2021年中考數(shù)學考點06圓壓軸題（解析版）

考點06圓壓軸題匯總

一、單選題（共14小題）

1.（2021?槐蔭區(qū)一模）如圖，。。的半徑是5,點A是圓周上必然點，點2在。。上運動，且N

ABM=30°,ACIBM,垂足為點C,毗鄰OC,則OC的最小值是（）

B?亨D?岑H

【解答】解：如圖,設(shè)8M交。。于T,毗鄰。T,OA,過點。作于，，毗鄰C”.

???/8=30°,

：.ZTOA=60°,

,:OT=OA,

???△O7M是等邊三角形，

:.OT=OA=AT=5,

VOHIAT,

???嶺喈。"而/=巧亭=半,

VAC1BM,

ZACT=90°,

???加參

?：OC》OH-CW=-^Z1-2

22

.?.OC的最小值為=芻返-掾.

22

故選:D.

【常識點】圓周角定理

2.（2021?江北區(qū)模擬）如圖，RtZiACB中，ZC=90°,AC=6,BC=8,半徑為1的。。與AC,BC

相切，當。。沿邊CB平移至與AB相切時，則。0平移的間隔為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：?..RtZsACB中，/C=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=10,

設(shè)。。與AC相切于D,與BC相切于“，平移后的。0'與A8相切于F,與8c相切于E,

毗鄰O”，O'D,則點。在。'￡＞上，毗鄰。’F,E。’并耽誤交48于G,

二四邊形CDO”是正方形，四邊形OHEO'是矩形，

：.OD=OH=O'E=O'F=CD=CH=\,00'=HE,

:.EGIBC,

VZC=90°,

J.EG//AC,

：.ZFGE=NA,

,：ZGFO'=NC=90°,

.?.△O'FGsMBCA,

.O7F_QZG

BC=AB'

.1_QZG

-"io-'

：.O'G=—,

?:GE"AC,

，叢BGEs叢BAC,

.BE=EG

"BC-AC'

9_

.BE=7

,,T-T

：.BE=3,

：.OO'=HE=BC-CH-BE=8-1-3=4,

???OO平移的間隔為4,

故選:B.

G

D

【常識點】切線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)

3.（2021?武漢模擬）在中內(nèi)接四邊形A5CQ,其中A,。為定點，AC=8,3在。。上運動，BD

1AC,過。作的垂線，若。。的直徑為10,則OE的最大值接近于（）

【解答】解：如圖，當點B與A重合時，毗鄰CD.

VBD±AC,

???NDAC=90°,

???CD是直徑，

*：OELADy

；?AE=ED,

?：OC=OD、

：.OE=^AC=4,

此時OE的值最大，最大值為4

：.OE的最大值為4,

故選:C.

【常識點】三角形中位線定理、垂徑定理、圓周角定理

4.（2021?浙江自主招生）如圖，已知。0的半徑為10,A、8是。。上的兩點，乙4OB=90°,C

是射線。B上一個動點，連結(jié)AC并耽誤交。。于點。，過點。作。交。8的耽誤線于點E.當

)

.100K50打兀兀l

A.-^—257r3B.—c-6^4--1673lD.-5^0--2573

Oo

S小80=120以;102-lx1OX5?=^TT-2573,

obU2o

當N4=60。時，

過點。作D'FlOA于F,毗鄰OZA

ZD'OF=60°,。尸=5依，

S皿M>'=60.鼠I。2,li0X5V3=-yn-25a.

x

.?.5=^^-25晶-（當r-25遙）=當口

oOO

故選：B.

【常識點】圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理

5.（2021?岳麓區(qū)校級模擬）如圖，AABC是等腰直角三角形，AC=BC=2,以斜邊A8上的點。為圓

心的圓分別與AC、BC相切于點E、F,與AB分別訂交于點G、H,且E"的耽誤線與CB的耽

誤線交于點D,則C。的長為（）

A.2V2-1B.2V2C.V2+1D.2&弓

【解答】解：如右圖所示，毗鄰OE、OF,

；0O與AC、BC切于點E、F,

：.ZOEC=ZOFC=90°,OE=OF,

又???△A8c是等腰直角三角形，

，NC=90°,

四邊形CEO尸是正方形，

J.OE//BC,

又；以斜邊48上的點。為圓心的圓分別與AC、8c相切于點E、F,OE=OF,

在/ACB的角平分線上，

'：AC=BC,

是48中點，

：.AE^CE,

又；AC=2,

：.AE=CE=\,

：.OE=OF=CE=\,

：.OH=1,

\'OE//CD,

:AOEHsABDH,

.0EDB

**0H=BH'

又；3〃C2+BC2=2M，

：.OB=y/2,

._1=DB

丁衣五，

:.BD=42-1,_

:.CD=2+BD=?+\,

故選:c.

