高中物理人教版選修34教學(xué)案第十一章第4節(jié)單擺

第4節(jié)單量

■魏EW加欣磔■課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

一、單擺

組成要求

細(xì)線擺線看成是不行伸長,且沒有質(zhì)量的細(xì)線

小球擺球看成是沒有太小只有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)

單擺是抱負(fù)化模型：忽視在搖擺過程中所受到的阻力，試驗中盡量選擇質(zhì)量大、體積

小的小球和盡量細(xì)不行伸長的線。

二、單擺的回復(fù)力

i.回復(fù)力的供應(yīng)：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。

2.回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角很小時，單擺所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比,

方向總指向平衡位置,即尸=一竿X。

3.單擺的運(yùn)動規(guī)律：單擺在偏角很小時做簡諧運(yùn)動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。

三、單擺的周期

1.定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對周期的影響

(1)探究方法：掌握變量法。

(2)試驗結(jié)論

①單擺振動的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。

②振幅較小時，周期與振幅無關(guān)。

③擺長越長，周期越長;擺長越短，周期越短。

2.定量探究單擺的周期與擺長的關(guān)系

(1)周期的測量:用停表測出單擺M30?50)次全振動的時間f,利用T=￡計算它的周期。

(2)擺長的測量：用刻度尺測出細(xì)線長度到用游標(biāo)卡尺測出小球直徑O,利用/=Zo+9

求出擺長。

(3)數(shù)據(jù)處理：轉(zhuǎn)變擺長,測量不同擺員及對應(yīng)周期，作出T-及或7-3圖像，得出

結(jié)論。

3.周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T=2cJ1,即T與擺長/的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成

反比。

4.周期公式的應(yīng)用

47r2/

由單擺周期公式可得g=者，只要測出單擺的擺長/和周期T就可算出當(dāng)?shù)氐闹亓?/p>

速度。

1.自主思索一判一判

(1)制作單擺的細(xì)線彈性越大越好。(X)

(2)制作單擺的細(xì)線越短越好。(X)

(3)制作單擺的擺球越大越好。(X)

(4)單擺的周期與擺球的質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，周期越小。(X)

(5)單擺的回復(fù)力等于擺球所受合力。(X)

2.合作探究——議一議

(1)由于單擺的回復(fù)力是由擺球的重力沿切線方向的分力供應(yīng)的，那么是否擺球的質(zhì)量

越大，回復(fù)力越大，單擺搖擺得越快，周期越?。?/p>

提示：不是。擺球搖擺的加速度除了與回復(fù)力有關(guān)外，還與擺球的質(zhì)量有關(guān)，即

所以擺球質(zhì)量增大后，加速度并不增大，其周期由T=2弋］打算，與擺球的質(zhì)量無關(guān)。

(2)多多觀看，寫誕生活中你能遇到哪些單擺模型。

提示：坐鐘、牛頓擺、秋千等。

課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

_____________”單擺回復(fù)力及運(yùn)動特征的理解

通知識

i.單擺的回復(fù)力

圖11-4-1

(1)單擺受力：如圖11-4-1所示，受細(xì)線拉力和重力作用。

(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力。

(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin，供應(yīng)了使擺球振動的回復(fù)力。

2.單擺做簡諧運(yùn)動的推證

在偏角很小時，sin，得，又回復(fù)力f=mgsin。，所以單擺的回復(fù)力為尸=一竿x(式中

x表示擺球偏離平衡位置的位移，/表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力戶與位移x的方向相

反)，由此知回復(fù)力符合尸=一履，單擺做簡諧運(yùn)動。

。通題組

1.以下有關(guān)單擺運(yùn)動過程中的受力，說法正確的選項是()

A.單擺運(yùn)動的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力

B.單擺運(yùn)動的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力

C.單擺經(jīng)過平衡位置時合力為零

D.單擺運(yùn)動的回復(fù)力是擺線拉力的一個分力

解析：選B單擺運(yùn)動是在一段圓弧上運(yùn)動，因此單擺運(yùn)動過程不僅有回復(fù)力，而且

有向心力，即單擺的合外力不僅要供應(yīng)回復(fù)力，而且要供應(yīng)向心力，應(yīng)選項A錯誤；單擺

的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力，而不是擺線拉力的分力，應(yīng)選項B正確，D

