小學(xué)奧數(shù)三年級教材

第一部分?jǐn)?shù)字與計算第一講速算與巧算【專題知識點概述】本講知識點屬于計算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記加減法運算規(guī)則和運算律，并在計算中運用湊整的技巧。巧算的幾種方法：分組湊整法：就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運算結(jié)果都是整十、整百、整千......的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和（差）加補湊整法1、移位湊整法：先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加。2、借數(shù)湊整法：有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整。其他類型的巧算二、基本運算律及公式：兩個運算律：一、加法加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一數(shù)．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結(jié)：多個數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變．加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，他們的和不變。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一數(shù)．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結(jié)：多個數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個數(shù)或者多個數(shù)相加，其和不變。二、減法在連減或者加減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時要帶數(shù)字前面的運算符號“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個數(shù)．在加減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變；如果括號前面是“－”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃保纾篴＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“＋”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“－”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃?。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）【重點難點解析】找出題目中可以進行“湊整”的數(shù)。利用運算律或者公式調(diào)整運算順序?！靖傎惪键c挖掘】做復(fù)雜、多個數(shù)的連加計算時，利用運算律或者公式，盡量避免進位。適當(dāng)調(diào)整運算順序?！玖?xí)題精講】【例1】（難度等級※）計算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）（3）756－248－352（4）894－89－111－95－105－94【分析與解】在這個例題中，主要讓學(xué)生掌握加、減法分組湊整的方法。幾個數(shù)相加，可以先把可以湊整的幾個數(shù)分成一組；一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)，可以先把后兩個數(shù)相加湊整，再用這個數(shù)減去后兩個數(shù)的和．具體分析如下：（1）式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）＝450＋700＋1150＝（450＋1150）＋700＝1600＋700＝2300（2）式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）＝3000＋500＋800＝4300（3）式＝756－（248＋352）＝756－600＝156（4）式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）＝800－200－200＝400【例2】（難度等級※）計算：（1）1348－234－76＋2234－48－24（2）1847－1936＋536－154－46（3）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006（4）2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+3+2-1【分析與解】在這個例題中，主要讓學(xué)生掌握加減法混合運算分組湊整的方法，在湊整的過程中，要注意運算符號的變化或者帶著符號搬家．具體分析如下：（1）式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）＝1300＋2000－100＝3200（2）式＝1847－（1936－536）－（154＋46）＝1847－1400－200＝247（3）式＝1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-2003-2004+2005）+2006＝2007（4）式＝（2003+2002-2001-2000）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）＝4×（2004÷4）＝2004【例3】（難度等級※）計算6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847)【分析與解】原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－1327－4)－(7362－5362－4)－(4847－2847－4)＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20＝27980－8000＋20＝20000【例4】（難度等級※）乒乓球訓(xùn)練所為了方便乒乓球的管理與取放，將乒乓球放在如右圖所示的容器中，已知這個容器可以放20層乒乓球，最下面一層可以放12個，每層都比上一層多1個，問這個容器可以盛放多少個乒乓球？【分析與解】因為這些乒乓球從下向上看，從第2層起，每層比下一層多1根，共有20層，所以這個容器中的乒乓球總數(shù)為：12+13+14+…+29+30+31=（12+31）+（13+30）+（14+29）+…+（21+22）=43×10=430【例5】（難度等級※※）有一個掛鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，三點鐘敲3下，…十二點鐘敲12下，每逢分針指向6時敲1下。問：這個掛鐘一晝夜共敲多少下？【分析與解】一晝夜有24個小時，把整點的與分針指向6時的分開算，整點一共敲：1+2+3+…+10+11+12+1+2+3+…+10+11+12=（1+2+3+…+10+11+12）×21+2+3+…+10+11+12=（1+12）+（2+11）+（3+10）+…+（6+7）=13×6=7878×2=156指向6時一共敲24下，所以，一晝夜一共敲156+24=180（下）【例6】（難度等級※※）計算（1）298＋396＋495＋691＋799＋21（2）195＋196＋197＋198＋199＋15（3）98－96－97－105＋102＋101（4）399＋403＋297－501【分析與解】在這個例題中，主要讓學(xué)生掌握加法運算加補湊整的方法．具體分析如下：（1）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）＝300＋400＋500＋700＋800＝2700（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21＝2700（2）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1＝3（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1＝598注：在（1）中，在加100時多加了1，所以要減去，這樣保證結(jié)果不變，所以“多加的要減去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多減了2，所以要加上，所以“多減的要加上”；（4）中，少減了3，后面要再減去3，所以“少減的要再減”．