【常識點】等腰直角三角形、切線的性質(zhì)

6.（2021?阜新）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)i個

45°,得到正六邊形O45G。閔，則正六邊形OA而GO￡（i=2021）的極點G的坐標是（）

A.（1,-V3）B.（1,V3）c.（1,-2）D.（2,1）

【解答】解：由題意旋轉(zhuǎn)8次應(yīng)該循環(huán)，

：2021+8=252…4,

，Ci的坐標與C4的坐標一樣，

VC（-1,V3）,點C1與C4關(guān)于原點對稱，

（1,-V3）,

；?極點G的坐標是（1■V3）.

故選:A.

【常識點】坐標與圖形轉(zhuǎn)變-旋轉(zhuǎn)、正多邊形和圓

7.（2021秋?北暗區(qū)校級月考）如圖AB是。。的直徑，CD為。。的弦，且C￡>_LAB于點E,點F

為圓上一點，若AE=BF,ATl=CF,OE=l,則BC的長為（）

A.276B.3A/2C.4D.5

【解答】解：岳如圖，毗鄰OC交AF于J,設(shè)BC交AF于7,過點7作7HLAB于從

VAB±CD,

?*-AD=AC,

vAD=S,

???AC=CF,

：.OC±AF,

：.ZAJO=ZCEO=90°,

■:ZAOJ=/COE,OA=OC,

：./XAJO^/\CEO(AAS),

:?OJ=OE,

:?AE=CJ,

丁AB是直徑，

：.ZF=ZCJT=90°,

■:AE=BF,

：.BF=CJ,

?：NCTJ=NBTF,

：?4CTJ出叢BTFCAAS),

:.CT=BT、

■:THLAB,CD±AB,

：.TH//CE,

:?EH=BH,

???CF=AC,

:?NTBF=NTBH,

?：/F=/THB=90；BT=BT,

：.4BTFm/XBTH(AAS),

：.BF=BH,

?:AE=BF，

；?AE=BH,

?：OA=OB、

：.OE=OH=1,

:?EH=BH=2,

；?AE=BH=2,

：.AB=69OC=OB=3,

￡C=22

VOC-OE=62_]2=2&,

=22

BCVEC+BE=V(2V2)2+42=2^

故選:A.

【常識點】圓心角、弧、弦的關(guān)系、勾股定理、垂徑定理

8.（2021秋?無錫期中）如圖，A8為半圓O的直徑，M,C是半圓上的三等分點，A8=8,BD與

半圓。相切于點8.點尸為AM上一動點（不與點A,M重合），直線PC交8。于點O,BELOC

于點E,耽誤BE交PC于點F,則下列結(jié)論對的是：①PB=PD；②標的長為氏；③4DBE=45°；

④當P為菽中點時，EC=EF；⑤其中對的個數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解:①毗鄰AC,并耽誤AC,與8Z)的耽誤線交于點H,如圖，

?.?何，C是半圓上的三等分點，

；.NBAH=30°,

與半圓。相切于點8.

：.ZABD^90°,

.*.Z/7=60°,

N4CP=NABP,/ACP=ZDCH,

：.NPDB=ZH+ZDCH=NA8P+60°,

?/NPBD=90°-NABP,

若NPDB=NPBD,貝lJ/A8P+60°=90°-AABP,

：.ZABP=15°,

點為贏的中點，這與P為篇I：的一動點不完全吻合,

二ZPDB不必然等于NA8D

:.PB不必然等于PD,

故①錯誤；

②C是半圓上的三等分點，

AZBOC=-X180°=60°,

3

?.?直徑AB=8,

：.OB^OC=4,

.?.合BC的",長以?度曲=一』6°”打-,4=子4

故②正確；

(3)VZBOC=60°,OB=OC,

：.ZABC=60°,OB=OC=BC,

VBE±OC,

；?NOBE=NCBE=30°,

VZABD=90°,

AZDBE=60°,

故③錯誤；

@VAP=PM.