錯誤；單擺經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，向心力最大，故其合外力不為零，所以選項C

錯誤。

2.一單擺做小角度搖擺，其振動圖像如圖11-4-2所示，以下說法正確的選項是()

圖11-4-2

A.G時刻擺球速度最大，擺球的回復(fù)力最大

B.打時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小

C.力時刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小

D.〃時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大

解析：選D在4時刻和為時刻擺球的位移最大，回復(fù)力最大，速度為零，A、C均錯

誤；在打時刻和“時刻擺球在平衡位置，速度最大，懸線拉力最大，回復(fù)力為零，故B錯

誤，D正確。

考點(diǎn)二對單擺周期公式的理解

通知識

1.擺長/

(1)實際的單擺擺球不行能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長應(yīng)是從懸點(diǎn)到擺球球心的長度，即/=￡+(,

L為擺線長，d為擺球直徑。

(2)等效擺長。

圖ll-4-3(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為/?sina,

這就是等效擺長，其周期7=2兀\倍口。

圖(b)中，乙在垂直紙面方向搖擺時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度搖擺時，與丙等

效。

2.重力加速度g

假設(shè)單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置打算，即8=

景，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。

另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g=9.8m/s2只是在地球外表四周

時的取值。

。通方法

［典例］有一單擺，其擺長/=1.02m,單擺做簡諧運(yùn)動，單擺振動30次用的時間f=

60.8s,試求：

(1)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅?/p>

(2)假如將這個單擺改為秒擺，擺長應(yīng)怎樣轉(zhuǎn)變？轉(zhuǎn)變多少？

［思路點(diǎn)撥］

(1)單擺的周期T與f的關(guān)系：7=：。

(2)秒擺的周期為2s。

［解析］(1)當(dāng)單擺做簡諧運(yùn)動時，其周期公式T=2小K，

47r2/t47r

由此可知？=不"，只要求出丁值代入即可。由于T=［=s=2.027s,所以g=予-=m/s2

=9.79m/s2o

(2)秒擺的周期是2s,設(shè)其擺長為/o,由于在同一地點(diǎn)重力加速度是不變的，依據(jù)單擺

的振動規(guī)律有：齊*,

故有:la=~^T=~Tm=0.993m。

所以其擺長要縮短A/=Z-/o=l.O2m-0.993m=0.027m。

［答案］(1)9.79m/s2(2)縮短0.027m

計算單一的周期的兩種方法

計算單擺的周期有兩種方法，一是依據(jù)T=27rJ1,二是依據(jù)7=(。第一種方法利用

了單擺的周期公式，計算的關(guān)鍵是正確確定擺長。其次種方法利用了粗測周期的一種方法,

周期的大小雖然不取決于，和N,但利用該種方法計算周期，會受到時間f和振動次數(shù)N測

量的精確？????性的影響。

弓通題組

1.甲、乙兩個單擺擺長相等，將兩個單擺的擺球由平衡位置拉開，使擺角a甲＞。乙3甲、

。乙都小于5°）,在同一地點(diǎn)由靜止開頭同時釋放，那么（）

A.甲先到達(dá)平衡位置B.乙先到達(dá)平衡位置

C.甲、乙同時到達(dá)平衡位置D.無法推斷

解析：選C由單擺的周期公式可知周期7與/、g有關(guān)，與質(zhì)量、搖擺

的幅度無關(guān)，當(dāng)在同一地點(diǎn)釋放時，周期只與擺長有關(guān)，故同時釋放，同時到達(dá)平衡位置。

2.一個單擺，在第一個行星上的周期為北，在其次個行星上的周期為T2,假設(shè)這兩個

行星的質(zhì)量之比為：M2=4：1,半徑之比Ri：R2=2：1,那么（）

A.Ti：r2=l：1B.Ti：72=4：1

C.Ti：T2=2：1D.Ti：72=1:2

解析：選A單擺的周期公式為T=2-,同一單擺即有78而，又據(jù)萬有引力定律

，叫=格,有g(shù)=鬻，因此T8冊,故乃：A=\/藤=、/|噂=1：1，故A正

確。

I,在其懸點(diǎn)0的正下方0.19/處有一釘子P（如圖11-4-4所示）,現(xiàn)將擺球向左拉開到A,

使擺線偏角，＜5°,放手后使其搖擺，搖擺到B的過程中擺角也小于5°,求出單擺的振動

周期。

圖11-4-4

解析：釋放后擺球到達(dá)右邊最高點(diǎn)5處，由機(jī)械能守恒可知8和4等高，那么擺球始

終做簡諧運(yùn)動。單擺做簡諧運(yùn)動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和。

小球在左邊的周期為T\—2

小球在右邊的周期為72=2幾錯誤!

