2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-131 空間直角坐標系

2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

1.3空間向量及其運算的坐標表示

1.3.1空間直角坐標系

1.3.2空間向量運算的坐標表示

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一空間向量的坐標表示

1.(多選)(2022黑龍江齊齊哈爾八中期中)下列命題正確的是()

A.點(1,-2,3)關(guān)于平面Ozx的對稱點為(1,2,3)

B.點出1,-3)關(guān)于y軸的對稱點為G，L3)

C點(2,-1,3)到平面Oyz的距離為1

D.設i,j,k分別是x,y,z軸上的單位向量,若m=3i-2j+4k,則m=(3,-2,4)

2.(2022黑龍江綏化肇東四中期中)已知點A(l,1,-3妥B⑶1,-1),則線段AB的中

點M關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標為()

A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)

3.如圖是一個正方體截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如圖所示的空

間直角坐標系,則4ABC的重心G的坐標是_______.

題組二空間向量運算的坐標表示

4.(2021遼寧遼陽檢測)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),則2a-b=()

A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)

C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)

5.(2022河北任丘第一中學月考)設。為坐標原點，M⑸-1,2),A(4,2-1),若

加二荏，則點B的坐標為()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

6.(2022河北石家莊第四中學月考)已知點A,B,C,D的坐標分別為

(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四點共面,則x=.

7.(2021天津靜海檢測)若向量a=(l,l,2),b=(l,2,l),c=(l,l,l),則

(c-a).2b=.

題組三利用空間向量的坐標運算解決平行和垂直問題

8.(2020浙江臺州期末)已知A(l,5,-2),B(2,4,l),C(a,3,b+2)三點在同一條直線

上,那么()

A.a=3,b--3B.a=6,b=-l

C.a=3,b-2D.a=~2,b=l

9.(多選)(2022河北部分名校期中)已知a=(l,-1,1)是直線的一個方向向

量,b<2,2,-2)是直線12的一個方向向量,則下列說法不正確的是()

A.a?b=(；2,-2,-2)

B.1八

C.11±12

D.直線11,12夾角的余弦值為，

10.在AABC中，NC=90。，A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k=()

A.VToB.-VTO

C.2V5D.±V10

11.已知Ul=(l,2,3),赤(2,入，3),沆=(4,2,k),若OAL平面ABC,貝!)1+k的值

是()

4377

A.-B.-C.-D.-

3242

12.(2022天津河東期中)已知前=(-2,3,5),AC=(4,l,a),AD=(6,

b,-2).

⑴若四邊形ABCD為平行四邊形,求實數(shù)a,b的值；

(2)若四邊形ABCD的對角線互相垂直,求實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式.

題組四利用空間向量的坐標運算求夾角和模

13.(2022河北滄州東光第一中學月考)已知向量a=(l,2,3),|c=V14,若a-c=-7,

則a與c的夾角為()

A.30°B,60°C.120°D.150°

14.若AABC的三個頂點分別為A(0,0,V2),V2),

C(-1。夜)，則角A的大小為.

15.(2022重慶萬州第二高級中學月考)已知點A(l,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若

AP=2PB,貝！J|麗=.

16.已知點A(0,1,2),B(1,—1,3),C(1,5,-L).

⑴若D為線段BC的中點,求線段AD的長；

⑵若而=(2,a,1),且荏?而=1,求a的值，并求此時向量荏與刀夾角的余弦

值.

17.已知正三棱柱ABC-AiBC中，AB=2,AB」BCi,點0,01分別是邊AC,AC的中點,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)求正三棱柱的側(cè)棱長;

(2)求異面直線AB】與BC所成角的余弦值.

4

G

y

X

能力提升練

題組一空間向量的坐標運算

1.(2021山東師范大學附屬中學月考)已知a=(l,2,2),b=(-2,1,1),則向量b在a

上的投影向量為()

44244

A--B

9-9-9-9-9-

21121

--D-

33-3-3-3-

2.(2022廣東深圳寶安第一外國語學校月考)已知0為坐標原點，向量

a=(1,2,3),麗=(2,1,2),而=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當訓?礪取得

最小值時，點Q的坐標為()

13134

---B/-1--

24323

\2

4847

/-4--/-4--

V333V333

3.(2022河南濮陽范縣一中月考)已知向量2=(1,1,0)/=(-1,0,2),若向量a+kb

與2a+b所成角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍為.

