新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)21任意角三角函數(shù)的定義課件湘教版必修第一冊

5.2.1任意角三角函數(shù)的定義第5章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解并掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切函數(shù))的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數(shù)值.(數(shù)學(xué)運算)3.了解三角函數(shù)線的意義,能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.(數(shù)學(xué)抽象)4.能利用三角函數(shù)線的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號.(數(shù)學(xué)抽象)5.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.(直觀想象)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施,上面掛在輪邊緣的是供乘客搭乘的座艙.乘客坐在摩天輪座艙中慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的橋上瞰景摩天輪,是天津的地標(biāo)之一.摩天輪直徑為110米,輪外裝掛48個360度透明座艙,可同時供384個人觀光,摩天輪旋轉(zhuǎn)一周所需時間為28分鐘.若你現(xiàn)在坐在座艙里,從某初始位置出發(fā),過2分鐘后,你離地面的高度是多少?過5分鐘呢?過t分鐘呢?這是一個函數(shù)關(guān)系嗎?有什么特點?知識梳理知識點一:三角函數(shù)的概念1.概念

前提如圖,設(shè)α是一個任意角,在角α的終邊上任取不同于原點O的點P,利用點P的坐標(biāo)(x,y)定義如下:OP=r=2.三角函數(shù)的解析式和定義域

三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y=sinαR余弦函數(shù)y=cosαR正切函數(shù)y=tanα

微思考三角函數(shù)值的大小與點P在角α終邊上位置是否有關(guān)?提示

三角函數(shù)值是比值,是一個實數(shù),它的大小與點P在終邊上的位置無關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).微練習(xí)

(2)(多選題)若角α的終邊過點(0,1),則下列說法正確的是(

)A.sinα=-1B.cosα=0C.tanα不存在D.cosα=1答案

(1)B

(2)BC知識點二:三角函數(shù)線的概念

前提設(shè)單位圓的圓心為直角坐標(biāo)系的原點O,角α的終邊與單位圓交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為D,過點A(1,0)作單位圓的切線x=1,如果tanα存在,設(shè)該切線與角α的終邊(當(dāng)α為第一、四象限角時)或其反向延長線(當(dāng)α為第二、三象限角時)相交于點T(1,y1)定義正弦線有向線段DP稱為角α的正弦線,DP=y=sinα余弦線有向線段OD稱為角α的余弦線,OD=x=cosα正切線有向線段AT稱為角α的正切線,AT==tanα三角函數(shù)線正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線微思考(1)如果角α的終邊落在坐標(biāo)軸上,你能否發(fā)現(xiàn)其正弦線、余弦線的變化特點?提示

當(dāng)角α的終邊在x軸上時,點P與點D重合,這時正弦線變成了一點,它的數(shù)量為零,而余弦線的數(shù)量OD=1或-1.當(dāng)角α的終邊在y軸上時,余弦線變成了一點,它的數(shù)量為零,而正弦線的數(shù)量DP=1或-1.(2)如何根據(jù)三角函數(shù)線確定三角函數(shù)值?提示

三角函數(shù)線與坐標(biāo)軸正方向同向則三角函數(shù)為正值,反向則三角函數(shù)為負值,而三角函數(shù)的絕對值等于三角函數(shù)線的長度.知識點三:三角函數(shù)值的符號

sinα,cosα,tanα在各個象限的符號

角的終邊在坐標(biāo)軸上時不適合,要利用定義求值

名師點析

1.正弦值的符號取決于縱坐標(biāo)y的符號,它在x軸上方為正,下方為負;余弦值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號,在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負;正切值符號取決于橫、縱坐標(biāo)符號,同號為正,異號為負.2.三角函數(shù)值符號的口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.微練習(xí)判斷下列各三角函數(shù)值的符號:(1)sin188°;(3)tan160°.解

(1)因為188°是第三象限角,所以sin

188°<0.(3)因為160°是第二象限角,所以tan

160°<0.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值分析(1)根據(jù)點P的坐標(biāo)計算出OP,利用三角函數(shù)的定義及已知條件求出x后,利用正弦、正切的定義求解;(2)根據(jù)角的終邊所在的直線設(shè)出角的終邊上異于原點的一點,利用三角函數(shù)的定義求解.延伸探究1將本例(2)的條件“x+y=0(x<0)”改為“y=2x”,其他條件不變,結(jié)果又如何?延伸探究2將本例(2)的條件“落在直線

x+y=0上”改為“過點P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.反思感悟

(1)已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:①在α的終邊上任選特殊點的坐標(biāo),求出點到原點的距離后利用定義求三角函數(shù)值;(2)當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時,一定注意對字母正、負的辨別,若正、負未定,則需分類討論.探究二三角函數(shù)值符號的運用1.根據(jù)角的象限確定三角函數(shù)值的符號例2判斷下列各式的符號:(1)sin105°cos230°;分析先根據(jù)每個三角函數(shù)的特征及角所在的象限確定每個三角函數(shù)值符號后,再確定積的符號.解

