2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：四邊形綜合之動點與相似-專項練習(xí)題匯編(含答案)

第第頁2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：四邊形綜合之動點與相似專項練習(xí)題匯編1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°．點P從點B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒．過點P作PM⊥BC于點M，連接PQ、QM．（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一時刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由；（3）當t為何值時，△PQM為直角三角形？請說明理由．2．如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形BEFG的邊長為b（b＜a），點G在邊BC上，點E在邊AB的延長線上，DE交邊BC于點H，聯(lián)結(jié)FH、DF．（1）用a，b表示△DHF的面積，并化簡；（2）如果點M是線段AE的中點，聯(lián)結(jié)MC、MF、CF．①用a，b表示△MCF的面積，并化簡；②比較△MFC的面積和△DHF的面積的大?。?．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD．（1）若BC＝AB，求出AD，CD，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若BC＝AB，當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE+CD；（3）若mBC＝AB，∠A＝60°，BC＝2，直接寫出AD的長度（用含m的代數(shù)式表示）．4．如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．5．如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．動點P從點A出發(fā)，每秒1個單位長度的速度沿A→B勻速運動，到B點停止運動；同時點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿C→B→A勻速運動，到A點停止運動．設(shè)P點運動的時間為t秒（t＞0）．（1）點P在AB上運動時，PA＝，PB＝，點Q在AB上運動時，BQ＝，QA＝（用含t的代數(shù)式表示）；（2）求當t為何值時，AP＝BQ；（3）當P，Q兩點在運動路線上相距3個單位長度時，請直接寫出t的值．6．在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在邊BC上的點F處．（1）求證：△ABF～△FCE；（2）若AD＝10，CD＝6，則tan∠EAF的值為；（3）若AD＝6，DE＝3，則AB的長為．7．已知：如圖，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．點E為邊BC上的一個動點（與點B、C不重合），∠EAF＝60°，AF與邊CD相交于點F，聯(lián)結(jié)EF交對角線AC于點G．設(shè)CE＝x，EG＝y(tǒng)．（1）求證：△AEF是等邊三角形；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）點O是線段AC的中點，聯(lián)結(jié)EO，當EG＝EO時，求x的值．8．解答下列各題（1）已知：如圖1，直線AB、CD被直線AC所截，點E在AC上，且∠A＝∠D+∠CED，求證：AB∥CD；（2）如圖2，在正方形ABCD中，AB＝8，BE＝6，DF＝4．①試判斷△AEF的形狀，并說明理由；②求△AEF的面積．9．在正方形ABCD中，E是CD邊上一點（CE＞DE），AE，BD交于點F．（1）如圖1，過點F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點G，H．求證：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點P，M，N，連接CN．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．在長方形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，點E是邊CD上一點，將△AED沿AE所在直線折疊，使點D落在點F處．（1）如圖1，當點F落在對角線AC上時，求CF的長；（2）如圖2，當點F落在邊BC上時，求CE的長；（3）如圖3，當點E為CD的中點，且AF的延長線交BC于點G時，求CG的長．參考答案1．解：（1）∵點Q從點A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，∴AQ＝t，∵∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝20，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB＝90°，∴PM＝＝t．故答案為：t，20﹣2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知：AQ＝PM，∵AC⊥BC，PM⊥BC，∴AQ∥PM，∴四邊形AQMP是平行四邊形，當AP＝AQ時，平行四邊形AQMP是菱形，即20﹣2t＝t，解得t＝，則存在t＝，使得平行四邊形AQMP成為菱形．（3）當△PQM為直角三角形時，有三種可能：①當∠MPQ＝90°時，此時四邊形CMPQ為矩形，在Rt△PAQ中，∠A＝60°，∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝2AQ，即20﹣2t＝2t，解得：t＝5；②當∠MQP＝90°時，由（2）知MQ∥AP，∴∠APQ＝∠MQP＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，即t＝2（20﹣2t），解得：t＝8．③當∠PMQ＝90°時，此種情況不存在．綜上所述：當t為5或8時，△PQM為直角三角形．2．