2023-2024學年高一數(shù)學2019單元復習試題單元復習13立體幾何初步基礎題

單元復習13立體幾何初步

考點01基本立體圖形

一、單選題

1.下列命題中不正確的是（）

A.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面

B.正四棱錐的側面都是正三角形

C.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺

D.以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾何體是圓臺

【答案】B

【分析】由正四棱錐的概念判斷B；由旋轉體的結構特征判斷A、C、D.

【解析】對于A：圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故A正確；

對于B：正四棱錐的側面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B錯誤；

對于C：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故C正確；

對于D：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾何體是圓

臺，故D正確.

故選：B.

2.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（）

A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓柱、一個圓錐

C.兩個圓臺、一個圓柱D.一個圓柱、兩個圓錐

【答案】D

【分析】根據旋轉體的概念，作出直觀圖，可得答案.

【解析】圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，

以CD邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，

如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐，

故選：D

3.若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是（）

y

【分析】利用斜二測畫法判斷.

【解析】解：由斜二測畫法知：平行或與X軸重合的線段長度不變，平行關系不變，

平行或與》軸重合的線段長度減半，平行關系不變，

故選：A

4.已知正四面體的棱長為“，E為CD上一點,且CE:EO=2:1,則截面48E的面積是（）

AV22n應2V172

A.----aB.——aCr.-----a2Dn.-----a

421212

【答案】D

【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.

C

21

因為CO=a,C￡:EO=2:1,所以C￡=-a,E。=—a,

33

所以在正三角形NCD中，由余弦定理可知：

AE2=AC2+CE2-2ACCE-cosZACD

22a、2_2a172

3329

因為△8CD和A4C￡＞都是正三角形，

所以ZADE=ZBDE,AD=BD,DE=DE,

所以“DE知BDE,所以BE=4E,

所以是等腰三角形，取NB中點尸，貝IJN5JLEF,

故選:D.

5.如圖，AA'B'C是斜二測畫法畫出的水平放置的“BC的直觀圖，“是8C’的中點，且A'D'〃y軸，B'C'//x

軸，A'D'=2,B'C'=2,則()

B.“8C的面積為4

C.A，B'C'的面積為2

jr

D.NABC=-

3

【答案】B

【分析】根據斜二測畫法確定原圖形，由此判斷各選項.

【解析】由圖象知:BC=B'C'=2,AD=2A'D'=4,

AD1BC,。為8c的中點

所以4c=jF+J=歷，A錯誤；

春5c的面積S=！x8CxNO=4,B正確；

2

因為NN'。。'=45°，A'D'=2,

所以"'B'C的8'C'上的高HE=A'D'sin45"=6,

“⑻。的面積S=,x2x近=/，C錯誤，

2

/O'1

二、多選題

6.下列關于棱柱的說法正確的是（）

A.所有的棱柱兩個底面都平行

B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行

C.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

D.棱柱至少有五個面

【答案】ABD

【分析】根據棱柱的定義判斷.

【解析】由棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形且相鄰四邊形的公共邊互相平行的幾何體

是棱柱，知A、B正確的；對于C,如棱臺，有兩個面互相平行，其余各個面都是四邊形，但它不是棱柱，

所以C錯誤.三棱柱有五個面，〃棱柱有〃+2個面23）,D正確.

故選：ABD

7.下列說法錯誤的是（）（多選）

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐

B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐

D.如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體

【答案】ABC

【解析】選項48不符合棱錐，棱臺定義，所以錯誤；選項C,會得出棱錐的各個側面的共頂點的角之和

是360。，構成平面圖形，所以錯誤；選項。，可推出側棱與底面垂直，所以正確.

【解析】選項4有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點，

故N錯誤；

選項8,棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，

而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，

因為它的側棱延長后不一定交于一點，故8錯誤；

選項C,當棱錐的各個側面的共頂點的角之和是360。時，

各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；

選項D,若每個側面都是長方形則說明側棱與底面垂直，

又底面也是長方形，符合長方體的定義，故。正確.

故選:ABC.

【點睛】本題考查多面體的定義，以及結構特征，屬于基礎題.

