2023屆湖南省株洲市醴陵市四中數(shù)學高三上期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或3．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．4．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，5．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-16．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．7．設遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．8．已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是110．若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數(shù)為 D．為純虛數(shù)11．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域為__________．14．圖（1）是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.15．若展開式中的常數(shù)項為240，則實數(shù)的值為________.16．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數(shù)的值是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.20．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側棱長均相等.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關系，進而求出正切值．【詳解】由題意設四面體的棱長為，設為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．2、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎題.3、D【解析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，4、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質可得：，因為，所以，由二次函數(shù)的性質可得：，在上單調遞減，所以.故選：B【點睛】本題主要考查二項分布的性質及二次函數(shù)的性質的應用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.5、D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式．6、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，，是偶函數(shù)，關于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【點睛】本題考查復合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉化與化歸和數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.9、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增在上單調遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質.10、D【解析】

將復數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.11、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調遞減,時單調遞增.故選:D.【點睛】本題考查構造函數(shù),借助單調性定義判斷新函數(shù)的單調性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.12、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.14、【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關鍵是找到向量和的夾角.15、－3【解析】

依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程，解得即可；【詳解】解：∵二項式的展開式中的常數(shù)項為，∴解得.故答案為：【點睛】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算，屬于基礎題.16、1【解析】

把向量進行轉化，用表示，利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應用，綜合了基本不等式，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.18、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當時，，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，故當時，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當時，，在上單調遞增，即函數(shù)的值域為；當時，，在上單調遞減，即函數(shù)的值域為；當時，易得時，，在上單調遞增，時，，在上單調遞減，故當時，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當時，，最小值；當，，最小值；綜上，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求單調區(qū)間和極值，以及利用導數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學生的運算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以a的取值范圍為20、（1）點M的極坐標為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設點M在極坐標系中的坐標，由，得，∵∴或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設，.由，得，.故時，的最大值為.【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.21、（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解析】

（1）一件手工藝品質量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質量為D級