2019-2020學年第二學期高一數(shù)學必修四全冊導學案

1.1.1任意角

【學習目標】

1.結(jié)合具體實例，認識角的概念推廣的必要性；

2.初步學會在平面直角坐標系中討論任意角，并能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合.

預習案

自主學習：

認真閱讀課本第2至第4頁，完成下列基本概念：

(1)正角：按方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

(2)負角：按方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；

(3)零角：如果一條射線,我們稱它形成了一個零角.

思考：如果你的手表慢了5分鐘，應將分針按方向旋轉(zhuǎn)度；

如果你的手表快了1.25小時，應將分針按方向旋轉(zhuǎn)度.

說明：在直角坐標系中討論角，為討論問題的方便，我們使角的頂點與_____________重合，

角的始邊與_______________________________重合.

(4)象限角：角的終邊在,我們就說這個角是.

思考：60°角是第象限角；135°角是第象限角；-150°角是第象限角.

注意：如果角的終邊在，就認為這個角不屬于任何象限.

例如：900角的終邊在y軸正半軸上，因此900角不屬于任何象限；

180°角的終邊在x軸負半軸上，因此180°角不屬于任何象限；

—90°角的終邊在,因此-90°角不屬于任何象限.

(5)終邊相同的角：(很重要，希望同學們加以重視)

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S=

即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與的和.

例如：與30°角終邊相同的角的構(gòu)成集合：{夕|夕=30°+女360°/eZ)

與-120°角終邊相同的角構(gòu)成集合:{0夕=-120°+入360°,攵eZ}

注意：女是整數(shù)，這個條件不可漏掉.

探究案

探究1：任意角的概念

1.判斷真假：

(1)銳角是第一象限角()；(2)第一象限的角是銳角()；

(3)小于90的角是銳角()；(4)鈍角的終邊在第二象限()；

(5)第二象限的角一定大于第一象限的角()；(6)終邊相同的角一定相等()；

(7)相等的角終邊一定相同()；

(8)與15°終邊相同的角構(gòu)成集合{尸|尸=15°+h360°次eZ}().

2.如果將鐘表撥快10分鐘，則分針所旋轉(zhuǎn)的角度是，時針所旋轉(zhuǎn)的角度是.

探究2：象限角、終邊在坐標軸上的角、區(qū)域角的表示

1.寫出與-960°角終邊相同的角的集合，并把集合中適合0°~360°的元素夕寫出來，并

判定—960°是第幾象限角.(特別說明：0°~360°是指004a<360°)

2.(1)終邊在y軸上的角的集合是.

(2)終邊在x軸上的角的集合是.

3.已知角a的終邊落在陰影所表示的范圍內(nèi)(包括邊界)，試寫出角a的集合.

4.(1)若a是第一象限角，則竺是第象限角；

2

Of

★(2)己知a是第二象限角，則2a是第________象限角，上是第象限角.

3

1.1.2弧度制

【學習目標】

1.理解1弧度的角的定義，熟練掌握角度與弧度的互化；

2.掌握并記憶公式|二|=能利用此公式推導扇形的面積公式；

r

3.自主學習，合作交流，探究弧度制與角度制的區(qū)別和聯(lián)系.

預習案

自主學習：

1.1弧度的角的定義：

把的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

用符號rad表示，讀作弧度.

如圖，圓。的半徑為r,弧則NAOB就是1弧度的角，

即

2.認真、耐心思考課本第6頁的探究,并完成表L1-1.

3.一般地,正角的弧度數(shù)是一個,負角的弧度數(shù)是一個,零角的弧度是.

如果半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長為/,那么，角a的弧度數(shù)的絕度值是.

4.弧度與角度的換算：

180°=Tirad；360°=2萬rad.

完成下列特殊角與弧度的互化，并熟記：（很重要）

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°360°

弧度0

角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起關(guān)系.

5.關(guān)于扇形的公式：

11,

(1)l=aR；(2)S=-lR；(3)S=-aR2.

22

探究案

探究1:角度制與弧度制的換算關(guān)系

1.把下列角度化為弧度：

(1)22.5°；(2)75°；(3)-210°；

(4)240°；(5)315°；(6)1200°.

2.把下列弧度化為角度:

TC4萬/、3乃/、54

(1)—；(2)----；(3)—；(4)——

123104

探究2：弧度制下的扇形公式

1.已知圓的半徑為4,則弧長為3萬的弧所對的圓心角的弧度數(shù)為,角度為.

