專題05 【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-山西中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）

專題05幾何壓軸題1．（2022?山西）綜合與實踐問題情境：在中，，，．直角三角板中，將三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，并將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點，．猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點為邊的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，直接寫出線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是矩形，理由如下：點是的中點，點是的中點，，，，，，四邊形是矩形；（2）如圖2，過點作于，，，，，點是的中點，，，，，，，又，，，，；（3）如圖③，連接，，過點作于，，，，，點，點，點，點四點共圓，，，，，，，，，，，，，，．解法二：如圖，延長到，使得，連接，．設(shè)．證明，，，由，可得，解得．解法三：也可以通過向和分別作垂線和，通過相似來算．2．（2021?山西）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】見解析【詳解】（1）結(jié)論：．理由：如圖①中，作交于．四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論：．理由：如圖②中，連接．是由翻折得到，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，．（3）如圖③中，過點作于，過點作于．，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，．3．（2020?山西）綜合與實踐問題情境：如圖①，點為正方形內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點的對應(yīng)點為點．延長交于點，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若，請猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若，，請直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是正方形，理由如下：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，，，，又，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形；（2）；理由如下：如圖②，過點作于，，，，，四邊形是正方形，，，，，又，，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，，四邊形是正方形，，，；（3）如圖①，過點作于，四邊形是正方形，，，，，，，，由（2）可知：，，，．4．（2019?山西）綜合與實踐動手操作：第一步：如圖1，正方形紙片沿對角線所在的直線折疊，展開鋪平．在沿過點的直線折疊，使點，點都落在對角線上．此時，點與點重合，記為點，且點，點，點三點在同一條直線上，折痕分別為，．如圖2．第二步：再沿所在的直線折疊，與重合，得到圖3．第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點與點重合，如圖4，展開鋪平，連接，，，．如圖5，圖中的虛線為折痕．問題解決：（1）在圖5中，的度數(shù)是，的值是．（2）在圖5中，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形（正方形除外），并寫出這個菱形：．【答案】見解析【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)得：，，，，四邊形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，；故答案為：，；（2）四邊形是矩形；理由如下：四邊形是正方形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，由折疊可知：、分別垂直平分、，，，，，，，，，，，四邊形是矩形；（3）連接、，如圖所示：由折疊可知：、分別垂直平分、，同時、也分別垂直平分、，四邊形與四邊形是菱形，故答案為：菱形或菱形．5．（2018?山西）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形中，，是延長線上一點，且，連接，交于點，以為一邊在的左下方作正方形，連接．試判斷線段與的位置關(guān)系．探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，垂直平分，并展示了如下的證明方法：證明：，．，．四邊形是矩形，．．（依據(jù)，．．即是的邊上的中線，又，．（依據(jù)垂直平分．反思交流：（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點是否在線段的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接，以為一邊在的左下方作正方形，發(fā)現(xiàn)點在線段的垂直平分線上，請你給出證明；探索發(fā)現(xiàn)：（3）如圖3，連接，以為一邊在的右上方作正方形，可以發(fā)現(xiàn)點，點都在線段的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形和正方形的頂點與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．【答案】見解析【詳解】（1）①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例（或平行線分線段成比例）．依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）．②答：點在線段的垂直平分線上．理由：由問題情景知，，四邊形是正方形，，點在線段的垂直平分線上．（2）證明：過點作于點，四邊形是矩形，點在的延長線上，，．四邊形為正方形，，，．．．，四邊形是矩形，．，，，．垂直平分．點在的垂直平分線上．（3）答：點在邊的垂直平分線上（或點在邊的垂直平分線上）．證法一：過點作于點，過點作于點．．四邊形是矩形，點在的延長線上，，四邊形為矩形．，．．四邊形為正方形，，．．．，．．．四邊形是矩形，．，．．．垂直平分．點在邊的垂直平分線上．6．（2022?山西模擬）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題．如圖1，在正方形中，，分別以，為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形與等邊三角形，線段與交于點，線段與交于點．猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．