8.如圖，四邊形/8CO的斜二測直觀圖為等腰梯形HB'C'Z）,已知H8'=2C3'=4,則（）

A.A'D'=6

B.BC=2及

C.四邊形43C。的周長為6+2貶+26

D.四邊形/BCD的面積為6啦

【答案】ACD

【分析】利用斜二測畫法的規(guī)則，逐個求解邊長，根據選項可得答案.

【解析】由已知等腰梯形中，ZD'A'B'=45°,A'B'=2C'D'=4,所以=近，

由斜二測畫法得，在原圖直角梯形/BCD中，AB=2CD=4,AD=2五-ZBAD=g易得8c=26,

所以四邊形ABCD的周長為6+2應+2內，面積為券x2收=6&.

故選：ACD.

9.在正方體力8c0-力￡。]。]中，2A[E=ED],CtF=2FD[,過E,尸的平面將正方體/BCD-44CQ1截

成兩部分，則所得幾何體可能是（）

A.三棱錐B.直三棱柱C.三棱臺D.四棱柱

【答案】ABC

【分析】根據已知結合平面圖形分別分析即可得出.

【解析】如圖，連接。瓦。尸，則平面OE尸可截得三棱錐。尸，故A正確;

如圖，過E作EG_LN。，過尸作尸〃_LCO,則過E,F的平面EF/7G可截得直三棱柱-OG4,故B

正確.

如圖，延長2。至P,連接尸瓦尸尸，分別與力28交于MV兩點，則可得平面EFN”截得三棱臺

DMN-D\EF,故C正確;

因為EF將四邊形4及GA分成一個三角形和一個五邊形，所以不可能得到四棱柱，故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

10.下列關于棱錐、棱臺的說法：

①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；

②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是.

【答案】①②

【分析】根據棱臺的特征可判斷①；根據四面體的定義可判斷②；找反例可判斷③.

【解析】對于①：棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形，故①正確；

對于②：由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐，故②正確；

對于③：如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，故③錯誤.

故答案為：①②.

11.設/={x|x為長方體},8={x|x為直平行六面體},c={x|x為正四棱柱},O={x|x為正六面體},

則集合4B,C,。之間的包含關系為.

【答案】DJCJAJB

【分析】先判斷出四個集合中的元素關系，再根據集合包含關系定義判斷即可.

【解析】在這4種圖形中，包含元素最多的是直平行六面體，其次是長方體，再其次是正四棱柱（上下底

面是正方形的長方體），最少元素的是正六面體.

故答案為：D=C=A=B

四、解答題

12.試從正方體/8CD-44GA的八個頂點中任取若干個點，連接后構成以下空間幾何體，畫圖并用適當

的符號表示出來.

（1）只有一個面是等邊三角形的三棱徘；

（2）四個面都是等邊三角形的三棱錐.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）3條棱是正方體的面對角線，3條棱是正方體的棱即可，

（2）6條棱均為正方體的面對角線即可.

（1）

如圖所示，三棱錐4-/片。（或三棱錐48。，三棱錐8-/8。，三棱錐C-班）G，三棱錐。-4C2,

三棱錐B「4BG，三棱錐C,-Bg,三棱錐D.-A^D答案不唯一）.

(2)

如圖所示，三棱錐片-4CA（或三棱錐4-8DG答案不唯一）.

13.如圖，梯形是一水平放置的平面圖形ABCD在斜二測畫法下的直觀圖.若4R平行于V軸,

【答案】5

【分析】如圖，根據直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形的形狀，求出底邊邊長以及高，然

后求出面積.

【解析】如圖，根據直觀圖畫法的規(guī)則，

直觀圖中44平行于歹軸，42=1,=原圖中/。//。丫,

從而得出/DJ-OC,且40=24"=2,

22

直觀圖中44〃CQ,4耳=]GA=2,=原圖中N8//C。，AB=-CD=2,

即四邊形上底和下底邊長分別為2,3,高為2,如圖.

故其面積S=gx（2+3）x2=5.

考點02基本圖形的位置關系

一、單選題

1.設4、4為兩條不同的直線，。為一個平面，則下列命題正確的是（）

A.若直線4〃平面a,直線為〃平面a,貝必〃4

B.若直線4上有兩個點到平面々的距離相等，則411a

C.直線4與平面a所成角的取值范圍是（0卷）

D.若直線4,平面a,直線平面a,則4〃4

【答案】D

【分析】平行于同一平面的兩條直線可以相交，平行，異面，A錯誤，：當直線與平面相交時，也成立，B

錯誤，直線與平面垂直時夾角為C錯誤，D正確，得到答案.

