第2章 平面力系

平面力系第2章——《理論力學》平面力系平面匯交力系平面力偶系平面任意力系1）物體的受力分析（第一章）2）力系的等效替換（或簡化）→合成3）建立各種力系的平衡條件→平衡平面力系：力系中各力的作用線處于同一平面內。靜力學主要研究內容：平面平行力系2.1平面匯交力系1、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則平面匯交力系：各力的作用線同一平面且匯交于一點。力多邊形規(guī)則力三角形法則2.1平面匯交力系2、平面匯交力系平衡的幾何條件平衡條件平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉。求解平面匯交力系平衡問題時可用幾何法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后，用尺和量角器在圖上量得所要求得未知量。對匯交于一點得三個力來說，常常根據(jù)圖形幾何關系，畫出封閉的力三角形，用三角公式計算所要求出得未知量。2.1平面匯交力系例2-1平面結構如圖所示，習慣稱之為梁的水平桿AB與斜桿CD在點C用鉸鏈連接，并在A、D處用鉸鏈連接在鉛垂墻上。AC=CB，角度如圖，不計各構件自重，在B處作用一鉛垂力F=10kN。求CD桿受力和鉸支座A處的約束力。2.1平面匯交力系解：1）受力分析用幾何法，畫封閉力三角形。按比例量得2.1平面匯交力系3、平面匯交力系合成與平衡的解析法設由n個力組成的平面匯交力系作用在一個剛體上，此匯交力系的合力的解析表達式為：合力在x,y軸上的投影：合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和。2.1平面匯交力系3、平面匯交力系合成與平衡的解析法合力的大小為：方向為：

作用點為力的匯交點。平面匯交力系平衡的必要和充分條件：該力系的合力等于零。平衡方程2.1平面匯交力系例2-2如圖所示，重物重量P=20kN，用鋼絲繩連接如圖。不計桿、鋼絲繩、和滑輪B的重量，忽略軸承摩擦和滑輪B的大小。角度如圖所示。求平衡時桿AB，BC所受的力。解：（1）取研究對象，畫受力圖2.1平面匯交力系例2-2如圖所示，重物重量P=20kN，用鋼絲繩連接如圖。不計桿、鋼絲繩、和滑輪B的重量，忽略軸承摩擦和滑輪B的大小。角度如圖所示。求平衡時桿AB，BC所受的力。解：（2）列平衡方程（1）匯交力系:各力的作用線同一平面且匯交與一點。小結2.1平面匯交力系（2）幾何法合成:力多邊形法則。（3）幾何法平衡:力多邊形法自行封閉。（4）力在坐標軸上投影:（5）解析法合成:（6）解析法平衡:大小方向2.2平面力對點之矩·平面力偶1、力對點之矩（力矩）力矩作用面，O稱為矩心，O到力的作用線的垂直距離

稱為力臂。此平面中，力使物體繞O轉動的效果取決于兩個要素。力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負：力使物體繞矩心逆時針轉向時為正，反之為負.常用單位或。1.大?。毫εc力臂的乘積2.方向：轉動方向2.2平面力對點之矩·平面力偶2、合力矩定理與力矩的解析表達式合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和。該結論適用于任何合力存在的力系解析表達式2.2平面力對點之矩·平面力偶直接按定義按合力矩定理例2-3如圖所示圓柱直齒輪，受到另一齒輪對其嚙合力F的作用，大小為F=1400N，壓力角θ=20°，齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）半徑r=60mm，求力F對于軸心O的力矩。解:2.2平面力對點之矩·平面力偶思考：三角形分布荷載的合力及其位置如何計算？由合力矩定理得解：取微元如圖此結論后續(xù)可直接應用2.2平面力對點之矩·平面力偶3、力偶與力偶矩力偶由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作。1）大?。毫εc力偶臂乘積2）方向：轉動方向力偶矩：力偶作用面內，力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值大小等于力的大小與力偶臂的乘積，轉向以使物體逆時針轉動為正，反之為負。在力偶作用面內，力偶使物體轉動的效果取決于兩個要素：特殊力系2.2平面力對點之矩·平面力偶4、力偶的性質（1）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。力偶矩與力矩的重要區(qū)別2.2平面力對點之矩·平面力偶4、力偶的性質（2）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。====2.2平面力對點之矩·平面力偶4、力偶的性質補充：力偶不能簡化為集中力，向任意坐標軸投影的力也為零；因此寫力投影方程時無需考慮力偶，力偶也不能和力相等或平衡。2.2平面力對點之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡條件已知：求合力偶任選一段距離d===?=2.2平面力對點之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系平衡的充要條件，有如下平衡方程2.2平面力對點之矩·平面力偶解得由力偶只能由力偶平衡的性質，得受力圖為例2-4如圖所示工件，用多軸鉆床在工件上同時鉆三個孔，鉆頭對工件作用有三個力偶，其矩分別為固定螺栓A和B的距離。求兩個光滑螺栓所受的水平力。解：由平衡條件2.2平面力對點之矩·平面力偶例2-5不計圖中機構自重，圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導槽內。圓輪上作用一矩為的力偶，,圖示位置時OA和OB垂直，，系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上的力偶，鉸鏈O,B處的約束力。取輪,由力偶只能由力偶平衡的性質,畫受力圖.解得解得