【例7】（難度等級※※）計算：（1）19+199+1999+……+199……91999個9（2）2002+2001-2000-1999+…+6+5-4-3+2+1【分析與解】原式＝2222……0-1999×11999個2＝22……202211996個2（2）原式＝2002-2000+2001-1999+…+6-4+5-3+2-1＝2×1001+1=2003＝2002+1＝2003【例8】（難度等級※※※）計算9+99+999+……+9999999999個9【分析與解】本題可以把所有的加數(shù)均看成整十、整百、整千……的數(shù)，最后再進行補數(shù)原式＝10+100+1000+……+10000000000-99個0＝1111111110-9＝1111111101【例9】（難度等級※※※）計算（1）19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7（2）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋98【分析與解】（1）（法1）原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（72000－3）＋（2000－3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3）＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8×3＝30991110－24＝30991086（法2）原式＝10000000+9000000×2+900000×3+70000×4+1000×5+900×6+90×7+7×8＝10000000+18000000+2700000+280000+5000+5400+630+56＝30991086（2）原式＝83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98＝90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8＝1080+6＝1086總結(jié):找“基準(zhǔn)數(shù)”法：當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）【例10】（難度等級※※※）加法金字塔，計算右面數(shù)的和【分析與解】這一列數(shù)的前九行是從上到下、從小到大排，后九行是從下到上、從大到小排，所以從中間對折，上、下對應(yīng)的兩個數(shù)字之和是10，由此推知，個位的18個數(shù)之和是（1+9）+（3+7）+（4+6）+…+（1+9）=10×9=90，同理，十位的16個數(shù)之和是80，百位的14個數(shù)之和是70……億位的兩個數(shù)之和是10，按照加法進位的法則，上面的金字塔的結(jié)果是1234567890。【例11】（難度等級※※※）計算（1）100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108（2）123＋234＋345－456＋567－678＋789【分析與解】（1）原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）＝100＋1＋1＋1＋1＝104（2）（法1）原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）＝123＋234＋345＋111＋111＝234＋（123＋567）＝234＋690＝924（法2）原式＝123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666）＝123×3+（111+222-333+444-555+666）＝369+555＝924【例12】（難度等級※※※）計算：1234＋3142＋4321＋2413【分析與解】原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）＝10000＋1000＋100＋10＝11110【例13】（難度等級※※※）在右圖的36個格子中各有一個數(shù)，最上面一橫行和最左面一豎列中的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)等于每個格子同一橫行最左面數(shù)與同一豎列最上面數(shù)之和（例如：a＝14＋17＝31），問這36個數(shù)的總和是多少？【分析與解】（法1）第二橫行的空格應(yīng)該填的數(shù)字分別是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一橫行都是用豎列的一個數(shù)與橫行的每一個數(shù)相加．我們最后要求這36個格子中的所有數(shù)字之和，第一橫行的和為：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二橫行的和為：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三橫行的和為：14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四橫行的和為16×6＋75＝171，第五橫行的和為：18×6＋75＝183，第六橫行的和為：20×6＋75＝195.所以36個格子的和為85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.（法2）法1比較笨拙，沒有體現(xiàn)該題解法的精髓，在我們解這道題之前，我們看看下面的例子：2345468上表空格處的數(shù)等于每個格子同一橫行最左面數(shù)與同一豎列最上面數(shù)之和，求這16個數(shù)之和。每列第一個數(shù)為a,所填每列和＝3a+4+6+8，所填寫各列總和＝3×(3+4+5)+(4+6+8)×3，所以除角上2以外的所有數(shù)之和為4×(4+6+8+3+4+5)，所以16格總和為4×(4+6+8+3+4+5)+2＝122.再類推到原題，則有：所有數(shù)之和＝（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10＝940.【例14】（難度等級※※※）在134＋7，134＋14，134＋21，……，134＋210這30個算式中，每個算式的計算結(jié)果都是三位數(shù)，求這些三位數(shù)的百位數(shù)字之和．【分析與解】我們只要求百位數(shù)字之和，仔細(xì)觀察這些計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)百位數(shù)字最小是1，最大是3，當(dāng)134＋7×9＝134＋63時，前面的和的百位數(shù)都是1，這一共有9個數(shù)；從134＋7×10＝134＋70開始，到134＋7×23＝134＋161，這些和的百位數(shù)是2，一共有14個數(shù)；從134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，這些和的百位數(shù)都是3，一共有7和數(shù)．所以這些算式的和的百位數(shù)字之和為：1×9＋2×14＋3×7＝58.【例15】（難度等級※※※）魔術(shù)師有6粒骰子，每粒骰子的6個面上寫的數(shù)字如下：256，850，157，553，454，652；814，616，319，715，418，913；585，387，882，189，684，783；437，635，129，833，536，734；168，663，267，564，762，861；671，374，572，473，176，275這36個數(shù)沒有一個相同的，魔術(shù)師將6粒骰子隨意灑在桌面上，請觀眾將6粒骰子頂面上的6個數(shù)相加，每次魔術(shù)師都比觀眾加的快，你知道為什么嗎？你能做到嗎？【分析與解】仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在每粒骰子的6個數(shù)中，十位數(shù)都相同，個位數(shù)與百位數(shù)之和也相同，6粒骰子的十位數(shù)依次為：5，1，8，3，6，7，個位數(shù)與百位數(shù)之和依次為：8，12，10，11，9，7。當(dāng)6粒骰子擲在桌面上，頂面的6個數(shù)相加，十位數(shù)之和是：5+1+8+3+6+7=30，個位數(shù)與百位數(shù)之和是：8+12+10+11+9+7=57。將十位向百位進3加進去，得：57+3=60。所以你只需計算這6個數(shù)的個位數(shù)之和，如果個位數(shù)之和為n，那么百位數(shù)之和為60-n，則這六個三位數(shù)之和的前兩位是（60-n），后兩位是n例如6粒骰子頂面的6個數(shù)分別是：850，715，783，437，762，275，它們的個位數(shù)之和為：0+5+3+4+3+7+2+5=22，60-22=38，所以這6個數(shù)之和是3822【作業(yè)】1、計算：195＋196＋197＋198＋199【答案】9852、計算：89+899+8999+89999+899999【答案】9999853、11+192+1993+19994+199995所得和數(shù)的數(shù)字之和是多少？