新課標(biāo)高一冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí)題

其次章基本初等函數(shù)第一節(jié)指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：2．根式的運(yùn)算性質(zhì)：①當(dāng)為任意正整數(shù)時(shí)，()=a.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=|a|=.⑶根式的基本性質(zhì)：，（a0）用語(yǔ)言敘述上面三個(gè)公式：非負(fù)實(shí)數(shù)的次方根的n次冪是它本身.為奇數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的次冪的次方根是本身；為偶數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的次冪的次方根是的絕對(duì)值.⑶若一個(gè)根式(算術(shù)根)的被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的冪，那么這個(gè)根式的根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)都乘以或者除以同一個(gè)正整數(shù)，根式的值不變.3．引例：當(dāng)時(shí)①②③④上述推導(dǎo)過(guò)程主要利用了根式的運(yùn)算性質(zhì)，例子③、④、⑤用到了推廣的整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)(2).因此，我們可以得出正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)要留意兩點(diǎn)：一是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式；二是根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進(jìn)行互化.另外，我們還要對(duì)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪作如下規(guī)定.2.規(guī)定：(1)(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)(2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.(3)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).當(dāng)a＞0時(shí)，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用.即對(duì)于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì).3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):說(shuō)明：若a＞0，P是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用，有關(guān)概念和證明在本書(shū)從略.題型一根式的求值、化簡(jiǎn)、比較大小例1求下列各式的值（1）；（2）（3）（4）（5）分析：（1）題可以仿照單項(xiàng)式乘除法進(jìn)行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)冪相乘除，并且要留意符號(hào)（2）題按積的乘方計(jì)算，而按冪的乘方計(jì)算，等嫻熟后可簡(jiǎn)化計(jì)算步驟解例4計(jì)算下列各式：分析：（1）題把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再計(jì)算（2）題先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的最簡(jiǎn)形式，然后計(jì)算解：四、練習(xí)：課本P14練習(xí)1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)解：2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)（２）（ａ＋ｂ＞０）（３）（４）（ｍ＞ｎ）(5)（ｐ＞０）(6)解：(1)(2)(3)(4)＝（ｍ－ｎ）２(5)(6)指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽． 留意：eq\o\ac(○,1)指數(shù)函數(shù)的定義是一個(gè)形式定義，eq\o\ac(○,2)留意指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，分析底數(shù)為什么不能是負(fù)數(shù)、零和1．（二）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題：你能類(lèi)比前面爭(zhēng)辯函數(shù)性質(zhì)時(shí)的思路，提出爭(zhēng)辯指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？爭(zhēng)辯方法：畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)．爭(zhēng)辯內(nèi)容：定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大（?。┲?、奇偶性．探究爭(zhēng)辯：1．在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：（1）（2）（3）（4）（5）2．從畫(huà)出的圖象中你能發(fā)覺(jué)函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？可否利用的圖象畫(huà)出的圖象？3．從畫(huà)出的圖象（、和）中，你能發(fā)覺(jué)函數(shù)的圖象與其底數(shù)之間有什么樣的規(guī)律？4．你能依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向無(wú)限延長(zhǎng)函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）自左向右看，圖象漸漸上升自左向右看，圖象漸漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)頭增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快；函數(shù)值開(kāi)頭減小極快，到了某一值后減小速度較慢；5.利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍全部正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；