ZABP=\5°,

VZABD=90°,ZDBE=60°,

；.NPBF=15：

VZBPC=30°,

NCFE=NFPb+NFBP=45；

?.,/FEC=90°,

：.ZEFC=ZECF=45°,

：.EC=EF,故④正確，

⑤?：NCBF=NCPB=30。,NDFB=NFBP+NBPF,ZCBP=ZFBP+ZCBF,

NDFB=NCBP,故⑤正確，

故選:C.

【常識點】垂徑定理、勾股定理、弧長的計算、圓周角定理、切線的性質(zhì)

9.（2021秋?交城縣期中）如圖，48是。。的直徑，AB=AC且/BAC=45°,交BC于點。，交

AC于點E,。尸與。。相切，OD與BE訂交于點、H.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.BD=CDB.四邊形為矩形

C.AE=2DED.BC=2CE

【解答】解：如圖，毗鄰AD

?：AB是。。的直徑,

：.AD±BC,

'：AB=AC,

：.BD=CD,

故A正確；

,:DF與。。相切,

二OD1DF,

〈AB是。0的直徑，

Z.ZAEB=90°,

'：AO=BO,BD=CD、

：.OD//AC.

；.NEHD=90；

???四邊形。HE/為矩形,

故3正確；

YA8是。。的直徑，

：.ZAEB=90°,

VZBAC=45°,

.\ZABE=45°,

；?AE=BE,

?:NBAD=/CAD,

AE=BE.

VBD=DE.

??AE=2DE.

故C正確；

；/84C=45°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=67.5°,

即NBCE=67.5°,

/.ZfBC=22.5°,

EC1

；.sin/E8C=sin22.5°.

BC2

:.BC/2CE,

故D錯誤.

故選:D.

【常識點】垂徑定理、圓周角定理、矩形的判斷、切線的性質(zhì)

10.（2021?武昌區(qū)模擬）如圖，8c是。。的直徑，48切。0于點B,AB=BC=8,點。在。。上，

￡>EJ_A。交BC于E,BE=3CE,則4。的長是（）

DC

AD

AB

A?誓B.誓C.汨

D.3^/10

與O。相切于點3,

：.ZABC=90°,

；2C=8,BE=3CE,

：.CE=2,BE=6,

：AB=8,

；?由勾股定理得：45=后定=10,

。是直徑，

；.NBDC=90°,

VZADE=90°,

，NABD=NCDE,

'：ZABD+ZDBC^90Q,NDCE+/DBC=9Q：

：.NABD=NDCE,

:.△DCEs^DAB,

.理=%=2=1

**ADAB8"W，

：.AD^4DE,

在RT/^ADE4',AE1=AD2+DE2,

.?.102=(4。乃2+DE2,

：.DE=—.^..

17

.AD=40V17

17

故選:A.

【常識點】切線的性質(zhì)

11.（2021秋?泗陽縣期末）如圖，在AABC中，NABC=90°,AB=8,點尸是AB邊上的一個動點,

以BP為直徑的圓交CP于點Q,若線段AQ長度的最小值是4,則4ABC的面積為（）

【解答】解：如圖，取8C的中點丁，毗鄰A7；QT.

,:PB是。。的直徑，

.../尸。8=/（?。8=90°,

.?.QT=*8C=定值，A7是定值，

\'AQ^AT-TQ,

.?.當A,Q,T共線時，AQ的值最小，設(shè)87=7Q=x,

在RlZXABT中，則有（4+x）2=?+82,

解得x=6,

.,.8C=2x=12,

???SAABC=A.AB.8C=*X8X12=48,

故選:D.