數(shù)學(xué)思考：（1）請解答老師出示的問題．深入探究：（2）試判斷四邊形的形狀，并加以證明．問題拓展：（3）將從圖1的位置開始沿射線的方向平移得到△，連接，．當四邊形是矩形時，得到圖2．請直接寫出平移的距離．【答案】見解析【詳解】（1），證明：四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，；（2）四邊形是菱形，證明：由（1）知，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，是菱形；（3）如圖，過點作于，交于，，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，，，由平移知，，四邊形是矩形，，，在中，，，即平移的距離為．7．（2022?山西模擬）綜合與實踐問題情境：四邊形是正方形，對角線，相交于點，是正方形內(nèi)一點，．將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點，的對應(yīng)點分別為點，，直線經(jīng)過點．特例分析：（1）如圖1，當點與點重合時，判斷四邊形的形狀，請說明理由，并直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．深入探究：（2）如圖2，當點與點不重合時，試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類比遷移：（3）如圖3，將正方形改為菱形，對角線，相交于點，是菱形內(nèi)一點，．將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應(yīng)點分別為點，．請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是正方形，理由如下，四邊形是正方形，，，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，，，，四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，即四邊形是正方形，；（2），理由如下：如圖2，延長至，使，連接，，，，，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，，，，，，，，，，，即：；（3），理由如下，如圖3，過點作，交的延長線于點，連接，并延長交的延長線于點，于點，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，都是等邊三角形，，，，，，又，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，又，，，，．也可以通過證明點，點，點，點四點共圓，可求的度數(shù)，其他一樣．8．（2022?山西模擬）綜合與實踐問題情境數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：如圖1，四邊形和四邊形均為正方形，且點在邊上，點在邊上．請判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．初步探究（1）請你回答老師提出的問題：與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；數(shù)學(xué)思考（2）“興趣小組”在老師所提問題的基礎(chǔ)上，又進行了深入探究：如圖2，他們將正方形以點為中心，按逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，使得點落在邊上，他們認為（1）中得到的結(jié)論仍然成立．請你思考：他們的認識是否正確？請說明理由；拓展深入（3）“智慧小組”在圖2的基礎(chǔ)上，過點作于點，如圖3，若，，請直接寫出線段的長度．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，四邊形和四邊形均為正方形，，，，，，，點在邊上，點在邊上，，故答案為：，．（2）正確，理由如下：如圖2，延長、交于點，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，（3）如圖3，作于點，，，，，，，，，，，，，，，線段的長度為．9．（2022?山西一模）綜合與實踐（1）如圖1，為的角平分線，，點在上，，求證：平分；（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，為上一點，連結(jié)交于點．若，，，求的長；（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點在上，，．若，，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，即平分；（2）解：，，，，，，．，；（3）解：如圖3，在上取一點，使得，連結(jié)．平分，，，，，．，．，，．，，．，又，，，，．10．（2022?臨汾二模）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，連結(jié)，，則；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且．試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【詳解】（1），，是等邊三角形，，點關(guān)于直線的對稱點為點，，；故答案為：；（2）①補全圖形如下：②，證明如下：，，是等邊三角形，，，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，即，在和中，，，；（3），證明如下：連接，如圖：，，，，，，，，，即，，，在和中，，，，，而，，即．11．（2022?榆次區(qū)一模）綜合與實踐問題情景：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將（其中，繞正方形的頂點旋轉(zhuǎn)，連接，，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，如圖2，連接，，分別取，，的中點，，，連接，，請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，在（2）的條件下，如圖3，將旋轉(zhuǎn)至，交于點，若，，則線段的長為4．【答案】見解析【詳解】（1），，證明：如圖1，延長交于點，交于點，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，．（2），證明：如圖2，、、分別是、、的中點，，，由（1）得，，．（3）如圖3，延長交于點，交于點，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，線段的長為4，故答案為：4．12．（2022?交城縣模擬）綜合與實踐．問題情境和如圖1放置，點與點重合，，，，分別與，交于點，點，點是的中點．數(shù)學(xué)思考（1）連接，求證：點是的中點；并計算的面積；操作探究（2）如圖2，先將沿的方向平移，使點與點重合，再沿的方向平移到點為的中點時停止；過點作交于點，連接，，．