【答案】20。4、請從3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985這12個數(shù)中選出5個數(shù)，使它們的和等于1995。【答案】9，77，231，693，9855、計算：1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1993-1994-1995+1996【答案】1997挑戰(zhàn)自己（難度等級※※※）從1999這個數(shù)里減去253以后，再加上244，然后在減去253，再加上244，……，這樣一直減下去，減到第多少次，得數(shù)恰好等于0？【答案】253-244=9，1999-253=1746，1746/9=194，194+1=195，所以減到第195次，得數(shù)恰好等于0。第二講等差數(shù)列的認(rèn)識與計算【專題知識點概述】本講知識點屬于計算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記等差數(shù)列各個公式，并在公式中找出對應(yīng)的各個量進行計算。一、等差數(shù)列的定義：若干個數(shù)排成一列，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中數(shù)的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。例如：等差數(shù)列：3、6、9……96，這是一個首項為3，末項為96，項數(shù)為32，公差為3的數(shù)列?！臼谡n批注】一般情況下，等差數(shù)列是按照從小到大進行排列的，有時會出現(xiàn)從大到小排列順序，此時可以改變數(shù)列順序，從而讓數(shù)列變?yōu)閺男〉酱螅⒈苊獬霈F(xiàn)公差小于零的情況。二、等差數(shù)列的相關(guān)公式：通項公式：末項＝首項＋（項數(shù)－1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1求和公式：總和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2=平均數(shù)×項數(shù)平均數(shù)公式：平均數(shù)＝（首項＋末項）÷2【授課批注】第一個公式中，有時會遇到求中間項、而非末項，此時可以截取一個新的數(shù)列，把該項作為“新的末項”，即可繼續(xù)用此公式?！局攸c難點解析】1．找出題目中首項、末項、公差、項數(shù)。2．必要時調(diào)整數(shù)列順序?！靖傎惪键c挖掘】1．找到數(shù)列規(guī)律。2．適當(dāng)調(diào)整數(shù)列順序?！玖?xí)題精講】【例1】（難度等級※）2，5，8，11，14……是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第21項是多少？【分析與解】此數(shù)列為一個等差數(shù)列，將第21項看做末項。末項=2+（21-1）×3=62【例2】（難度等級※）計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【分析與解】原式=（1+12）×12÷2=78【例3】（難度等級※）計算11+12+13+14+15+16+17+18+19【分析與解】原式=（11+19）×9÷2=135【例4】（難度等級※）計算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【分析與解】原式=（100+90）×11÷2=1045【例5】（難度等級※※）把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少？【分析與解】該數(shù)列為等差數(shù)列，首項為101，公差為2，第21個數(shù)的項數(shù)為21.101+（21-1）×2=141【例6】（難度等級※※）已知一個等差數(shù)列第9項等于131，第10項等于137，這個數(shù)列的第1項是多少？第19項是多少？【分析與解】公差=137-131=6131=首項+（9-1）×6所以，首項=83末項（第19項）=83+（19-1）×6=191【例7】（難度等級※※）體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數(shù)。如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學(xué)報的數(shù)都比前一位多7，那么隊伍里一共有多少人？【分析與解】首項=17，末項=150，公差=7項數(shù)=（150-17）÷7+1=20【例8】（難度等級※※※）已知一個等差數(shù)列第8項等于50，第15項等于71.請問這個數(shù)列的第1項是多少？【分析與解】71-50=2121÷（15-8）=3（公差）50=首項+（8-1）×3所以首項=29【例9】（難度等級※※※）一個數(shù)列共有13項，每一項都比它的前一項小7，并且末項為125，求首項是多少？【分析與解】將數(shù)列順序進行調(diào)整：首項為125，公差為7，項數(shù)為13.所以末項（所求的“首項”）=125+（13-1）×7=209【例10】（難度等級※※※）已知等差數(shù)列15，19，23，27……443，求這個數(shù)列的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=4項數(shù)=（443-15）÷4+1=108倒數(shù)第二項=443-4=439奇數(shù)項組成的數(shù)列為：15，23，31……439，公差為8，和為（15+439）×54÷2=12258偶數(shù)項組成的數(shù)列為：19，27，35……443，公差為8，和為（19+443）×54÷2=12474差為12474-12258=216【例11】（難度等級※※※）建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【分析與解】項數(shù)=（2106-2）÷4+1=527因此，層數(shù)為奇數(shù)，中間項為（2+2106）÷2=1054數(shù)列和=中間項×項數(shù)=1054×527=555458所以中間一層有1054塊磚，這堆磚共有555458塊。【例12】（難度等級※※※）把248分成8個連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個數(shù)是多少？【分析與解】平均數(shù)：248÷8=31第4個數(shù)：31-1=30第1個數(shù)：30-6=24末項：24+（8-1）×2=38即：最大的數(shù)為38?！纠?3】（難度等級※※※）求99，89，88，79，77，69，……11這個數(shù)列的和【分析與解】將該數(shù)列分解為兩個等差數(shù)列：99，88，77……11；89，79，69……19改變兩個數(shù)列順序并相加：（11+99）×9÷2=495（19+89）×8÷2=432495+432=928【例14】（難度等級※※※）在289和715之間插入5個數(shù)，使這個數(shù)列成為等差數(shù)列，求這5個數(shù)的和是多少？【分析與解】數(shù)列和=（289+715）×7÷2=35143515-289-715=2510【例15】（難度等級※※※）小王和小高同時開始工作。小王第一個月得到1000元工資，以后每月多得60元；小高第一個月得到500元工資，以后每月多得45元。兩人工作一年后，所得的工資總數(shù)相差多少元？【分析與解】小王：1000+60×（12-1）=1660 （1000+1660）×12÷2=15960小高：500+45×（12-1）=995（500+995）×12÷2=897015960-8970=6990即一年后兩人所得工資總數(shù)相差6990元?！纠?6】（難度等級※※※※）把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？【分析與解】由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210÷7=30，所以，這7個數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40?！纠?7】（難度等級※※※※）100個連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個，第3個…第99個，再把剩下的50個數(shù)相加，結(jié)果是多少？【分析與解】我們考慮這100個自然數(shù)分成的兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列有相同的公差，相同的項數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因為它們相加的和為8450.所以，剩下的數(shù)的總和為（8450+50）÷2=4250?！