【常識點】圓周角定理、勾股定理

12.（2021秋?蕭山區(qū)期末）如圖，在。。中，直徑C。垂直弦AB于點E,且OE=￡>E.點P為標上一

點（點P不與點&C重合），連結(jié)AP,BP,CP,AC,3c.過點C作CF,8P于點F.給出下列

結(jié)論:①AABC是等邊三角形；②在點P從B-C的運動過程中，渭后的值始終等于亨?則下

列說法對的是（）

A.①，②都對B.①對，②錯C.①錯，②對D.①，②者B錯

【解答】解：如圖，作CM_LA尸于M,Mt令BAD.

VAE1OD,OE=DE,

：.AO=AD,

?：OA=OD,

：.AO=AD=ODy

???△4OQ是等邊三角形，

/.ZD=ZABC=60°,

9：CDLAB.

:.AE=EB,

:?CA=CB,

???△ABC是等邊三角形，故①正確，

VZCB4=ZABC=60°,NAP3=NAC5=60°,

AZCPF=180°-60°-60°=60°,

VZCPM=ZCPF=60°,CFtPF,CMLPA,

???CF=CM,

■:PC=PC,ZCFP=ZCMP,

：.RtACPF^RtACPM(HL),

:,PF=PM,

?：AC=BC,CM=CF,ZAMC=ZCFB=90°,

ARtAAA/C^RtABFC(HL),

；.AM=BF,

：.AP-PB=PM+AM-{BF-PF)=2PM=2PF,

.PF_1

??PA-PB_2，

在RtZ\CPF中，；NCPF=60°,/CFP=90°,

/.CF=PF*tan60°

CF_V3

故②正確,

PA-PB2

故選:A.

【常識點】垂徑定理、等邊三角形的判斷與性質(zhì)

13.（2021?溫州模擬）如圖，△ABC,4c=3,8c=4如，NAC8=60°,過點A作BC的平行線/,P

為直線/上一動點，。。為△APC的外接圓，直線BP交。。于E點，則AE的最小值為（）

A.VS-1B.7-473C.V3D.1

【解答】解：如圖，毗鄰CE.

'：AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=60°,

.../CEP=/CA尸=60°,

.'.ZBEC=120°,

.?.點E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的BC±運動，

毗鄰O'A交前于E',此時AE'的值最小.此時與。0'交點為E.

?.,/BEC=120°

...前所對圓周角為60°,

，NBOC=2X60°=120°,

?..△BO'C是等腰三角形，BC=4A/3,

：.O'B=O'C=4,

VZACB=60°,NBCO'=30°,

-。,=90°

?<-0，A=VozC2+AC2=A/42+32=5,

：.AE'^O'A-O'E'=5-4=1.

故選：D.

【常識點】勾股定理、三角形的外接圓與外心

14.（2021?吳興區(qū)校級一模）如圖，△ABC內(nèi)切圓是00,折疊矩形ABCD,使點。、O重合，F(xiàn)G是折

痕，點尸在上，G在A8C上，連結(jié)OG,DG,若OG垂直O(jiān)G,且。。的半徑為1,則下

列結(jié)論不成立的是（）

A.CD+DF=4B.CD-DF=2M-3c.BC+AB=2y[3+4D.BC-AB=2

【解答】解：如圖，

設(shè)。。與8c的切點為M,毗鄰MO并耽誤MO交AD于點N,

???將矩形A8CD按如圖所示的方式折疊，使點。與點O重合，折痕為尸G,

：.OG=DG,

'：OG1DG,

：.ZMGO+ZDGC=90a,

；/MOG+/MGO=90",

NMOG=ZDGa

，ZOMG=ZDCG=90°

在△OMG和△GCD中，＜NMOG=/DGC,

OG=DG

.?.△OMGdGC。，

：.OM=GC=\,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

,:AB=CD,

：.BC-AB=2.

設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,。0的半徑為r,

。。是RtzMBC的內(nèi)切圓可得r=*（a+b-c）,

**.c=a+b-2.

在RlZXABC中，由勾股定理可得/+〃=（a+h-2）2,

整理得2ab-4a-4—

又：8C-A8=2即b=2+a,代入可得2"（2+a）-4〃-4（2+a）+4=0,

解得。=1+遂或。=1-、后（不合題意舍去），

：.BC+AB=2y[3+4.

