專題09一元一次方程及其解法（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型）（解析版）

專題09一元一次方程及其解法（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.一元一次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.方程的解（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.等式的基本性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.利用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5.移項(xiàng)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6.解一元一次方程的一般步驟（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.根據(jù)一元一次方程的概念求字母的值題型2.應(yīng)用方程解的定義解題題型3.等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用題型4.解帶有括號(hào)的一元一次方程的技巧題型5.解帶有分母的一元一次方程的技巧題型6.方程的解的綜合運(yùn)用題型7.解含有絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程題型8.與方程的解有關(guān)的情境題【方法三】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解一元一次方程、方程的解的概念。理解等式的基本性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行等式變形。掌握解一元一次方程的基本方法，能熟練地解一元一次方程?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.一元一次方程（重點(diǎn)）【例1】（2022秋?鳳臺(tái)縣期末）已知（k﹣1）x|k|+3＝0是關(guān)于x的一元一次方程．則此方程的解是（）A．﹣1 B． C． D．±1【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，得到|k|＝1和k﹣1≠0，解之，代入原方程，解之即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意得：|k|＝1，即k＝1或k＝﹣1，k﹣1≠0，k≠1，綜上可知：k＝﹣1，把k＝﹣1代入原方程得：﹣2x+3＝0，解得：x＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的定義和絕對(duì)值，正確掌握一元一次方程的定義和絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵．【變式】（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期中）下列方程中：①x2﹣1＝x+3；②x﹣1＝2；③22+32＝13；④x﹣3；⑤x+y＝6．其中一元一次方程是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①是一元二次方程，②是一元一次方程，③是等式，④是多項(xiàng)式，⑤是二元一次方程；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)的定義．知識(shí)點(diǎn)2.方程的解（重點(diǎn)）【例2】（2022秋?廬江縣月考）已知關(guān)于x的方程ax﹣4＝14x+a的解是x＝2，則a的值是（）A．24 B．﹣24 C．32 D．﹣32【分析】知道x＝2是方程的解，把x＝2代入方程，得關(guān)于a的一元一次方程，解之求出a．【解答】解：根據(jù)已知，把x＝2代入方程ax﹣4＝14x+a得：2a﹣4＝14×2+a，解得：a＝32．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程的解．關(guān)鍵是由已知代入解得關(guān)于a的一元一次方程．【變式】（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，則a＝．【分析】根據(jù)方程解的定義，將方程的解代入方程可得關(guān)于字母系數(shù)a的一元一次方程，解方程可求出a的值．【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】已知條件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a字母系數(shù)的方程進(jìn)行求解．可把它叫做“有解就代入”．知識(shí)點(diǎn)3.等式的基本性質(zhì)（重點(diǎn)）1）等式兩邊同加或同減一個(gè)數(shù)（或式子），等式仍然成立。即：（注：此處字母可表示一個(gè)數(shù)字，也可表示一個(gè)式子）2）等式兩邊同乘一個(gè)數(shù)（或式子），或同除一個(gè)不為零的數(shù)（式子），等式仍然成立。即：（此處字母可表示數(shù)字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x3x+7+2x=2-2x+2x3x+7+2x-7=2-2x+2x-75x=-55x5=-55x=-13）其他性質(zhì)：=1\*GB3①對(duì)稱性：若a=b，則b=a；=2\*GB3②傳遞性：若a=b，b=c，則a=c。【例3】（2022秋?蕭縣校級(jí)月考）下列變形中不正確的是（）A．若x＝y(tǒng)，則x+3＝y(tǒng)+3 B．若﹣2x＝﹣2y，則x＝y(tǒng) C．若x＝y(tǒng)，則 D．若，則x＝y(tǒng)【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：A、若x＝y(tǒng)，則x+3＝y(tǒng)+3，正確，不符合題意；B、若﹣2x＝﹣2y，則x＝y(tǒng)，正確，不符合題意；C、當(dāng)c＝0時(shí)，與無意義．錯(cuò)誤，符合題意；D、若，則x＝y(tǒng)，正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式】（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期中）下列變形正確的是（）A．如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng) B．如果m＝n，那么m﹣2＝2﹣n C．如果4x＝﹣3，那么x＝﹣ D．如果a＝b，那么﹣+1＝﹣+1【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可得．