〃中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故〃正確.

故選：D.

問題2：折線圖

國家統(tǒng)計局網(wǎng)站顯示，2011—2015年高中在校學(xué)生數(shù)信息如下.

年份2011年2012年2013年2014年2015年

高中在校學(xué)生數(shù)/萬2454.822467.172435.88172400.47232374.3992

你能形象地表示上述數(shù)據(jù),以便發(fā)現(xiàn)這幾年高中在校學(xué)生數(shù)的變化趨勢嗎？

可以用折線圖來表示上述情境與問題中的數(shù)據(jù):

知識點2：一般地，如果數(shù)據(jù)是隨吐回變化的，想了解數(shù)據(jù)的變化情況，可將數(shù)據(jù)用折線圖來

表示.

例2.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至

2019年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，

下列結(jié)論正確的是（）

A月接待游客里（萬人）

\II11111111111I1111i1111IiI1III1I1I1

0123456789101112123456789101112123456789101115

2017年2018年2019年

V/

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】ABD

【解析】

由2017年1月至2019年12月期間月接待游客量的折線圖得：

在A中，年接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故A正確；

在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正確；

在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)小于30,故C錯誤；

在D中，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn),

故D正確.

【變式練習(xí)】

AQI即空氣質(zhì)量指數(shù)，AQI越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)AQI不大于AQI時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)

良”.如圖是某市3月1日到12日AQI的統(tǒng)計數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是（）

八AQI

QLA?t???????11?

e鐘3舟封四齡心的曲趴\0期日加

A.這12天的AQI的中位數(shù)是90

B.12天中超過7天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”

C.從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好

D.這12天的AQI的平均值為100

【答案】C

【解析】

這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是95笑+9絲2=93.5,故A不正確；這12天中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)

良”的有95,85,77,67,72,92共6天，故B不正確；；

從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好，，故C正確；這12天的AQ/指數(shù)值的平均值為110,故D

不正確.

故選C.

問題3：扇形圖

情境與問題

2016年12月17日至21日期間,北京市空氣質(zhì)量呈現(xiàn)重度及以上污染水平.

經(jīng)北京市政府批準(zhǔn)，12月16日20時至21日24時,北京市啟動了空氣重污染紅色

預(yù)警，期間實行了機(jī)動車“單雙號”限行等措施.《中國青年報》社會調(diào)查中心聯(lián)合

問卷網(wǎng),對2002人進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下數(shù)據(jù)：647人非常支持.891人支持.

348人態(tài)度一般,116人不支持.

如果你是《中國青年報》的記者,你會怎樣整理和報道這些數(shù)據(jù)？

為了清楚表示其中的規(guī)律以及四種態(tài)度的人數(shù)之間的比例關(guān)系，可以將原有的結(jié)果轉(zhuǎn)化為表格,

并計算每一類型數(shù)據(jù)的百分比，如下表所示.

態(tài)度非常支持支持一般不支持

人數(shù)647891348116

所占比例32.3%44.5%17.4%5.8%

《中國青年報》的報道原文是：“民調(diào)顯示，76.8%的受訪者支持此次單雙號限行，其中32.3%

的受訪者非常支持，態(tài)度一般和不支持的分別占17.4%和5.8%".

更進(jìn)一步，我們還可以用扇形圖（也稱為餅圖、餅形圖）來形象地表示這一結(jié)果.

不支持

非常

支持

32.3%

支持

44.5%

知識點3：扇形圖（也稱為餅圖、餅形圖）,可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的

比例情況.扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.

例3.如圖是某學(xué)校研究性課題《什么樣的活動最能促進(jìn)同學(xué)們進(jìn)行垃圾分類》向題的統(tǒng)計圖

（每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個），以下結(jié)論錯誤的是（）

什么樣的活動最能促進(jìn)同學(xué)們進(jìn)行垃圾分類

①公益廣告

②學(xué)校要求

③學(xué)校團(tuán)委會宣傳

35.33、

④垃圾分類運輸環(huán)節(jié)得到改善

⑤設(shè)置分類明確的垃圾桶

A.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個

B.回答該問卷的受訪者中，選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多

C.回答該問卷的受訪者中，選擇“學(xué)校團(tuán)委會宣傳”的人數(shù)最少

D.回答該問卷的受訪者中，選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8個

【答案】D

【解析】

對于選項4若回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個，則選擇③④⑤的同學(xué)人數(shù)不為整數(shù)，故

