2023-2024學年河南省焦作一中高三（上）月考數學試卷（11月份） （含解析）

2023-2024學年河南省焦作一中高三（上）月考數學試卷（11月份）一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，則M∩N＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3]2．若a＞0，b＞0，則“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若tanα＝，則＝（）A．﹣ B．﹣7 C． D．74．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連結DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則的值為（）A． B． C．1 D．﹣85．定義方程f（x）＝f′（x）的實數根x0叫做函數f（x）的“躺平點”．若函數g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平點”分別為α，β，則α，β的大小關系為（）A．α≥β B．α＞β C．α≤β D．α＜β6．已知x，y為非零實數，向量，為非零向量，則“|+|＝||+||”是“存在非零實數x，y，使得x+y＝0“的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在△ABC中，，且，M是BC的中點，O是線段AM的中點，則的值為（）A．0 B． C． D．28．如圖，M為△ABC的外接圓的圓心，AB＝4，AC＝6，N為邊BC的中點，則＝（）A．5 B．10 C．13 D．26二、多選題（每小題5分，共4小題20分）（多選）9．已知實數a滿足（i為虛數單位），復數z＝（a+1）+（a﹣1）i，則（）A．z為純虛數 B．z2為虛數 C．z+＝0 D．z?＝4（多選）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，則b的值可能是（）A．﹣1 B．3 C．2 D．0（多選）11．關于函數f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四個結論，則（）A．f（x）是偶函數 B．f（x）的最小值為﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4個零點 D．f（x）在區(qū)間（，π）單調遞增（多選）12．如圖，正方形ABCD與正方形DEFC邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC互相垂直，P是AE上的一個動點，則（）A．CP的最小值為 B．當P在直線AE上運動時，三棱錐D﹣BPF的體積不變 C．PD+PF的最小值為 D．三棱錐A﹣DCE的外接球表面積為3π三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13．已知曲線y＝mex+xlnx在x＝1處的切線方程為y＝3x+n，則n＝．14．已知數列{an}是等差數列，a1＞0，a3+3a7＝0，則使Sn＞0的最大整數n的值為．15．某區(qū)域規(guī)劃建設扇形觀景水池，同時緊貼水池周邊建設一圈人行步道．要求總預算費用24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為平方米．16．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（1﹣x）＝f（x），則f（x）的最小正周期為；若對任意的x1，x2∈，當x1≠x2時，都有＞π，則關于x的不等式f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），記f（x）＝?（x∈R）．（1）求f（x）表達式；（2）解關于x的不等式f（x）≥1．18．記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數列．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：++…+＜2．19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC面積的最大值．20．已知數列{an}滿足a1＝，an+1＝．（1）若bn＝﹣1，證明數列{bn}為等比數列，并求通項公式bn；（2）數列{cn}的前n項和為Sn，cn＝，求S2n．21．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據，如下表所示．平均氣溫/℃﹣3﹣4﹣5﹣6﹣7銷售額/萬元2023273050（1）根據以上數據，用最小二乘法求出回歸方程；（2）預測平均氣溫為﹣9℃時，該商品的銷售額為多少萬元．．22．已知函數f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函數y＝xf（x）的極值點．（1）求a；（2）設函數g（x）＝．證明：g（x）＜1．