【解答】解：A、如果ax＝ay，當(dāng)a≠0時(shí)有x＝y(tǒng)，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、如果m＝n，那么m﹣2＝n﹣2，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、如果4x＝﹣3，那么x＝﹣，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、如果a＝b，那么﹣+1＝﹣+1，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的基本性質(zhì)：等式性質(zhì)1：等式的兩邊都加上或者減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以或者除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零），所得結(jié)果仍是等式．知識(shí)點(diǎn)4.利用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程（難點(diǎn)）例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性質(zhì)）（左邊的﹣3變到右邊變成了+3）2x=4x-42x-4x=4x-4-4x（利用等式的性質(zhì)）（右邊的4x變到左邊變成了－4x）-2x=-4x=x=2【例4】下列方程的變形過程中，正確的是（）A．由x＋2＝7，得x＝7＋2 B．由5x＝7，得C．由x＝7－2x，得x＋2x＝7 D．由x＝1，得x＝【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A.由x＋2＝7，得x＝7-2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.由5x＝7，得，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.由x＝7－2x，得x＋2x＝7，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.由x＝1，得x＝，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，解一元一次方程，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．知識(shí)點(diǎn)5.移項(xiàng)（重點(diǎn)）易錯(cuò)提醒：移項(xiàng)是方程中的某一項(xiàng)從方程的一邊移到另一邊，不要將其與加法的交換律或等式的性質(zhì)2弄混淆【例5】通過移項(xiàng)將下列方程變形，正確的是()A．由5x－7＝2，得5x＝2－7B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9解析：A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故選項(xiàng)正確；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C.方法總結(jié)：①所移動(dòng)的是方程中的項(xiàng)，并且是從方程的一邊移到另一邊，而不是在這個(gè)方程的一邊變換兩項(xiàng)的位置．②移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)，不變號(hào)不能移項(xiàng)．【例6】解下列方程：(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；(3)－4x－8＝4;(4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.解析：通過移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1的方法解答即可．解：(1)移項(xiàng)得－x－3x＝4，合并同類項(xiàng)得－4x＝4，系數(shù)化成1得x＝－1；(2)移項(xiàng)得5x＝9＋1，合并同類項(xiàng)得5x＝10，系數(shù)化成1得x＝2；(3)移項(xiàng)得－4x＝4＋8，合并同類項(xiàng)得－4x＝12，系數(shù)化成1得x＝－3；(4)移項(xiàng)得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同類項(xiàng)得1.8x＝7.2，系數(shù)化成1得x＝4.方法總結(jié)：將所有含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后合并同類項(xiàng)，最后將未知數(shù)的系數(shù)化為1.特別注意移項(xiàng)要變號(hào)．【例7】把一批圖書分給七年級(jí)(11)班的同學(xué)閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人分4本，則缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？解析：根據(jù)實(shí)際書的數(shù)量可得相應(yīng)的等量關(guān)系：3×學(xué)生數(shù)量＋20＝4×學(xué)生數(shù)量－25，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．解：設(shè)這個(gè)班有x個(gè)學(xué)生，根據(jù)題意得3x＋20＝4x－25，移項(xiàng)得3x－4x＝－25－20合并得－x＝－45解得x＝45.答：這個(gè)班有45人．方法總結(jié)：列方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)抓住題目中的“相等”、“誰比誰多多少”等表示數(shù)量關(guān)系的詞語，以便從中找出合適的等量關(guān)系列方程．知識(shí)點(diǎn)6.解一元一次方程的一般步驟（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）變形名稱具體做法注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)(1)不要漏乘不含分母的項(xiàng)(2)分子是一個(gè)整體的，去分母后應(yīng)加上括號(hào)去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)(1)不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)(2)不要弄錯(cuò)符號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號(hào))(1)移項(xiàng)要變號(hào)(2)不要丟項(xiàng)合并同類項(xiàng)把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解．不要把分子、分母寫顛倒要點(diǎn)詮釋：（1）解方程時(shí)，表中有些變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可以合并簡化．