纠?8】（難度等級※※※※）求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。【分析與解】解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項差1，所以1000項就差了1000個1，即原式=1000×1=1000【例19】（難度等級※※※※）在一次數(shù)學(xué)競賽中，獲得一等獎的八名同學(xué)的分?jǐn)?shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，總分為656，且第一名的分?jǐn)?shù)超過了90分（滿分為100分）。已知同學(xué)們的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，那么第三名的分?jǐn)?shù)是多少？【分析與解】他們的平均分為656÷8=8282+1、82+2、82+3……都有可能成為第四名，相對應(yīng)的，公差分別為1×2=2、2×2=4、3×2=6……若第四名為82+1=83分，則第一名為83+（4-1）×2=89分，不符合題意，舍；若第四名為82+2=84分，則第一名為84+（4-1）×4=96分，不符合題意；若第四名為82+3=85分，則第一名為85+（4-1）×6=103分，不符合題意。因此，第四名為84分，公差為4，所以第三名為84+4=88分【例20】（難度等級※※※※※）把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請指出：197排在第幾行的第幾個數(shù)？1357911131517192123252729313335373943454749……【分析與解】197是奇數(shù)中的第99個數(shù).數(shù)表中，第1行有1個數(shù).第2行有3個數(shù).第3行有5個數(shù)…第幾行有2×行數(shù)-l個數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個數(shù)為：1+3+5+7+…+（2×行數(shù)-1）=［1+（2×行數(shù)-1）〕×行數(shù)÷2=行數(shù)×行數(shù)因為9×9＜99＜10×10.所以，第99個數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個數(shù)，即第18個數(shù)，即197位于第10行第18個數(shù)。【作業(yè)】1、求值：（1）6+11+16+…+501（2）101+102+103+104+…+999【答案】253504944502、下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，…【答案】699。3、11至18這8個連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個連續(xù)數(shù)的和，這另外8個連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？【答案】260。4、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？【答案】分為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。5、把一堆蘋果分給8個小朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果個數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個？【答案】36個。挑戰(zhàn)自己（難度等級※※※※※）下表是一個數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，6…98，99，1002，3，4，5，6，7…99，100，1013，4，5，6，7，8…100，101，102…………100，101，102，103，104，105…197，198，199【答案】第一行平均數(shù)為（1+100）÷2=50.5，第二行為51.5，第三行為52.5……每行平均數(shù)的公差為1。第一行總和為50.5×100，第二行總和為51.5×100，第三行總和為52.5×100……最后一行為[50.5+（100-1）×1]×100=149.5×100。因此所有數(shù)的總和為（50.5+149.5）×100÷2×100=1000000第三講數(shù)字找規(guī)律【專題知識點概述】在今天這節(jié)課中，我們將來研究數(shù)列問題．正確認(rèn)識數(shù)列，并且掌握研究數(shù)列、發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的方法，以及獲得利用規(guī)律解決問題的能力.日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級各班的學(xué)生人數(shù)（按班級順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，其中第1個數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，第2個數(shù)稱為第2項，…，第n個數(shù)就稱為第n項.如數(shù)列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。根據(jù)數(shù)列中項的個數(shù)分類，我們把項數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個項的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個項的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律?！臼谡n批注】從日常生活中找出例子來舉例說明，數(shù)列在生活中處處相關(guān)，例如日期，時間，年齡等等【重點難點解析】1、掌握一些常見的數(shù)列的規(guī)律.2、掌握一些特殊數(shù)列的規(guī)律，并熟練應(yīng)用規(guī)律解決問題.3、理解掌握運用數(shù)列規(guī)律解決數(shù)陣問題.【競賽考點挖掘】數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)綜合數(shù)列的區(qū)分和解答【習(xí)題精講】【例1】（難度等級※※）觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20②19，17，15，13，（），9，7③1，3，9，27，（），243④64，32，16，8，（），2【分析與解】①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應(yīng)填11，即：13—2=11。③此數(shù)列中，從相鄰兩項的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括號中應(yīng)填81，即81=27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即243＝81×3。④與③類似，本題中，從第1項開始，每一項是其后面一項的2倍，即：因此，括號中填4，代入后符合規(guī)律。【例2】（難度等級※※）（1）1，1，2，3，5，8，（），21，34…（2）1，3，4，7，11，18，（），47…（3）1，3，6，10，（），21，28，36，（）.（4）1，2，6，24，120，（），5040。【分析與解】（1）首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。（2）從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應(yīng)填的是29，即29=11＋18。（3）這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項：1=1第2項：3=1＋2第3項：6=1+2+3第4項：10=1+2+3+4第5項：（）第6項：21=1+2+3+4+5+6第7項：28=1+2+3+4+5+6+7第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項：（）即這個數(shù)列的規(guī)律是：每一項都等于從1開始，以其項數(shù)為最大數(shù)的n個連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項為15，即：15=1+2+3+4+5；第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。