2.扇形的半徑為3,圓心角為15°,則扇形的面積為.

3.扇形的周長為16,圓心角是2弧度，則扇形的面積是.

4.用弧度表示：

(1)終邊在x軸上的角a的集合：.

(2)終邊在y軸上的角夕的集合：.

★5.已知一扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最

大？最大面積是多少？

1.2.1任意角的三角函數(shù)

【學習目標】

1.借助單位圓理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；

2.從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號;

3.根據(jù)定義理解公式一.

預習案

自主學習：閱讀教材P11~P17

1.初中的三角函數(shù)的定義：在直角三角形ABC中，ZC=90°

則sinA=@,cosA=,tanA=.

2.三角函數(shù)的定義：如右圖，設(shè)角a終邊上一點？(〃/),|OP|二八

貝EIijr=,si-na=—b,cosa=,tana-.

3.單位圓：我們稱以為圓心，以為半徑的圓為單位圓.

4.單位圓中的三角函數(shù)的定義:

設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交與點尸(x,y),那么:

(1)y叫做a的,記作sina,即：

(2)1叫做a的,記作cosa,即：；

(3))叫做a的,記作tana,即：.

x

5.三角函數(shù)的定義域:

三角函數(shù)定義域

sinx

COSX

tanx

6.三角函數(shù)的符號：(請自己在圖二、圖三中填上正負符號)

7.終邊相同的角的三角函數(shù)(誘導公式一).

sin(a+k-2")=sina；cos(a+k-2〃)=tan(6r+k-2%)=.(%￡Z)

8.三角函數(shù)線

sina=MP

coscr=OM

tana=AT

像MP、OM、AT這種有方向的線段，叫做.

探究案

探究1:任意角的三角函數(shù)的定義

57r

1.求角把的正弦、余弦和正切值;

3

2.已知角a的終邊經(jīng)過點外(-3,-4),求a的正弦、余弦、正切值;

3.已知角a的終邊上一點P(—15f,8/)(/GR,fwO),求a的正弦、余弦和正切值.

探究2：三角函數(shù)值的符號

1.若sina<0且tantz>0,則a是第象限角.

2.已知cos6?tan6?<0,則。是第象限角.

探究3：誘導公式一

1q打?ojT-11勿*

求下列角的三角函數(shù)值：(1)U巴；(2)(3)一

633

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

【學習目標】

i.掌握同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式；

2.能準確應用同角三角函數(shù)關(guān)系進行化簡、求值、證明；

3.結(jié)合三角函數(shù)值的符號問題，求三角函數(shù)值.

預習案

自主學習：P18-P20

1.同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：：

2.兩弦和、差、積的關(guān)系

sina+cosa,sintz-cos<z,sinacos&有何關(guān)系？（用等式表示）

探究案

探究1:利用同角三角函數(shù)關(guān)系知一求二

3-A

1.已知sina=-《，并且a是第二象限角，求cosa,tana的值.

3

變式:已知sina=——，求cosa,tana的值.

5

12、.

2.已知tana=（，求sina,cosa的值.

探究2：利用兩弦和、差、積的關(guān)系求值

1.化簡71-2sin40(,cos40°

2.己知0＜。＜萬，sine+cos6=求tan。的值

探究3：把弦的齊次分式化為切的分式求值

1.已知tana=3,求下列各式的值:

2sina—3cosa

(1)

4sina—9cosa

23

2sina-3cos之a(chǎn)

(2)

4sin2a—9cos2a

(3)sin?a-sinacosa+l.

1.3.1三角函數(shù)的誘導公式

【學習目標】

1.鞏固理解三角函數(shù)線知識，并能用三角函數(shù)線推導誘導公式

2.能正確運用誘導公式求出任意角的三角函數(shù)值

3.能通過公式的運用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程

4.準確記憶并理解誘導公式，靈活運用誘導公式求值

口訣：函數(shù)名不變，符號看象限

預習案

自主學習：

1.利用單位圓表示任意角a的正弦值和余弦值：

P(x,y)為角a的終邊與單位圓的交點，則sina=,cos?=

2.誘導公式：由三角函數(shù)定義可以知道：

(1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

公式―(a+2k兀,kwZ)：_______________________________

(2)角a的終邊與角乃+a的終邊關(guān)于對稱.