(2)去括號(hào)一般按由內(nèi)向外的順序進(jìn)行，也可以根據(jù)方程的特點(diǎn)按由外向內(nèi)的順序進(jìn)行.（3）當(dāng)方程中含有小數(shù)或分?jǐn)?shù)形式的分母時(shí)，一般先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分母變?yōu)檎麛?shù)后再去分母，注意去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，而分母化整的依據(jù)是分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，兩者不要混淆．【例8】（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期中）解方程（1）4x﹣6＝2（3x﹣1）；（2）y﹣＝3﹣【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把y系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：（1）去括號(hào)得：4x﹣6＝6x﹣2，移項(xiàng)合并得：﹣2x＝4，解得：x＝﹣2；（2）去分母得：10y﹣5（y﹣1）＝30﹣2（y+2），去括號(hào)得：10y﹣5y+5＝30﹣2y﹣4，移項(xiàng)合并得：7y＝21，解得：y＝3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【方法二】實(shí)例探索法題型1.根據(jù)一元一次方程的概念求字母的值1.已知是關(guān)于x的一元一次方程的解，則a的值為________．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義求出m，再將x和m的值代入方程求出a即可；【詳解】解：∵為一元一次方程∴2m-3=1且m-1≠0∴m=2將m=2，代入得：解得：a=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念及一元一次方程的解，掌握一元一次方程的概念及一元一次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．2．已知關(guān)于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k是一元一次方程，求k的值．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得到|k|﹣1＝1，且k﹣2≠0．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k是一元一次方程，∴|k|﹣1＝1，且k﹣2≠0，解得，k＝﹣2．即k的值是﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．題型2.應(yīng)用方程解的定義解題3．已知關(guān)于x的方程3x+2a﹣1＝0的解與方程x﹣2a＝0的解互為相反數(shù)，求a的值．【分析】先求出第二個(gè)方程的解，根據(jù)相反數(shù)得出第一個(gè)方程的解是x＝﹣2a，把x＝﹣2a代入第一個(gè)方程，再求出a即可．【解答】解：解方程x﹣2a＝0得：x＝2a，∵方程3x+2a﹣1＝0的解與方程x﹣2a＝0的解互為相反數(shù)，∴3（﹣2a）+2a﹣1＝0，解得：a＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程、一元一次方程的解和相反數(shù)，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．題型3.等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用4．我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．【提出問題】能否借助一架天平和一個(gè)10克的砝碼測量出一個(gè)乒乓球和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量？【實(shí)驗(yàn)探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個(gè)乒乓球的質(zhì)量相同，每個(gè)紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過試驗(yàn)，將有關(guān)信息記錄在下表中：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)乒乓球總質(zhì)量一次性紙杯的總質(zhì)量記錄一6個(gè)乒乓球，1個(gè)10克的砝碼14個(gè)一次性紙杯平衡6x6x+10記錄二4個(gè)乒乓球1個(gè)一次性紙杯1個(gè)10克的砝碼平衡4x4x﹣10【解決問題】（1）將表格中兩個(gè)空白部分用含x的代數(shù)式表示；（2）分別求出一個(gè)乒乓球的質(zhì)量和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量．【及時(shí)遷移】借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，你能設(shè)計(jì)一種方案，使實(shí)驗(yàn)中選取的乒乓球和紙杯的個(gè)數(shù)一樣多嗎？請(qǐng)補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說明方案設(shè)計(jì)的合理性．方案：將天平左邊放置，天平右邊放置，使得天平平衡．理由：【分析】解決問題：（1）用乒乓球的總質(zhì)量加上砝碼的總質(zhì)量可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，求解可得答案；及時(shí)遷移：根據(jù)乒乓球、紙杯、砝碼的質(zhì)量設(shè)計(jì)即可，只是平衡即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：記錄一中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：6x+10；記錄二中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：4x﹣10，故答案為：6x+10；4x﹣10，（2）由題意得：6x+10＝14（4x﹣10），解得：x＝3，∴4x﹣10＝2答：一個(gè)乒乓球的質(zhì)量為3克，一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量為2克．及時(shí)遷移：將天平左邊放置10個(gè)乒乓球，天平右邊放置10個(gè)一次性紙杯和1個(gè)10克的砝碼，使得天平平衡．故答案為：10個(gè)乒乓球，10個(gè)一次性紙杯和1個(gè)10克的砝碼，理由：不唯一，算術(shù)方法或者方程方法說明都可以，言之有理即可．