【解析】對選項A：平行于同一平面的兩條直線可以相交，平行，異面，錯誤；

對選項B：當直線與平面相交時，也滿足有兩個點到平面a的距離相等，錯誤；

對選項C：直線與平面垂直時夾角為錯誤；

對選項D：垂直于同一平面的兩條直線平行，正確.

故選：D

2.如果直線“u平面a,直線bu平面用，且a〃￡,則a與）

A.共面B.平行

C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線

【答案】D

【分析】根據線面和面面的位置關系直接得出結論.

【解析】a//p,說明a與b無公共點，

，a與6可能平行也可能是異面直線.

故選：D.

3.已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】一條直線和直線外一點確定一個平面，由此可驗證充分性成立；“這四個點在同一平面內”時，可能

有“兩點分別在兩條相交或平行直線上“，從而必要性不成立.

【解析】“這四個點中有三點在同一直線上“，則第四點不在共線三點所在的直線上，

因為一條直線和直線外一點確定一個平面，一定能推出“這四點在同一個平面內“，從而充分性成立；

“這四個點在同一平面內”時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點在同一直線上，從

而必要性不成立，

所以“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內”的充分不必要條件.

故選：A.

4.在正方體/BCD—44CQ中，直線加、〃分別在平面/BCD和4陰4內，且加_L〃，則下列命題中正確

的是()

A.若用垂直于則”垂直于48B.若根垂直于48,則“不垂直于48

C.若機不垂直于48,則"垂直于N5D.若加不垂直于48,則〃不垂直于

【答案】C

【分析】根據線面垂直的判定定理及直線位置關系來判定選項即可.

【解析】AB選項，若“垂直于48,由面/8CZ)上面,面月8CZ)c面484%=48,可得加垂直于

面488圈,

即面內的所有直線均與加垂直，而〃可能垂直于Z8,也可能不垂直于月8,故A錯誤，B錯誤;

CD選項，若優(yōu)不垂直于Z8,則8C,機為面內的兩條相交直線，由題可知8C_L〃，陽J,〃，則〃垂

直面48CD,又4Bu面4BCD,所以〃垂直于ZB,故C正確，D錯誤.

故選：C

5.正方體/8C。-44GA中，E為。4中點，。是4c與8。的交點，以下命題中正確的是（）

A.8G〃平面/8B.平面ZEC

C.80_L上平面NECD.直線48與直線/E所成的角是60。

【答案】C

（分析］根據正方體的結構特征,證明BCJ/AD、判斷A；證明DB、±平面AD.C判斷B；證明4。，上平面AEC

判斷C；求出直線48與直線ZE所成的角余弦判斷D作答.

【解析】在正方體-44G。中，對角面/8G"是矩形，則8CJ/力"，直線與平面ZEC相交,

因此8G與平面4EC不平行，A錯誤；

平面/BCD,/Cu平面/8C。，則，/C,又BDLAC,BDcBB、=B,BD,BB、u平面BDB1,

則有平面8。用，而。qu平面8。用，有力C_L。修，同理力

于是。平面ZCD-因為平面/CQc平面NEC=/C,因此。鳥不

垂直于平面/EC,B錯誤;

令AB=2,E為。。中點，。是AC與8。的交點，則+

EO2=DO2+DE2=詆2+『=3,EB；=ED；+D戍=I2+(2歷=9,

即EOZ+BQ?=EB；,有用。_LEO,又/司=。為，。為ZC的中點，則8014C,

/?？?9=。,4。,￡。匚面/1￡6',因此耳。1平面/EC,C正確；

取CG中點尸，連接后￡8尸，4尸，因為E為。A中點，則四邊形。EF為平行四邊形,

于是EFUDCIIAB,EF=DC=AB,四邊形NBFE為平行四邊形，即5F//ZE,

則為直線與直線4E所成的角或其補角，由選項C知，A、B=20BF=卡,AF=EB、=3,

因此cos乙4BF=4/+獷-4尸=(2@+(⑹-3;Vw，不是60。，D錯誤.