公式二()：；

(3)角a的終邊與角-々的終邊關(guān)于對稱.

公式三()：；

(4)角a的終邊與角無—a的終邊關(guān)于對稱.

公式四()：；

思考：這四組公式可以用口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”來記憶，如何理解這一口訣?

探究案

探究1:給角求值（負變正，正變銳）

求下列三角函數(shù)值：

sin(-24O")；

,fn)

(2)cos141J;

(3)tan(-1560).

探究2：給值求值

,/54\A/3R/71、

1.已知cos(-----a)=——，貝(JcosJ+a)

636

1

變式：若上題中的條件不變，如何求cosQ-一丁）的值?

探究3：化簡

cos(1800+6z)sin(6r+360°)

化簡：（1）sin(-(7-180°)cos(-180°-a)

(2)sin3(一a)cos(2萬+a)tan(-cr-兀)cos?(乃—a)

1.3.2三角函數(shù)的誘導公式

【學習目標】

1.能進一步運用誘導公式求出任意角的三角函數(shù)值；

2.能通過公式的運用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程;

3.進一步準確記憶并理解誘導公式，靈活運用誘導公式求值.

預習案

自主學習：

1.若角a的終邊與角夕的終邊關(guān)于直線y=x對稱（如圖）,

（1）角a與角夕的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值之間有何關(guān)系？

（2）角。與角夕有何關(guān)系？

（3）由（1）、（2）你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

TT

角a的終邊與角--a的終邊關(guān)于__________________對稱.

2

公式五（）：____________________________________________

TT

由于！+a=___________________，由公式四及公式五可得:

2

公式六（）：

口訣：“奇變偶不變，符號看象限”

探究案

探究1：利用公式求值

1.已知cos31°=m,求sin2390?tan1490的值（用m表示）

2.已知cos(75°+a)=；,且一180°<a<-90°,求cos(150—a

yr15乃27r

3.已知cos(----a)=—,求cos(-----ba)?sin(------a)的值.

6363

探究2：利用誘導公式化簡求值

L化簡:⑴如2sin普S440：

sin260°+cos800°

s、sin(2;r-a)cos0———)

(2)團1(3乃-2)?'2

3兀3萬

sin(^--tz)sin('-a)sin('+a)cos(2%+a)

22

探究3：利用誘導公式證明恒等式

求證：

(1)cos[-a|=-sina

【2J

3

(2)sin—7r+a=-cosar

2

1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像

【學習目標】

1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像：

2.會用“五點法”畫出正、余弦函數(shù)的圖像；

3.能利用正、余弦函數(shù)的圖像解簡單問題.

預習案

自主學習：請閱讀教材P3O-P33

正弦曲線與余弦曲線及其畫法：

探究案

探究1:用“五點法”作三角函數(shù)的圖象

1.用“五點法”作下列函數(shù)的簡圖：

(1)y=sinx—l,xe[0,2^-]；

(2)y=\-cosx,xG

探究2：利用“圖象變換”作三角函數(shù)的圖象

（1）y=\cosx|,xe[0,4^-]

(2)y=sin|%|,工€1—2萬，2萬］

探究3：正、余弦函數(shù)曲線的簡單應用--數(shù)形結(jié)合

1.函數(shù)y=cosx,xe[0,27]的圖象與函數(shù)y=1圖象的交點個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

2.在[0,2萬）內(nèi)，方程|sinx|=；的根的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

3.求y=J2sin尤一1的定義域.

4.已知且sinx>cosx,求力的取值范圍.

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(第1課時)

…周期性，奇偶性，對稱性

【學習目標】

1.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義；

2.了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性；

3.會求函數(shù)的周期和判斷三角函數(shù)的奇偶性.

預習案

自主學習：

1.函數(shù)的周期性

(1)對于函數(shù)/(x)，如果存在一個，使得當x取定義域內(nèi)的值

時，都有,那么函數(shù)/(X)就叫做周期函數(shù)，叫做這

個函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個,那么這個

就叫做/(x)的最小正周期.

(3)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，都是它們的周期，最小正周期

為.

2.正弦、余弦函數(shù)的奇偶性

(1)對于y-sinx,xeH恒有sin(-x)=-sinx,所以正弦函數(shù)y-sinx是______函數(shù)，

正弦曲線關(guān)于對稱.

(2)對于y-cosx,xeA恒有cosjx)=cosx,所以余弦函數(shù)y-cosx是函數(shù)，

余弦曲線關(guān)于對稱.