（4）顯然：第1項1=1第2項2=1×2第3項6=1×2×3第4項24=1×2×3×4第5項120=1×2×3×4×5第6項（）第7項5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項應(yīng)為1×2×3×4×5×6=720【例3】（難度級別※※）（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）【分析與解】（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……這排加法算式，前面一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列：4，5，6，7，……；后一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列：2，8，14，20，……．對于數(shù)列4，5，6，7，……，由觀察得知，第2項等于第1項加上1，第3項等于第1項加上2，第4項等于第1項加上3，……，所以第5項等于第1項加上4，即4＋4＝8．同理，數(shù)列：2，8，14，20，……，第2項等于第1項加上1×6，第3項等于第1項加上2×6，第4項等于第1項加上3×6，……，所以第5項等于第1項加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括號里應(yīng)填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）觀察這個數(shù)列中每一組中對應(yīng)位置上的數(shù)字，可以得到如下規(guī)律：每組第一個是1、2、3、4、......這是一個自然數(shù)列，第二個是2、4、8、16、......，這是一個等比數(shù)列，第三個100、90、80、70......，這是一個遞減的等差數(shù)列；所以，第5組中的數(shù)應(yīng)該是：5，16×2，70-10，即第五組的括號中應(yīng)填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）這是一排乘法算式，觀察可以發(fā)現(xiàn)，前面一個數(shù)的規(guī)律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一個數(shù)的規(guī)律是：3，2，1，3，2，1，3，……，對于第一個數(shù)列，是由1、2兩個數(shù)字循環(huán)組成的，所以第八項應(yīng)為2；對于第二個數(shù)列，是由3、2、1循環(huán)組成的，所以第八項的第二個數(shù)字應(yīng)為2．所以，括號里應(yīng)填2×2．【例4】（難度級別※※）1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，……是一串按照某規(guī)律排列的自然數(shù)，請問其中第51個數(shù)至第55個數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律是兩個一組，即1，2；2，3；3，4；…，每一組的第一個數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，而且是這一組的組數(shù)，每組的兩個數(shù)為連續(xù)自然數(shù)，因為51÷2=25…1，說明第51個數(shù)是第26組的第一個數(shù)，應(yīng)該是26，從第51個數(shù)到第55個數(shù)一共有5個數(shù)，分別為：26，27，27，28，28，所以它們的和為：26+27+27+28+28=136.【例5】（難度級別※※）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某種規(guī)律排列的自然數(shù)，問其中第101個數(shù)至第110個數(shù)之和是多少？【分析與解】觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律為三個一組、三個一組，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一組的第一個數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，每一組中的三個數(shù)為連續(xù)自然數(shù)，每組的第一個數(shù)都是這個組的組數(shù)；因為101÷3=33......2，說明第101個是第33+1=34組中的第二個數(shù)，那么應(yīng)該是34+1=35；從101到110共有110-101+1=10個數(shù)，那么這10個數(shù)分別是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他們的和為35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．【例6】（難度級別※※）一串?dāng)?shù)按下面規(guī)律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……，問從左面第一個數(shù)起，數(shù)100個數(shù)，這100個數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察題中這一串?dāng)?shù)，容易想到把它們?nèi)齻€三個的分組：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)的排列有這樣的規(guī)律：第1、2、3、……組中第一個數(shù)依次為1，2，3，……每一組數(shù)都是由3個連續(xù)自然數(shù)組成，它們的和等于中間一個數(shù)的3倍．100÷3=33……1，也就是說，第100個數(shù)在第34組中，并且是34．求前100個數(shù)的和，就是求前33組數(shù)的和與34的和是多少．2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816，或者（6+102）×33÷2+34=1816【例7】（難度級別※※※）小王和小李玩數(shù)字游戲，小王說：“我先報數(shù)，你得按規(guī)律往下報，不許瞎報.”于是小王先報：“172.”小李說：“沒看到規(guī)律，我報不出，你再報兩個.”小王又報：“84，40.”小李說：“行了，我報18，7.”你知道小王下一個該報幾嗎？【分析與解】小王接著無法報了，因為觀察小王和小李報出的所有數(shù)：172，84，40，118，7，可以發(fā)現(xiàn)，報數(shù)的規(guī)律是按前一數(shù)的一半減2后往下報的，但是7再往下報的話就不是整數(shù)了，所以小王接著無法再往下報了.【例8】（難度級別※※※）先觀察下面各算式，再按規(guī)律填數(shù)．（1）12345679×9=111111111（2）21×918=222222222321×9=288912345679×27=3333333334321×9=3888912345679×____=44444444454321×9=（）12345679×_____=666666666654321×9=（）【分析與解】（1）在這一組算式中，被乘數(shù)不變，乘數(shù)和積都在變化．和第一個算式比，乘數(shù)擴大多少倍，積也就擴大多少倍．根據(jù)這一規(guī)律可知，空格中的數(shù)分別為9×4=36，9×6=54．（2）通過觀察可以看出這是一組排列有序的數(shù)字“梯田”，一層一層有規(guī)律的向下延伸．乘號前面是21、321、4321，乘號后面都是9，相乘的答案的最高位分別是1、2、3，而位數(shù)分別是三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)．由此可得：54321×9的最高位是4，位數(shù)是5+1＝6，個位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，個位是9，其余各位都是8，位數(shù)是6+1＝7．所以，54321×9=488889，654321×9=5888889．【例9】（難度級別※※※）在下面各題的五個數(shù)中，選出與其他四個數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號中選一個合適的數(shù)替換。①42，20，18，48，24（21，54，45，10）②15，75，60，45，27（50，70，30，9）③42，126，168，63，882（27，210，33，25）【分析與解】①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。②15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來替換27。③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63?！