藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第12節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值課時沖關(guān)

PAGEPAGE1第12節(jié)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值1．(2024·沈陽市一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex＋1，則()A．x＝1為f(x)的極大值點B．x＝1為f(x)的微小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的微小值點解析：D[由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函數(shù)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函數(shù)在(－∞，－1)上是減函數(shù)所以x＝－1為f(x)的微小值點．]2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的最小值為()A.eq\f(1,2) B．1C．0 D．不存在解析：A[f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)，且x>0.令f′(x)>0，得x>1;令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1處取得微小值也是最小值，且f(1)＝eq\f(1,2)－ln1＝eq\f(1,2).]3．(2024·銀川市三模)已知函數(shù)f(x)＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)處取得極值，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,12) D．－eq\f(π,12)解析：C[∵f(x)＝cosx＋alnx，∴f′(x)＝－sinx＋eq\f(a,x).∵f(x)在x＝eq\f(π,6)處取得極值，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(a,\f(π,6))＝0，解得a＝eq\f(π,12)，經(jīng)檢驗符合題意，故選C.]4．若關(guān)于x的不等式x3－3x＋3－eq\f(x,ex)－a≤0有解，其中x≥－2，則實數(shù)a的最小值為()A．1－eq\f(1,e) B．2－eq\f(2,e)C.eq\f(2,e)－1 D．1＋2e2解析：A[化簡可得a≥x3－3x＋3－eq\f(x,ex)，設(shè)f(x)＝x3－3x＋3－eq\f(x,ex)，∴f′(x)＝3x2－3－eq\f(1－x,ex)＝(x－1)(3x＋3＋e－x)．可證3x＋3＋e－x>0恒成立．令f′(x)＝0，解得x＝1，故當(dāng)x∈[－2,1)時，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)．所以fmin(x)＝g(1)＝1－3＋3－eq\f(1,e)＝1－eq\f(1,e)，故選A.]5．已知函數(shù)y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，其圖象在x＝1處的切線平行于直線6x＋2y＋5＝0，則f(x)的極大值與微小值之差為________.解析：因為y′＝3x2＋6ax＋3b，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×22＋6a×2＋3b＝0，,3×12＋6a＋3b＝－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.))所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，則x＝0或x＝2.所以f(x)極大值－f(x)微小值＝f(0)－f(2)＝4.答案：46．直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有相異的三個公共點，則a的取值范圍是________.解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得極大值為f(－1)＝2，微小值為f(1)＝－2，如圖，視察得－2<a<2時恰有三個不同的公共點．答案：(－2,2)7．某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬件)的總成本C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為________萬件時總利潤最大．解析：設(shè)單價為a，由題意知a2＝eq\f(k,x)且502＝eq\f(k,100)，∴k＝502×100＝25×104，∴a2＝eq\f(25×104,x)，即a＝eq\f(500,\r(x))，總利潤y＝a·x－C(x)＝eq\f(500,\r(x))·x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200＋\f(2,75)x3))＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200，y′＝250x－eq\f(1,2)－eq\f(2,25)x2，令y′＝0得x＝25，∴產(chǎn)量定為25萬件時總利潤最大．答案：258．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍為______.解析：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝eq\f(1,x)－ax＋a－1＝eq\f(－ax2＋1＋ax－x,x)＝eq\f(－ax＋1x－1,x).①若a≥0，當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x＝1是f(x)的極大值點．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－eq\f(1,a).因為x＝1是f(x)的極大值點，所以－eq\f(1,a)>1，解得－1<a<0.綜合①②得a的取值范圍是a>－1.答案：a>－19．已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解：(1)由f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)，得f′(x)＝1－eq\f(a,ex).又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，得f′(1)＝0，即1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值．②當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝lna處取得微小值，且微小值為f(lna)＝lna，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，f(x)在x＝lna處取得微小值lna，無極大值．10．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,x).(1)求f(x)的最小值；(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋ax在區(qū)間[2，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)由題意可知x＞0，且f′(x)＝eq\f(x－1,x2)，當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0，故f(x)min＝f(1)＝1.(2)由F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＋a＝eq\f(ax2＋x－1,x2)，當(dāng)a＝0時，F(xiàn)′(x)＝eq\f(x－1,x2)＞0，F(xiàn)(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)a＜0時，令g(x)＝ax2＋x－1，此時F(x)在[2，＋∞)上只能是單調(diào)遞減，故F′(x)≤0，即ax2＋x－1≤0，a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)，∴a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x)))