四川省綿陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)4月線上學(xué)習(xí)評(píng)估試題理含解析

PAGE25-四川省綿陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)4月線上學(xué)習(xí)評(píng)估試題理（含解析）考試時(shí)間：2024年4月5日15:00—17:00留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B,再求得解.【詳解】由題得或，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.2.若則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)肯定值不等式的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可．【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要條件．故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，解不等式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．3.已知復(fù)數(shù)滿意（是虛數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴復(fù)數(shù)點(diǎn)為，位于其次象限．選B．4.從編號(hào)0，1，2，…，79的80件產(chǎn)品中，采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為（）A.72 B.74 C.76 D.78【答案】B【解析】【分析】依據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可得到結(jié)論．【詳解】樣本間隔為，設(shè)第一個(gè)號(hào)碼為，編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則，則第一個(gè)號(hào)碼為2，則最大的編號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，求解樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵．5.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的離心率為2，得到，進(jìn)而得到，即可求得雙曲線的漸近線的方程，得到答案.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)殡p曲線的離心率為2，即，即，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的離心率，以及雙曲線的漸近線方程的求解，其中解答中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.在（其中）的綻開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)相同，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】求得二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，依據(jù)的系數(shù)與的系數(shù)相同，得到關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，因?yàn)榈南禂?shù)與的系數(shù)相同，即且，即，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中嫻熟應(yīng)用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)：，代入即可求解.【詳解】由題意，依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式，可得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中嫻熟應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)為“齊次式”是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.8.圓被直線截得的劣弧所對(duì)的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖象，由圓心到直線的距離為，求得，即可得到答案.【詳解】由題意，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則，如圖所示，由圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心O到直線的距離為，在直角中，，所以，所以，即截得的劣弧所對(duì)的圓心角的大小為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中嫻熟應(yīng)用圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力.9.某木材加工廠須要加工一批球形滾珠.已知一塊硬質(zhì)木料的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為的正方形，現(xiàn)將該木料進(jìn)行切削、打磨，加工成球形滾珠，則能得到的最大滾珠的半徑最接近（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為側(cè)視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為側(cè)視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，則，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖，考查幾何體的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．10.2024年3月，國(guó)內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效限制，人們起先走出家門(mén)享受春光.某旅游景點(diǎn)為吸引游客，推出團(tuán)體購(gòu)票實(shí)惠方案如下表：購(gòu)票人數(shù)1~5051~100100以上門(mén)票價(jià)格13元/人11元/人9元/人兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)安排巡游該景點(diǎn).若分別購(gòu)票，則共需支付門(mén)票費(fèi)1290元；若合并成個(gè)團(tuán)隊(duì)購(gòu)票，則需支付門(mén)票費(fèi)990元，那么這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】【分析】依據(jù)990不能被13整除，得到兩個(gè)部門(mén)的人數(shù)之和為，然后結(jié)合門(mén)票價(jià)格和人數(shù)之間的關(guān)系，建立方程組，即可求解.【詳解】由題意，990不能被13整除，所以兩個(gè)部門(mén)的人數(shù)之和為，（1）若，則，可得，……(1)由共需支付門(mén)票為1290元，可知,………(2)聯(lián)立方程組，可得（舍去）；（2）若，則，可得，……(3)由共需支付門(mén)票為1290元，可知，可得，…(4)聯(lián)立方程組可得，所以兩個(gè)部門(mén)的人數(shù)之差為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中仔細(xì)審題，結(jié)合門(mén)票價(jià)格和人數(shù)之間的關(guān)系，建立方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力.11.如圖，中，，且，是的外接圓直徑，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】作協(xié)助線如圖所示，求出，再求出，最終利用數(shù)量積公式求解.【詳解】作協(xié)助線如圖所示，.因?yàn)?，所?,所以.由垂徑定理得,所以.在Rt△ADE中，由中位線定理得...故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.12.已知集合，若對(duì)于隨意，存在，使得成立，則稱集合是“集合”.給出下列5個(gè)集合：①；②；③；④；⑤.其中是“集合”的全部序號(hào)是（）A.②③ B.①④⑤ C.③⑤ D.①②④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合是“集合”，即滿意曲線上過(guò)隨意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線垂直，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，集合是“集合”，即滿意曲線上過(guò)隨意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線垂直，對(duì)于①中，，假設(shè)集合是“集合”，則存在兩點(diǎn)，滿意，即，方程無(wú)解，所以假設(shè)不成立，所以集合不是“集合”；對(duì)于②中，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示，結(jié)合圖象，可得對(duì)于時(shí)不存在，此時(shí)不存在一點(diǎn)，使得成立，所以集合不是是“集合”；對(duì)于③中，集合的圖象表示一個(gè)在軸上方的半圓，如圖所示，依據(jù)圓的性質(zhì)，可得對(duì)隨意一點(diǎn)，總是存在一點(diǎn)，使得成立，所以集合是“集合”；對(duì)于④中，函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，若，則不成立，所以集合不是“集合”；對(duì)于⑤中，函數(shù)，設(shè)，則直線的方程為，則過(guò)原點(diǎn)且與垂直的直線方程為，直線與函數(shù)的圖象必有交點(diǎn)，所以集合是“集合”.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合是“集合”的新定義及應(yīng)用，其中解答中理解對(duì)于隨意，存在，使得成立，以及嫻熟應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)和圖象是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)則_____.【答案】2【解析】【分析】干脆利用分段函數(shù)的解析式一步一步的求值.【詳解】由題得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，，且，則當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)，取得最小值______.