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是等式的性質(zhì)、列代數(shù)式，掌握等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解決此題的關(guān)鍵．題型4.解帶有括號(hào)的一元一次方程的技巧5．解方程：（1）2﹣3x＝5﹣2x；（2）3（3x﹣2）＝4（1+x）．【分析】（1）移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可求解；（2）去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可求解．【解答】解：（1）2﹣3x＝5﹣2x，﹣3x+2x＝5﹣2，﹣x＝3，x＝﹣3；（2）3（3x﹣2）＝4（1+x），9x﹣6＝4+4x，9x﹣4x＝4+6，5x＝10，x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解題的關(guān)鍵．題型5.解帶有分母的一元一次方程的技巧6．（2022秋?宣城期末）解方程：．【分析】方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：去分母得：6x﹣3＝12﹣4x﹣8，移項(xiàng)合并得：10x＝7，解得：x＝0.7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．7．（2022秋?無為市期末）解方程：．【分析】先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化“1”即可．【解答】解：，去分母，得2（2x﹣1）+3（x+1）＝4，去括號(hào)，得4x﹣2+3x+3＝4，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得7x＝3，系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．題型6.方程的解的綜合運(yùn)用8．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x＝4的解為2，且2＝4﹣2，則方程2x＝4是差解方程．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）判斷3x＝4.5是否是差解方程；（2）若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．【分析】（1）解方程，并計(jì)算對(duì)應(yīng)b﹣a的值與方程的解恰好相等，所以是差解方程；（2）解方程，根據(jù)差解方程的定義列式，解出即可．【解答】解：（1）∵3x＝4.5，∴x＝1.5，∵4.5﹣3＝1.5，∴3x＝4.5是差解方程；（2）5x＝m+1，x＝，∵關(guān)于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，∴m+1﹣5＝，解得：m＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解與新定義：差解方程，解好本題是做好兩件事：①熟練掌握一元一次方程的解法；②明確差解方程的定義，即b﹣a＝方程的解．題型7.解含有絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程9．（2022秋?貴池區(qū)期末）我們知道由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2，例如解方程：|2x﹣1|＝3，我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，所以x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2）解方程：|x﹣2|＝|3x+2|．【分析】（1）先去絕對(duì)值，化成一元一次方程求解即可；（2）先去絕對(duì)值，化成一元一次方程求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義得：3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，解得x＝2或；（2）由絕對(duì)值的意義得：x﹣2＝3x+2或x﹣2+3x+2＝0，解得x＝﹣2或x＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含絕對(duì)值的一元一次方程的解法，掌握絕對(duì)值的意義是求解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?鳳陽縣校級(jí)月考）閱讀下面例題的解題方法．解方程：|x﹣2|＝1解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，原方程可化解為x﹣2＝1…①或x﹣2＝﹣1…②．解方程①得x＝3，解方程②得x＝1，所以原方程的解是x＝3或x＝1．請(qǐng)仿照上面例題的解題方法，解方程：|2x+1|＝5．【分析】先根據(jù)題意可分兩種情況進(jìn)行討論，即2x+1≥0與2x+1＜0；再運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，最后解關(guān)于x的一元一次方程．【解答】解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，原方程可化解為2x+1＝5…①或2x+1＝﹣5…②．解方程①得x＝2，解方程②得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查帶絕對(duì)值的方程的解法，能夠讀懂題意是解題的關(guān)鍵．題型8.與方程的解有關(guān)的情境題11．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)高郵市南海中學(xué)校考階段練習(xí)）小剛設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序．

(1)當(dāng)輸入時(shí)，求輸出M的值為多少？(2)當(dāng)輸入時(shí)，求輸出M的值為多少？(3)當(dāng)輸出時(shí)，求出輸入x的值為多少？【答案】(1)M的值為5(2)M的值為13(3)x的值為或【分析】（1）當(dāng)輸入時(shí)，代入求值即可；（2）當(dāng)輸入時(shí)，代入求值即可；（3）分兩種情況求解方程即可．【詳解】（1）當(dāng)輸入時(shí)，代入得；（2）當(dāng)輸入時(shí)，代入得；（3）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)只有符合條件；綜上所述，當(dāng)輸出時(shí)，輸入x的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，正確理解數(shù)值轉(zhuǎn)換程序是解決此類題型的關(guān)鍵．【方法三】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列方程中，屬于一元一次方程的個(gè)數(shù)有（