試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，仍然存在，延長交于點，交于點，如圖3．請直接寫出三角形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）過點作于點，過點作于點．，，，，，，，，，，，點為的中點，，，，，，點是的中點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）四邊形為菱形證明：連接，點為的中點，點為的中點，，，，，，，，，在與中，，，，是的中點，，，，四邊形是菱形；（3）如圖，以為原點，所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，連接，過點作于，過作于，過作于，過作軸于，設(shè)與交于，，，，，，是的中點，是的中點，，是的中位線，，，，在圖2的基礎(chǔ)上繞點順時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，為的中點，，，，，，，，是的中點，，，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)點點坐標可得，解得，直線的解析式為，當時，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)坐標可得，，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，，，，，三角形的面積為．13．（2022?晉中一模）綜合與實踐問題情境在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．操作發(fā)現(xiàn)某數(shù)學(xué)小組對圖1的矩形紙片進行如下折疊操作：第一步：如圖2，把矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，然后把紙片展開；第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片沿過點的直線折疊，使得點落在上的點處，折痕與交于點，然后展開紙片，連接，，．問題解決（1）請在圖2中利用尺規(guī)作圖，作出折痕；（保留作圖痕跡）（2）請你判斷圖3中的形狀，并說明理由；（3）如圖4，折痕與交于點，的延長線交直線于點，若，，請你直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】如圖2，為所求．（2）是等邊三角形．理由如下：由折疊的性質(zhì)可得，，，是的垂直平分線，，，是等邊三角形；（3）如圖4，是等邊三角形，，，在中，，，，在中，，，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，，解得，．14．（2022?云岡區(qū)一模）綜合與探究問題情境：數(shù)學(xué)實踐課上，老師要求同學(xué)們先制作一個透明的菱形塑料板，然后在紙上畫一個與透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面記作菱形，它們的銳角頂點重合，且，連接，．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．當邊在邊所在的射線上，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2．將菱形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，連接和．你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；探究拓廣：（3）如圖3，在（2）的條件下，當時，探究并說明線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】見解析【詳解】（1）菱形菱形，，四邊形是菱形，四邊形是菱形，，，在和中，，，；（2）仍然成立，理由如下：由（1）得：，，，，即，在和中，，，；（3）如圖，數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：，理由如下：延長，，交于點，由（2）得：，，，四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，，即．15．（2022?山西模擬）綜合與實踐問題情境：有兩塊全等的矩形紙片和，其中，，，現(xiàn)將它們按如圖1所示的方式放置，頂點與頂點重合，點，分別落在，上，與相交于點，連接，．特例感知：（1）①判斷圖1中四邊形的形狀，并說明理由；②直接寫出與的位置關(guān)系；深入探究：（2）如圖2，將矩形繞點逆時針旋，則（1）②中與的位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立．請說明理由；解決問題：（3）如圖3，若矩形的面積為30，當點是的中點時，，請直接寫出此時的長．【答案】見解析【詳解】（1）①如圖1中，四邊形是正方形．理由：四邊形，四邊形都是矩形，，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形；②結(jié)論：．理由：延長交于點．四邊形是正方形，，，，，，，，，；（2）結(jié)論仍然成立．理由：如圖2中，延長交于點．在和中，，，，，，，，，，，，即．（3）如圖3中，延長交于點，過點作于，，，，，，，，，，，，，，．16．（2022?鹽湖區(qū)模擬）如圖，和是等邊三角形，連接，，，．（1）如圖1，若，若，，求的長度；（2）如圖2，點在內(nèi)，點是的中點，連接、、，若且．求證：；（3）如圖3，的邊且過點，，是直線上一動點，連接，將沿翻折得到，當最大時，過作的垂線，是垂線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：和是等邊三角形，，，，，，即：，在和中，，，，，，，，；（2）證明：如圖，延長至，是，是的中點，，在和中，，，，，，，同理（1）可得：，，，在和中，，，；（3）如圖2，作于，作于，和是等邊三角形，，，，點、、、共圓，，，，在中，，，由（1）知：，，，點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，延長交于，當點運動到時，最大，在中，，，，在中，，，，如圖3，連接，以為邊在的作等邊三角形，，，是等邊三角形，同理（1）得：，，點在與過點，與垂直的直線運動，作于，當運動到時，最小，在中，，，的最小值是：．17．（2022?呂梁模擬）綜合與實踐問題情境：如圖1，在矩形中，，，點，分別在邊，上，，，點為矩形的對稱中心，連接，，易知四邊形為矩形．矩形保持不動，矩形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．實踐探究：（1）如圖2，當點恰好在上，延長，交于點，則；（2）如圖3，當?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點時，，分別與交于點，．則：①；②；（3）如圖4，若點在的延長線上，連接，．①此時；②探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；③此時點，，是否在同一條直線上？