3.正弦、余弦函數(shù)的對稱性

(1)對于y=sin€R,對稱中心是，對稱軸方程是

(2)對于y=cosx,xeR，對稱中心是，對稱軸方程是.

探究案

探究1:求三角函數(shù)的周期

1.求下列函數(shù)的周期

(1)y=3cosx,x￡R；

(2)y=sin2x,xe/?；

1JT

(3)y=2sin(—x---).

26

小結(jié)：若y=Asin(0x+0),(o>O),則它的最小正周期是T=

2.求下列函數(shù)的最小正周期

(1)y=sin(2x+()；

(2)y=|sinx|.

探究2：三角函數(shù)奇偶性的判定

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(x)=sinxcosx;(2)/(x)=Vl-cosx+Vcosx-1；

cosx

(3)f(x)

1-sinx

探究3：三角函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應用

若函數(shù)/(X)是以券為周期的偶函數(shù)，且嗎)=1,求/(一等)的值.

L4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(第2課時)

【學習目標】

1.掌握正弦、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

2.掌握正弦、余弦函數(shù)最值；

3.會求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值.

預習案

自主學習：閱讀教材P37~P40

正、余弦函數(shù)的性質(zhì)

y=sinxy=cosx

定義域RR

相同點值域[-UJ[-1,1]

周期性2"

圖像

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

不同點在上遞增；在上遞增；

單調(diào)性

在____________________t遞減.在_______________________上遞減.

X=-------------時，Nmax=1；X=---------------時，Xnax=1；

最值

X=------------時，＞min=-1?X=--------------時，Jmin=T.

探究案

探究1：比較大小

1.利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小:

,、15-14

(1)COS——不與COS——71;

89

(2)sin(一弓〃)與sin(一晟乃).

探究2：求單調(diào)區(qū)間

19YTT

1.求函數(shù)y=；sin(子一：)的單調(diào)區(qū)間.

TTY

2.求函數(shù)y=2sin(J—])的單調(diào)區(qū)間.

探究3：正弦、余弦函數(shù)的最值(值域)

求下列函數(shù)的值域：

(1)y-cos(x+—),xe；

(2)y=sin2x-4cosx+5；

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【學習目標】

1.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)及其應用;

2.理解并掌握作正切函數(shù)圖象的方法;

3.體會類比、換元、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

預習案

自主學習：請閱讀教材P42-P45

1.正切函數(shù)的定義域.(強調(diào)：定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式)

2.正切函數(shù)的周期性

由誘導公式tar(x+〃)=,xeR且1+上乃次eZ,可知函=

(x^-+k7r,k€Z)是函數(shù)，且它的周期是,最小正周期是.

2

3.正切函數(shù)的奇偶性

JF

因為tan(—x)=,7?且x工耳+左肛AcZ,所以正切函數(shù)y=tanx

jr

(xw—+eZ)是函數(shù).

2

4.正切函數(shù)的單調(diào)性

正切函數(shù)在(-三，至)內(nèi)是函數(shù)，又由正切函數(shù)的周期性可知，正切函數(shù)在開

22

區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).

5.正切函數(shù)的值域

y=tanx在(-楙,5)內(nèi)沒有最大值、最小值.因此，正切函數(shù)的值域是.

6.正切函數(shù)的圖像

正切函數(shù)丁=1孤》，xeR且+的圖象，稱“正切曲線”.

7.正切函數(shù)的對稱中心.由圖可得正切函數(shù)的對稱中心是.

探究案

探究1:正切函數(shù)的定義域

1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=tan(-^x+-1-)(2)y=lg(V3-tanx)

探究2：正切函數(shù)的單調(diào)性

1.比較下列每組數(shù)的大小.

(1)tan167°,tan173°

、，11不、/13萬、

(2)tan(---),tan(———)

2.求y=tan(gx+￡)的單調(diào)區(qū)間與周期.

探窕3：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

設(shè)函數(shù)/(x)=tan(|--).

(1)求函數(shù)/(無)的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中心;

(2)求不等式4百的解集.

1.5函數(shù)y=Asin（G%+0）的圖象

【學習目標】

1.通過探究理解參數(shù)夕,@A對y=Asin（勿￥+e）（A>0,G>0）的圖象的影響.