再設(shè)DF=x,在卬△ONF中，F(xiàn)N=3+炳,OF=x,ON=\+M，

由勾股定理可得（2+F-x）2+（V3）2=/,

解得x-4-V3,

二CD-DF=?CD+DF=y/3-

綜上只有選項A錯誤，

故選:A.

【常識點】圓周角定理、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)

二、填空題（共10小題）

15.（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，直線/與。0相切于點。，點P是。O上的一個動點，設(shè)PQ=x,點

P到直線/的間隔為y.若。。的半徑為2,設(shè)S=x-y,則S的最大值是—.

【解答】解：如圖，作直徑QC,毗鄰CP,

BO

?.NCPQ=90",

是切線，

,.CQ上QB,

JPBLI,

'.QC//PB,

\NCQP=/QPB,

,.XQPCsXPBQ、

?QP=PB

,QLPQ.

:PQ=x,PH=y,0Q=2,

\QC=4,

?三=工

4x

.*.x-y=x--x2=--xi+x=-—(x-2)2+l,

444

當x=2時，x-y有最大值是1,

故答案為：1.

【常識點】切線的性質(zhì)

16.(2021秋?高新區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標系中，已知C(6,8),以點C為圓心的圓與y

軸相切.點A、B在無軸上，且04=08.點P為(DC上的動點，ZAPB=9Q°,則AB長度的最

大值為—.

【解答】解：毗鄰OC并耽誤，交0C上一點尸，以。為圓心，以O(shè)P為半徑作O。，交x軸于A、B,

此時A8的長度最大，

VC(6,8),

AOC=V6W=,0'

:以點C為圓心的圓與y軸相切.

.??0C的半徑為6,

.?.OP=OA=O8=16,

「AB是直徑，

/.ZAPB=90°,

長度的最大值為32,

故答案為32.

【常識點】切線的性質(zhì)、圓周角定理、坐標與圖形性質(zhì)

17.（2021秋?東?？h期中）如圖，在RtZiABC中，NACB=90°,AC=8,點力在8c上，且CD=

2,點尸是線段4c上一個動點，以PD為直徑作。0,點Q為直徑P。上方半圓的中點，毗鄰

AQ,則AQ的最小值為

【解答】解：如圖，毗鄰O。，CQ,過點A作ATLC。交C。的耽誤線于T.

：.OQLPD,

.../QOO=90°,

AZQCD=^ZQOD^45°,

"：ZACB=90°,

.?./ACT=45°,

".'ATLCT,

.??ZA7'C=90°,

：AC=8,

；.4T=AC?sin45°=4?

"."AQ^AT,

.?.4Q24&,_

：.AQ的最小值為4加，

故答案為4圾.

【常識點】圓周角定理、三角形中位線定理、垂線段最短

18.（2021秋?北培區(qū)校級月考）如圖，扇形AOB的圓心角是90°,半徑為4cm,分別以。4OB為直

徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為

【解答】解：如圖，毗鄰AB,0C,過點C作CEYOA,

VOB=OA,ZAOB=90°,

.?.△408是等腰直角三角形，

?；0A是直徑，

-0=90°,

...△A0C是等腰直角三角形，

,JCEV0A,

：.OE=AE,0C=AC,

：.RtAOCE^RtA/lCE(HL),

"?"SlUiOEC=SHiifiAEC,

...羽與弦OC圍成的弓形的面積等于血與弦AC所圍成的弓形面積,

同理可得，0C與弦。C圍成的弓形的面積等于BC與弦BC所圍成的弓形面積,

陰影4X4=8(cm2).

故答案為8cm2.

【常識點】扇形面積的計算

19.(2021?陜西模擬)在等邊三角形A8C中，D,E分別為AC,8c上的點，AE與8。訂交于點尸.若

△BC。的面積是1273,BE=6,/APB=120°,則4AB尸的外接圓的半徑長為.

D

【解答】解：如圖以A8為邊向外作等邊三角形A8K,作△48K的外接圓。。毗鄰OA,0B,過點。

作OJ1AB于J,過點B作BHLAC于H.