那么整個單擺的周期為T=y+y

答案Y

考點(diǎn)三”試驗：用單擺測定重力加速度

通知識

1.試驗原理

單擺在偏角很小(小于5°)時的搖擺，可以看成是簡諧運(yùn)動。其固有周期為7=24,

4元2,

由此可得且=景。據(jù)此，只要測出擺長/和周期7,即可計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎怠?/p>

2.試驗器材

擺球1個(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或鋼卷尺、游標(biāo)卡尺、細(xì)線等。

3.試驗步驟

(1)做單擺：將線的一端穿過小球的小孔，并打一比孔大的結(jié)。然后把線的上端用鐵夾

固定于鐵架臺上，在平衡位置處做上標(biāo)記。

(2)測擺長：用毫米刻度尺測出擺線長度/線，用游標(biāo)卡尺測量出擺球的直徑d,那么單

擺的擺長/=/線+日。

(3)測周期：將單擺從平衡位置拉開一個小于5°的角，然后釋放擺球，當(dāng)單擺振動穩(wěn)

定后，過最低位置時開頭用秒表計時，測量N次(一般取30?50次)全振動的時間t,那么

周期7=(。

(4)變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復(fù)試驗三次，測出相應(yīng)的擺長/和周期7。

4.數(shù)據(jù)處理

(1)平均值法：每轉(zhuǎn)變一次擺長，將相應(yīng)的/和7代入公式中求出g值，最終求出g的

平均值。

設(shè)計如下所示試驗表格

重力加速度重力加速度g的

試驗次數(shù)擺長Z/m周期77s

g/(m-s~2)平均值/(nrsf

1

gi+g2+gj

2g—3

3

(2)圖像法：由得爐=答/,作出//圖像，即以p為縱軸，以/為橫軸。

其斜率k=苛,由圖像的斜率即可求出重力加速度g。

r/s2

Ol/m

圖11-4-5

5.誤差分析

(1)系統(tǒng)誤差：主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點(diǎn)是否固定，擺球是否

可看做質(zhì)點(diǎn)，球、線是否符合要求，搖擺是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪

段長度作為擺長等。只要留意了上面這些問題，就可以使系統(tǒng)誤差減小到遠(yuǎn)小于偶然誤差

而到達(dá)忽視不計的程度。

(2)偶然誤差：主要來自時間(即單擺周期)的測量上。因此，要留意測準(zhǔn)時間(周期)。要

從擺球通過平衡位置開頭計時，并采納倒計時計數(shù)的方法，即4,3,2,1,0,12…在數(shù)"零"

的同時按下秒表開頭計時。不能多計或漏計振動次數(shù)。為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行屢次測

量后取平均值。

6.考前須知

(1)選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)、輕又不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應(yīng)選用密度

較大的金屬球，直徑應(yīng)較小，最好不超過2cm。

(2)單擺懸線的上端不行隨便卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免搖擺時發(fā)生擺線

下滑、擺長轉(zhuǎn)變的現(xiàn)象。

(3)留意搖擺時掌握擺線偏離豎直方向不超過10°。可通過估算振幅的方法把握。

(4)擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。

(5)計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)從擺球通過最低位置時開頭計時，為便于計時，可在擺

球平衡位置的正下方作一標(biāo)記。以后擺球每次從同一方向通過最低位置時進(jìn)行計數(shù)，且在

數(shù)“零”的同時按下秒表，開頭計時計數(shù)。

U通方法

［典例］在做“用單擺測定重力加速度”的試驗時，用擺長/和周期T計算重力加速

度的公式是g=o假設(shè)擺球直徑為2.00cm,讓刻度尺的零點(diǎn)對準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線