纠?0】（難度級別※※※）1+2+1=1+2+3+2+1=1+2+3+4+3+2+1=1+2+3+4+5+4+3+2+1=根據(jù)上面四式的計算規(guī)律求：1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=【分析與解】這道題可以利用簡便方法計算出上面四個算式的結(jié)果，從中找出答案規(guī)律.1+2+1=2+(1+1)=2×2=4,1+2+3+2+1=3+(2+1)+（2+1）=3×3=9，1+2+3+4+3+2+1=4+（1+3）+（2+2）+（1+3）=4×4=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5+（1+4）+（1+4）+（3+2）+（3+2）=5×5=25，可以發(fā)現(xiàn)：算式的答案等于加法算式中間一個加數(shù)（最大的數(shù)）乘以自己.所以，1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=10×10=100.【例11】（難度級別※※※）先找規(guī)律，再填數(shù)3×4=1233×34=1122333×334=1112223333×3334=1111222233333×33334=()333333333×333333334=()【分析與解】通過觀察可以看出這是一組排列有序的數(shù)字“梯田”，一層一層有規(guī)律的向下延伸．乘號前面是3、33、333、3333、33333、333333333，乘號后面分別是4、34、334、3334、33334、333333334，乘數(shù)與被乘數(shù)位數(shù)相同，相乘的答案的位數(shù)分別是乘數(shù)與被乘數(shù)的位數(shù)和，而且積是有規(guī)律的，它所含有的1的個數(shù)和2的個數(shù)相等，都是乘數(shù)或被乘數(shù)的位數(shù)．所以括號中分別填1111122222和111111111222222222．【例12】（難度級別※※※）自然數(shù)1，2，3，4……排成如下數(shù)陣：第一列第二列第三列第四列第五列第六列……1357911……24681012……35791113……468101214……問這個數(shù)陣中的第15列上起第3個數(shù)是（）【分析與解】觀察這個數(shù)陣中的數(shù)的排列規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)：每列的第二個數(shù)都是雙數(shù)，并且是每列序數(shù)的2倍：每列的四個數(shù)是4個連續(xù)自然數(shù)按從小到大的順序排列；除2以外，其它雙數(shù)均出現(xiàn)2次．因此，第15列上起第2個數(shù)是：2×15=30，第三個數(shù)就是31.【例13】（難度級別※※※※）有一列由三個數(shù)組成的數(shù)組，它們依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……．問第99個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察每一組中對應(yīng)位置上的數(shù)字，每組第一個是1、2、3、......的自然數(shù)列，第二個是5、10、15、......，分別是它們各組中第一個數(shù)的5倍，第三個10、20、30、......，分別是它們各組中第一個數(shù)的10倍；所以，第99組中的數(shù)應(yīng)該是：99、99×5、99×10，三個數(shù)的和=99+99×5+99×10=1584．【例14】（難度級別※※※※）1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少個算式的結(jié)果是2008？【分析與解】先找出規(guī)律：每個式子由2個數(shù)相加，第一個數(shù)是1、2、3、4的循環(huán)，第二個數(shù)是從1開始的連續(xù)奇數(shù)．因為2008是偶數(shù)，2個加數(shù)中第二個一定是奇數(shù)，所以第一個必為奇數(shù)，所以是1或3，如果是1：那么第二個數(shù)為2008－1=2007，2007是第（2007+1）÷2=1004項，而數(shù)字1始終是奇數(shù)項，兩者不符，所以這個算式是3+2005=2008，是（2005＋1）÷2=1003個算式．【例15】（難度級別※※※※）下面是一組數(shù)列，每3個相鄰數(shù)字之和都是17，你知道“？”表示的數(shù)字是幾嗎？8（）（）（）？（）（）（）（）（）6【分析與解】根據(jù)每三個相鄰數(shù)之和為17，可知倒數(shù)第二個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)之和為17－6=11推出倒數(shù)第四個數(shù)為6，倒數(shù)5、6之和為11，則問號為17－11=6【作業(yè)】1.按一定的規(guī)律在括號中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）1，1，3，7，13，（），31。（2）1，3，7，15，31，（），127，255。(3)1，4，9，16，25，（），49，64。(4)0，3，8，15，24，（），48，63。（5)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(6)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.【答案】21，63，36，35，32，812.按一定的規(guī)律在括號中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）1，2，3，4，5，（），7…（2）100，95，90，85，80，（），70（3）1，2，4，8，16，（），64【答案】6，75，323.按一定的規(guī)律在括號中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）.2，1，3，4，7，（），18，29，47（2）.1，2，5，10，17，（），37，50（3）.1，8，27，64，125，（），343（4）.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5【答案】11，26，216，74.觀察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，……其中第多少個算式的結(jié)果是2008？【答案】2515.下圖是按一定的規(guī)律排列的數(shù)學(xué)三角形，請你按規(guī)律填上空缺的數(shù)字.12436948121651015（）2561218（）3036【答案】20，24挑戰(zhàn)自己（難度等級※※※※※）將自然數(shù)中的偶數(shù)2，4，6，8，10…按下表排成5列，問2000出現(xiàn)在哪一列？【答案】A列第四講等量代換【專題知識點概述】等量代換。用一種量（或一種量的一部分）來代替和它相等的另一種量（或另一種量的一部分）?！暗攘看鷵Q”是指一個量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)思想方法不僅有著廣泛的應(yīng)用，而且是今后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?！臼谡n批注】本講通過圖形和文字形式鍛煉學(xué)生的代數(shù)思想，在授課過程中，盡量用圖形文字來表示數(shù)字，對高水平的學(xué)生可以嘗試使用字母?！局攸c難點解析】尋找等量關(guān)系【競賽考點挖掘】較難等量代換和代數(shù)方法的綜合【習(xí)題精講】【例1】（難度等級※）如右圖，一個▽=（）個○？【分析與解】方法一：3個□和3個▽一樣重，可以知道1個□和一個▽也一樣重；也就是2個▽和6個○一樣重，可知1個▽就等于3個○。方法二：把天平圖改寫成算式：因為，○+○+○+○+○+○=□+□所以，□=○+○+○又因為，▽+▽+▽=□+□+□所以，▽=□得到：▽=○+○+○方法三：我是用替換的方法：把□→▽，因此，□→▽，□→▽，□→▽因為，所以，從中得出：▽=○+○+○【例2】（難度等級※）最大的球的重量是（）克。30克30克圖2圖1圖2圖1圖3圖3【分析與解】方法一：發(fā)現(xiàn)圖（1）中，左邊比右邊多一個花皮球，所以一個花皮球就是30克。那么2個花皮球就是60克，3個白皮球與2個花皮球一樣重，可知一個白皮球為20克。根據(jù)圖（3），最大的球就是80克。方法二：用算式來解：由圖（1）得：++=++30所以=30（克）由圖（2）得：++=60（克）所以，=20（克）由圖（3）得：最大的球=4×20=80(克)【例3】（難度等級※※）△+□=9△+△+□+□+□=25△=();□=()【分析與解】方法一：因為△+□=9，我們就可把△+△+□+□+□=25中的△+□換成9，變成9+△+□+□=25；再替換一次，變成9+9+□=25，可以得出□=7；再根據(jù)△+□=9和求出的□=7，可以求出△=2。方法二：1個△加1個□等于9，那么2個△加2個□的和就是18。