是等邊三角形，

???NK=60°,

VZAPB=120°,

???NK+N4PB=18()Q,

???A,K,B,尸四點共圓，

:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAC=ZC=60°,

VZAPB=120",

：.ZPAB+ZABP=ZPAB+ZCAE=60Q,

AZCAE=NABD,

：./\BAD^/\ACE(ASA),

:?AD=EC,

?；AC=BC,

；?BE=CD=6,

?：SMCD=^.CD。BH=12冊,

:.BH=AM，

BH

：.AB=.O=8,

sin60

?：OA=OB、0J1.AB,

.?.AJ=JB=4,

VZOAB=30°,

OA=-4L__=sVs,

cos303

...△4PB的外接圓的半徑為返.

3

故答案為名反.

3

【常識點】全等三角形的判斷與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓與外心

20.（2021?鄂州）如圖，半徑為2c〃z的。0與邊長為2。"的正方形ABCD的邊AB相切于E,點F為

正方形的中間，直線OE過尸點.當正方形ABCD沿直線OF以每秒（2-73）cm的速度向左運動

秒時，。。與正方形重疊部分的面積為cm2.

【解答】解：如圖I中，當點48落在。0上時，由題意，△AOB是等邊三角形，。。與正方形重

疊部分的面積為（胃口-V3）cm-

此時，運動時間片（2-V3）+（2-遍）=1（秒）

如圖2中，當點C,。落在。0上時，由題意，△OCZ）是等邊三角形，OO與正方形重

疊部分的面積為（爭-f）cm2

0

圖2

此時，運動時間r=[4+2-（2-V3）產(chǎn)（2-V3）=（H+6V3）（秒），

綜上所述，滿足前提的f的值為1秒或（11+6力）秒.

故答案為1或（11+6遙）.

【常識點】正方形的性質(zhì)、扇形面積的計算、切線的性質(zhì)

21.（2021?寧波模擬）如圖，正五邊形ABCQE內(nèi)接于半徑為4的圓O,作。FLBC交。。于點F,連

結(jié)FA,FB,則FA-FB的值為

D

【解答】解：毗鄰OA,0B,08交4尸于J.

，BF=CF,

?.,五邊形48CDE是正五邊形，

...NAOB=72°,ZB0F=36°,

；./4。尸=108°,

"：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA=ZFOJ=36°,

：.0J=JF,

'：A0=AJ,OB=OF,N0AJ=NF0B,

：./\AOJ^/\OFB(SAS),

：.0J=BF,

,/ZOFJ=ZAFO,ZFOJ=ZOAF,

.?.△ra/s△90,

?FO=IJ

“FAOF'

:.OF2=FJ-FA,

"：FJ=OJ=FB,

...欣?FB=O產(chǎn)=16.

故答案為16.

【常識點】垂徑定理、勾股定理、正多邊形和圓、圓周角定理

22.(2021?涪城區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，與y軸相切的0M與x軸交于A、8兩點，AC

為0M直徑，AC=10,AB=6,連結(jié)BC,點P為劣弧標上點，點。為線段4B上點，且

LMQ,MP與BC交于點N.則當NQ平分NMNB時，點P坐標是.

【解答】解：設(shè)OM與y軸相切于E,

毗鄰EM并耽誤交BC于H,過戶作PFLx軸于F,耽誤FP交EH于D,

為。例直徑，

.'.BCLAB,

；4C=10,48=6,

，8C=8,

???OM與)，軸相切，

：.EM±y^,

...四邊形。ED尸是矩形，

：.OE=BH=DF,ED=OF,ED//OF,

'：AM=CM,

：.MH=^AB^3,BH=DF=4,

'：MP±MQ,NQ平分/MNB,

：.MN=BN,

設(shè)MN=BN=x,

:.NH=4-x,

,：MH2+HN2=MN2,

/.^=32+(4-x)2,

解得：x=孕，

o

:.MN=BN=冬,

8

7

...HN=京，

'CHN//PD,

：.△MHNS△MDP,

.MH_HN_Mhf

*'MD=PD"MP'

7_25_

?3—百

,?MDPD"5~'

