第3章《圓的基本性質(zhì)》（教師版）

2023-2024學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第3章《圓的基本性質(zhì)》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.47一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?長興縣二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，∠ACO＝65°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°解：設(shè)AB與OC相交于點(diǎn)D，∵∠BOC＝90°，∴∠BAC＝∠BOC＝45°，∵∠ACO＝65°，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACO＝70°，∴∠ADC＝∠ODB＝70°，∴∠ABO＝90°﹣∠ODB＝20°，故選：B．2．（2分）（2022秋?恩施市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝36°，斜邊AC與量角器的直徑重合（A點(diǎn)的刻度為0），將射線BF繞著點(diǎn)B轉(zhuǎn)動，與量角器的外圓弧交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，若△ABE是等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的刻度為（）A．72° B．144° C．36° D．72°或144°解：如圖，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，連接DO．∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)＝∠AOD＝2∠ABD，∵當(dāng)射線BD將△ABC分割出的△ABE是等腰三角形時，∠ABD＝36°或72°，∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)＝∠AOD＝2∠ABD＝72°或144°，故選：D．3．（2分）（2022?黃巖區(qū)一模）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)2，以AB為直徑作圓交邊AC于點(diǎn)P，以B為圓心，BP為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A． B．2 C．2﹣2 D．2﹣2解：由題意可得AB＝4，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)Q，∴BQ＝PB＝2．∴點(diǎn)Q表示數(shù)為2﹣2．故選：C．4．（2分）（2022?永康市模擬）如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，∠AOC＝60°，點(diǎn)P是線段AB延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)PC，則∠APC的度數(shù)不可能是（）A．30° B．25° C．10° D．5°解：連接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一個外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度數(shù)不可能是30°，故選：A．5．（2分）（2019?下城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，以邊BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE，若＝2＝2，則下列說法正確的是（）A．AB＝AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C解：∵＝2＝2，∴∠BOD＝∠EOC＝∠DOE，∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∴∠A＝45°，∵BC為直徑，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AB＝AE，故A、B錯誤；3∠A＝135°，2∠C＝135°，∴3∠A＝2∠C，C正確；5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，∴5∠A≠3∠C，D錯誤；故選：C．6．（2分）（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，延長BA至點(diǎn)D，AE平分∠CAD交⊙O于點(diǎn)E．若∠ABE＝20°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°解：∵∠ABE＝20°，∴∠ABE＝∠ACE＝20°，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝70°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAC＝2∠CAE＝140°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝40°，∴∠BCA＝90°﹣∠BAC＝50°，故選：B．7．（2分）（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長為（）A． B． C．4 D．6解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故選：B．8．（2分）（2020?永嘉縣模擬）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，分別以AC、BC為直徑作半圓，其中M，N分別是AC、BC為直徑作半圓弧的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，則AB的長是（）A．17 B．18 C．19 D．20解：連接OP，OQ，分別交AC，BC于H，I，∵M(jìn)，N分別是AC、BC為直徑作半圓弧的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由對稱性可知：H，P，M三點(diǎn)共線，I，Q，N三點(diǎn)共線，∴H、I是AC、BC的中點(diǎn)，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵M(jìn)H+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故選：C．9．（2分）（2019秋?椒江區(qū)校級月考）已知正方形MNKO和正六邊形ABCDEF邊長均為1，把正方形放在正六邊形外邊，使OK邊與AB邊重合，如圖所示．