A正確，

對于選項6,由統(tǒng)計圖可知，選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多，故6正確，

對于選項C,由統(tǒng)計圖可知，選擇“學(xué)校團(tuán)委會宣傳”的人數(shù)最少，故。正確，

對于選項〃由統(tǒng)計圖可知，選擇''公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8%,故〃錯誤，

故選〃

【變式練習(xí)】

為了解運動健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重情況如三維

餅圖（1）所示，經(jīng)過四個月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示.對比健身前后，

關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（）

A.他們健身后，體重在區(qū)間［904g,100偌）內(nèi)的人數(shù)不變

B.他們健身后，體重在區(qū)間［100kg,110例）內(nèi)的人數(shù)減少了4人

C.他們健身后，這20位健身者體重的中位數(shù)位于［90Ag,lOOAg）

D.他們健身后，原來體重在［110kg,120kg］內(nèi)的肥胖者體重都至少減輕了10優(yōu)

【答案】D

【解析】

對A,易得們健身后,體重在區(qū)間［90Ag,100例）內(nèi)的人數(shù)占比均為40%,故A正確.

對B,體重在區(qū)間［100kg,110例）內(nèi)的人數(shù)減少了50%-30%=20%,即20x20%=4人.

故B正確.

對C,因為健身后［80Ag,90Ag）內(nèi)的人數(shù)占3（）%,［90Ag,lOOAg）內(nèi)的人數(shù)占40%,故中位數(shù)位于

［90Ag,lOOAg）.故C正確.

對D,易舉出反例若原體重在［110kg,120kg］內(nèi)的肥胖者重量為110依，減肥后為109必依然滿足.

故D錯誤.

故選：D

問題4：莖葉圖

嘗試與發(fā)現(xiàn)

某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比騫的得分情況如下：

甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；

乙：8,13,13,14,16,23,26,29,33,35,38,39,51.

這兩組數(shù)據(jù)可以用圖5-1-10來表示.

甲II乙

97661133589

I944

u。I

圖5-1-10

你能說出上述圖是怎樣構(gòu)造出來的嗎？由圖中可以得出甲、乙兩名運動員得分

的哪些信息？

知識點4：莖葉圖的中間像植物的莖，兩邊像植物莖上生長的葉子.莖葉.圖中，所有的莖都豎

直排列，而葉沿水平方向排列.

解答：（1）由莖葉圖可以看出：甲得分地最大值是50,最小值是12,中位數(shù)為35；乙得分的

最大值為51,最小值是8,中位數(shù)為26；

（2）甲的得分大多數(shù)集中在［30,40）,而且小于31分和大于39分的次數(shù)相差不多，因此可以

估計出甲的平均數(shù)在區(qū)間［30,40）,類似的可以估計出乙得分的平均數(shù)在［20,30）；

（3）甲得分的數(shù)據(jù)比較集中，乙得分的數(shù)據(jù)比較分散，兩者的數(shù)據(jù)個數(shù)相等，因此可以看出：

甲得分的方差小于乙得分的方差.

例4.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列

說法簿送的是（）

A.甲得分的平均數(shù)比乙大B.甲得分的極差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位數(shù)和乙相等

【答案】B

【解析】

79+88+82+82+93+91

對于甲，%=。85.8；

6

72+74+81+89+96+99―

對于乙，----------------------?85.2,

故A正確；

甲的極差為93-79=14,乙的極差為99-72=27,故3錯誤；

對于甲，方差S；々26.5,

對于乙，方差際。106.5,故C正確；

甲得分的中位數(shù)為坦f送=85,乙得分的中位數(shù)為名答=85,故。正確.

故選：B.

【變式練習(xí)】

高三（2）班在一次數(shù)學(xué)考試中，對甲、乙兩組各12名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，兩組成績的莖

葉圖如圖所示，成績不少于90分為及格，現(xiàn)從兩組成績中按分層抽樣抽取一個容量為6的樣

本，則不及格分?jǐn)?shù)應(yīng)抽個.

甲乙

257789

36886789

2491235

68101

46II0

【答案】3

【解析】

由莖葉圖知，甲、乙兩組共24名同學(xué)中，成績不及格的有12人

分層抽樣的抽取比例為占=：

244

；?不及格的分?jǐn)?shù)應(yīng)抽取,xl2=3

故正確答案為3

問題5：頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖

〔墨整feiMb-------------------------

以下是某學(xué)校全體學(xué)生一次政治考試的成績.