2.會用兩種方法敘述由丁=$皿％到y(tǒng)=Asin（0r+e）+Z的圖象的變換過程.會用“五點

法”畫出y=Asin（勿x+0）圖象的簡圖.

預習案

自主學習：閱讀教材P49~P55

1、探究0對丁=5皿（1+0）,尤eR的圖像的影響（函數(shù)圖象的左右平移變換）.

函數(shù)y=sin（r+e）（其中0H0）的圖像，可以看作將函數(shù)y=sinx的圖像上所有的點

（當9>0）或（當e<0）平移個單位長度而得到.

2、探究⑸>>0）對丁=5皿5+0）的圖像影響（函數(shù)圖象橫向伸縮變換一一周期變換）.

一般地，函數(shù)y=sin（?yx+°）（。>0）的圖象可以看作將函數(shù)丁=$1110+0）的圖象上所

有的點的橫坐標（）或（）到原來的一倍（縱坐標不

變）而得到.

3、探究A（A>0）對丁=45畝（6+。）的圖像的影響（函數(shù)圖象的縱向伸縮變換）.

新知：一般地，函數(shù)y=Asin@+0）（<y>0,A>0）的圖象可以看作將函數(shù)

y=sinmx+Q的圖象上所有點的縱坐標（）或（）到原來的倍

（橫坐標不變）而得到.

小結(jié)：丁=5m工到丁=45111（3：+0）的變換流程圖.

（1）y=sinA:—>y=sin（x+0）—>y=sin（3x+0）—>y—Asin（3x+0）

（2）y=sinx—>y=sinwy=sin（dyx+0）―>y=Asm^cox+（p）

4、對于函數(shù)y=Asin（m+°）,x&R（其中A>0,（u>0）

241

A稱為_，T=—稱為稱為一，姐+°稱為_x=0

coT

時的相位0稱為初相.

探究案

探究1:用五點法作圖及圖象換

1萬

1.作出函數(shù)y=2sin(±x-土)簡圖，并說明該圖象可由y=sin尤的圖像經(jīng)過怎樣變化得

36

到.

2.試描述由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣變化得到y(tǒng)=2cos(2x+T1T)的圖象.

探究2：求函數(shù)的解析式…請同學們讀懂教材P54的例2,然后完成下題

TT

函數(shù)/(x)=4sin(a(x+e)(A>0,69>0,|°|<5)的部分圖象如圖.

(1)求這個函數(shù)的解析式；

(2)求/(x)取最小值時x的取值集合.

探究3：三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合應用

已知函數(shù)丁=4411(0犬+9)(4>0,啰>0,|0|<IT1)的圖象過點「(當7T,0),圖象上與P點最

近的一個最高點坐標為(二7T,5).

3

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)指出該函數(shù)的增區(qū)間;

(3)求使y<0的x的取值范圍.

2.1平面向量的實際背景及基本概念

【學習目標】

1.了解向量的實際背景，抽象出向量；

2.理解向量、相等向量的概念及向量的幾何表示；

3.掌握向量的概念及共線向量的概念.

預習案

自主學習：

L向量的定義：位移是既有大小，又有方向的量.力既有大小，又有方向.

數(shù)學中，我們把,的量叫做向量.（物理學中稱為矢量）

而把那些的量稱為數(shù)量.（物理學中稱為標量）

2.有向線段：帶有的線段叫做有向線段，它包含三個要

素.:、、?

3.向量的表示：向量可以用有向線段表示，如4%，也可以用字母表示.

向量的模：向量A%的大小，就是向量A%的長度（或稱模），記作.

零向量：長度為0的向量叫做，記作；（它的方向是任意的）

單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做.若W是單位向量，貝?：|=.

平行向量：方向的向量叫做平行向量.向量71平行，記作.

->—>—>

①我們規(guī)定：與任一向量平行，即對任意向量。，都有0〃a.

②任一組平行向量都可以移到同一直線上，因此平行向量也叫做，它們的方向

是.

相等向量：長度且方向的向量叫做相等向量.記作.

4.向量的記法：黑體（印刷體）；字母上面打箭頭（手寫體）

5.向量和有向線段的區(qū)別：向量既有大小又有方向；有向線段除了大小，方向之外還規(guī)定了

起點.

探究案

探究1:向量的概念：

給出下列命題：

~>->—>―>—>—>

①|(zhì)a1=1%|,則或。=一人；

②量的模一定是正數(shù)；

③點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

④向量A%與是共線向量，則四點在一條直線上.