【答案】(1).2(2).8【解析】【分析】由，可得，得到，再利用換元法和基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，，，且，可得，則，所以，令，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以取得最小值為8.故答案為：28【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中合理利用換元法構(gòu)造基本不等式的運(yùn)用條件，結(jié)合基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.15.為精確把握市場(chǎng)規(guī)律，某公司對(duì)其所屬商品售價(jià)進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查和模型分析，發(fā)覺(jué)該商品一年內(nèi)每件的售價(jià)按月近似呈的模型波動(dòng)（為月份），已知3月份每件售價(jià)達(dá)到最高90元，直到7月份每件售價(jià)變?yōu)樽畹?0元.則依據(jù)模型可知在10月份每件售價(jià)約為_(kāi)____.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】84【解析】【分析】依據(jù)題意，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為90；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值50，再利用正弦函數(shù)的最值，聯(lián)列方程組，解之可得，．依據(jù)函數(shù)的周期，結(jié)合題意得到，最終用函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值，可得，從而可以確定的解析式，再求10月份每件售價(jià).【詳解】月份達(dá)到最高價(jià)90元，7月份價(jià)格最低為50元，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為90；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值50，，可得，又函數(shù)的周期，由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，即，得，的解析式為：．所以故答案為：84【點(diǎn)睛】本題依據(jù)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的探討，著重考查了由的部分圖象確定其解析式的學(xué)問(wèn)點(diǎn)，考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)力，屬于中檔題．16.在棱長(zhǎng)為1正方體中，點(diǎn)分別為線段、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先求出，再利用求出點(diǎn)A到平面EFC的距離得解.【詳解】由題得所以,所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則,所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列滿意，，且是等差數(shù)列.（1）求；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出，即得；（2）利用錯(cuò)位相減法求.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得，，即（2），，兩式相減可得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查了錯(cuò)位相減法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.18.3月底，我國(guó)新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外確診病例卻持續(xù)暴增，防疫物資供不應(yīng)求，某醫(yī)療器械廠開(kāi)足馬力，日夜生產(chǎn)防疫所需物品.已知該廠有兩條不同生產(chǎn)線和生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬(wàn)件，為保證質(zhì)量，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件，進(jìn)行品質(zhì)鑒定，鑒定成果的莖葉圖如下所示：該產(chǎn)品的質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成果達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；鑒定成果達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為良好；鑒定成果達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.（1）從等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中隨機(jī)抽取兩件，記為來(lái)自機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，寫(xiě)出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望；（2）請(qǐng)完成下面質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)線產(chǎn)品列聯(lián)表，并推斷能不能在誤差不超過(guò)0.05的狀況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上與生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)線有關(guān).生產(chǎn)線的產(chǎn)品生產(chǎn)線的產(chǎn)品合計(jì)良好以上合格合計(jì)附：0100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析；不能【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，求得隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，求得相應(yīng)的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解；（2）由已知可得，得出列聯(lián)表，利用公式求得的值，結(jié)合附表，即可求解.【詳解】（1）從圖可知，樣本中優(yōu)秀的產(chǎn)品有2件來(lái)自生產(chǎn)線，3件來(lái)自生產(chǎn)線；所以的可能取值為0，1，2.，，.即的分布列為：0120.10.60.3.（2）由已知可得，列聯(lián)表為生產(chǎn)線的產(chǎn)品生產(chǎn)線的產(chǎn)品合計(jì)良好以上61218合格14822合計(jì)202040，所以不能在誤差不超過(guò)0.05的狀況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上與生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)線有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，其中解答中仔細(xì)審題，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，以及計(jì)算實(shí)力.19.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是邊的中點(diǎn).平面平面，，.線段上的點(diǎn)滿意.（1）證明：面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，依據(jù)相像三角形和比例關(guān)系，證得，再利用線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)槭橇庑?，且是的中點(diǎn)，所以，且，又由已知，于是，所以，又平面，平面，所以平面.（2）作的中點(diǎn)，連接，則，知在平面內(nèi).又由題知，，于是，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故，，在菱形中，，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以為正三角形，，于是，，，，所以?由，且，可得，故，由，知平面，所以是平面的一個(gè)法向量，則，故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.已知橢圓的離心率為，動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，是中點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）若摸索究是否存在常數(shù)，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的方程，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立方程，求得的坐標(biāo)，結(jié)合面積公式，即可求解；（2）設(shè)，，聯(lián)立求得，，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)，得到常數(shù)時(shí)，得出定值，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立消去，整理得，解得，，可得，，所以的面積為.（2）設(shè)，，則，，聯(lián)立得，其判別式，所以，，從而，所以當(dāng)時(shí)，，即為定值，故存在常數(shù)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是困難式子的變形實(shí)力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)力等.21.已知函數(shù).（1）試探討的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在；【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合基本不等式，分類探討，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，令，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“等號(hào)”，所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，解得，，由，而，故.由可得或，即此時(shí)在，上單調(diào)遞增；由可得，即此時(shí)在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，由題知方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方