）①②③④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：①．含有兩個(gè)未知數(shù)，所以不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；②．不是整式，所以不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；③．是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；④．未知數(shù)的最高次數(shù)是2，所以不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；是一元一次方程的有個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程稱為一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·安徽淮南·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解是，則的值是（）A．10 B．4 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的解定義，將代入已知方程列出關(guān)于的新方程，通過解新方程即可求得的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義，能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽淮北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)是有理數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵，∴或，故A不符合題意；∵，∴，故B符合題意；∵，，∴，故C不符合題意；∵，∴，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．4．（2022秋·安徽六安·七年級(jí)?？计谥校┙夥匠?，以下去分母正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】方程兩邊同時(shí)乘以12即可得到答案．【詳解】解：方程左右兩邊同時(shí)乘以12得：，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握去分母的方法是解題的關(guān)鍵．．5．（2022秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果是關(guān)于x的方程的解，那么m的值是（

）A．6 B． C． D．2【答案】B【分析】把代入方程求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽淮北·七年級(jí)?？计谥校┫铝蟹匠讨?，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元一次方程的概念一一判斷即可．一元一次方程指的是含有一個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)為1的整式方程．【詳解】解：A.，含有2個(gè)未知數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B.，不是整式方程，此選項(xiàng)不符合題意；C.，未知數(shù)的最高次為2，此選項(xiàng)不符合題意；D.，此選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】主要考查一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的概念，一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1，整式，對(duì)這類題就能迎刃而解．7．（2018秋·安徽·七年級(jí)階段練習(xí)）小李在解方程（x為末知數(shù)）時(shí)，誤將看做，得出方程的解為，則原方程的解為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】把代入方程，即可得到一個(gè)關(guān)于a的方程，求得a的值，再求出原方程的解．【詳解】把代入方程，得：,解得：，則原方程是：，解得：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是理解方程解的定義．8．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程的解是整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解關(guān)于x一元一次方程，求出方程的解，再根據(jù)解是整數(shù)，得是整數(shù)，求出a的整數(shù)值即可求解．【詳解】解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為，得：關(guān)于的方程的解是整數(shù)，是整數(shù)，則可為，，，，可為、、、，則符合條件的所有整數(shù)的和是：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的問題，解題關(guān)鍵在于先求出含有的解和根據(jù)解是整數(shù)求出的整數(shù)值．9．（2022春·安徽六安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：，某商人經(jīng)營甲、乙兩種商品，每件甲種商品的利潤率為40%，每件乙種商品的利潤率為60%，當(dāng)售出的乙種商品比售出的甲種商品的件數(shù)多50%時(shí)，這個(gè)商人得到的總利潤率為50%，甲、乙兩種商品進(jìn)價(jià)的比值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】明確等量關(guān)系：甲種商品利潤乙種商品利潤兩種商品的總進(jìn)價(jià)總利潤率，設(shè)參數(shù)求解．【詳解】解：令甲、乙商品進(jìn)價(jià)為，售出甲種商品m件，則，化簡，得∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，等式變形；掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·安徽蕪湖·七年級(jí)校考期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，則關(guān)于的一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的解的定義，可得，關(guān)于的方程化簡為，解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元一次方程的解是，即的解是，∴∴，∴，即解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若是關(guān)于的方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意將代入方程即可得到關(guān)于a，b的代數(shù)式，變形即可得出答案．