（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；

（4）當(dāng)時(shí)，若，則；其次節(jié)對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)一、復(fù)習(xí)引入：1莊子：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭（1）取4次，還有多長(zhǎng)？（2）取多少次，還有0.125尺？2假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，假如每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：1.＝？，＝0.125x=?2.=2x=?也是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)你能看得出來(lái)嗎？怎樣求呢？二、新授內(nèi)容：定義：一般地，假如的b次冪等于N,就是，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)例如：;;探究：⑴負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)（∵在指數(shù)式中N>0）⑵，∵對(duì)任意且,都有∴同樣易知：⑶對(duì)數(shù)恒等式假如把中的b寫(xiě)成,則有⑷常用對(duì)數(shù)：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lgN例如：簡(jiǎn)記作lg5;簡(jiǎn)記作lg3.5.⑸自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中經(jīng)常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN例如：簡(jiǎn)記作ln3;簡(jiǎn)記作ln10（6）底數(shù)的取值范圍；真數(shù)的取值范圍三、講解范例：例1將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：（1）=625（2）=（3）=27(4)=5.73解：（1）625=4；（2）=-6；（3）27=a；（4）例2將下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：（1）；（2）128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303解：（1）（2）=128；（3）=0.01；（4）=10例3計(jì)算：⑴，⑵，⑶，⑷解法一：⑴設(shè)則,∴⑵設(shè)則,,∴⑶令=,∴,∴⑷令,∴,,∴解法二：⑴；⑵⑶=⑷四、練習(xí)：1.把下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式＝８（２）＝32（３）＝（４）解：(1)８＝３(2)32＝５(3)＝－１(4)＝－2.把下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式９＝２（２）１２５＝３（３）＝－２（４）＝－４解：(1)＝９(2)＝１２５(3)＝(4)＝3.求下列各式的值25（２）（３）100（４）0.01（５）10000（６）0.0001解：(1)25＝＝２(2)＝－４(3)100＝２(4)0.01＝－２(5)10000＝４(6)0.0001＝－４4.求下列各式的值(1)15（２）1（３）81（４）625（５）343（６）243解：(1)15＝１(2)1＝０(3)81＝２(4)625＝２(5)343＝３(6)243＝５其次小節(jié)一、復(fù)習(xí)引入：1．對(duì)數(shù)的定義其中a與N2．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化3.重要公式：⑴負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；⑵，⑶對(duì)數(shù)恒等式3．指數(shù)運(yùn)算法則二、新授內(nèi)容：積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：假如a>0，a1，M>0，N>0有：證明：①設(shè)M=p,N=q由對(duì)數(shù)的定義可以得：M=，N=∴MN==∴MN=p+q，即證得MN=M+N②設(shè)M=p，N=q由對(duì)數(shù)的定義可以得M=，N=∴∴即證得③設(shè)M=P由對(duì)數(shù)定義可以得M=,∴＝∴=np，即證得=nM說(shuō)明：上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過(guò)假設(shè)，將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再依據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式①簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和”……②有時(shí)逆向運(yùn)用公式：如③真數(shù)的取值范圍必需是：是不成立的是不成立的④對(duì)公式簡(jiǎn)潔錯(cuò)誤記憶，要特殊留意：，三、講授范例：例1計(jì)算（1）25，（2）1，（3）（×），（4）lg解：（1）25==2（2）1=0（3）（×25）=+=+=2×7+5=19（4）lg=例2用，，表示下列各式：解：（1）=（xy）-z=x+y-z（2）=（=+=2x+例3計(jì)算：(1)lg14-2lg+lg7-lg18(2)(3)說(shuō)明：此例題可講練結(jié)合.(1)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18=lg評(píng)述：此題體現(xiàn)了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的機(jī)敏運(yùn)用，運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被同學(xué)所忽視.評(píng)述：此例題體現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)留意把握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡(jiǎn)形式，同時(shí)留意分子、分母的聯(lián)系.(2)題要避開(kāi)錯(cuò)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì).四、課堂練習(xí)：1.求下列各式的值：（１）６－３（２）lg５＋lg２（３）３＋（４）５－１５解：（１）６－３＝２＝１（２）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１(3)３＋＝(３×)＝１＝０(4)５－15＝＝＝－３＝－１.2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：(1)lg（xyz）；（２）lg；（３）；（４）解：(1)lg（xyz）＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；(2)lg＝lgｘ－lgｚ＝lgｘ＋lg－lgｚ＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；(3)＝lgｘ－lg＝lgｘ＋lg－lgｚ＝lgｘ＋３lgｙ－lgｚ；(4)第三小節(jié)：一、復(fù)習(xí)引入：對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則假如a>0，a1，M>0，N>0有：二、新授內(nèi)容：1.對(duì)數(shù)換底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)證明：設(shè)N=x,則=N兩邊取以m為底的對(duì)數(shù)：從而得：∴2.兩個(gè)常用的推論:①，②（a,b>0且均不為1）證：①②三、講解范例：例1已知3=a，7=b,用a,b表示56解：由于3=a，則,又∵7=b,∴例2計(jì)算：①②解：①原式=②原式=例3設(shè)且1求證；2比較的大小證明1：設(shè)∵∴取對(duì)數(shù)得：，，∴2∴又：∴∴例4已知x=c+b，求x分析：由于x作為真數(shù)，故可直接利用對(duì)數(shù)定義求解；另外，由于等式右端為兩實(shí)數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將c移到等式左端，或者將b變?yōu)閷?duì)數(shù)形式解法一：由對(duì)數(shù)定義可知：解法二：由已知移項(xiàng)可得，即由對(duì)數(shù)定義知：解法三：第四小節(jié)：對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)；它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象由于對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)因此，我們只要畫(huà)出和的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)的曲線，就可以得到的圖象，然后依據(jù)圖象特征得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3．對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，觀看得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見(jiàn)P87表a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：（0，+∞）值域：R過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)例1比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。孩?；⑵；⑶解：⑴考查對(duì)數(shù)函數(shù)，由于它的底數(shù)2>1，所以它在（0，+∞）上是增函數(shù)，于是⑵考查對(duì)數(shù)函數(shù)，由于它的底數(shù)0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是減函數(shù)，于是小結(jié)1：兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)比較大小的一般步驟：①確定所要考查的對(duì)數(shù)函數(shù)；②依據(jù)對(duì)數(shù)底數(shù)推斷對(duì)數(shù)函數(shù)增減性；③比較真數(shù)大小，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性推斷兩對(duì)數(shù)值的大?、钱?dāng)時(shí)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，于是小結(jié)2：分類(lèi)爭(zhēng)辯的思想對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于對(duì)數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1而已知條件并未指明，因此需要對(duì)底數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯，體現(xiàn)了分類(lèi)爭(zhēng)辯的思想，要求同學(xué)逐步把握例3比較下列各組中兩個(gè)值的大小：⑴；⑵分析：由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值不同底，故不能直接比較大小，可在兩對(duì)數(shù)值中間插入一個(gè)已知數(shù)，間接比較兩對(duì)數(shù)的大小解：⑴，，⑵，，；小結(jié)3：引入中間變量比較大小例3仍是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小，當(dāng)不能直接比較時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)對(duì)數(shù)中間插入1或0等，間接比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小