12A.BBF2x2。卡10

故選：C

6.如圖，菱形紙片/8C。中，』4=；，。為菱形力BCD的中心，將紙片沿對角線8。折起，使得二面角

7T

A-BD-C為飛,E,尸分別為48,C。的中點，則折紙后cos/EOF=()

115

A.&B.?C.--D.0

oo

【答案】A

【分析】作出二面角Z-SO-C得平面角，設出菱形N8C。的邊長，求出EF的長，利用余弦定理即可求得

答案.

【解析】如圖，連接O4OC,則。Z，82OCJ_BO,

故NCOA即為二面角A-BD-C得平面角，即NCOA=1,

設/。的中點為"，連接FN,則尸加〃/C,

JT

設菱形紙片為8。中的邊長為2,因為NZ=1,則為正三角形，

則。。=；8。=1℃=0/=6,

故"OC為正三角形，故AC=6,;.MF=2

2

又。/_L8O,OCJ.B。，OAflOC=O,OA,0Ccz^OAC,則8。2平面0/C,

ACu平面0/C,故8OJ.ZC,

又因為A/,E為/的中點，所以“E〃8D,所以MELMF,

又ME=、BD=1,MF=昱,故.EF=《ME,+MF?二旦,

222

故在AOE/中，OE=-AD=\,OF=-BC=\,

22

1+1-4

故cos/EOF=OE、O產-EF?=1，

2OEOF2x1x1一力

故選：A

二、多選題

7.已知直線/與平面a,/？,7,能使得a〃7的充分條件是（）

A.a1又丫[pB.

C.a//p,p//yD.I//a,l//y

【答案】BC

【分析】要使得￡〃7成立，即兩平面平行，則這兩個平面垂直于同一條直線，或者這兩個平面平行于同一

個平面，而兩平面垂直于同一個平面或平行于同一個直線則不能判定這兩個平面平行.

【解析1八以a〃/，兩平面垂直于同一個平面可以相交，故A錯;

lLa,lVy^a//y,兩個平面垂直于同一條直線兩平面平行，故B對.

?！ǚ病辍?？na〃7,兩個平面平行于同一個平面兩平面平行，故C對，

l//a,l//rGa//y,平行于同一個直線的兩平面可以相交，故D錯，

故選：BC.

8.如圖所示，已知幾何體48C。-44GA是正方體，則（）

A.BC〃平面44口

B.4?！ㄆ矫娑鶪C2

C.異面直線4。與/q所成的角為60。

D.異面直線4。與8自所成的角為90。

【答案】BC

【分析】結合線面垂直、線面平行、異面直線所成角、線線垂直等知識逐?對選項進行分析，從而確定正

確答案

【解析】對于A,由幾何體是正方體可知8C/A4。，而4￡）c平面4

故8c平面/4。相交，故A錯誤；

對于B,平面平面且/Qu平面N4DQ,

所以4?！ㄆ矫?￡C8,故B正確；

對于C,AD,,陽與均為正方體面對角線，故/。尸物.〃，

三角形/四R是等邊三角形，

則直線4。與/月所成的角為60。，故C正確;

對于D,A'D”CB\,

C；Dx

同理，三角形C2Q是等邊三角形,

直線4。與BQ所成的角為60。，故D錯誤.

故選：BC.

9.如圖，四棱錐S-"CD的底面N88為正方形，底面Z8C。，則下列結論中正確的有()

A.ACLSBB.N8〃平面SCD

C.S4與平面488所成角是/"8D.48與8C所成的角等于。。與SC所成的角

【答案】AB

【分析】根據空間位置關系的判定即空間角的定義直接判斷各選項.

【解析】A選項，?.F8CD為正方形，.?7CJ.8。，又SD_L平面/BCD,，SZ)_L/1C,又8DcS￡>=。，.：ZC工

平面SB。，.?.4C_L3B,A選項正確；

B選項，?:ABCD為正方形，；.AB//CD,又N8<z平面SCO,且CDu平面SC。，，/皮/平面SC。，B選項

正確；

C選項，QS。，底面/8C。，.^.當1與平面/8C。所成角是N網。，C選項錯誤；

D選項，???/BCD為正方形，則NB與5c所成的角90。，又SDL底面N8CD,則NSZ)C=90。，所以。C與SC

所成的角/SC。<90。，D選項錯誤;

故選：AB.