【詳解】解：將代入方程得到，變形得到，所以．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用方程的對(duì)代數(shù)式求值，將方程的解代入并對(duì)代數(shù)式變形整體代換即可，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·安徽馬鞍山·七年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程是一元一次方程，則k的值是．【答案】4或【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元一次方程，∴，∴或，故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，一般地，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程．13．（2022春·安徽亳州·七年級(jí)校考開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，方程和方程的解相同．【答案】【分析】先求出第一個(gè)方程的解，把代入第二個(gè)方程，再求出的值即可．【詳解】解：解方程得：，方程和方程的解相同，方程的解也是，把代入得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程和解一元一次方程，能求出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校校考期中）一般情況下，對(duì)于數(shù)和，（“≠”不等號(hào)），但是對(duì)于某些特殊的數(shù)和，．我們把這些特殊的數(shù)和，稱為“理想數(shù)對(duì)”，記作．例如當(dāng)，時(shí)，有，那么就是“理想數(shù)對(duì)”．（1）如果是“理想數(shù)對(duì)”，那么；（2）若是“理想數(shù)對(duì)”，則：的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意可得方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而推出，再根據(jù)整式的加減計(jì)算法則對(duì)所求式子化簡得到，由此即可得到答案．【詳解】解：（1）由題意得，，即，∴，解得，故答案為：；（2）∵是“理想數(shù)對(duì)”，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，解一元一次方程，正確理解題目所給的新定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022春·安徽蚌埠·七年級(jí)校考階段練習(xí)）小英解不等式的過程如下，請(qǐng)指出她解答過程中錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫出正確的解答過程．解：去分母得：①去括號(hào)得：②移項(xiàng)得：③合并同類項(xiàng)得：④兩邊都除以得：⑤【答案】錯(cuò)誤的步驟有①②⑤，正確解答過程見解析【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1依次計(jì)算可得．【詳解】解：錯(cuò)誤的步驟有①②⑤，正確解答過程如下：去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．去括號(hào)時(shí)，不要漏乘沒有分母的項(xiàng)；系數(shù)化為1時(shí)，如果未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，則不等號(hào)的方向要改變，如果系數(shù)是正數(shù)，則不等號(hào)的方不變．16．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)校考期中）解方程：．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的解法可進(jìn)行求解．【詳解】解：去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·安徽六安·七年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮俊痉治觥堪凑杖シ帜福ダㄌ?hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·安徽蕪湖·七年級(jí)?？计谀┬●R虎在解關(guān)于的方程去分母時(shí)，方程右邊的“”沒有乘以6，最后他求得方程的解為3．(1)求的值；(2)求該方程正確的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得是方程的解，將之代入即可求出的值；（2）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為；進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得，是方程的解，∴，解得；（2）原方程為，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得：，系數(shù)化為得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解本題的關(guān)鍵．19．（2022春·安徽六安·七年級(jí)校考階段練習(xí)）用“★”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定，如：．(1)______；(2)若，求a的值．【答案】(1)(2)a的值為1【分析】（1）直接根據(jù)新定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為a的一元一次方程求解．【詳解】（1）∵，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∴，解得，即a的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及解一元一次方程，正確理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023秋·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】【分析】方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：去分母得，整理得，去括號(hào)得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，．所以原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