按下列步驟操作：將正方形在正六邊形外繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使KN邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使NM邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)可能是（）A．2.2 B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3解：如圖，∵正方形MNKO和正六邊形ABCDEF邊長均為1，點(diǎn)M在連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)最大，∵點(diǎn)M6的縱坐標(biāo)為．所以點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)為+，點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)最小，因?yàn)辄c(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為﹣1﹣，所以縱坐標(biāo)的取值范圍為：﹣1﹣＜點(diǎn)M的縱坐標(biāo)＜+．即﹣1.866＜點(diǎn)M的縱坐標(biāo)＜2.280．所以點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)可能是2.2．故選：A．10．（2分）（2023?甌海區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時，線段EG的長為（）A．8 B．7 C．9 D．解：如圖，過點(diǎn)F作FP⊥CD交DC的延長線于點(diǎn)P，作直線CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED+∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF與△DAE中，，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE﹣CE＝CD﹣CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)M，連接AM交直線CF于點(diǎn)F，此時，AF+BF最小，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)M，，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵AB∥CD，∴四邊形ABMC為平行四邊形，∴BG＝CG＝＝4，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PF∥BC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝，∴EG＝＝，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?濱江區(qū)校級月考）如圖，已知點(diǎn)A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，則∠AOB的度數(shù)為80°．解：∵∠O+∠A＝∠C+∠B，∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝40°，∵∠C＝∠O，∴∠O﹣∠O＝40°，∴∠O＝80°．故答案為：80°．12．（2分）（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AC＝BC，⊙O是△ABC的外接圓，在劣弧BC上存在點(diǎn)E滿足∠AEB＝2∠BAE，連結(jié)AE交BC于點(diǎn)D，延長AO交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)BG交AE于點(diǎn)H，連結(jié)CH，若EG＝DH，⊙O半徑為，則S△ABH＝4．解：設(shè)∠BAE＝α，∵∠AEB＝2∠BAE，∴∠AEB＝2α，∴∠ACB＝∠AEB＝2α，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠BAE+∠ABC＝α+（90°﹣α）＝90°，∴AE⊥BC，連接CO并延長交AB于L，過點(diǎn)C作CM⊥AG于點(diǎn)G，過點(diǎn)H作HK⊥CG交CG的延長線于點(diǎn)G，∵AG是直徑，∴∠ABG＝∠ACG＝∠AEG＝90°，∠ABD＝∠BHD＝∠EHG，∵四邊形ABGC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC＝BC，∴∠HGK＝∠BAC＝∠ABC，∴∠HGK＝∠EHG，又∵∠HEG＝∠HKG＝90°，HG＝GH，∴△EHG≌△KGH，∴HK＝EG，∵HD＝EG，∴HD＝HK，∵HD⊥BC，HK⊥CK，∴CH平分∠DCK，∠GCH＝∠DCH，∵CA＝CB，∴點(diǎn)O到CA、CB的距離相等，CL⊥AB，CL平分∠ACB，AL＝BL（三線合一），∴∠OCD+∠DCH＝ACG＝45°＝∠OCH，∵＝，∴∠BAE＝∠BGE＝α，∵BC⊥AE，EG⊥AE，∴BC∥EG，∴∠CBG＝∠BGE＝α，∵，∴∠GAC＝∠CBG＝∠BAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠ACH＝∠OCA+∠OCH＝α+45°，∵∠HAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣2α，∴△ACH中，∠AHC＝∠180°﹣∠HAC﹣∠ACH＝180°﹣（90°﹣2α）﹣（α+45°）＝α+45°，∴AH＝AC，∴Rt△BAH≌△RtCAM≌Rt△LCA（AAS），∴CM＝BH＝BL＝AL，∴tan∠BAD＝＝＝tan∠CAG＝，∴設(shè)CG＝m，則AC＝2m，Rt△ACG中，∵AG＝2OA＝5，∴由AC2+CG2＝AG2，解得m＝，∴CG＝，AC＝2，∵S△ACG＝?AG?CM＝AC?CG，∴5CM＝2×，∴CM＝2，S△ACG＝AC×CG＝5，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ACM＝×5＝4，∴S△ABH＝S△ACM＝4．故答案為：4．13．（2分）（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至矩形CEFG，其對角線交點(diǎn)O落在邊AD上，連結(jié)AF，∠DAF＝60°，點(diǎn)C到直線AF的距離為9，則AF＝2；AD＝5．?解：如圖，連接CF，CA，作CM⊥AF，取FM中點(diǎn)N，連接ON，∵O為CF中點(diǎn)，∴ON＝CM＝，ON∥CM，∴ON⊥AF，∵∠DAF＝60°，∴AN＝，∵CA＝CF，∴AM＝FM＝2FN，∴AF＝AN＝2，OF＝OC＝，AC＝2，OA＝3，∵CD2＝AC2﹣AD2＝OC2﹣OD2，∴84﹣AD2＝21﹣（AD﹣3）2，解得AD＝5，故答案為：2；5．14．