參考答案一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，則M∩N＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3]【分析】先化簡集合N，再根據交集的運算即可求出．解：集合M＝{x|﹣2≤x≤3}＝[﹣2，3]，N＝{x|log2x≤1}＝（0，2]，則M∩N＝（0，2]．故選：C．2．若a＞0，b＞0，則“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】判斷充分條件、必要條件時均可以列舉出滿足條件的數，或使之不成立的數．解：∵a＞0，b＞0，?∵ab＜1，令a＝4，b＝，則a+b＞1，∴充分性不滿足．?當a+b＜1時，0＜a＜1且0＜b＜1，所以ab＜1，∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分條件，故選：B．3．若tanα＝，則＝（）A．﹣ B．﹣7 C． D．7【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函數基本關系式將用tanα表示，再求值即可．解：因為tanα＝，所以＝＝＝＝7．故選：D．4．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連結DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則的值為（）A． B． C．1 D．﹣8【分析】根據向量的線性運算，向量數量積的性質與定義，即可求解．解：根據題意可知：＝（）?（）＝（）?（）＝＝＝．故選：B．5．定義方程f（x）＝f′（x）的實數根x0叫做函數f（x）的“躺平點”．若函數g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平點”分別為α，β，則α，β的大小關系為（）A．α≥β B．α＞β C．α≤β D．α＜β【分析】根據題意，對g（x）＝lnx求導，構造函數，研究其單調性和零點，利用零點存在性定理求出α的范圍，利用同樣的方法求出β的范圍，比較得到答案．解：根據題意，對于g（x）＝lnx，其定義域為（0，+∞），則其導數，由題意得：，令，x∈（0，+∞），則α為函數的零點，，所以在x∈（0，+∞）上單調遞增，又t（1）＝﹣1＜0，，由零點存在性定理，α∈（1，e）．對于h（x）＝x3﹣1，其導數h'（x）＝3x2，由題意得：β3﹣1＝3β2，令s（x）＝x3﹣1﹣3x2，則β為函數s（x）＝x3﹣1﹣3x2的零點，s'（x）＝3x2﹣6x，令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2，所以s（x）＝x3﹣1﹣3x2單調遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，2），s（x）在x＝0處取得極大值，s（0）＝﹣1＜0，在x＝2處取得極小值，故s（x）在（﹣∞，2）上無零點，因為函數在（2，+∞）上單調遞增，且s（3）＝27﹣1﹣27＜0，s（4）＝64﹣1﹣48＞0，由零點存在性定理：β∈（3，4）所以α＜β．故選：D．6．已知x，y為非零實數，向量，為非零向量，則“|+|＝||+||”是“存在非零實數x，y，使得x+y＝0“的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據題意，由|+|＝||+||化簡得到、共線且方向相同；若存在非零實數x、y，使得，可以得到、共線，由此結合充要條件的定義得到答案．解：若，則，整理得到，即＝1，故、共線且方向相同；若存在非零實數x、y，使得，可得、共線，但不一定方向相同．因此“|+|＝||+||”是“存在非零實數x，y，使得．”的充分不必要條件．故選：A．7．在△ABC中，，且，M是BC的中點，O是線段AM的中點，則的值為（）A．0 B． C． D．2【分析】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，計算平面向量的數量積即可．解：根據題意建立平面直角坐標系，如圖所示：由題意知，A（0，0），B（，0），C（0，），M（，），O（，），所以＝（﹣，﹣），＝（，﹣），＝（﹣，），所以+＝（，），所以?（+）＝﹣×﹣×＝﹣．故選：C．8．如圖，M為△ABC的外接圓的圓心，AB＝4，AC＝6，N為邊BC的中點，則＝（）A．5 B．10 C．13 D．26【分析】由N是BC邊的中點，可得＝（+），利用M是△ABC的外接圓的圓心，可得?＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得＝||2＝18，即可得出結論．解：∵N是BC邊的中點，可得＝（+），∵M是△ABC的外接圓的圓心，∴?＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得＝||2＝18，∴＝（+）?＝+＝×8+×18＝13．故選：C．二、多選題（每小題5分，共4小題20分）（多選）9．已知實數a滿足（i為虛數單位），復數z＝（a+1）+（a﹣1）i，則（）A．z為純虛數 B．z2為虛數 C．z+＝0 D．z?＝4【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，求出a，即可依次求解．