其中正確命題的序號是.

探究2：向量的幾何表示：

一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了1()0千米到達8點，然后又改變方向向北偏西40°走了

200千米到達。點，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達。點.

(1)作出向量AB,3C,CO；(2)求|AD|.

探究3：相等向量與共線向量：

如圖，四邊形ABCO和A3OE都是平行四邊形.

(1)與向量七3相等的向量有哪些？

(2)若|A%|=2,求向量七"的模.

(3)與向量后3共線的向量有哪些？

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

【學習目標】

1.掌握向量加法的定義，會用三角形法則和平行四邊形法則求兩個向量的和向量；

2.理解向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行簡單的向量運算.

預習案

自主學習：

1.實數(shù)加法的交換律和結(jié)合律

a,b,cGR,Wa+b=，(a+b)+c=.

2.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做.

(1)向量加法的三角形法則

已知非零向量1、b,在平面內(nèi)任取一點A,作通=Z,前1=3,則向量三叫做Z

與3的和，記作Z+3,即Z+3==.位移的合成可以看作

向量加法三角形法則的物理模型.

(2)向量加法的平行四邊形法則

已知非零向量"、b,在平面內(nèi)任取一點0,作豆=Z,麗=3,以0A為鄰邊

作平行四邊形。4CB,則向量歷就是［與右的和.力的合成可以看作向量加法平行四邊形

法則的物理模型.

對于零向量與任一向量我們規(guī)定1+6==.

3.向量加法的運算律

(1)交換律：a+b=

(2)結(jié)合律：(〃+B)+c=

4.一般地，有\(zhòng)\a\-\b\\<\a^b\^a\+\b\

(1)當|〃+$|=|4|+|3|時，;

(2)當|〃+川=|4|一|加時，.

探究案

探究1:根據(jù)已知向量作和向量:

(1)如圖所示,已知向量a,4c,試作出向量a+6+c.

(2)如圖，己知分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出〃

(3)如圖，已知。為，用向量加法的三角形法則作出a+〃.

aa

b，,b

探究2：向量的加法運算及其幾何意義：

化簡：(1)BC+AB；

(2)DB+CD+BC；

(3)AB+DF+CD+J3C+FA

探究3：向量加法的應用：

如圖所示，在平行四邊形A8CD的對角線03的延長線

及反向延長線上取點瓦/，使BE=DF.

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

2.2.2向量減法運算及其幾何意義

【學習目標】

1.了解相反向量.

2.理解向量減法法則及其幾何意義.

3.能正確作出兩個向量的差.

預習案

自主學習：

1.相反向量:規(guī)定：與々長度相等，方向的向量，叫做々的相反向量，記作.

(1)零向量的相反向量仍是;

(2)—(-Q)=:

(3)a+(—a)==；AB+BA=.

(4)若。與［互為相反向量，則。=；b=；.

2.向量的減法

(1)定義：a-b=a+,即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.

(2)幾何意義：以。為起點，作赤=［麗=B,則=a-h,即Z—B可以

表示為從向量______的終點指向向量________的終點的向量.

3.一般地,^\\a\-\b\^a-b^a\+\b\

探究案

探究1：根據(jù)已知向量作出差向量：

(1)如圖，已知向量”,Ac不共線，求作向量。+力一c.

(2)如圖所示，。為△ABC內(nèi)一點，OA=a,OB=b,OC=c,求作：h+c-a.

o

出c

探究2：向量的減法運算：

化簡下列各式：

(1)AB+MB-OB-MO；

(2)AB-AD-DC-,

(3)AB-BC+BD-AD；

(4)AB+DA+BD-BC-CA；

(5)(AB-CD)-(AC-BD).

探究3：向量減法的應用：

1.平行四邊形ABCD中，AB^a,AD^b,用a,8表示向量AC,03,并回答:

(1)當a,。滿足什么條件時，a+b與。一人垂直?

(2)當滿足什么條件時，肘+b|=|a-力|?

2.設(shè)點M是線段8c的中點，點A在直線8c外，|BC|=4,\AB+AC\=\AB-AC\,

則IAM|=

A.8B.4C.2D.1

3.已知0為平行四邊形ABC。內(nèi)一點，OA=a,OB=b,OC=c,用a,6,c表示。。.

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

【學習目標】

1.掌握向量的數(shù)乘運算，并理解數(shù)乘運算的幾何意義：

2.能用數(shù)乘運算的幾何意義的應用解決一些簡單的問題.