解：（1）延長DC交EF延長線于Q，如圖1所示：則四邊形AEQD、四邊形CGFQ都為長方形，∵正方形ABCD的邊長為a，正方形BEFG的邊長為b，∴EF＝BE＝b，DQ＝a+b，∴S△DHF＝S△DEF﹣S△HEF＝EF?DQ﹣EF?BE＝b?（a+b）﹣b?b＝ab+b2﹣b2＝ab；（2）①延長DC交EF延長線于Q，如圖2所示：則四邊形AEQD、四邊形CGFQ、四邊形BCQE都為長方形，∵正方形ABCD的邊長為a，正方形BEFG的邊長為b，∴AD＝CD＝a，EF＝BE＝CQ＝b，∴AE＝a+b，QF＝QE﹣EF＝BC﹣EF＝a﹣b，∵點M是線段AE的中點，∴AM＝EM＝AE＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形AMCD是直角梯形，∴S△MCF＝S長方形AEQD﹣S△CQF﹣S△MEF﹣S梯形AMCD＝AD?AE﹣CQ?QF﹣EM?EF﹣（AM+CD）?AD＝a?（a+b）﹣b?（a﹣b）﹣×?b﹣（+a）?a＝a2+ab﹣ab+b2﹣ab﹣b2﹣a2﹣ab＝a2+b2＝（a2+b2）；②∵S△MFC＝（a2+b2），S△DHF＝ab，∴S△MFC﹣S△DHF＝（a2+b2）﹣ab＝（a2﹣2ab+b2）＝（a﹣b）2，∵b＜a，∴（a﹣b）2＞0，∴S△MFC﹣S△DHF＞0，∴S△MFC＞S△DHF．3．解：（1）2AB2＝AD2+CD2．證明：連接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵BC＝AB，∴AB2+BC2＝2AB2，∴AC2＝2AB2，∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∴AD2+CD2＝2AB2；（2）過C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE與△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．（3）m+．延長DC，AB交于點E，∵∠D＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∵∠ABC＝90°BC＝2，∴∠CBE＝90°，∴CE＝4，∴BE＝＝＝2，∵AB＝mBC，∴AB＝2m，∴AE＝AB+BE＝2m+2，∴AD＝＝m+．4．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．（3）證明：如圖，在線段EG上取點P，使得EP＝DG，在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG為等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．5．解：（1）點P在AB上運動時，PA＝t，PB＝10﹣t．點Q在AB上運動時，BQ＝2t﹣6，QA＝16﹣2t．故答案是：t，10﹣t，2t﹣6，16﹣2t；（2）若Q在BC上運動，則t＝6﹣2t，解得t＝2，若Q在AB上運動，則t＝2t﹣6，解得t＝6，∴當t＝2s或t＝6s時，AP＝BQ；（3）若P、Q兩點還未相遇，則t+2t+3＝16，解得t＝，若P、Q兩點已經(jīng)相遇，則t+2t﹣3＝16，解得t＝，∴當t＝s或t＝s時，P、Q兩點相距的路程為3．6．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在邊BC上的點F處，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，∠EAF＝∠DAE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∴BF＝＝＝8，設(shè)DE＝x，則EF＝x，CE＝6﹣x，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，解得x＝．∴DE＝，∴tan∠EAF＝tan∠DAE＝＝，故答案為：；（3）解：設(shè)CE＝y(tǒng)，則CD＝AB＝y(tǒng)+3，由折疊知，AD＝AF＝6，DE＝EF＝3，∵△FCE∽△ABF，∴，∴BF＝2y，CF＝，∴2y+＝6，解得y＝，∴AB＝CD＝DE+CE＝3+＝，故答案為：．7．（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形；（2）解：過點A作AH⊥BC于點H，∵△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等邊三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO?CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．8．解：（1）延長AC至F，如圖1，∵∠FCD＝∠CED+∠D，∠A＝∠D+∠CED，∴∠FCD＝∠A，∴AB∥CD；（2）①如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，∵正方形ABCD中，AB＝8，CF＝4，∴DF＝CF＝4，∵∠D＝∠FCG＝90°，∠AFD＝∠CFG，∴△ADF≌△GCF（ASA），∴AF＝FG，∵AB＝8，BE＝6，∴AE＝＝＝10，∵EG＝CE+CG＝2+8＝10，∴AE＝EG，∴EF⊥AG，∴△AEF是直角三角形；②S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF＝64﹣，＝20．9．（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①補全圖形，如圖所示．②證明：連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q．∵四邊形ABCD是正方形，∴點A，點C關(guān)于BD對稱．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在Rt△ANE中，∴AE＝CN．10．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝6，AD＝10，∴AC＝＝＝2．∵將△AED沿AE所在直線折疊，使點D落在點F處．∴△ADE≌△AFE，∴AF＝AD＝10，∴CF＝AC＝AF＝2﹣10．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8