解：，則3+ai＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i，故a＝﹣1，z＝（a+1）+（a﹣1）i＝﹣2i，z為純虛數，故A正確；z2＝（﹣2i）2＝﹣4∈R，故B錯誤；，故C正確；，故D正確．故選：ACD．（多選）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，則b的值可能是（）A．﹣1 B．3 C．2 D．0【分析】由不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ＝0，求出b的取值范圍即可．解：∵不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，∴Δ＝4a2﹣4（b﹣1）＝0，即b＝a2+1≥1，故選：BC．（多選）11．關于函數f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四個結論，則（）A．f（x）是偶函數 B．f（x）的最小值為﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4個零點 D．f（x）在區(qū)間（，π）單調遞增【分析】利用奇偶性定義可判斷A；由f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），確定2π為函數f（x）的一個周期，求出一個周期內函數的最小值，可判斷B；由于函數為偶函數，故研究x∈[0，2π]時函數的零點情況，從而可得[﹣2π，2π]函數零點情況，可判斷C；確定（，π）上函數的解析式，可判斷D．解：對于A，函數定義域為R，f（﹣x）＝sin|﹣x|+|cos（﹣x）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），所以f（x）為偶函數，故A正確；對于B，f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），所以2π是函數f（x）＝sin|x|+|cosx|的一個周期，當時，，此時f（x）的最小值為1，當時，，此時f（x）的最小值為﹣1，當時，，此時f（x）的最小值為﹣1，所以f（x）的最小值為﹣1，故B正確；對于C，當x∈[0，]時，f（x）＝，令f（x）＝0，可得x＝，，又f（x）為偶函數，所以f（x）[﹣2π，2π]上有4個零點，故C正確；對于D，當時，sin|x|＝sinx，|cosx|＝﹣cosx|，則，當，所以函數f（x）在上不具備單調性，故D錯誤；故選：ABC．（多選）12．如圖，正方形ABCD與正方形DEFC邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC互相垂直，P是AE上的一個動點，則（）A．CP的最小值為 B．當P在直線AE上運動時，三棱錐D﹣BPF的體積不變 C．PD+PF的最小值為 D．三棱錐A﹣DCE的外接球表面積為3π【分析】由題可知，可判斷A；根據條件可知△PBF的面積不變，D到平面PBF的距離也不變，可判斷B；將△ADE翻折到與平面ABFE共面，即可判斷C；由正方體的性質可判斷D．解：對于A，連接DP，CP，易得，故A錯誤；對于B，P在直線AE上運動時，△PBF的面積不變，D到平面PBF的距離也不變，故三棱錐D﹣BPF的體積不變，故B正確；對于C，如圖，將△ADE翻折到與平面ABFE共面，則當D、P、F三點共線時，PD+PF取得最小值，故C錯誤；對于D，將該幾何體補成正方體，則外接球半徑為，外接球表面積為3π，故D正確．故選：BD．三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13．已知曲線y＝mex+xlnx在x＝1處的切線方程為y＝3x+n，則n＝﹣1．【分析】求出原函數的導函數，再由函數在x＝1處的導數值為3求得m值，然后利用函數在x＝1時的函數值相等列式求解n．解：由y＝mex+xlnx，得y′＝mex+lnx+1，則y′|x＝1＝me+1＝3，即me＝2，又me＝3+n，∴3+n＝2，即n＝﹣1．故答案為：﹣1．14．已知數列{an}是等差數列，a1＞0，a3+3a7＝0，則使Sn＞0的最大整數n的值為10．【分析】由等差數列通項公式求出a1＝﹣5d，d＜0，從而Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，由此能求出使Sn＞0的最大整數n的值．解：數列{an}是等差數列，a1＞0，a3+3a7＝0，∴a1+2d+3（a1+6d）＝0，解得a1＝﹣5d，d＜0，∴Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，∵d＜0，n＞0，∴Sn＞0時，n＜11，∴使Sn＞0的最大整數n的值為10．故答案為：10．15．某區(qū)域規(guī)劃建設扇形觀景水池，同時緊貼水池周邊建設一圈人行步道．要求總預算費用24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為400平方米．【分析】求出扇形的面積，得到關于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面積的最大值．