四川省眉山市仁壽縣兩校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高2022級仁壽縣第四學(xué)期開學(xué)聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）1.雙曲線的左焦點到右頂點的距離為（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】從標(biāo)準(zhǔn)方程中求出基本量后可得題設(shè)中的距離.【詳解】左焦點到右頂點的距離為.故選：D.2.已知直線：，下列說法正確的是（）A.傾斜角為 B.傾斜角為C.方向向量可以是 D.方向向量可以是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角，再利用直線的方向向量的概念判斷.【詳解】因為直線的方程為，所以直線的斜率，又，所以直線的傾斜角為，故A正確，B錯誤；對于C，若直線的方向向量為，則斜率為，與題意矛盾，故C錯誤；對于D，若直線方向向量為，則斜率為，與題意矛盾，故D錯誤.故選：A.3.已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【詳解】件產(chǎn)品中有件次品，記為，，有件合格品，記為，，，從這件產(chǎn)品中任取件，有種，分別是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有種，分別是，，，，，，設(shè)事件“恰有一件次品”，則，故選B．考點：古典概型．4.在等差數(shù)列中，，則前17項的和（）A.17 B.27 C.34 D.51【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，即可求解.【詳解】解：，故選：D.5.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求得甲最后獲勝的頻率.【詳解】因為前兩局甲都輸了，所以甲需要連勝四局或第三局到第六局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為.故選：C6.已知，下列命題正確的是（）A.若到距離之和為，則點的軌跡為橢圓B.若到距離之差為，則點的軌跡為雙曲線C.橢圓上任意一點（長軸端點除外）與連線斜率之積是D.漸近線為且過點的雙曲線的焦點是【答案】C【解析】【分析】直接利用橢圓定義和雙曲線定義，直線的斜率，漸近線的應(yīng)用逐個判斷選項即可.【詳解】對于A，若到距離之和為，即，則點的軌跡為線段，A錯誤；對于B，若到距離之差為，即，又，則點的軌跡為雙曲線的一支，故B錯誤；對于C，橢圓上任意一點（長軸端點除外）與連線斜率之積：，C正確；對于D，漸近線為且過點的雙曲線方程為，雙曲線過點，則，故雙曲線方程為，故焦點坐標(biāo)為和，故D錯誤.故選：C7.已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關(guān)系是A內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【詳解】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找過右頂點的切線和過上頂點的切線，從而可知這兩條切線的交點在蒙日圓上，進(jìn)而建立的方程，即可求解.【詳解】如圖所示，分別與橢圓相切，顯然所以點C一定在其蒙日圓上，所以，所以，故橢圓的離心率為.故選：C.二、多選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）9.下列說法中，正確的有（）A.過點且在，軸截距相等的直線方程為B.直線的縱截距是．C.直線的傾斜角為60°D.過點并且傾斜角為90°直線方程為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線的截距的定義，傾斜角和斜率的關(guān)系，結(jié)合直線的方程，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：因為直線也過點且在，軸截距相等，故錯誤；：對直線方程，令，可得，則其縱截距為，故B正確；C：直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，則，又，故該直線的傾斜角為，故C錯誤；D：過點并且傾斜角為90°的直線為，故正確.故選：.10.對于直線和直線，以下說法正確的有（）A.直線一定過定點 B.若，則C.的充要條件是 D.點到直線的距離的最大值為5【答案】ABD【解析】【分析】求出直線所過定點判斷A；利用垂直關(guān)系計算判斷B；由兩直線不相交求出判斷C；求出直線所過定點，并求出它與點的距離判斷D.【詳解】對于A，變形為，令，解得，因此直線一定過定點，A正確；對于B，若，則，解得，B正確；對于C，當(dāng)與不相交時，，解得或，當(dāng)時，直線與平行，當(dāng)時，直線與平行，因此當(dāng)時，或，C錯誤；對于D，直線恒過點，點到直線的距離的最大值為間距離，而，D正確.故選：ABD11.橢圓的離心率為，短軸長為，則（）A.橢圓的方程為B.橢圓與雙曲線的焦點相同C.橢圓過點D.直線與橢圓恒有兩個交點【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓離心率公式、短軸長定義，結(jié)合雙曲線焦點公式、代入法、直線點斜式方程性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為橢圓的短軸長為，所以有，而橢圓的離心率為，所以，所以可得：..A：因為，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因此本選項正確；B：由，該雙曲線的焦點在縱軸上，而橢圓的焦點在橫軸，所以本選項說法不正確；C：因為，所以點在該橢圓上，因此本選項說法正確；D：直線恒過點，而，所以點在橢圓內(nèi)部，因此直線與橢圓恒有兩個交點，所以本選項說法正確，故選：ACD12.在直角坐標(biāo)系中，已知點，直線，過外一點作的垂線，垂足為，且，記動點的軌跡為，過點作的切線，該切線與軸分別交于兩個不同的點，則下列結(jié)論正確的是（）A.動點的軌跡方程為B.當(dāng)時，三點共線C.對任意點（除原點外），都有D.設(shè)，則的最小值為4【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義易得點的軌跡方程，得A項；利用求得點和點坐標(biāo)，再求出過點的切線方程，得到點，即可判斷B項；設(shè)出過點得切線方程，利用判別式推得，將點坐標(biāo)用表示，斜率判斷即得C項；利用拋物線定義轉(zhuǎn)化，利用三點共線時距離之和最小即得D項.【詳解】易知動點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為，故選項A正確；當(dāng)時，記點，由，所以.不妨設(shè)，則.設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立方程組消去得：.由解得：，所以過點的切線方程為且，因，所以三點共線，故選項B正確；設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立方程組消去得：，由可得：.