247

：.MD=—,PD=—,

55

4913

:?DE=EM+MD=4,PF=DF-尸。=丹

一5’一5

???點P坐標是（弓.-y）

坐標與圖形性質(zhì)、垂徑定理

23.（2021?浙江自主招生）如圖所示，RtZ\A8C兩直角邊的邊長為AC=1,BC=2.P是這個RtZ\A8C

上和其內(nèi)部的動點,以點P為圓心的OP與RtZXABC的兩條邊相切.則（DP的面積S的最大值

為

【解答】解:①當OP與Rt^ABC的邊AB和8c相切時，由角平分線的性質(zhì)可知，動點P是NABC的

平分線BM上的點，

在N4BC的平分線上隨意率性確定點Pi（不為/48C的極點）

'：OX=BOsinZABM.P\Z=BPstnZABM,當BP\>BO時，P\Z>OX即P與8的間隔越大,

BP長度最大的點；

"：ZBPA>90°,過點P作PE_LAB,垂足為E,則E在邊48匕，

二以P為圓心、PC為半徑作圓，則OP與CB相切于C,與邊48相切于E,即這時OP

是吻合題意的圓，這時。尸的面積就是S的最大值，

'：AC=\,BC=2,：.AB=45,

設(shè)PC=x,則PA=AC-PC=1-x,

在RtAsAPE中，PA2=PE2+AE1,

（1-x）2=f+（V5-2）2,

：.x=2娓-生

同理可得：當OP與RtZUSC的邊A8和AC相切時，設(shè)PC=y,則（2-y）2=內(nèi)（泥-

I）2,

.?.），=代T，

2

同理可得，當OP與RtZUBC的邊8C和4c相切時，設(shè)尸尸=z,

,/△APFsMBE,：.PF:BE=AF:PE,

?z—l~z

2-zz

.2

由①、②、③可知,■!>近二>2在-4,

S2

.*.z>y>x,

???OP的面積S的最大值為職

故答案為：

y

【常識點】切線的性質(zhì)

24.（2021?鐵東區(qū)一模）如圖，必、PB切。0于A、B兩點，毗鄰OP交AB于點C,交弧AB于點Q,Z

APB=7。：點。為優(yōu)弧A,他上一點，OQ〃PB,則NOQA的大小為.

【解答】解：如圖，毗鄰04

ZOPB=ZOPA=-^ZAPB=35°,PALOA,

：.ZOAP=90°,

：.ZPOA=90°-35°=55°,

'.'0Q//PB,

...NPOQ=180°-N0PB=145°,

."00=360°-145°-55°=160°,

'：OQ=OA,

：.ZOQA=ZOAQ=^(180°-ZAOQ)=10°,

故答案為10°.

【常識點】切線的性質(zhì)、圓周角定理

三、解答題(共6小題)

25.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)如圖，/XABC內(nèi)接于。0,AB是00的直徑，AC=6,C8=8,

CE平分N4C8交。。于E,交AB于點。，過點E作MN〃AB分別交CA、CB耽誤線于MN.

(1)補全圖形，并證明MN是。。的切線.

(2)分別求MN、C￡＞的長.

c

【解答】證明：(I)補全圖形如圖所示，毗鄰0E,

是OO的直徑，

：.ZACB=90°,

乂平分/4CB,

：.ZACE=ZBCE=-^ZACB=45°,

：.ZAOE=2ZACE=90°,

J.OELAB,

又,：MN〃AB,

：.OE±MN,

...A/N是OO的切線；

(2)過點C作CQ_LMN,垂足為。，交AB于點P,則CQL4B,

在RtZ\A8C中，

"：AC=6,8c=8,

?'MB=VAC2+BC2=V62+82=1°

:.OE=PQ=OA=OB=5,

由三角形的面積公式得，

.?.6X8=10CP,

CP=4.8,

，CQ=4.8+5=9.8,

'：AB//MN,

：./\CABs/\CMN,

.AB_CPo10_4.8

..----=----,即n----=------.

MNCQMN9.8

12

毗鄰BE,貝ijBE=AE,在RtZXABE中,

AE=BE=顯義AB=5近,

2

；EN是OO的切線，

NBEN=NBCE=NACE,

,：ACBE^O。的內(nèi)接四邊形,

ZEBN=ZCAB,

△AECS/XBNE,

?AC=AE

,,BE-BN

6=訴

即

572BN

BN送

'：NACE=ZECN,ZCAE=ZCEN,

:ACAESACEN,

.CA=CEHn_6__CE

"CE-CN，,25'