題組二空間向量的平行和垂直問題

4.(2022福建A佳大聯(lián)考)已知空間向量m=(-1,x,2),n=(l,3,y)

(x>0,y〉0),若則xy的最大值是()

1

V6一

-

66

c—12

5.（2021江西新余一中、宜春一中聯(lián)考）如圖所示，在正方體ABCD-ABCD中,0是

底面正方形ABCD的中心,M是DiD的中點,N是AB的中點,則直線NO,AM的位置關(guān)

系是（）

A.平行B.相交

C.異面垂直D.異面不垂直

6.（2022廣東東莞四中期中）已知棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,M為BC的中

點,N為側(cè)面DCCD內(nèi)的動點（包括邊界），若MNLAiC,則三棱錐N-AAJ3的體積的最

小值為（）

A?得

7.（多選）（2020海南?？诤Ｄ现袑W月考）如圖所示,正方體ABCD-ABCD中,AB=1,

點P在側(cè)面BCCB上運動,并且總是保持APLBDi,則以下結(jié)論正確的是（）

1

A.Vp-AA^二3B.點P必在線段BiC上

C.APXBCiD.AP〃平面AiCiD

題組三空間向量的夾角和模問題

8.（2022河南中原名校聯(lián)考）如圖,在三棱錐P-ABC中，ZXABC為等邊三角形,APAC

為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC_L平面ABC,D為AB的中點，則異面直線AC

與PD所成角的余弦值為（

P

9.（2020四川內(nèi)江三模）如圖所示的幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體

底面直徑BC=4,AB=AC,ZBAC=90°,D為半圓弧的中點，若異面直線BD和AB1所成

角的余弦值為|,則該幾何體的體積為（）

A

A.16+8JiB.32+16Ji

C.32+8nD.16+16Ji

10.（2022山東省實驗中學月考）在直三棱柱ABC-ARG

中，NBACg,AB=AC=AA1=1,G,E分別為AB,CG的中點,D,F分別為線段AC,AB上的

動點（不包括端點），若GDXEF,則線段DF的長度的取值范圍為（）

A?償，1）B.憐1]

C.呼,1）D.[等,1）

11.（2020山西太原第五中學月考）如圖，以棱長為1的正方體的三條共頂點的棱

所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系Oxyz,點P在線段AB上,點Q在線段DC

上.

⑴當PB=2AP,且點P關(guān)于y軸的對稱點為M時，求|PM|;

⑵當點P是AB的中點，點Q在DC上運動時，探究|PQ|的最小值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.ABD根據(jù)“關(guān)于誰對稱誰不變”知A,B正確；（2,-1,3）到平面Oyz的距離為

2,，C錯誤;根據(jù)空間向量坐標的定義知D正確.

2.A由題意得M（2,1,-2）,.,.點M關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標為（-2,1,-2）.故

選A.

3.答案《，!，()

解析由題意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐標公式得點G的坐標為

13，3，37,

4.C因為向量a《2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以

2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故選C.

5.B設B(x,y,z),由加二通得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),

x-4=5,(x=9,

Ay-2=-1,：.\y=1,??.點B的坐標為(9,1,1).

.z+1=2,(z=1.

6.答案3

解析由A,B,C,D四點共面，知三人，u￡R,使得荏二入方+口布,

又費=(1,1,1),前二(1,2,-1),而=(x,4,1),

X+X[i=1,(X3；

故2A+4/z=1,解得-2,

-A+[1=1,g.

7.答案-2

解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),A(c-a)-2b=0+0-2=-2.

8.C易得麗二(1,T,3),前=(a-l,-2,b+4),

,樂與前共線,.?.正入福

(a-l,~2,b+4)=(入，一入，3人)，

a-l=A,fa=3,

?,>-2=-2,解得b=2,故選C.

力+4=3A,(.2=2.

9.ABCa?b=lX2+(-1)X2+1X(-2)=-2,所以A中說法不正確；

(1=22,

設a=入b,則(1,T,1)=入(2,2,-2),即-1=2九無解,所以B中說法不正確;

.1=~2A,

因為a?b=-2#0,所以li與L不垂直,所以C中說法不正確；

cos<a,b>|=2=|,所以D中說法正確.

V3X2V33

故選ABC.

10.D由題意得而=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k).

VZC=90°,CB??1=-6X(-3)+lX2+2kX(-k)=-2k2+20=0,.*^=±710.故選

D.

11.D易得荏=(1,入-2,0),就=(3,0,k-3).

若0AJ_平面ABC,^\\OA±AB,OA±AC,

即反?四二1+2(入-2)=0,a?芯=3+3(k-3)=0,所以人=|,k=2,故人+k=(.故選

D.

12.解析⑴因為屈=(-2,3,5),AC=(4,1,a),且「月,所以南,而不共線.

41

由四邊形ABCD為平行四邊形,知前=荏+前，

所以(4,l,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2),

所以a=3,b=—2.

(2)由題意得前二通-前二(8,b-3,-7).

因為四邊形ABCD的對角線互相垂直，所以前?AC=0,即32+b-3-7a=0,亦即

7a-b-29=0.

13.C|a|=，12+22+32=04所以cos〈a,6=$巳=」,

a||c|2

所以〈a,c〉=120°.

14.答案30°

解析由題意知而=(-*|,0),就=(-1,0,0),所以\AB\=1,\AC\=1,所以

—>—>叵！-

C°SA=3年二日喙故角人的大小為3。。?

15.答案?

解析設P(x,y,z),則族=(x-1,y-2,zT),~PB=(T-x,3-y,4-z).