豎直下垂，如圖11-4-6所示，那么單擺擺長是mo假設(shè)測定了40次全振動的時間

為75.2s,單擺搖擺周期是o

為了提高測量精度，需屢次轉(zhuǎn)變/值，并測得相應(yīng)的T值。現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在

以/為橫坐標(biāo)，以升為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖11-4-7中用“?〃表示的點(diǎn)，那么：

(1)單擺做簡諧運(yùn)動應(yīng)滿意的條件是。

(2)試依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出廠和I的關(guān)系圖線，依據(jù)圖線可求出g=

m/s2.(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)

［思路點(diǎn)撥I

(1)擺長等于擺線的長度與小球半徑之和。

(2)用直線連接各點(diǎn)時要使不在直線上的點(diǎn)勻稱分布在直線兩側(cè)，離線較遠(yuǎn)的點(diǎn)舍棄不

用。

(3)/"圖線的斜率A與g的關(guān)系：*=等。

［解析］由T=2TT^|,可知8=得。由圖可知：擺長/=(88.50—L00)cm=87.50cm

=0.8750m.T=^=1.88so

(1)單擺做簡諧運(yùn)動的條件是擺角小于5°。

(2)把在一條直線上的點(diǎn)連在一起，誤差較大的點(diǎn)平均分布在直線的兩側(cè)，那么直線斜

\T^47r2A/47r2

率由g=A/可得g=9.8m/s2(9.9m/s2也正確)。

［答案］見解析

。通題組

1.某試驗小組在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊脑囼炛?

圖11-4-8

⑴用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖11-4-8所示，那么該擺球的直徑為

（2）小組成員在試驗過程中有如下說法，其中正確的選項是.（填選項前的字母）

A.把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開頭計時

B.測量擺球通過最低點(diǎn)100次的時間t,那么單擺周期志

C.用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值

偏大

D.選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小

解析：（1）主尺讀數(shù)加游標(biāo)尺讀數(shù)的總和等于最終讀數(shù)，0.9cm+7X點(diǎn)mm=0.97cm,

不需要估讀。

（2）單擺符合簡諧運(yùn)動的條件是最大偏角不超過5°,并從平衡位置計時，故A錯誤；

假設(shè)第一次過平衡位置計為“0”那么周期7=5,假設(shè)第一次過平衡位置計為“1”,那么周

期7=息，B錯誤；由7=27^|得g=贊，其中L為擺長，即懸線長加擺球半徑，假

設(shè)為懸線長加擺球直徑，由公式知g偏大，故C正確；為了能將擺球視為質(zhì)點(diǎn)和削減空氣

阻力引起的相對誤差，應(yīng)選密度較大體積較小的擺球，故D錯誤。

答案：（1）0.97（2）C

2.用單擺測定重力加速度的試驗裝置如圖11-4-9所示。

圖11-4-9

（1）（多項選擇）組裝單擺時，應(yīng)在以下器材中選用（選填選項前的字母）。

A.長度為1m左右的細(xì)線

B.長度為30cm左右的細(xì)線

C.直徑為1.8cm的塑料球

D.直徑為1.8cm的鐵球

（2）測出懸點(diǎn)O到小球球心的距離（擺長比及單擺完成n次全振動所用的時間6那么重

力加速度且=(用L、〃、f表示)。

(3)下表是某同學(xué)記錄的3組試驗數(shù)據(jù)，并做了局部計算處理。

組次123

擺長L/cm

50次全振動時間t/s

振動周期T/s

重力加速度g/(m-s-2)

請計算出第3組試驗中的7=s,g=m/s2o

(4)用多組試驗數(shù)據(jù)作出圖像，也可以求出重力加速度g。三位同學(xué)作出的汗(圖

線的示意圖如圖11-4-10中的a、b、c所示，其中a和6平行，匕和c都過原點(diǎn)，圖線》對

應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?。那么相對于圖線b,以下分析正確的選項是

(選填選項前的字母)。

圖11-4-10

A.消失圖線a的緣由可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長L

B.消失圖線c的緣由可能是誤將49次全振動記為50次

C.圖線c對應(yīng)的g值小于圖線》對應(yīng)的g值

解析：(1)組裝單擺時，應(yīng)選用1m左右的細(xì)線，擺球應(yīng)選擇體積小、密度大的球，選

項A、D正確。

(2)單擺的振動周期7=。。

依據(jù)T=27T\^~,得g=/=——。

(3*3=1=2.01s.