請說明理由；④求證：平分．【答案】見解析【詳解】（1），，，，又，，，，，故答案為：；（2）①，，，，，，，，，故答案為：；②，，，，，，，故答案為：；（3）①，，，故答案為：60；②，理由如下：，，又，，，；③點，，在同一條直線上，理由如下：，，，點，點，點三點共線，④，，，，，平分．18．（2022?山西二模）綜合與實踐問題情境如圖1，在正方形中，點是對角線上一點，且，將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形（點，，，分別是點，，，的對應(yīng)點）．探究發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當邊與在同一條直線上，與在同一條直線上時，點與分別落在正方形的邊與上．求證：四邊形是矩形．（2）如圖3，當邊經(jīng)過點時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．問題拓展（3）如圖4，在正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，直線與交于點，連接．當點在邊的左側(cè)時，請直接寫出的度數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，四邊形是正方形，，四邊形是矩形；（2）如圖1，線段與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：連接，，作于，作于，可得△為等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，，，，△，，，；（3）如圖2，連接，，，，，△，，，，，，，，點、、、共圓，．19．（2022?陽高縣校級一模）如圖1，在中，，，點為邊的中點，直線經(jīng)過點，過作，垂足為，過作，垂足為，連接、．（1）當點、在直線的異側(cè)時，延長交于點，猜想線段和的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，直線繞點旋轉(zhuǎn)，當點在直線的同側(cè)時，延長交于點，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）直線繞點旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當線段的長度最大時，請判斷四邊形的形狀為，并求出它的面積為．【答案】見解析【詳解】（1），理由如下：，，，，，點為邊的中點，，，，，，，故答案為：；（2）（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：延長交的延長線于，如圖2所示：同（1）得：，，，，；（3）連接，如圖3所示：，點為邊的中點，，，，設(shè)線段的中點為，，，點、都在以線段為直徑的圓上，當時，取得最大值，此時四邊形是正方形，則四邊形是矩形，，四邊形的面積正方形的面積．故答案為：矩形，4．20．（2022?平定縣模擬）綜合與實踐：問題情境：（1）如圖1，點是正方形邊上的一點，連接、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點和點．①線段和的數(shù)量關(guān)系是；②寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；操作探究：（2）在菱形中，，點是菱形邊所在直線上的一點，連接、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點和點．①如圖2，點在線段上時，請?zhí)骄烤€段、和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明．②如圖3，點在線段的延長線上時，交射線于點，若，直接寫出線段和的長度．【答案】見解析【詳解】（1）①繞點順時針旋轉(zhuǎn)，如圖（1）由旋轉(zhuǎn)可知，，四邊形是正方形，，，，，，，；故答案為：②，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，即；（2）①，理由如下：在菱形中，，由旋轉(zhuǎn)得，，在中，，，，，，，過點作于點，如圖（2），，在中，，．設(shè)，則，，，，，②過點作，，如圖（3），由①中同理可得：，．21．（2022?太原二模）綜合與實踐問題情境在中，，，點是直線上一動點．連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．操作證明（1）如圖1，當點與點重合時，連接，判斷四邊形的形狀，并證明；（2）如圖2，當點與點重合時，連接，判斷四邊形的形狀，并證明；探究猜想（3）當點不與點，點重合時．①試猜想與的位置關(guān)系，并利用圖3證明你的猜想；②直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是正方形，證明：將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與重合，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是正方形；（2）四邊形是平行四邊形，證明：將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與重合，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（3）①．證明：過點作交于點，連接，則，，，，，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在和中，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，；②設(shè)的中點為，如圖3，當點在射線上時，，由①可知，，又，，為等腰直角三角形，，；當點在射線上時，．如圖4，過點作交于點，連接，則，同理可得，，四邊形是矩形，，．，和之間的數(shù)量關(guān)系為或．22．（2022?運城一模）綜合與實踐如圖1，在矩形中，對角線與交于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點對應(yīng)點為點，點對應(yīng)點為點．（1）當點落在的延長線上時，請解答以下兩個問題：①如圖1，若，，連接，則（用含的代數(shù)式表示）；②如圖2，延長交于點，試猜想與的位置關(guān)系并加以證明；（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)繞點旋轉(zhuǎn)，點對應(yīng)點為點，點對應(yīng)點為點．當點落在的延長線上時，已知，求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【詳解】（1）解：①如圖，過點作于點，四邊形為矩形，，，點是矩形對角線的交點，為的中點，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，在中，，故答案為：；②，證明：由旋轉(zhuǎn)可知，即，，，，，，即；（2）證明：四邊形是矩形，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，，，，，即，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形．