768388897267888590877465867188

908290817876757886797173827690

778183779394847077898384687459

778689788676858369818490857679

808274648984887370849288827386

698468707382848266688275727479

826770817789778976737979728388

697870747476757788928086848571

678065827883886483857991807790

818263877075827491668067609081

768190686888888276919072668285

707082768284838069839061746979

806168886984748262867967799180

778379898976708069717376859087

738666808185886687917181916374

778476868472887580928674727578

9076868886

（1）能否直接用前面提到過的圖來表示上述數(shù)據(jù)？為什么？

（2）怎樣才能直觀地表示出上述數(shù)據(jù)的大致分布情況（比如指出哪個分?jǐn)?shù)段的

分?jǐn)?shù)比較多，哪個分?jǐn)?shù)段的分?jǐn)?shù)比較少）？

因為我們關(guān)心的是數(shù)據(jù)的大致分布情況，因此可以事先確定出幾個區(qū)間，然后統(tǒng)計落在每一個

區(qū)間內(nèi)的數(shù)的個數(shù)，最后將統(tǒng)計的結(jié)果用圖示表示.

（1）找出最值，計算極差

上述成績的最小值是59,最大值是94,因此極差為35.

（2）合理分組，確定區(qū)間

數(shù)據(jù)共有245個，可以分為8T2組，這里取8組，并且按照從55分開始，組距為5確定計數(shù)

區(qū)間，即區(qū)間為[55,60）,[60,65）,…,[85,90）,[90,95]

（3）整理數(shù)據(jù)

逐個檢查原始數(shù)據(jù)，統(tǒng)計每個區(qū)間內(nèi)數(shù)的個數(shù)（稱為區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù)），并求出頻數(shù)與數(shù)據(jù)個

數(shù)的比值（稱為區(qū)間對應(yīng)的頻率），如下表所示（頻率精確到0.01）

分組區(qū)間個數(shù)累計頻數(shù)頻率

[55,60)—10.00

[60,65)正F80.03

[65,70)正正正正正250.10

[70,75)正正正正正正正下380.16

[75,80)正正正正正正正正正一460.19

[80,85)正正正正正正正正正正正下580.24

[85,90)正正正正正正正正正1460.19

[90,95]正正正正下230.09

(4)作出有關(guān)圖示

根據(jù)上述整理后的數(shù)據(jù)，可以作出頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖，分別如圖所示。

頻率

碓

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01yr*分?jǐn)?shù)

5055606570758085909510050556065707580859095100

知識點5：1.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的畫法:

(1)找出最值，計算極差；(2)合理分組，確定區(qū)間；

⑶整理數(shù)據(jù)；(4)作出有關(guān)圖示.

2.頻數(shù)分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻數(shù)成正比；頻率分布直方

圖的縱坐標(biāo)是關(guān)京，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組

數(shù)對應(yīng)的頻率,從而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為上

知識點6：將每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來可以得到頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折

線圖.

注：為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際

意義的.

例5.為了了解學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，甲、乙兩所學(xué)校分別抽取了200名在校生，了解他們完成作

業(yè)所需的時間，并分別作出頻數(shù)分布直方圖如圖所示，其中分組的區(qū)間都為

[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3],記甲學(xué)校所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,乙學(xué)校所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)

為y,判斷x與y的相對大小.

(2)

解:由圖(1)可以看出,xe[2,2.5),由圖(2)可以看出，ye[1.5,2)

因此：x>y

例6.某射擊運動員依次社稷訓(xùn)練的成績可以整理稱如圖所示的統(tǒng)計圖表，試計算這次成績的

平均數(shù)與方差.

解：設(shè)運動員共射擊了n次，則由圖可知，射中7環(huán)與10環(huán)的次數(shù)為0.2n,射中8環(huán)與9環(huán)

的次數(shù)為0.3n,因此平均數(shù)為:

0.2〃x7+0.3〃x8+0.3〃x9+0.2〃xlO

=0.2x7+0.3x8+0.3x9+0.2x10=8.5

n

類似的，可以算出方差為:

0.2x(7-8.5)2+0.3x(8-8.5)2+0.3x(9-8.5)2+0.2x(10-8.5)2=1.05

【變式練習(xí)】

1.微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具，隨機(jī)對使用微信的60人進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，每天使用微信時間在兩小時以上的人被定義為“微信達(dá)人”，不超過兩小時的人

被定義為“非微信達(dá)人”.已知“非微信達(dá)人”與