依據(jù)T=27t、《，得8=""餐9.76m/s2o

(4)依據(jù)T=2'勺,得〃=當(dāng)L，即當(dāng)L=0時，r=0o

V?o

消失圖線a的緣由是計算擺長時過短，可能是誤將懸點(diǎn)0到小球上端的距離記為擺長，

T2

選項A錯誤；對于圖線c,其斜率R變小了，依據(jù)A=E，可能是7變小了或L變大了。選

4元24元2

項B中誤將49次全振動記為50次，那么周期7變小，選項B正確；由丁=?得g=h，

那么A變小，重力加速度g變大，選項C錯誤。

答案：⑴AD⑵也/（3）2.019.76（4）B

速統(tǒng)課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

一、基礎(chǔ)題畬熟

1.在如下圖的裝置中，可視為單擺的是（）

解析：選A單擺是由不行伸長的細(xì)線和金屬小球組成的，其懸點(diǎn)應(yīng)在擺球搖擺過程

中固定不變，故只有A項正確。

2.在月球上周期相等的彈簧振子和單擺，把它們放到地球上后，彈簧振子的周期為

單擺的周期為T2,那么八和T2的關(guān)系為（）

A.TI>T2B.T=T2

C.Ti<T2D.無法確定

解析：選A彈黃振子的周期由振動系統(tǒng)本身打算，與重力加速度無關(guān)，故。=T.，

對單擺來說，由7=2八/1可知，其周期與單擺所處位置的重力加速度g有關(guān)，因gQg月,

故月，所以7I>72,A正確，B、C、D均錯誤。

3.如圖1所示，光滑糟的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動的弧長，今有兩個小球（視為質(zhì)點(diǎn)）同時

由靜止釋放，其中甲球開頭時離槽最低點(diǎn)0遠(yuǎn)些，那么它們第一次相遇的地點(diǎn)在（）

圖1

A.0點(diǎn)B.。點(diǎn)偏左

C.。點(diǎn)偏右D.無法確定，由于兩小球質(zhì)量關(guān)系未定

解析：選A由于半徑R遠(yuǎn)大于運(yùn)動的弧長，所以小球做簡諧運(yùn)動，其周期都為T=

與位移的大小無關(guān)，故同時到達(dá)。點(diǎn)，A正確。

4.如圖2是甲、乙兩個單擺做簡諧運(yùn)動的圖像，以向右的方向作為擺球偏離平衡位移

的正方向，從，=0時刻起，當(dāng)甲第一次到達(dá)右方最大位移處時，乙在平衡位置的（）

A.左方，向右運(yùn)動B.左方，向左運(yùn)動

C.右方，向右運(yùn)動D.右方，向左運(yùn)動

解析：選D甲第一次到達(dá)右方最大位移處時，f=1.5s,此時乙的位移為正值，且正

在減小，故乙此時在平衡位置右側(cè)，且向左運(yùn)動，D正確。

5.（多項選擇）在用單擺測重力加速度的試驗中，測得單擺偏角小于5°,試驗中某同

學(xué)所測g值偏大，其緣由可能是（）

A.試驗室離海平面太高

B.擺球太重

C.測出“次全振動時間為f,誤作為（〃+1）次全振動時間進(jìn)行計算

D.以擺線長與擺球直徑之和作為擺長來計算

解析：選CD由單擺的周期公式r=2R^,g值偏大，可能是周期算小了或是擺長

算長了，選C、Do

二、能力題每通

6.正在修建的房頂上固定的一根不行伸長的細(xì)線垂到三樓窗沿下，某同學(xué)應(yīng)用單擺原理

測量窗的上沿到房頂?shù)母叨龋葘⒕€的下端系上一個小球，發(fā)覺當(dāng)小球靜止時，細(xì)線恰好

與窗子上沿接觸且保持豎直，他翻開窗子，讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)搖擺，如圖3

所示，從小球第1次通過圖中的8點(diǎn)開頭計時，第21次通過8點(diǎn)用時30s；球在最低點(diǎn)8

時，球心到窗上沿的距離為1m,當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取砂（m/s2）；依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得小球運(yùn)

動的周期T=s；房頂?shù)酱吧涎氐母叨萮=m。

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