三、填空題

10.若平面a，平面7,平面夕_L平面7,則a與尸的位置關系是.

【答案】相交或平行

【分析】根據面面之間的位置關系即可得出答案.

【解析】解：若平面ad■平面7,平面夕，平面7,

則a與6相交或平行.

故答案為：相交或平行.

11.正四棱柱的高是底面邊長的近倍，則其體對角線與側棱所成的角的大小為—.

【答案】45。

【分析】由于正四棱柱的四條側棱互相平行，先找到體對角線與側棱所成的角，解三角形即得解.

【解析】如圖所示，設4B=BC=x,DR=6x,所以BR=2x.

由于正四棱柱的四條側棱互相平行，所以體對角線與側棱所成的角為

在直角三角形瓦獨中，cosNBD\D=^=?,

BD[2

因為NBDQ為銳角,所以NBD1D=45.

故答案為:450.

12.給出下列命題：

①若平面a上有3個不共線的點到平面耳的距離相等，則平面&與平面夕平行;

②若平面外的直線/上有3個點到平面。的距離相等，則直線/與平面a平行；

③若直線/上有2個點到直線機的距離相等，則直線/與直線機平行.

其中正確命題是（只填編號）.

【答案】②

【分析】對于①，考慮3個點在平面少的兩側的情況，即可判斷；對于②，由題意可得3個點均在平面a同

側，由3個點到平面a的距離相等，則直線與平面平行，即可判斷；對于③，若直線/與相交，直線/上

在交點兩側的2個點到的距離也可能相等，即可判斷.

【解析】對于①：這兩個平面可能相交，位于平面￡兩側的不共線的3個點到平面"的距離可能相等，故①

錯誤；

對于②：平面外的直線/上有3個點到平面a的距離相等，則3個點均在平面a同側，由3個點到平面a的

距離相等，則直線與平面平行，故②正確；

對于③：若直線/與加相交，直線/上在交點兩側的2個點到用的距離也可能相等，所以/與根也可能相交,

故③錯誤.

故答案為：②.

13.已知二面角若直線直線b_L/，且直線a,6所成角的大小為60。，則二面角的

大小為.

【答案】60?；?20。

【分析】作出二面角的平面角，然后利用直線夾角與二面角的平面角的關系求出二面角的大小

【解析】設點P是二面角a-/-￡內的一點，過P分別作直線a力的平行線尸4P8,且尸4垂直于a于A,PB

垂直于夕于5,設平面尸交直線/于點O,連接。4,OB,由于PB1。，Iua，Iu。,

故PZL,PB±l,又PACPB=P,P4P8u平面尸/B,

故/工平面尸又。/,O8u平面P/8,故/_LO4,11OB,

所以//O8為二面角的平面角，

因為直線6所成角的大小為60。，所以乙4P8=60。或120。，

當4尸8=120。時，如圖

因為4PB+4(OB=180。，所以408=60°；

當乙4P8=60。時，

如圖

p

因為4P8+4O8=180。，所以403=120°;

綜上,二面角a-/一6的大小為60°或120。

故答案為：60?；?20。

14.如圖，在正方體中，。是正方形及其內部的點構成的集合.給出下列三個結論:

@VPeQ,AtP>A]A-

②MwO,4P〃月C：

@VPeQ,4尸與8c不垂直.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

【分析】（1）平面488,即可判斷①；（2）利用平行四邊形的性質證明線線平行，即可判斷；（3）

利用線面垂直的判定證明5（，平面43GR,過％作平面45G。的平行面與平面N8CD的交線在正方形

488外，即可判斷.

【解析】對于①，4/，平面/SCO,.?.VPeO,A{P>AXA,故①正確；

對于②，當P到達。點時，&P〃B、C,?.?力0//。。，48尸。。，，448是平行四邊形，

：.Afl//BtC,:.AXP//Bf：,.-.3PeQ,4尸〃AC,故②正確；

對于③，V5.CISCpS.C1/1S,.-.5,C_L平面28GA

過4作平面4BCQ的平行面A.B.EF與平面ABCD的交線EF在正方形ABCD外,

.-.VPeQ,4尸與AC不垂直，故③正確.