由據(jù)2方,得(x-1,y-2,z-l)=2(-1-x,3-y,4-z),

/-X="Py=?z』葭3)

故而=Ci，-2)，，F(xiàn)=￥

16.解析⑴由題意得D(l,2,1),.?.通=(1,1,-1),

AD|=V1+1+1=V3,即線段AD的長為百.

(2)易矢口通=(1,一2,1),.?.南?荷=2-2a+l=l,解得a=l,

：.AD=(2,1,1).

cos<M而>=

\AB\\AD\V6XV66

即向量荏與而夾角的余弦值為士

6

17.解析(1)設正三棱柱的側(cè)棱長為h.

由題意得A(0,-1,O),B(g,0,0),C(0,l,O),Bi(g,O,h),G(O,l,h),則

砧二(g,l,h),跖=(Sl,h).因為AB」BCi,所以福?BQ=-3+l+h=0,所以

h=&(負值舍去).故正三棱柱的側(cè)棱長為VI

⑵由(1)可知砧=(舊,1,虎),1,0),

所以福?就=-3+1=-2,|AB7l=V6,|就|二2,

所以cos〈福,

2V66

所以異面直線AB】與BC所成角的余弦值為粵.

6

能力提升練

l.BVa=(l,2,2),b=(-2,1,1),

.*.a?b=lX(-2)+2Xl+2Xl=2,

向量a方向上的單位向量e=￡=G，|,|),

\a\\333/

???向量b在a上的投影向量為審6=花，2,勺.故選B.

Ia|3\333/\999/

2.C因為點Q在直線0P上運動,所以加〃市.

設麗=t而，則Q(t,t,2t),

所以訓=(1-1,2-t,3-2t),QB=(2-t,1-t,2-2t),

所以碗?QB=(l-t)(2-t)+(2-t)(l-t)+(3-2t)(2-2t)=6t-16t+10

2

=6(t-|)-|,故當時，(訶?Q5)min=-|,止匕時Q《，I，I).故選C.

3.答案｛k區(qū)>-1且女工?

解析易得a+kb=(l-k,1,2k),2a+b=(l,2,2).

由題意得(a+kb),(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共線，

l-k+2+4k>0,且甘［子不成立,

解得k>-l且k#|,

???實數(shù)k的取值范圍為｛々|k>-1且kH

4.D由題意得m±n=-lXl+3x+2y-0,即3x+2y=l.

因為x>0,y>0,所以l=3x+2y，2j3%X2y,角軍得xyW(，當且僅當3x=2y=；,即

x=gy=；時取等號.故選D.

64

5.C建立空間直角坐標系，如圖所示.設正方體的棱長為2,則

A(2,0,0),M(0,0,1),0(1,1,0),N(2,1,2),而=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1).V

而?俞=0,.?.直線NO,AM的位置關(guān)系是異面垂直.故選C.

6.B以D為坐標原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐

標系，則4(1,0,1),C(0,1,0),，1,0).

設N(0,a,b),OWaWl,OWbW1,?,?布=(-1,1,T),而=(6,aT,b).

VMN±A1C,：.^4N?J^C=|+a-l-b=O,即a-b=1,

易知點N到平面AAxD的距離為其縱坐標的絕對

a=

值，，KV-AAID=],S"A]D*ll-|a|-

?二祗故選B.

7.BDP在側(cè)面BCCB上運動，平面BCCiBi〃平面AADD,，P到平面AADD的距

離即為C到平面AADD的距離，即為正方體的棱

長，.?.I/P_4AID=1SA44ID*CD=|X|X1X1X1=：,故A中結(jié)論錯誤.

以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,O,O),P(x,l,z)(OWxWl,OWzWl),B(l,l,O),Di(O,0,1),

B^l,1,l),C(0,1,0),.,.IP=(x-l,l,z),W=(-l>-hD,^C=(-l,0,-l).

VAPXBDj,：.AP?西=l—xT+z=0,.\x=z,

.*.P(x,1,x),.?.濟(x,0,x),：.CP=~xB^C,即Bi,P,C三點共線，，P必在線段BiC

上，故B中結(jié)論正確.

易知Ci(0,1,1),???跖=(-1,0,1),又據(jù)(X-1,l,x),

：.AP?BQ=l-x+x=l,AAP與BG不垂直,故C中結(jié)論錯誤.

易知4(1,0,l),D(0,0,0),J病=(-1,1,0),兩=(1,0,1),又

IP=(x-l,1,x),.,.正x兩+1^(其中OWxWl),兩,4c共面,又APQ平

面ACD,，AP〃平面ACD,故D中結(jié)論正確.故選BD.

8.B取AC的中點0,連接OP,0B.

VPA=PC,.*.AC±OP.

平面PAC平面ABC,平面PACA平面ABC=AC,

.?.OP,平面ABC.

VAB=BC,.*.AC±OB.

以0為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

「△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,AABC為等邊三角形，

.*.A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),P(0,0,2V2),D(V2,V6,0),

.=(-4V2,0,0),~PD=(V2,V6,-2V2),

COS〈前,而Y-二-絲