因為，所以，化簡得：.則，故，又，故，所以，故選項C正確；因為，點為拋物線上任一點，故當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最小，即的最小值為點到直線的距離，所以，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共4道小題，共20分）13.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義寫出的通項公式，進(jìn)而可得的通項公式.【詳解】由題設(shè)是首項、公差均為1的等差數(shù)列，則，故.故答案為：14.已知直線（）與直線互相平行，且它們之間的距離是，則______.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出n，由兩直線間的距離是求出m，即可得到.【詳解】因為直線（）與直線互相平行，所以且.又兩直線間的距離是，所以，因為，解得：.所以.故答案為：015.過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)A，B，則①，②，∵M(jìn)是線段AB的中點，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過點M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，∴①②兩式相減可得，即．考點：橢圓的簡單性質(zhì)16.已知拋物線C：的焦點為F，過點F作斜率大于0的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，，則的面積為____________．【答案】##【解析】【分析】易得點的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出韋達(dá)定理，結(jié)合求出參數(shù)的值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】因為拋物線的方程為：，所以焦點為，設(shè)直線的方程為：，，由，消整理得：，所以，所以，因為，所以，所以，代入，解得：，所以.故答案為：四、解答題（本題共6道小題，共70分）17.甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，甲先隨機摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為a，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果，算甲贏，否則算乙贏．（1）求的概率；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】（1）（2）這種游戲規(guī)則不公平，理由詳見解析【解析】【分析】(1)列出摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果，再找出滿足的結(jié)果，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式可得；(2)設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對立事件，再分別計算和，就可判斷.【小問1詳解】摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，其中的結(jié)果為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，故由古典概型的概率計算公式可得；【小問2詳解】這種游戲規(guī)則不公平，理由如下：設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對立事件，由題意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15個，由古典概型的概率計算公式可得，∴，∵，故這種游戲規(guī)則不公平．18.圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.（1）試求圓的方程；（2）從點發(fā)出的光線經(jīng)直線反射后可以照在圓上，試求入射光線所在直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出過且與直線垂直的直線方程，結(jié)合圓心在直線，聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)和半徑，得到所求圓的方程；（2）求出圓關(guān)于直線對稱的圓的方程，設(shè)出入射光線的方程，利用點到直線距離小于等于半徑列出不等式，求出答案.【小問1詳解】設(shè)過且與直線垂直的直線方程為，故，解得，故，∵圓心在直線上，∴由，即圓心且半徑為，∴所求圓的方程為：.【小問2詳解】圓關(guān)于直線對稱的圓為，設(shè)入射光線為，化簡得，由，解得，所以入射光線所在直線的斜率取值范圍為.19.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，)(n∈N＋)均在函數(shù)y＝3x－2的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所有n∈N＋都成立的最小正整數(shù)m.【答案】（1）an＝6n－5(n∈N＋)；（2）m=10.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到Sn＝3n2－2n.，然后利用求解.（2）由（1）得到bn＝＝(－)，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）依題意得：＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，滿足上式．所以an＝6n－5(n∈N＋)．（2）由（1）得bn＝＝＝(－)，故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．因為Tn<對所有n∈N＋都成立，即(1－)<(n∈N＋)成立，所以≤，解得m≥10，故滿足要求的最小正整數(shù)m=10.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項．(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.(6)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．20.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項，，；（2）設(shè)的前項和為，，，①，②①②得，，.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．在如圖所示的“陽馬”中，側(cè)棱底面ABCD，．記的重心為G．（1）求點G到平面PBC的距離．（2）求平面GBD與平面PBC夾角的大?。敬鸢浮浚?）