因為2個△加3個□等于25，所以18+□=25。由此得出1個□是7，那么一個△就是2了。解：2×9=18□：25-18=7△：9-7=2答：△=2；□=7?！纠?】（難度等級※※）已知△+○=24○=○+△。那么△和○各代表多少？【分析與解】將兩個等式編號：（1）△+○=24（2）○=△+△將（1）式中的○用（2）式中的2個△代替得△+△+△=24所以△=24÷3=8○=8+8=16【例5】（難度等級※※）1個蘋果和幾個草莓一樣重？【分析與解】由第二幅圖知道，1個蘋果和2個梨一樣重，1個梨和2個草莓一樣重，那么2個梨和4個草莓一樣重。所以1個蘋果=2個梨=4個草莓。【例6】（難度等級※※）根據(jù)圖，想一想，一只貓相當(dāng)于幾只小甲殼蟲的重量？【分析與解】由第三幅圖知道，1條魚和4只小甲殼蟲一樣重，那么3條魚和12只小甲殼蟲一樣重，我們這樣想：1只雞=3條魚=12只小甲殼蟲，那么，2只雞=6條魚=24只小甲殼蟲。又因為1只貓=2只雞，所以1只貓=2只雞=6條魚=24只小甲殼蟲【例7】（難度等級※※※）根據(jù)圖，想一想，一顆五角星等于幾個圓？？？【分析與解】由圖知道，1個三角=2個圓，1顆五角星=3個三角，那么3個三角=6個圓，所以，1顆五角星=3個三角=6個圓，即1顆五角星=6個圓?！纠?】（難度等級※※※）已知13個李子的重量等于2個蘋果和1個桃子的重量，而4個李子和1個蘋果的重量等于1個桃子的重量，問多少個李子的重量等于1個桃子的重量？【分析與解】由題意列等式：13桃=2蘋+1桃（1）4李+1蘋=1桃（2）把（2）式代入（1）式得：13李=2蘋+4李+1蘋即9李=3蘋即3李=1蘋（3）把（3）式代入（2）式得4李+3李=1桃即7李=1桃即7個李子重量等于1個桃子的重量?！纠?】（難度等級※※）如果魚尾重4公斤，魚頭重量等于魚尾加上魚身一半的重量，而魚身重量等于魚頭加魚尾的重量，問這條魚有多少公斤重？【分析與解】依題意列出下列等式：尾=4（1）頭=尾+身÷2（2）身=頭+尾（3）由于等式左右兩邊同乘以一個數(shù)，結(jié)果仍相等所以把（2）式兩邊同乘以2得：2頭=2尾+身（4）把（3）式代入（4）式得：2頭=2尾+頭+尾即：頭=3尾=3×4=12公斤身=頭+尾=12+4=16公斤所以，全魚=頭+身+尾=12+16+4=32公斤【例10】（難度等級※※）張老師買了3個足球，2個籃球，李老師買了2個足球，4個籃球，他們每人均花了80元。問1個足球多少錢，1個籃球多少錢?！痉治雠c解】由題意列等式：3足+2籃=80元2足+4籃=80元張老師比李老師多買1個足球，但是比李老師少買2個籃球，他們兩個人花的錢又是一樣多，所以1個足球和2個籃球的價錢一樣。3足+2籃=80元就可以變成3足+1足=80元即4足=80元即1個足球的價錢80÷4=20元1個籃球的價錢20÷2=10元【例11】（難度等級※※※）一支鋼筆的價錢是一支活動鉛筆價錢的5倍，問買30支活動鉛筆的錢能買幾支鋼筆？【分析與解】方法1：列出下列等式：1支鋼筆=5支鉛筆（1）改寫成30支鉛筆=6×5支鉛筆（2）把（1）式代入（2）式得：30支鉛筆=6×1支鋼筆=6支鋼筆方法2：用字母x代表1支鋼筆的價錢，用字母

y代表1支鉛筆的價錢，依題意可列出等式：x=5y因為30y=6×5y用x代替5y得30y=6x【作業(yè)】1、□□=

□=▲▲▲▲

=（）個▲【答案】82.看圖回答，（）杯水可以注滿一壺?！敬鸢浮?3.☆+☆+☆+○=22；☆+☆+☆+○+○+○=30○=（）；☆=（）【答案】4，64.假若20只兔子可換2只羊，9只羊可換3只豬，8頭豬可換2頭牛，那么用5頭牛可換多少只兔子？【答案】6005.小明去文具店買了6支鉛筆和5個筆記本，共花去了1元3角5分錢，已知3支鉛筆的價錢與2個筆記本的價錢相等，求1支鉛筆和1個筆記本各要多少錢？【答案】鉛筆10分，筆記本15分成功的智慧在于專注與單純英國某家報紙曾舉辦一項高額獎金的有獎?wù)鞔鸹顒?。題目是：在一個充氣不足的熱氣球上，載著3位關(guān)系人類興亡的科學(xué)家。第一位是環(huán)保專家，他的研究可拯救無數(shù)人免于因環(huán)境污染而面臨死亡的噩運。第二位是原子專家，他有能力防止全球性的原子戰(zhàn)爭，使地球免于遭受滅亡的絕境。第三位是糧食專家，他能在不毛之地運用專業(yè)知識成功地種植谷物，使幾千萬人脫離因饑荒而亡的命運。此刻熱氣球即將墜毀，必須丟出一個人以減輕載重，使其余2人得以生存。請問，該丟下哪一位科學(xué)家？問題刊出后，因為獎金的數(shù)額相當(dāng)龐大，各地答復(fù)的信件如雪片飛來。在這些答復(fù)的信中，每個人皆竭盡所能，甚至天馬行空地闡述他們認(rèn)為必須丟下哪位科學(xué)家的見解。最后結(jié)果揭曉，巨額獎金得主是一個小男孩。他的答案是——將最胖的那位科學(xué)家丟出去。小男孩睿智而幽默的答案，是否給我們以足夠的提醒：單純的思考方式，往往比鉆牛角尖更能獲得良好的成功。任何疑難問題的最好的解決方法，只有一種，就是能真正切合該問題所需求的，而非惑于問題本身的盲目探討。一位農(nóng)場主巡視谷倉時，不慎將—只名貴的手表遺失在谷倉里。他遍尋不獲，便定下賞價，承諾誰能找到手表，就給他50美元。人們在重賞之下，都賣力地四處翻找，可是谷倉內(nèi)到處都是成堆的谷粒，要在這當(dāng)中找尋—只小小的手表，談何容易。許多人一直忙到太陽下山，仍一無所獲，只好放棄了50美元的誘惑而回家了。倉庫里只剩下一個貧困的小孩，仍不死心，希望能在天完全黑下來之前找到它，以換得賞金。谷倉中慢慢變得漆黑，小孩雖然害怕，仍不愿放棄，不停地摸索著，突然他發(fā)現(xiàn)在人聲安靜下來之后，有一個奇特的聲音。那聲音滴答、滴答不停地響著，小孩頓時停下所有的動作，谷倉內(nèi)更安靜了，滴答聲也變得十分清晰，是手表的聲音。終于，小孩循著聲音，在漆黑的大谷倉中找到了那只名貴的手表。這個小孩成功的法則其實很簡單：專注地對待一件事，你總會打開成功的門栓。在喧鬧的塵世中生活久了，我們會忘記曾經(jīng)有過的簡單的日子。心靈不再像從前一樣純凈，而是充斥了很多自尋煩惱的細(xì)胞。有人把這種變化解釋為成熟，然而就是這種自以為是的成熟，使我們在生活的道路上人為地設(shè)置了很多不必要的路障。把2個孩子的故事結(jié)合起來，也就是等于告訴我們一個成功的法則，那就是專注與單純。其實，它原本就存在于每個人的心中，重要的是你要循著你內(nèi)心正面的引導(dǎo)，真正地去尋找它，并且不要被復(fù)雜的能力所帶來的困惑，而要專注、單純地思考，那么，你將會聽到清晰的滴答聲，你也終將獲得人生的智慧。第二部分典型應(yīng)用題第一講歸一問題【專題知識點概述】歸一問題是一類典型應(yīng)用題，這類問題是用等分除法求出一個單位的數(shù)值(單一量)之后，再求出題目所要求解的問題，解答歸一問題的方法叫做歸一法。歸一問題可以分為兩種：一種是求總量的，叫做正歸一問題（也稱直進歸一），另一種是求份數(shù)的，叫做反歸一問題（也稱返回歸一）。歸一問題在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到?！臼谡n批注】歸一問題的教學(xué)關(guān)鍵是要讓學(xué)生熟練掌握乘除法的數(shù)量關(guān)系，理解正反歸一的相同點和不同點，并靈活應(yīng)用。正反歸一問題的相同點是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點在于第二步，正歸一問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量。一、歸一問題復(fù)合應(yīng)用題中的某些問題，解題時需先根據(jù)已知條件，求出一個單位量的數(shù)值，如單位面積的產(chǎn)量、單位時間的工作量、單位物品的價格、單位時間所行的距離等等，然后，再根據(jù)題中的條件和問題求出結(jié)果。這樣的應(yīng)用題就叫做歸一問題，這種解題方法叫做“歸一法”。有些歸一問題可以采取同類數(shù)量之間進行倍數(shù)比較的方法進行解答，這種方法叫做倍比法。解答歸一問題的關(guān)鍵是求出單位量的數(shù)值，再根據(jù)題中“照這樣計算”、“用同樣的速度”等句子的含義，抓準(zhǔn)題中數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系，列出算式，求得問題的解決。有的問題一次歸一不能解決，需要兩次歸一或與倍比相結(jié)合才能解決?！臼谡n批注】在整數(shù)范圍內(nèi)，歸一問題的常用解法有兩種，一種是歸一法，另一種是倍比法，而且這兩種解法還可以靈活運用。在整數(shù)范圍內(nèi)，用倍比法解除不盡時，只能用歸一法解．在整數(shù)范圍內(nèi)，用歸一法解除不盡時，只能用倍比法解，也有的兩種方法都可以用。【重點難點解析】1．對歸一問題概念的理解。2．歸一法以及倍比法的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系。3．歸一問題的特點以及常見題型的解法?！靖傎惪键c挖掘】1．歸一法和倍比法在實際問題中的靈活應(yīng)用。2．需要多次歸一的問題以及正反歸一的綜合應(yīng)用?！