23．（2022?山西模擬）綜合與實踐在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．問題情境：如圖，在中，，，點在邊上運動，點在邊上運動．探究發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當沿折疊，點落在邊的點處，且時，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形．請證明；探究拓廣：（2）如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿折疊，點落在點處，延長交于點，，點在邊上運動，沿折疊使點落在線段的中點處，求線段的長；探究應(yīng)用：（3）沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在邊的三等分點處，請借助圖1探究，并直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，，四邊形是菱形．（2）解：如圖3中，，，，，，，，，，由（1）可知四邊形，四邊形是全等的菱形，設(shè)，，，，，，，，，；（3）解：如圖中，當時，設(shè)，在中，，，，．如圖中，當時，設(shè)，則有，，．綜上所述，滿足條件的的值為或．24．（2022?平遙縣一模）綜合與實踐問題情境：在中，，點為斜邊上的動點（不與點，重合）．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，當時，把線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．①的度數(shù)為；②探究發(fā)現(xiàn)和有什么數(shù)量關(guān)系，請寫出你的探究過程；探究證明：（2）如圖2，當時，把線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后并延長為原來的兩倍，記為線段．①在點的運動過程中，請判斷與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；②若，在點的運動過程中，當?shù)男螤顬榈妊切螘r，直接寫出此時的面積．【答案】見解析【詳解】（1）①線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，故答案為：；②，理由如下：由①知，；（2）①，理由如下：，，，，，，，，；②過作于，于，如圖：，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，（Ⅰ）當時，如圖：，的面積為；（Ⅱ）當時，如圖：此時，，的面積為（Ⅲ）當時，如圖：設(shè)，則，在中，，解得，，的面積為，綜上所述，的面積為或或8．25．（2022?山西模擬）綜合與實踐：無蓋正三棱柱任務(wù)一：如圖1，一塊邊長為的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒（紙盒厚度忽略不計）．（1）請在圖1的正三角形紙板中，畫出示意圖，其中視線表示剪切線，虛線表示折痕；（2）當所做的無蓋盒子的側(cè)面積最大時，其底面積為多少？任務(wù)二：如圖2是邊長為6的正方形，以正方形的邊為邊，在正方形內(nèi)作正三角形，連接，．（3）證明，并計算的長；（4）如圖3，底面邊長為6，高為1的無蓋三棱柱盒子的平面圖正好在矩形中，直接寫出矩形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖所示：（2）設(shè)，則，，，由題意知，無蓋盒子的側(cè)面積為，當時，紙盒側(cè)面積最大，此時，底面積為；（3）四邊形是正方形，是等邊三角形，，，，，，，作于，，，，，，在中，由勾股定理得，；（4）如圖，作于，交于，在中，，，，，在中，，，，，，，矩形的面積為．26．（2022?迎澤區(qū)校級模擬）綜合與實踐：如圖，在正方形中，點是邊上的一個動點（點與點，不重合），連接，過點作于點，交于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當點運動到中點時，連接，求證：；（3）如圖3，若，連接，當點在邊上運動的過程中．是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值，及此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，（2）證明：如圖2，延長，交于點，點是的中點，，四邊形是正方形，，，，，，，，又，，，，，，，，在和中，，，，又，，．（3）解：存在最小值．如圖3，以為直徑作，連接，，，，點在以為直徑的上，在中，，當點在上時，有最小值，此時：如圖4，，點是中點，，，，，，，，，，由（2）可得，．27．（2022?運城二模）如圖，將矩形對折，使與重合，得到折痕，展開后再一次折疊，使點落在上的點處，并使得折痕經(jīng)過點，得到折痕，連接，如圖1問題解決：（1）試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，與相交于點，點是的中點，連接并延長交于點，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）等邊三角形．理由：由折疊可知：垂直平分，，，，為等邊三角形．（2）取的中點，連接，則，由折疊可知：，是△的中位線，，，為的中點，，，．28．（2022?侯馬市模擬）綜合與實踐問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，連接，，過點作于點，且．（1）求證：．操作探究：如圖2，將沿直線方向向右平移一定距離，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，且點與點重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求出平移的距離．（3）若將繼續(xù)沿直線方向向右平移，當點恰好落在邊上時，請在圖1中畫出平移后的圖形，并求出繼續(xù)平移的距離．拓展創(chuàng)新：如圖3，在（2）的條件下，將△繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記直線分別與邊，交于點，．（4）當時，請直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，．在和中，，．．（2）解：①四邊形是菱形．理由：將沿直線方向向右平移一定距離，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，，，四邊形是平行四邊形．由（1）得．四邊形是菱形．②，，．，在中，．，解得．平移的距離為．（3）解：所作圖形如圖所示．由平移的性質(zhì)，得，，．，．由（1），得，，．，．由（2），得，．．繼續(xù)平移的距離為．（4），，．．．．．．，．．將△繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，，．設(shè)，則．在△中，根據(jù)勾股定理，．解得．．29．（2