解：由題意，扇形的弧長AB為l＝θr，扇形的面積為S＝θr2，由題意400×θr2+1000（2r+θr）≤24×104；化簡得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）；又θr+2r≥2，所以θr2+10≤1200；設t＝，t＞0，則+10t≤1200，解得﹣60≤t≤40，所以當θr＝2r＝40時，面積S＝θr2的最大值為400．故答案為：400．16．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（1﹣x）＝f（x），則f（x）的最小正周期為2；若對任意的x1，x2∈，當x1≠x2時，都有＞π，則關于x的不等式f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．【分析】利用奇函數的定義結合已知的恒等式，可得f（2﹣x）＝f（﹣x），利用周期的定義即可得到答案；將已知的不等式變形，利用函數單調性的定義得到函數y＝f（x）﹣πx在上為增函數，從而f（x）﹣πx≥0，令g（x）＝sinπx，由y＝sinπx﹣πx是單調遞減函數，得到g（x）﹣πx≤0，從而f（x）≥g（x），作出f（x）與g（x）的圖像，即可得到答案．解：因為f（1﹣x）＝f（x），且f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（﹣x）＝﹣f（x），則f（1﹣x）＝﹣f（﹣x），則f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）的最小正周期為2；因為對任意的x1，x2∈，當x1≠x2時，都有＞π，不妨設x1＞x2，則f（x1）﹣f（x2）＞πx1﹣πx2，故f（x1）﹣πx1＞f（x2）﹣πx2，故函數y＝f（x）﹣πx在上為增函數，所以當x∈時，f（x）﹣πx≥f（0）﹣π×0＝0，令g（x）＝sinπx，則y＝sinπx﹣πx，因為y'＝πcosπx﹣π≤0，所以y＝sinπx﹣πx是單調遞減函數，當x∈時，g（x）﹣πx＝sinπx﹣πx≤g（0）﹣0＝0，即當x∈時，f（x）﹣πx≥g（x）﹣πx，故f（x）≥g（x），由對稱性以及周期性作出函數f（x）和g（x）的圖象，如圖所示，所以f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），記f（x）＝?（x∈R）．（1）求f（x）表達式；（2）解關于x的不等式f（x）≥1．【分析】（1）由向量的數量積運算以及三角恒等變換化簡，得函數f（x）的表達式；（2）由正弦函數的性質，整體代換可得不等式的解集．解：（1）因為，，＝＝＝，所以；（2）由（1）得2，所以，即，解得，所以不等式解集為．18．記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數列．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用數列的遞推關系式的應用求出數列的通項公式；（2）利用（1）的結論，進一步利用裂項相消法的應用求出數列的和，進一步利用放縮法的應用求出結果．解：（1）已知a1＝1，{}是公差為的等差數列，所以，整理得，①，故當n≥2時，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化簡得：，，........，，；所以，故（首項符合通項）．所以．證明：（2）由于，所以，所以＝．19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC面積的最大值．【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進而求得A；（2）利用余弦定理可得到AC2+AB2+AB?AC＝9，利用基本不等式可求得AC?AB的最大值，進而得到結果．解：（1）由正弦定理可得BC2﹣AC2﹣AB2＝AC?AB，所以，因為A∈（0，π），所以；（2）由余弦定理可得BC2＝AC2+AB2﹣2AC?ABcosA＝AC2+AB2+AC?AB＝9，即AC2+AB2+AB?AC＝9，因為AC2+AB2≥2AB?AC，所以AC2+AB2+AB?AC≥3AB?AC，即3AB?AC≤9，故AB?AC≤3，當且僅當AB＝AC時等號成立，所以S△ABC＝＝AB×AC≤×3＝，當且僅當AB＝AC時等號成立，所以△ABC面積的最大值為．20．已知數列{an}滿足a1＝，an+1＝．（1）若bn＝﹣1，證明數列{bn}為等比數列，并求通項公式bn；（2）數列{cn}的前n項和為Sn，cn＝，求S2n．【分析】（1）由數列的遞推式和等比數列的定義、通項公式，可得所求；（2）求得cn＝，由數列的分組求和，結合等比數列的求和公式，計算可得所求和．解：（1）證明：由a1＝，an+1＝，可得bn+1＝﹣1＝﹣1＝2（﹣1）＝2bn，則數列{bn}是首項為﹣1＝1，公比為2的等比數列，則bn＝2n﹣1；（2）cn＝bn+2＝，則S2n＝（c1+c3+...+c2n﹣1）+（c2+c4+...+c2n）＝2n+2n+＝4n+．21．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據，如下表所示．平均氣溫/℃﹣3﹣4﹣5﹣6﹣7銷售額/萬元2023273050（1）根據以上數據，用最小二乘法求出回歸方程；（2）預測平均氣溫為﹣