高中數(shù) 1.2.4.3兩平面垂直的性質(zhì)同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-版高中數(shù)學(xué)1.2.4.3兩平面垂直的性質(zhì)同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．對于直線m、n和平面α、β、γ，有如下四個(gè)命題：①若m∥α，n⊥m，則n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，則n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；④若m⊥α，m?β，則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．解析對于①，不能斷定n與α內(nèi)兩相交直線都垂直，故①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)nα?xí)r亦適合條件n⊥m，故②錯(cuò)誤；對于③，如教室相鄰墻面都與天花板面垂直，但它們并不平行，故③錯(cuò)誤；④是面面垂直的判定定理，正確．綜上，只有④正確．答案12．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的序號是________．解析①中若兩直線平行，則結(jié)論錯(cuò)誤；②正確；在空間中③錯(cuò)誤；④正確．答案②④3．已知平面α、β、γ，直線l、m，且l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，給出下列四個(gè)結(jié)論：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④β⊥α，則其中正確的個(gè)數(shù)是________．解析根據(jù)線面、面面垂直的判定與性質(zhì)知②、④正確．答案24．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的序號是________．①平面ABD⊥平面ABC②平面ADC⊥平面BDC③平面ABC⊥平面BDC④平面ADC⊥平面ABC解析由平面圖形易知∠BDC＝90°，∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.答案④5．在平面幾何中，有真命題：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．某同學(xué)將此結(jié)論類比到立體幾何中，得一結(jié)論：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論________．(填“正確”或“錯(cuò)誤”)解析如圖，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A-C1D1-C為45°，二面角A-BC-C1答案錯(cuò)誤6．在四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝eq\r(2)，AB＝AC.證明：AD⊥CE. 證明：如圖所示，作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由于AO⊥BC且平面ABC⊥平面BCDE，所以AO⊥底面BCDE，且O為BC中點(diǎn)，由eq\f(OC,CD)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(1,\r(2))知，Rt△OCD∽Rt△CDE，從而∠ODC＝∠CED，于是CE⊥OD.又∵CE⊥AO，AO∩OD＝O，∴CE⊥平面AOD.∵AD?平面AOD，∴AD⊥CE.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是________．①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β解析如圖所示．AB∥l∥m，故①成立；AC⊥l，m∥l?AC⊥m，故②成立；AB∥l?AB∥β，故③成立．故選④.答案④8．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若m∥α，m⊥β，則α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，則β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β.上面命題中，真命題的序號是________．解析逐一將假命題排除可得正確答案．①錯(cuò)，當(dāng)m?α?xí)r，則m⊥α為假命題；②對，當(dāng)m∥α，m⊥β，則有m∥n，n?α且n⊥β，所以α⊥β；③錯(cuò)，由α⊥β，α⊥γ，β與γ垂直沒有傳遞性，則β⊥γ為假命題；④錯(cuò)，由α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n得α∥β或者α與β相交；所以真命題的序號是②.答案②9．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________．解析過點(diǎn)K作KM⊥AF于M點(diǎn)，連接DM，易得DM⊥AF，與折前的圖形對比，可知由折前的圖形中D、M、K三點(diǎn)共線，且DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA，∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(AD,DF)，∴eq\f(t,1)＝eq\f(1,DF)，∴t＝eq\f(1,DF).∵DF∈(1,2)，∴t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))10．下列命題中正確的序號為________．①直線a、b、c互相平行且都與直線l相交，則a、b、c在同一平面內(nèi)；②平面α⊥β，γ⊥β，α∩γ＝a，則a⊥β；③平面α⊥β，γ⊥β，α∩β＝a，γ∩β＝b，且a∥b，則α∥γ；解析對于①，如圖，∵a∥b，故a、b可以確定一個(gè)平面α.設(shè)l與a、b、c分別交于A、B、C，則A∈α，B∈α，∴l(xiāng)?α∵a∥c，故a、c可以確定一個(gè)平面β，∴A∈β，C∈β，即l?β.于是α∩β＝a，α∩β＝l，即平面α與β有兩條相交的公共直線a、l，故α與β是同一個(gè)平面，所以a、b、c在同一平面內(nèi)．由此可知命題①正確．對于命題②，如圖所示，設(shè)α、γ分別與β相交于m、n.在α內(nèi)作b⊥m，在β內(nèi)作c⊥n.∵α⊥β，γ⊥β，∴b⊥β，c⊥β，于是b∥c.又b?γ，∴b∥γ，而b?α，α∩γ＝a，∴b∥a，但b⊥β，故a⊥β.由此可知命題②正確．對于命題③，如圖所示，分別在平面α、γ內(nèi)作直線a′⊥a，b′⊥b.∵α⊥β，γ⊥β，∴a′⊥β，b′⊥β，∴a′∥b′，從而a′∥γ，又a∥b，∴α∥γ，而a′和a是α內(nèi)的兩條相交直線，故α∥γ，由此可知命題③正確．答案①②③11．如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.解(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如圖所示，連接FG.因?yàn)镋F∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1所以四邊形CEFG是菱形．所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC.又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.12．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝eq\r(2)AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上，且DE⊥AE.(1)證明：平面ADE⊥平面ACC1A1(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．解(1)由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C∵DE?平面A1B1C1，∴DE⊥AA1而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，∴DE⊥平面ACC1A1∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC1A1(2)如圖所示，設(shè)F是AB的中點(diǎn)，連接DF、DC1、C1F由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)及點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)知，A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF∵C1D∩DF＝D，∴A1B1⊥平面C1DF.而AB∥A1B1，∴AB⊥平面C1DF.∵AB?平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面C1DF.過點(diǎn)D作DH⊥C1F于點(diǎn)H則DH⊥平面ABC1.連接AH，則∠HAD是直線AD和平面ABC1所成的角．由已知AB＝eq\r(2)AA1，不妨設(shè)AA1＝eq\r(2)，則AB＝2，DF＝eq\r(2)，DC1＝eq\r(3)，C1F＝eq\r(5)，AD＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1D2)＝eq\r(3)，DH＝eq\f(DF·DC1,C1F)＝eq\f(\r(2)×\r(3),\r(5))＝eq\f(\r(30),5).∴sin∠HAD＝eq\f(DH,AD)＝eq\f(\r(10),5)，即直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為eq\f(\r(10),5).13．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.證明(1)因?yàn)锳D∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC，又平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN，所以MN∥BC.因?yàn)镹為PB的中點(diǎn)，所以M為PC的中點(diǎn)，所以MN∥BC，且MN＝eq\f(1,2)BC.又E為AD的中點(diǎn)，所以四邊形DENM為平行四