故答案為：①②③.

四、解答題

15.如圖，在直三棱柱中，AC1BC,“是棱CG上的一點.

(1)求證：BCLAM；

(2)若M,N分別是CC“/8的中點，求證：CN〃平面/MB-

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據8C_LCG，/CS8C,利用線面垂直的判定與性質即可證得結論；

(2)取工用中點。，可證得四邊形CM0N為平行四邊形，由線面平行的判定可證得結論.

【解析】(1)由直棱柱結構特征知：CG_L平面/8C,又8Cu平面RBC,??.8CLCG，

QAC1BC,ACQCC,=C,ZC,CGu平面8C_L平面/CC/,

(2)取/用中點。，連接。

???。川分別為/牛48中點，:.DNHBB、,DN=gBB\；

由直棱柱結構特征知：四邊形8CG4為矩形，又M為CG中點、，；.CM//BB\,CM=；BB],

DNHCM,DN=CM,二四邊形CMDN為平行四邊形，CN//DW,

???DMu平面。70平面/〃4，，。\7/平面41/4.

16.如圖，在四棱錐尸-48CZ)中，四邊形48co是等腰梯形，乙48c=60。，AB//CD,CB=CD=1.點、E

為棱PC的中點，點尸為棱上的一點，且48=44尸，平面尸8CJ_平面/BCD

(1)證明：AC±PB；

(2)證明：EF〃平面為。.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由條件可證梯形中NC18C,再結合面面垂直的性質即可證明；(2)取棱中點為G,可

證明EF//AG,結合線面平行的判定定理即可證明結果.

【解析】(1)由條件易得：4)=OC=1,4￡>C=120。，

則NC?=i+i-2xlxlxcosl20°=3,AC=y/3,

ZABC=120°,由余弦定理可知：AB=2,

則NZC8=90。，所以/CJ_8C.

又平面PBC±￥tSABCD,

且平面「平面ABCD=BC,

且/Cu平面ABCD,

貝IJ/CJ?平面PBC,

又P8u平面PBC,

所以/C_LP8；

(2)由(1)可知N3=2.

取棱P￡)中點為G,連接我尸、EG、AG,

因為E為尸C的中點，所以EG〃￡>C,且

又/尸所以/尸〃DC,S.AF=^DC,

422

所以EGM1F,且EG=ZF,所以四邊形NFEG為平行四邊形,

所以EF/NG.

又比過平面PAD,

且/G4平面PAD,

則EF〃平面刈。.

17.如圖，在四棱錐P-/8CD中，PA1ABCD,底面Z8CZ)是菱形，PA=AB=2,NB4D=60：

⑴求證：48〃平面尸C。；

(2)求證：直線平面HC；

(3)求直線PB與平面PAD所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶半

【分析】(1)根據線面平行的判定定理證明；

(2)根據線面垂直的判定定理證明；

(3)根據線面夾角的定理找到線面角，再根據直角三角形中求正切值.

【解析】(1)證明：因為四邊形是菱形，所以AB//CD.

因為平面尸CZ),CDu平面PCZ),所以/B//平面PCD.

(2)證明：因為四邊形是菱形，所以NC上80.

又因為PZ_L平面N8C。，8。匚平面”88,所以P41BD.

又因為P/n/C=Z,尸4NCu平面"C,

所以平面R4c.

(3)如圖，過8作BEJ.AD,連接尸E,

因為尸/d.平面8Eu平面488,所以P41.BE.

又因為BE1AD,PA[]AD=A,

P4/Ou平面尸/。，所以8￡_L平面尸49.

所以/BPE是直線PB與平面PAD所成的角.

因為48=2,48/。=60°,所以/E=l.

在RaBEP中，BE=K，PE=yjPA2+AE2=#)，

所以tanNBPE=法=叵.

PE下5

所以直線PB與平面PAD所成角的正切值是巫.

5

18.已知三棱錐。中，△5。是邊長為3的正三角形，==與平面88所成角的余

(1)求證：AD1BC；

(2)求二面角Q-/C-8的平面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵邁

3

【分析】(1)取8C中點為E,連接4瓦?！?由正四面體的性質得再由線面垂直的

判定及性質證明結論；

(2)取中點為H,連接CH,BH,由正四面體的性質和二面角的定義知N8HC為所求二面角的平面角,

進而求其正弦值.

【解析】(I)如圖所示，取8c中點為￡,連接。為△8C。的中心，

因為△3CD是邊長為3的正三角形，AB=AC=AD,則NOJ.面BCD,

又與平面8CQ所成角的余弦值為

3

所以0。二小,即力8=ZC=/Z)=3,即三棱錐是正四面體,

04~-AD-T

所以8CL4瓦8CJ.OE,又4EcDE=E,4E,DEu平面4DE,

所以8c人平面/Z)E,又ZOu平面4OE,所以4D/8C.

(2)如圖所示，

取中點為H,連接CH,BH,

由(1)知：三棱錐/一88是正四面體，則4O_LB，,/￡)d.C4,

所以二面角D-4C—8的平面角為N84C,

另一方面，CH=BH=—,BC=3,

2

所以由余弦定理得cosZBHC=BH-CH-BC2=1,

2BHCH3

所以sinZBHC=Jl-codNBHC=—,

3

所以二面角。-/C-8的平面角的正弦值里.

3

19.如圖，在三棱錐中，△幺8和A/IBC均是邊長為6的等邊三角形，P是棱以上的點，〃=也”,

3

過點尸的平面a與直線W垂直，且平面aCl平面以5=/.過直線/及點C的平面月口平面Z8C=〃?.

(1)在圖中畫出/,寫出畫法(不必說明理由)；

(2)求證：/〃〃？；

（3）若直線叱與平面N8C所成角的大小為曾，求平面尸與平面/8C所成的銳二面角的大小.

【答案】（1）作圖與畫法見解析；

（2）證明見解析；

【分析】（1）在，5上取點N,使=過點P,N畫直線即得直線/.

3

（2）利用線面平行的判定、性質推理作答.

（3）作出平面力與平面/8C所成的銳二面角，借助線面角及余弦定理求解作答.

【解析】（1）在沖上取點N,使過點尸,N畫直線/W,則直線RV即為直線/.

3

取叱的中點。，連結力。，BQ,因為和A/18C均為等邊三角形，

則以=ZC,VB=BC,即有-C_L4。，VCA.BQ,而4?？?。=u平面/3。，

于是“C_L平面48。，又叱，平面a,因此平面a//平面Z8。，

而平面afl平面以8=/,平面ZBOn平面以8=/8,從而1//AB,*，即3"=乎8，，

所以直線PN即為直線/.

（2）由（1）知，IHAB,而48u平面ABC,/a平面A8C,于是///平面N8C,

因為/u平面廣，平面月D平面N5C=/n,

所以/〃%.

（3）取48的中點為D,連接以）n/W=E,連接CRCE,

因為和。8c均為等邊三角形，即幺=片8=ZC=8C=6,有Z8J.FD,ABLCD,

而以加。=。,肛8<=平面次7。，于是48上平面MCD,N8u平面/8C,

則平面/8C上平面,在平面-CD中，過憶作于O,

因為平面/8CC平面四第=CD,因此9_L平面/8C,

則/是直線W與平面N8C所成的角，即N-CD=q,又VD=CD=36

TT

從而/以）C=7t-2NUC￡>=一，由（2）知，mill,又l"AB,即有加〃則有機，平面政⑦，

6

而CACEu平面幾刀，則機，8,機1CE,即NEQ）為平面夕與平面/8C所成的銳二面角的平面角,

由（1）知，竺=絲=巫，有°E=3,在ACZ）E中，由余弦定理得：

VDVA3

CE=y/CD2+DE2-2CD-DEcosZCDE=^（3+32-2x33x*3，

顯然CE=OE,即ZDCE=N以）C=巴，

6

所以平面僅與平面NBC所成的銳二面角的大小為

6

考點03空間圖形的表面積和體積

一、單選題

1.已知球的半徑是2,則該球的表面積是（）

A.271B.4兀C.8%D.16兀

【答案】D

【分析】利用球的表面積公式計算即可.

【解析】S=4nR2=4TTX22=167t,

故選：D.

2.已知某圓錐的母線長為4,底面圓的半徑為2,則圓錐的全面積為（）

A.10兀B.12兀C.1471D.16TI

【答案】B

【分析】由圓錐的表面積公式可求得該圓錐的全面積.

【解析】因為圓錐的母線長為4,底面圓的半徑為2,則該圓錐的全面積為兀x2?+兀x2x4=12限

故選：B.

3.棱長為2的正方體N8CD-4耳GA的外接球的球心為。，則四棱錐。-48C。的體積為（）

248

A.-B.C.2D.—

333

【答案】B

【分析】求出。到平面N8CZ）的距離，利用體積公式進行求解.

【解析】正方體/8CD-44GA的外接球的球心為O,由對稱性可知。為正方體的中心，

O到平面N8C。的距離為1,即四棱錐O-45CD的高為1,而底面積為2x2=4,

14

所以四棱錐048。的體積為：x4xl=；.

故選：B

4.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半徑為8,則圓錐的側面積為（）

A.3847tB.3927tC.398兀D.404兀

【答案】A

【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側面積公式計算即可.

【解析】設圓錐的半徑為r,母線長為/,則/■=&,

由題意知，2口=?,解得：7=48,

所以圓錐的側面積為?！?8x48;t=384兀.

故選：A.

5.已知“8c是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球。的球面上，若球O的體積3為2乃芍，則球心。到

平面N8C的距離為（）

A.73B.-C.1D.走

22

【答案】C

【分析】設“8C的中心為。-求得。/=百，再根據球O的體積為等，求得半徑，然后利用球的截面

性質求解.

【解析】解：如圖所示:

因為是邊長為3的等邊三角形，且“8c的中心為。一

所以。產=6，

又因為球。的體積為32學乃，

42,

所以P乃/二—乃，

33

解得r=2,即0B=2,

所以oq=^OB--O}B-=1,

即球心0到平面ABC的距離為1,

故選：C

6.如圖，直角梯形/8co中，AB=3CD,ZABC=301,BC=4,梯形N8CD繞所在直線旋轉一周,

所得幾何體的外接球的表面積為（）

C.1287rD.2087t

【答案】D

【分析】由題意可知，旋轉一周得到的幾何體為圓臺，可知外接球的球心一定在線段/?；颍?。的延長線上.

取圓臺的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據幾何關系求出球的半徑，即可得出答案.

【解析】由題意可知，旋轉一周得到的幾何體為圓臺.

取圓臺的軸截面

由題意知，球心。一定在線段/?；?。的延長線上

圖1

如圖1,當球心。在線段力。上時.

過點C作CE//8于E點，則CE=8Csin30°=2，8E=8Ccos30°=，

所以。=0，AB=36

設球的半徑為&,OA=x(0<x<2),0D=2-x,

R2^OD2+CD2J??=(2-xJ+3

則由勾股定理可得,即

R2=OA2+AB2R2=x、27

整理可得x+5=0,解得x=-5（舍去）；

o

圖2

如圖2,當球心。在。/的延長線上時.

過點C作CE工于￡點，則CE=8Csin30°=2，8E=BCcos30=26，

所以8=6，AB=36

設球的半徑為R,OA=x(x>0),貝iJOD=x+2,

]/?2=OD2+CD27?2=(2+X)2+3

則由勾股定理可得,即

222

[/?=OA+ABR2=X2+27

整理可得x-5=0,解得x=5.

所以，R2=72+3=52.

所以，圓臺外接球的表面積為4兀斤=208兀.

故選：D.

二、多選題

7.圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（）

A.87tcam3八B.8-cm3

7T

1634

C.—cmD.—cm'3

71Tl

【答案】BD

【分析】由已知中圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長為4cm,高為

2cm的和圓柱的底面周長為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

【解析】??,側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，

若圓柱的底面周長為4cm，則底面半徑H=-cm,h=2cm,

7T

o

此時圓柱的體積展"R%=-cn?

n

若圓柱的底面周長為2cm，則底面半徑A='cm,〃=4cm,

7T

此時圓柱的體積展/h=-cm3

7C

故選：BD

8.正三棱錐底面邊長為3,側棱長為26，則下列敘述正確的是（）

A.正三棱錐高為3B.正三棱錐的斜高為叵

2

C.正三棱錐的體積為乙由D.正三棱錐的側面積為返

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側面積，從而可判斷CD的

正誤.

p

設E為等邊三角形/O