玖?xí)題精講】【例1】（難度級別※）某人步行，3小時行15千米，7小時行多少千米？【分析與解】15÷3×7＝35（千米）。答：7小時行35千米。【例2】（難度級別※）小紅騎車3分鐘行600米，照這樣的速度她從家到學(xué)校行了10分鐘，小紅家到學(xué)校有多少米？【分析與解】600÷3×10=200×10=2000（米）。答：小紅家到學(xué)校有2000米?！纠?】（難度級別※※）一個打字員15分鐘打了1800個字，照這樣的速度，1小時能打多少個字？【分析與解】先求1分鐘能打多少個字，再求1小時能打多少個字。1分鐘能打多少個字：1800÷15=120（個）1小時能打多少個字：120×60=7200（個）綜合算式：1800÷15×60=120×60=7200（個）?！纠?】（難度級別※※）一艘輪船4小時航行108千米，照這樣的速度，繼續(xù)航行270千米，共需多少小時？【分析與解】先求每小時航行多少千米，再求航行270千米需要幾小時，最后求出共需多少小時。每小時航行多少千米：108÷4=27（千米）270千米需航行多少小時：270÷27=10（小時）共需多少小時：10+4=14（小時）綜合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小時）?！纠?】（難度級別※※）某運輸公司用6輛汽車運水泥，每天可運96噸。根據(jù)運輸情況，現(xiàn)在增加4輛同樣的汽車，每天一共運水泥多少噸？【分析與解】“增加4輛同樣的汽車”，每天一共運水泥多少噸，應(yīng)是增加的汽車運輸量與增加前的運輸量的和，即10輛汽車的運輸量。96÷6×（6+4）=16×10=160（噸）。答：每天可運水泥160噸?！纠?】（難度級別※※※）5個人2小時植樹20棵，6個人3小時植樹多少棵？【分析與解】要求6個人3小時植樹多少棵，必須先求出5個人1小時植的棵數(shù)，再求出1個人1小時所植的棵數(shù)。20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵）答：6個人3小時植樹36棵?！纠?】（難度級別※※）一輛卡車3次運貨20噸。照這樣算，9次可運貨多少噸？【分析與解】9次是3次的3倍，每次運貨量不變，運的貨一定是20噸的3倍。這類解法叫“倍比法”。20×（9÷3）＝60（噸）答：9次可運貨60噸?！纠?】（難度級別※※※）某廠運來一批煤，計劃每天用5噸，40天用完，如果改進鍋爐，每天節(jié)約1噸，這批煤可以用多少天？【分析與解】從“計劃每天用5噸，40天用完”中，可求出煤的總噸數(shù)，把總噸數(shù)除以改進鍋爐后每天用煤量，可得用煤天數(shù)。5×40÷（5—1）＝200÷4＝50（天）答：這批煤可以用50天。【例9】（難度級別※※※）8個人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要_____天.【分析與解】先進行兩次歸一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。綜合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).【例10】（難度級別※※※※）某工廠一個車間，原計劃20人4天做1280個零件，剛要開始生產(chǎn)，又增加了新任務(wù)，在工作效率相同的情況下，需要15個人7天才能全部完成，問增加了多少個零件？【分析與解】要求增加了多少個零件，只需先求出每人每天生產(chǎn)多少個零件，然后求出15個人7天生產(chǎn)的零件數(shù)，最后用它減去1280個零件就可得出所要求的問題。（1）每人每天生產(chǎn)的零件數(shù)1280÷20÷4=16（個）（2）15人7天生產(chǎn)的零件數(shù)16×15×7=1680（個）（3）增加的零件數(shù)1680-1280=400（個）綜合算式（1280÷20÷4）×15×7-1280=16×15×7-1280=1680-1280=400（個）答：增加了400個零件．【例11】（難度級別※※※※）某車間用4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，照這樣算，增加3臺同樣的車床后，（1）8小時可以生產(chǎn)多少個零件？（2）如果要生產(chǎn)6300個零件幾小時可完成？【分析與解】此題要求的兩個問題都需知1臺1小時生產(chǎn)的零件數(shù)，因條件中有小時和臺數(shù)兩個量，需用“兩次歸一”，即先求出4臺1小時生產(chǎn)多少，再求1臺1小時生產(chǎn)多少。600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（個）6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小時）答：（1）8小時可以生產(chǎn)1680個零件。（2）如果要生產(chǎn)6300個零件30小時可以完成。【例12】（難度級別※※※）8個工人3小時制作機器零件360個，如果人數(shù)縮小了2倍，時間增加了5小時，可制作機器零件多少個？【分析與解】此題中人數(shù)縮小了2倍指現(xiàn)在的人數(shù)是8÷2=4（人）；時間增加了5小時指現(xiàn)在的時間是3＋5=8（小時）。36O÷8÷3×（8÷2）×（3+5）＝15×4×8=480（個）答：可制作機器零件480個?！纠?3】（難度級別※※※）某工地的一項工程，原計劃由30人工作，每天工作8小時，45天完工。為了提前完工，實際由54人工作，每天工作10小時，可以提前幾天完工？【分析與解】此題的關(guān)鍵是要先求出工程的總工時數(shù)8×30×45=10800（小時）及實際每天做工時數(shù)10×54=540（小時）。45-8×30×45÷（10×54）＝45-10800÷540＝45-20＝25（天）答：可以提前25天完工?！纠?4】（難度級別※※※）一根木料，鋸成2段要3分鐘，如果鋸成6段要多少分鐘?【分析與解】先求出鋸一下用的時間:3÷(2-1)=1.5(分鐘)；再求出鋸6段用的次數(shù):6-1=5(次)。最后求出共用的時間:1.5×5=7.5(分鐘)?！纠?5】（難度級別※※※）光華機械廠一個車間，原計劃15人3天做900個零件。生產(chǎn)開始后，又增加一批任務(wù)，在工作效率相同下，要10個人8天完成。問增加了幾個零件?【分析與解】先求出每個人每天做的個數(shù):900÷15÷3=20(個).再求出共做的個數(shù):20×10×8=1600(個).最后求出增加的個數(shù):1600-900=700(個).【例16】（難度級別※※※）一列火車從甲地開往乙地，開出2.5小時，行了150千米。照這樣的速度，再行駛3小時到達(dá)乙地。甲、乙兩地相距多少千米？【分析與解】先求火車每小時行多少千米，再求共行了幾小時，最后求出共行了多少千米（即甲、乙兩地距離）。火車每小時行多少千米：150÷2.5=60（千米）火車共行了多少小時：2.5+3=5.5（小時）甲乙兩地相距多少千米：60×5.5=330（千米）綜合算式：150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）。【例17】（難度級別※※※※）甲、乙兩個打字員4小時共打字3600個?，F(xiàn)在二人同時工作，在相同時間內(nèi)，甲打字2450個，乙打字2050個。求甲、乙二個每小時各打字多少個？【分析與解】已知條件告訴我們：“在相同時間內(nèi)甲打字2450個，乙打字2050個?！奔热恢懒恕皶r間相同”，問題就容易解決了。題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時共打字3600個?！边@樣可以先求出“甲乙二人每小時打字個數(shù)之和”，就可求出所用時間了。①甲、乙二人每小時共打字多少個：3600÷4＝900(個)②“相同時間”是幾小時：(2450＋2050)÷900＝5(小時)③甲打字員每小時打字的個數(shù)：2450÷5＝490(個)④乙打字員每小時打字的個數(shù)：2050÷5＝410(個)答：甲打字員每小時打字490個，乙打字員每小時打字410個?！纠?8】（難度級別※※※※）光明小學(xué)有50個學(xué)生幫學(xué)校搬磚，要搬2000塊，4次搬了一半。照這樣算，再增加50個學(xué)生，還要幾次運完？【分析與解】先求出每個學(xué)生每次運的磚數(shù):2000×÷4÷50=5(塊).再求出現(xiàn)在的學(xué)生一次過運的磚數(shù):(50+50)×5=500(塊).最后求出還要運的次數(shù):2000×÷500=2(次).簡便方法:4÷[(50+50)÷50]=2(次)?！咀鳂I(yè)】1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時爬行多少米？【答案】12米。2.某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.【答案】16天。3.加工一批39600件的大衣,30個人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加_____人.【答案】1