(1)∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.由-672°20'=47°40'+(-2)×360°,可知-672°20'是第一象限角,所以tan(-672°20')>0.反思感悟

根據(jù)確定的角判斷其相應(yīng)三角函數(shù)值的符號,首先利用終邊相同的角將所給角轉(zhuǎn)化為[0,2π)內(nèi)的角,判斷其所在象限后,結(jié)合三角函數(shù)特征確定符號.2.根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角所在的象限

A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角

答案

C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號,從而α為第二、第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α異號,從而α為第三、第四象限角.綜上可知,α為第三象限角,故選C.要點筆記根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定所在象限后取交集.3.含絕對值的三角函數(shù)值域

A.3 B.-3 C.1 D.-1答案

BC要點筆記涉及三角函數(shù)的絕對值問題,求解時要根據(jù)角所在的象限,去掉絕對值號分類討論.變式訓(xùn)練1(1)若角θ滿足sinθ<0,tanθ<0,則角θ是(

)A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.第二象限角或第四象限角A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(3)判斷下列各式的符號:①sin105°·cos230°;答案

(1)B

(2)C解析

(1)sin

θ<0時,角θ可以是第三、四象限角,或終邊在y軸負半軸上;又tan

θ<0時,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故選B.(3)解

①105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin

105°>0,cos

230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.探究三利用三角函數(shù)線定義求三角函數(shù)值分析根據(jù)三角函數(shù)線的定義作出三角函數(shù)線并求其長度,根據(jù)長度與方向求三角函數(shù)值.反思感悟

1.作正弦線、余弦線的步驟:(1)在坐標(biāo)系中,作角α的終邊與單位圓交點P;(2)過點P作x軸的垂線,設(shè)垂足為D,得正弦線DP、余弦線OD.2.作正切線的步驟:過點A(1,0)作單位圓的切線,與角α的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為T,得角的正切線AT.變式訓(xùn)練2分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線,并求出它們的正弦、余弦和正切.(1)(2)探究四利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小分析作出角的終邊與單位圓的交點,根據(jù)角的特征作出角的相應(yīng)三角函數(shù)線,根據(jù)三角函數(shù)線的長度與方向比較大小.解

作出所給角的三角函數(shù)線如圖所

反思感悟

利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時,一般分三步:①準(zhǔn)確作出角的終邊與單位圓的交點并作出相應(yīng)的三角函數(shù)線;②比較三角函數(shù)線的長度;③確定有向線段的正負.變式訓(xùn)練3(1)若a=sin2,b=cos2,則a,b的大小關(guān)系為(

)A.a<b B.b<aC.a=b D.不能確定(2)sin4,cos4,tan4的大小關(guān)系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4答案

(1)B

(2)D解析

(1)因為

<2<π,作出2弧度角的正弦線、余弦線如圖所示分別為DP,OD.易知DP>0,OD<0,因此sin

2>cos

2.探究五利用三角函數(shù)線解三角不等式例7在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.反思感悟

利用三角函數(shù)線解簡單不等式的方法利用三角函數(shù)線求解不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c,一般來說,對于sin

x≥b,cos

x≥a(或sin

x≤b,cos

x≤a),只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點和交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍;對于tan

x≥c(或tan

x≤c),則取點(1,c),連接該點和原點即得角的終邊所在的位置,并反向延長,結(jié)合圖象可得.變式訓(xùn)練4用三角函數(shù)線寫出滿足下列條件的角x的集合.素養(yǎng)形成利用三角函數(shù)線證明與三角函數(shù)有關(guān)的不等式由于三角函數(shù)線既有方向又有長度,因此可以借助三角函數(shù)線的幾何特征,證明一些與三角函數(shù)有關(guān)的不等式.證明如圖所示.設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點P,單位圓與x軸正半軸的交點為A,過點A作圓的切線交OP的延長線于T,過P作PD⊥OA于D,連接AP,則在Rt△POD中,sin

α=DP,在Rt△AOT中,tan

α=AT.又根據(jù)弧度制的定義,有當(dāng)堂檢測1.對于三角函數(shù)線,下列說法正確的是(

)A.對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線B.有的角的正弦線、余弦線和正切線都不存在C.任意角的正弦線、正切線總是存在的,但余弦線不一定存在D.任意角的正弦線、余弦線總是存在的,但正切線不一定存在答案

D解析

終邊在y軸上的角的正切線不存在,故A,C錯,對任意角都能作正弦線、余弦線,故B錯,因此選D.2.已知角θ的終邊過點(4,-3),則cosθ=(

)答案

A3.若tanθsin2θ<0,則角θ在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限答案

C解析

因為tan

θsin2θ<0,所以tan

θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.4.若角α的正弦線長度為0,則它的余弦線的長度為

.

答案

1