取桿

，畫受力圖.解：（1）力對點之矩：小結2.2平面力對點之矩·平面力偶（2）合力矩定理：（3）力對點之矩的解析式：（4）力偶:（5）力偶矩:（6）力偶等效定理:（7）力偶性質：①矩心無關性；②保持力偶矩不變，可在平面內任意移轉；③力偶與力不合成不平衡。（9）平面力偶系平衡:（8）平面力偶系合成:2.3平面任意力系0、平面任意力系力的作用線在同一平面內，并且是任意分布的。（平面一般力系）簡化？平衡？2.3平面任意力系1、力的平移定理可以把作用在剛體上點A的力平行移到任一點B,但必須同時附加一個力偶，該力偶的矩就等于力對新作用點B的矩。==2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內任意一點的簡化主矢和主矩==平面任意力系=平面匯交力系+平面力偶系主矢主矩把一個復雜的問題等效分割成幾個簡單問題的組合2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內任意一點的簡化主矢和主矩主矢計算的解析表達式：其中主矢大小：方向余弦：主矩計算的解析表達式：主矢與簡化中心無關，而主矩一般與簡化中心有關。2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內任意一點的簡化主矢和主矩平面固定端約束2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內任意一點的簡化主矢和主矩平面固定端約束===≠2.3平面任意力系3、平面任意力系的簡化結果分析合力矩定理合力+合力偶合力偶大小與簡化中心有關1）合力作用線過簡化中心2）合力偶與簡化中心的位置無關3）4）平衡與簡化中心的位置無關2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點O簡化的結果，合力與基線OA交點到點O的距離x，以及合力作用線方程。解：主矢：2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點O簡化的結果，合力與基線OA交點到點O的距離x，以及合力作用線方程。解：主矩：求合力及其作用線位置：或：2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點O簡化的結果，合力與基線OA交點到點O的距離x，以及合力作用線方程。解：合力作用線方程：（1）力的平移定理：從A平移到B,附加力偶為對B的矩。小結2.3平面任意力系（2）主矢：（3）主矩:（4）平面任意力系向面內一點簡化:一個主矢+一個主矩。（5）平面固定端約束:約束反力三個分量，兩個力分量和一個力偶。（6）平面任意力系簡化結果:由四種結果分析，最簡化結果三種。

①單個力；②單個力偶；③平衡與簡化中心無關與簡化中心有關2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零因為所以，有平面任意力系的平衡方程其中平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。一般式2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-7起重機重P1=10kN，可繞鉛垂軸AB轉動，起重機的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物。起重機的中心C到轉動軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和徑向軸承B處的約束力。解：取起重機，畫受力圖.2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-8如圖所示均質水平橫梁AB,A端為固定鉸鏈支座，B端為滾動支座。梁長為4a,梁重為P。在梁的AC上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受矩為M=Pa的力偶作用，求支座A和B處的約束力。取梁，畫受力圖。解：2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-9自重為P=100kN的T字形鋼架ABD，置于鉛垂面內，尺寸l=1m，載荷如圖所示，。求固定端A處的約束力。其中解：取

型剛架，畫受力圖。2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡方程另兩種形式二矩式兩個取矩點連線，不得與投影軸垂直三矩式三個取矩點，不得共線2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面平行力系的平衡方程力矩形式A、B連線不與力的作用線平行。一個獨立方程2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程練習如圖所示起重機自重P1=700kN，滿載時吊重物P2=200kN，起重機輪間距AB=4m，其他尺寸如圖。求（1）為保證起重機滿載和空載均不翻倒，平衡所需配重P3應在哪個范圍內；（2）若配重P3=180kN，軌道AB給輪子的約束力是多少？解：取起重機，畫受力圖。滿載時，為不安全狀況2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程練習如圖所示起重機自重P1=700kN，滿載時吊重物P2=200kN，起重機輪間距AB=4m，其他尺寸如圖。求（1）為保證起重機滿載和空載均不翻倒，平衡所需配重P3應在哪個范圍內；（2）若配重P3=180kN，軌道AB給輪子的約束力是多少？解：空載時，為不安全狀況

時2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程小結（1）平衡條件：力系的主矢等于0，且對任意點主矩也為0。（2）平衡方程：二矩式:（3）平面平行力系平衡方程:三矩式:2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題未知量數(shù)目<=獨立方程數(shù)目時，靜定問題（可由平衡方程求解全部未知量）力系類型平衡方程獨立方程數(shù)目平面匯交力系2平面力偶系1平面平行力系2平面任意力系3未知量數(shù)目>獨立方程數(shù)目時，超靜定問題（由平衡方程不能求解全部未知量）物體系的平衡：工程重大部分構架都是由幾個物體組成的系統(tǒng)，當系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的每一個物體都處于平衡狀態(tài)，每一個物體均可以寫出其對應個數(shù)的平衡方程。若物體系中的每個物體受力均為平面任意力系，系統(tǒng)包含n個物體，則該系統(tǒng)具有3n個獨立的平衡方程。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對象。（2）整體分析幾個未知量。（3）不同的研究對象分別有幾個未知量。（4）不同的研究對象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對象。（2）整體分析幾個未知量。（3）不同的研究對象分別有幾個未知量。（4）不同的研究對象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。解：取整體,畫受力圖.2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。解：取DCE桿,畫受力圖。(拉)2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習構架由不計自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對象。（2）整體分析幾個未知量。（3）不同的研究對象分別有幾個未知量。（4）不同的研究對象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習構架由不計自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對象。（2）整體分析幾個未知量。（3）不同的研究對象分別有幾個未知量。（4）不同的研究對象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題DEF整體ABCADB未知量個數(shù)3456√未知量個數(shù)0444未知量個數(shù)相同，最好選橫平豎直的√0332選擇任意一個均可√001100002.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習構架由不計自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。解：選DEF，畫受力圖選ADB，畫受力圖2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習構架由不計自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。選整體，畫受力圖再選ADB，列平衡方程2.6平面簡單桁架的內力計算桁架：一種由桿件彼