（2分）（2022秋?拱墅區(qū)期中）如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)P和點(diǎn)T在⊙O上，OT⊥TB，的度數(shù)為60°，⊙O的半徑為2，TB＝2，點(diǎn)B與點(diǎn)A在直線OT的兩側(cè)，PB交⊙O于點(diǎn)C，當(dāng)∠APB＝60°時，∠PBT＝75°，BC＝﹣．解：連接OA，OC，TC，過點(diǎn)C作CD⊥TB，垂足為D，∵∠APB＝60°，∴∠AOC＝2∠APC＝120°，∵的度數(shù)為60°，∴∠AOT＝60°，∴∠TOC＝∠AOC﹣∠AOT＝60°，∵OT＝OC，∴△OTC是等邊三角形，∴TC＝OT＝OC＝2，∠OTC＝60°，∵OT⊥TB，∴∠OTB＝90°，∴∠CTB＝∠OTB﹣∠OTC＝30°，∵TC＝TB＝2，∴∠PBT＝∠TCB＝（180°﹣∠CTB）＝75°，在Rt△TCD中，∠CTB＝30°，TC＝2，∴CD＝TC＝1，TD＝CD＝，∴BD＝TB﹣TD＝2﹣，∴CB＝＝＝＝＝＝﹣，故答案為：75°，﹣．15．（2分）（2021秋?新昌縣校級期中）如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心，且與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝20°，點(diǎn)P是l上的一個動點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于另一點(diǎn)Q，若QP＝QO，則∠OCP＝或或．解：①根據(jù)題意，畫出圖（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝20°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+20°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+20°）+（∠OCP+20°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝140°，∴∠OCP＝．②當(dāng)P在線段OA的延長線上（如圖2），∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）①，∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）②，在△OQP中，20°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得：40°+∠QOC＝∠OQP，∵∠OQP＝（180°﹣∠QOC），∴∠QOC＝，則∠OQP＝∴∠OCP＝；③當(dāng)P在線段OA的反向延長線上（如圖3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC，∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠OQP＝∠OQC，∵∠AOC＝20°，∴∠OCQ+∠OPQ＝20°，∴∠OCP＝；故答案為：或或．16．（2分）（2010?德清縣自主招生）今有一副三角板（如圖1），中間各有一個直徑為4cm的圓洞，現(xiàn)將三角板a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內(nèi)（如圖2），則三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為14.9cm2．（不計三角板的厚度，精確到0.1cm2）解：假設(shè)三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分為△ABC，BC＝4cm，∠BAC＝30°，作△ABC的外接圓⊙P，連接PA，PB，PC，作PD⊥BC于D，則PB＝PC＝PA，∵∠BAC＝30°，∴∠BPC＝2∠BAC＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴BD＝CD＝2，PD＝2，BP＝BC＝PA＝4，連接AD，則AD≤AP+PD＝4+2，∴當(dāng)A，P，D在同一直線上時，AD有最大值，此時，AD⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AD＝×4×（4+2）＝8+4≈14.9（cm2）．故答案為：14.917．（2分）（2020秋?溫州校級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝BD．若⊙O的半徑OB＝2，則AC的長為2．解：連接OA、OC，∵AD⊥BC，AD＝BD，∴∠ABC＝45°，由圓周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴AC＝OA＝2，故答案為：2．18．（2分）（2018?寧波模擬）點(diǎn)A、C為半徑是6的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點(diǎn)D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長為2或4．解：分兩種情況：①如圖，OB＝OC＝6，∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴AB＝BC，∵頂點(diǎn)D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，∴BD＝2×6÷3＝4，∴DE＝BE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝6﹣2＝4，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理，得CE＝＝＝2，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理，得∴CD＝＝2；②如圖，同理可得，BD＝12﹣2×6÷3＝12﹣4＝8，∴DE＝BE＝4，∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，在Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理，得CE＝＝＝4，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理，得∴CD＝＝4．綜上所述：該菱形的邊長為2或4．故答案為：2或4．19．（2分）（2017?奉化市模擬）已知以AB為直徑的圓O，C為AB弧的中點(diǎn)，P為BC弧上任意一點(diǎn)，CD⊥CP交AP于D，連接BD，若AB＝6，則BD的最小值為3﹣3．解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則∠AQC＝90°，連接AC，BC，BQ．