高考數(shù)學(xué) 13相似三角形的判定及性質(zhì)知能演練 新人教A版選修41

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)1-3相似三角形的判定及性質(zhì)知能演練新人教A版選修4-1一、選擇題1．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)；④AC2＝AD·AB.其中能夠單獨(dú)判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為()．A．1B．2C．3D．4解析題號(hào)判斷原因分析①√∵∠B＝∠ACD，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD②√∵∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD③×∵eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC)，由判定定理2知，不能單獨(dú)判斷△ABC∽△ACD④√∵AC2＝AD·AB，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，又∠A＝∠A，由判定定理2，知△ABC∽△ACD答案C2．如圖所示，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，下列條件能判定△ADE與△ACB相似的有()．①∠AED＝∠B②eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)③eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AB)④DE∥BCA．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析由判定定理1知①正確，由判定定理2知②正確，由預(yù)備定理1知④正確，③不符合相似三角形的判定定理，故不正確，從而選C.答案C3．如圖所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，則AC∶BC的值是()．A．3∶2B．9∶4C.eq\r(3)∶eq\r(2)D.eq\r(2)∶eq\r(3)解析∵∠B為公共角，∴Rt△BCD∽R(shí)t△BAC，同理Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，∴Rt△ACD∽R(shí)t△CBD.∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)，又∵AD＝3，CD＝2，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2)，即AC∶BC＝3∶2.答案A4．如圖所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,CN)，下列結(jié)論中正確的是()．A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA解析由CM＝CN知∠CMN＝∠CNM，∴∠AMB＝∠ANC，又eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,CN)，故△ABM∽△ACN.答案B二、填空題5．如圖所示，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則△ADE與△ABC的相似比是________．解析∵E為AB中點(diǎn)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)，即AE＝eq\f(1,2)AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝eq\f(\r(3),2)AB，又∵Rt△AED∽R(shí)t△ACB，∴相似比為eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,\r(3)).故△ADE與△ABC的相似比為1∶eq\r(3).答案1∶eq\r(3)6．如圖，AA1與BB1相交于點(diǎn)O，AB∥A1B1且AB＝eq\f(1,2)A1B1.若△AOB的外接圓的直徑為1，則△A1OB1的外接圓的直徑為_(kāi)_________．解析∵AB∥A1B1且AB＝eq\f(1,2)A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比．∴△A1OB1的外接圓直徑為2.答案27．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則eq\f(AO,DO)等于________．解析在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO為公共角，∴Rt△DAO∽R(shí)t△DEA，∴eq\f(DO,AO)＝eq\f(AD,AE)，即eq\f(AO,DO)＝eq\f(AE,AD).∵E為AB的中點(diǎn)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(\f(1,2)AB,AD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8．如圖所示，已知點(diǎn)E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點(diǎn)，BE、CF相交于點(diǎn)G，F(xiàn)G＝2，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析∵E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點(diǎn)，∴FE∥BC，由相似三角形的預(yù)備定理，得△FEG∽△CBG，∴eq\f(FG,GC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.答案6三、解答題9．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)BC到D，使CD＝BC，取AB的中點(diǎn)F，連接FD交AC于點(diǎn)E.(1)求eq\f(AE,AC)的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝EC，求AC的長(zhǎng)．解(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FM∥AC，交BC于點(diǎn)M.∵F為AB的中點(diǎn)，∴M為BC的中點(diǎn)，∴FM＝eq\f(1,2)AC，由FM∥AC，得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD.∴△FMD∽△ECD.∴eq\f(DC,DM)＝eq\f(EC,FM)＝eq\f(2,3).∴EC＝eq\f(2,3)FM＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,3)AC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AC－\f(1,3)AC,AC)＝eq\f(2,3).(2)∵AB＝a，∴FB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.又FB＝EC，∴EC＝eq\f(1,2)a.∵EC＝eq\f(1,3)AC，∴AC＝3EC＝eq\f(3,2)a.10．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證：FD2＝FB·FC.證明∵E是Rt△ACD斜邊AC的中點(diǎn)，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又∵∠1＝∠2，∠1＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∵∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角．∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.11．(拓展深化)如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)寫(xiě)出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4eq\r(2)，AF＝3，求FG的長(zhǎng)．解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下證明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)當(dāng)α＝45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝2eq\r(2).又∵△AMF∽△BGM，∴eq\f(AF,AM)＝eq\f(BM,BG).∴BG＝eq\f(AM·BM,AF)＝eq\f(2\r(2)×2\r(2),3)＝eq