預習案

自主學習：

1.向量的數(shù)乘：實數(shù)丸與向量々的積是一個向量，記作,它的長度與方向規(guī)定如下:

(1)|A,a|=；

(2)當力>0時，的方向與Z的方向；

當4<0時，的方向與Z的方向；

當2=0時，Aa=0,它的方向是.

2.數(shù)乘運算的運算律：

(1)交換律：Aa-a-A；

(2)結(jié)合律：:(9)=(辦)a；

(3)分配律：(％+4)a=+,A(a+b)-Aa+Ab.

3.向量共線定理：

向量g與非零向量［共線O有且只有一個實數(shù)力,使得g=.

探究案

探究1：向量的線性運算：

1.計算：(1)6(3丁-20+9(-2a+2)；

127137

(2)_[(3a+2①一一a-b]一一[-a+-(b+-a)].

236276

2.已知向量a,8,且3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求x.

探究2：向量共線定理及其應用：

1.已知A,8,0三點不共線，且OP=mOA+nOB(m,neR).

(1)若加+〃=1,求證：AP,8三點共線；

(2)若A,P,6三點共線，求證：m+n^l.

2.己知兩非零向量和［不共線.

(1)若A》=J+],BC=2e,+8^,c3=3(3-[),求證：A,B,D三點共線.

f——>T

(2)如果人^=勺+g，BC-2e,-3e2,CD-2et-ke2,且A,C,。三點共線，求左

的值.

探究3：用已知向量表示其他向量：

2

在AABC中，AD=-AB,DEHBC交AC千E,AA7是BC邊上的中線，交。石于N.

3

設(shè)A6=a,AC=b,用Z,3分別表示向量荏，BC,DE,DN,AM,AN.

2.3.1平面向量基本定理

【學習目標】

1.了解基底的含義：

2.理解向量的夾角及垂直的定義；

3.掌握平面向量的基本定理及其應用.

預習案

自主學習：

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果［、［是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量”，有且只有一對實數(shù)4、A,,使。=.

(2)我們把不共線的向量［、1叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組.

想一想：判斷兩個向量能否做為基底的關(guān)鍵是什么？

2.向量的夾角

(1)定義：已知兩個向量a、b,作O4=Z,OB=b,則=氏叫做向

量Z與各的夾角.

(2)范圍：.

(3)當6=0°時，Z與X；當6=180°時，々與B.

3.垂直：如果Z與B的夾角是,則稱Z與X垂直，記作.

探究案

探究1：對基底的理解：

1.若是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是

A.q—2與與q+24B.q與34

C.2q+3%與~4q-6e2D.q+6與q

2.若是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列結(jié)論成立的是

A.若實數(shù)4,友使+4/=0,則4=4=0

B.空間任意向量〃都可以表示為，4，4￡尺

c.4,+4/（4,4￡R）不一定表示平面內(nèi)一個向量

D.對于這一平面內(nèi)的任一向量。，使a=4q+41的實數(shù)對4,“2有無數(shù)對

探究2：用基底表示平面向量:

.[,.|—?

1.如圖所示，在AOAB中，OC=-OA,OD=—OB,AD與BC交于點M,

42

設(shè)麗=々，OB^b,以「與分為基底表示的.

—>—>—>

3.在平行四邊形ABCD中，E和尸分別是邊C。和BC的中點，若AC=4AE+〃AE,

其中則九+〃=.

探究3：向量的夾角：

1.己知E|=|百=2且I與彘勺夾角為60°,則；與京?族的夾角為,1與

a-b的夾角為,a+b與a-b的夾角為.

3.平面內(nèi)有三個向量04、OB、0C,其中。4與。8的夾角為120P,。4與0C的夾

角為30°,而與歷的夾角為90°,且|而|=而|=1,|1|=2百，若

OC=WA+pOB（A,求4、〃的值.

2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

2.3.3平面向量的坐標運算

【學習目標】

（1）理解平面向量的坐標的概念：

（2）掌握平面向量的坐標運算;

（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.

預習案

自主學習：

1.平面向量的正交分解：把一個向量，叫做把向量正交分解.

2.平面向量的坐標表示：如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩

個單位向量;、]作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量由平面向量

基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y,使得

->

CI—.

這樣，平面內(nèi)的任一向量W都可由X、y