∵⊙O的直徑為AB，C為的中點(diǎn)，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，又∵AB＝6，C為的中點(diǎn)，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝3，∴△ACQ中，AQ＝3，∴BQ＝＝3，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值為3﹣3．故答案為3﹣3．20．（2分）（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將邊CD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段DE，連接CE，過點(diǎn)A作AF⊥CE交線段CE的延長線于點(diǎn)F，連接BF，若點(diǎn)M為線段BF中點(diǎn)，則點(diǎn)M與點(diǎn)C距離的最大值為+．解：連接AC，取AC中點(diǎn)O，AB中點(diǎn)H，BC中點(diǎn)G，連接HG，取HG中點(diǎn)N，連接OF，OH，OG，MH，CN，過N作NK⊥BC于K，如圖：∵M(jìn)H是△ABF的中位線，∴MH＝AF，∠MHB＝∠FAB，∵HG是△ABC中位線，∴HG＝AC，∠BHG＝∠BAC，∴∠MHB+∠BHG＝∠FAB+∠BAC，即∠MHN＝∠FAQ，∵HN＝HG，OA＝AC，∴HN＝OA，∴＝＝，∴△HMN∽△AFO，∴＝＝，∴MN＝OF，∵AF⊥CE，O為AC中點(diǎn)，∴OF＝AC＝×＝2，∴MN＝，∵NK∥BH，N為HG中點(diǎn)，∴BK＝KG＝BG＝1＝NK，∴CG＝KG+CG＝3，∴CN＝＝，∴當(dāng)C，N，M共線時，CM最大，最大為+，故答案為：+．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?余杭區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD，OD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直徑．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝∠C＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝AC＝8，在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，∴OA2＝64+（OA﹣4）2，∴OA＝10，∴⊙O的直徑為20．22．（6分）（2022秋?余杭區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OD交AC于點(diǎn)E，OD∥BC，（1）求證：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的長．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8，∴AE＝AC＝4，設(shè)⊙O的半徑為r，∵DE＝2，∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2，在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2，∴16+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，∴AB＝2r＝10，在Rt△ACB中，BC＝＝＝6，∴BC的長為6．23．（8分）（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．（1）解：△BDE為等腰直角三角形．證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：計算∠AEB＝135°也可以得證．（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分別延長AC，BD相交于點(diǎn)G．則△ABG為等腰三角形，先計算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根據(jù)面積相等求得BC．24．（8分）（2022秋?浦江縣月考）如圖，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與△ADE重合，且點(diǎn)C恰好為AD的中點(diǎn)．（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（2）求出∠BAE的度數(shù)和AE的長．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，即∠BAD＝120°，所以旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為120°；（2）∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵點(diǎn)C恰好成為AD的中點(diǎn)，∴AC＝AD＝3，∴AE＝3．25．（8分）（2021?西湖區(qū)校級二模）如圖，在圓O中，弦AB的垂直平分線OE交弦BG于點(diǎn)D，OE交圓O于點(diǎn)C、F，連接OG，OB，圓O的半徑為r．（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的長（用r的代數(shù)式表示）；（2）證明：∠E＝∠OBD；（3）若D是CO中點(diǎn)，求EF的長（用r的代數(shù)式表示）．（1）解：設(shè)OF交AB于N，連接AO，∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴AN＝BN＝AB，∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，∴sin∠AON＝＝，∴AN＝r，∴r；（2）證明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，∴∠BON＝∠AGB，∴∠EGD＝∠DOB，∵∠EDG＝∠BDO，∴∠E＝∠OBD；（3）解：∵OG＝OB，∴∠OGB＝∠OBG，∴∠E＝∠OGB．∵D是CO中點(diǎn)，∴OD＝OC＝，∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，∴△OGD∽△OEG，∴，即，∴OE＝2r，∵OF＝r，∴EF＝OE+OF＝3r．26．（8分）（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，，BF與CD交于點(diǎn)G．（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：．（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如圖所示：連接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，設(shè)EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE