2022屆高中數(shù)學新人教A版必修第一冊5. 7 三角函數(shù)的應用

5.7三角函數(shù)的應用

內(nèi)容標準學科素養(yǎng)

1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.數(shù)學建模

2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.數(shù)學運算

課前?自主探究自主預習—基礎認知

授課提示：對應學生用書第116頁

［教材提煉］

知識點科學試驗、生活中的三角函數(shù)

預習教材，思考問題

現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復始、循環(huán)往復特點的周期運動變化現(xiàn)象，如果某種變

化著的現(xiàn)象具有周期性，那么可以考慮什么函數(shù)來描述？

知識梳理簡諧運動

在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱

為“簡諧運動”.小就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距

離；這個簡諧運動的周期是7=芻，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個

CO

簡諧運動的頻率由公式/=/=會給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù);

a）x~\~（p稱為相位；x=0時的相位①稱為初相.

［自主檢測］

1.函數(shù)＞=/111&+高的周期、振幅、初相分別是（

)

兀71

c兀，w1，%C，兀，1

A.3B.66

-cc兀71

C.3兀，3,-7D.6兀，3,

O6

答案：B

2.已知簡諧運動/（冗）=25由（$+9）］|夕|<5）的圖象經(jīng)過點（0,1）,則該簡諧運動的最小正周

期T和初相V分別為（)

,兀71

A.T=6,9=%B.T=6,(

C，兀兀

C.7=6兀，9=%D.T=6兀，

答案：A

3.彈簧振子的振幅為2cm,在6s內(nèi)振子通過的路程是32cm,由此可知該振子振動的

()

A.頻率為1.5Hz

B.周期為1.5s

C.周期為6s

D.頻率為6Hz

答案：B

4.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置0的距離scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系

式為s=6sin(2m+奇，那么單擺來回擺動一次所需的時間為.

答案：1s

課堂?互動探究以例示法核心突破

授課提示：對應學生用書第117頁

探究一三角函數(shù)在物理中的應用》教材探突

［例1］［教材P242拓展探究］

(1)已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間f(s)的變

化規(guī)律為s=4sin(2f+舒，fe［O,+-),用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題.

①小球在開始振動Q=0)時的位移是多少？

②小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？

③經(jīng)過多長時間小球往復振動一次？

(2)已知電流/與時間/的關(guān)系式為/=Asin(°/+0)(A>0,。>0,

①如圖是/=Asin(M+0)在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求/=Asin(ot+9)的解析式;

②如果t在任何一段擊秒的時間內(nèi)，電流/=Asin(&+0)都能取得最大值和最小值，那么

。的最小正整數(shù)值是多少？

［解析］⑴列表如下:

TL71匹7兀5兀

t

~612312~6

2?+1三3兀

0712兀

2T

sin2+爭010-10

S040-40

描點、連線，圖象如圖所示.

①將t=Q代入s=4sin(2/+2,

得s=4sin三=2小,

所以小球開始振動時的位移是2、向cm.

②小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和一4cm.

③因為振動的周期是K,所以小球往復振動一次所用的時間是兀S.

⑵①由題圖可知A=300.

11

設力=900,亥=詢,則周期期=2?2—九）=

2(180+90a)=75,2兀

??⑷=亍=]50兀.

1:時，/=0,即sin(150my1^+9)=0,

又當t=

180

71.71

而1研〈],:?夕=4.

故所求函數(shù)的解析式為/=300sin1150兀

②依題意，周期TW看，即卷(。>0),

；.。，300兀2942.48.

又oGN*,故。的最小正整數(shù)值為943.

p—■方法提升--

三角函數(shù)解決物理問題的三個關(guān)鍵量

(1)物體運動的初始位置，即初相.

(2)完成一次運動需要的時間，即周期.

(3)離開平衡位置的最大位移，即振幅.

探究二三角函數(shù)在生活中的應用

［例2］估計某一天的白晝時間的小時數(shù)。⑺的表達式是。⑺=^sin念79)+12,其中

MGZ)表示某天的序號，f=0表示1月1日，以此類推，常數(shù)上與某地所處的緯度有關(guān).

(1)在波士頓，左=6,試畫出當0W/W365時函數(shù)的圖象；

(2)在波士頓哪一天白晝時間最長？哪一天最短？

(3)估計在波士頓一年中有多少天的白晝超過10.5小時.

2兀971971

［解析］⑴先用五點法作出/(/)=3sin五利—79)的簡圖，由石制%-79)=0及石利-79)=

2K,得/=79及￡=444.

2冗

當f=0時，X0)=3sin荻(一79)-3sin(—1.36)-一2.9.

的周期為365,.7/(365)-一2.9.

將八。在［0,365］上的圖象向上平移12個單位，就得DQ)的圖象(如圖所示).

(2)白晝時間最長的一天，即D⑺取最大值的一天，此時/弋170,對應的是6月20日(閏年

除外)，類似地，1353時。⑺取最小值，即12月20日(閏年除外)白晝最短.

2兀

(3)D(r)>10.5,即3sin荻。-79)+12>10.5,

2兀1

sin79)>—2，[0,365].

??,292>/249,292—49=243.故約有243天的白晝時間超過10.5小時.

「■■方法提升■■

已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題，題目一般較容易，只需根據(jù)函數(shù)解析式并結(jié)

合題中所提供信息即可求解.

L同源異考重在觸類旁通

某實驗室一天的溫度(單位：。C)隨時間r(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:

(71,71、

X0=10—2sin(j^r+2J,fd[0,24).

(1)求實驗室這一天的最大溫差；

(2)若要求實驗室溫度不高于11℃,則在哪段時間實驗室需要降溫？

解析：⑴因為%)=10-2sin(占+胃)，

又0WY24,

”,7171.71Jill

所以產(chǎn)訶+廣至，

—1Wsin^r+^jW1.

,,(Tt?兀、

當1=2時,sin(適H■引=1;

當。=14時，sin[j?+§J=—1.

于是犬。在[0,24]上的最大值為12,最小值為8.

故實驗室這一天最高溫度為12°C,最低溫度為8°C,最大溫差為4℃.

⑵依題意，當犬。>11時實驗室需要降溫.

故有10—2sin(j^r+^)>11,

即sin(分+*V

又0W/V24,所以普V強[+]<

o123o

即10V/V18.故在10時至18時實驗室需要降溫.

探究三根據(jù)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)

［例3］某港口水深y(米)是時間r(0WfW24,單位：小時)的函數(shù)，記作y=/(。，下面是某

日水深的數(shù)據(jù).

〃小時03691215182124

y冰10.013.09.97.010.013.09.97.010.0

經(jīng)長期觀察，y=/(f)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Asinof+6的圖象.

(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)＞=/⑺的近似解析式；

(2)一般情況下，船舶航行時，船底高出海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的(船

舶?？繒r，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5米，如果該船希

望在同一天內(nèi)安全進出港，那么它至多能在港內(nèi)停留多長時間(忽略進出港所需的時間)

［解析］(1)由已知數(shù)據(jù)，描出曲線如圖：

易知函數(shù)的周期T=12,振幅A=3,b=10,

2兀兀TI

，口=下=不.??y=3sin玉+10.

(2)由題意，該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5米,

由得3sin打102H.5,

1

??兀7-

Sm養(yǎng)7.?

???0WW24,

TT

??.0W%W4兀②

化簡得1W/W5或13W/W17.

，該船最早能在凌晨1時進港，下午17時出港，在港內(nèi)最多可停留16小時.

—方法提升,,,一

在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需以下幾個步驟

(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖;

(2)通過散點圖，作出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；

(3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；

(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).

一同源異考重在觸類旁通

已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間r(時)的函數(shù)，其中0W/W24,記下表

是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：

t03691215182124

y1.51.00.51.01.510.50.991.5

經(jīng)長期觀測，y=&)的圖象可近似地看成是函數(shù)y=Acos。f+6的圖象.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天

內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？

解析：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，7=12,

所以a>=7-

O

又t=0時，y=1.5,

1]7T

所以A+Z?=1.5;t=3時，y=1.0,得Z?=1.0,所以振幅為爹，函數(shù)解析式為y=]cos下

+l(0WW24).

(2)因為y>l時，才對沖浪愛好者開放，所以y=1cos^+1>1,cos%60,2左兀一]<下<2防i

71

+5,kGZ,

即12左一3</<12左+3々￡Z).

又0W/W24,

所以0W<3或9<Z<15或21UW24,所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行

活動，即9<K15.

課后?素養(yǎng)培優(yōu)素養(yǎng)拓展能力提升

授課提示：對應學生用書第118頁

一、“眾人皆醉我獨醒”一三角換元的獨特之用

換元法又稱輔助元素法，“三角換元”是其中一種換元方法，即把某個式子用某一三角

函數(shù)表示，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，也是三角函數(shù)的一種應用.

［典例］實數(shù)》、>滿足7"+^2薩=1,若x+y—%>0恒成立，求上的取值范圍.

(X—1

=cos3,

由。+"J，詵fx=l+3cos0,

［解析］<則

-y+1[y=-l+